02GMF1:Kapitola3

PDF	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Přeložení pouze této kaptioly.
ZIP			Kompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02GMF1

součást	akce		poslední editace			soubor
Hlavní dokument	editovat	Hlavní stránka dokumentu 02GMF1	Kyseljar	21. 3. 2013	22:31
Řídící stránka	editovat	Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků	Admin	7. 9. 2015	14:50
Header	editovat	Hlavičkový soubor	Kyseljar	21. 3. 2013	22:12	header.tex
Kapitola1	editovat	Diferencovatelné variety	Kyseljar	10. 11. 2013	13:32	kapitola1.tex
Kapitola2	editovat	Tečné vektory k varietě	Kyseljar	27. 10. 2013	17:12	kapitola2.tex
Kapitola3	editovat	Tečný bundle, vektorová pole, integrální křivky	Kyseljar	27. 10. 2013	18:38	kapitola3.tex
Kapitola4	editovat	Abstraktnější pohled na vektorová pole	Kyseljar	21. 3. 2013	22:17	kapitola4.tex
Kapitola5	editovat	Diferenciální formy	Kyseljar	27. 10. 2013	20:30	kapitola5.tex
Kapitola6	editovat	Operace s diferenciálními formami	Kyseljar	30. 10. 2013	01:05	kapitola6.tex
Kapitola7	editovat	Zobrazení indukovaná zobrazením variet, podvariety	Kyseljar	31. 10. 2013	12:24	kapitola7.tex
Kapitola8	editovat	Lieova derivace	Kyseljar	10. 11. 2013	15:44	kapitola8.tex
Kapitola9	editovat	Geometrická formulace Hamiltonovy mechaniky	Kyseljar	10. 11. 2013	17:26	kapitola9.tex
Kapitola10	editovat	Integrace forem	Kyseljar	10. 11. 2013	18:15	kapitola10.tex
Kapitola11	editovat	Integrace na varietách s hranicí, Stokesova věta	Kyseljar	10. 11. 2013	21:00	kapitola11.tex
Kapitola12	editovat	Variety s dodatečnou strukturou	Kyseljar	21. 3. 2013	22:19	kapitola12.tex
Kapitola13	editovat	Literatura a poznámka na konec	Kyseljar	30. 3. 2013	01:08	literatura.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02GMF1}
 
%\chapter{Tečný bundle, vektorová pole, integrální křivky}
 
Zaveďme disjunktní sjednocení všech $\tecn, \ p \in M$ (tj. $V \in TM 
 
\Leftrightarrow (\exists p \in M)(\exists X \in \tecn)(V = X)$): 
\[ \boldsymbol{TM} = \coprod_{p \in M} \tecn = \{ X_p \in \tecn | \ p 
 
\in M\}.
\]
Na $TM$ zavádíme zobrazení $\pi : TM \rightarrow M, \, \pi (X_p) = p$. 
 
Na $TM$ můžeme přirozeným způsobem zavést strukturu diferencovatelné 
 
variety. Buď $\{U_\alpha, (x_\alpha^i)\}_{\alpha \in I}$ 
 
diferencovatelný atlas na $M$,  $\dim M = n$. Pak zavedeme na $TM$ 
 
atlas $\{V_\alpha, \psi_\alpha\}_{\alpha \in I}$, kde $V_\alpha = \pi^
 
{(-1)}(U_\alpha)$ a $\psi_\alpha: V_\alpha \rightarrow \R^{2n}$ jsou 
 
definovány předpisem:
\[ \psi_\alpha(X_p) = (x_\alpha^1(p), \ldots, x_\alpha^n(p), X_
 
\alpha^1(p), \ldots, X_\alpha^n(p)), \text{ kde } X_p = X_\alpha^i (p) 
 
\restr{\pder{x^i}}{p} .
\]
 
Zobrazení $\psi_\alpha$ je bijekce. Zvolíme na $TM$ takovou topologii, 
 
aby bylo $\psi_\alpha$ i $\pi$ spojité. Přechodové zobrazení má tvar 
 
$(\tau_{\alpha \beta} = \psi_\beta \circ \psi_\alpha^{-1},\ X_p = X_
 
\beta^i \restr{\pder{x_\beta^i}}{p})$:
\[ \tau_{\alpha \beta} (x_\alpha^1, \dots, x_\alpha^n, X_\alpha^1, 
 
\dots, X_\alpha^n) = (x_\beta^1 (x_\alpha), \dots, x_\beta^n (x_
 
\alpha), X_\beta^1, \dots, X_\beta^n),
\]
kde $X_\beta^i = \restr{\pderA{x_\beta^i}{x_\alpha^j}}{x_\alpha} \! \! 
 
\cdot X_\alpha^j$. Zobrazení $\tau_{\alpha \beta}$ je hladké, neboť 
 
lineární zobrazení $( X_\alpha^1, \dots, X_\alpha^n) \rightarrow \left( 
 
\restr{\pderA{x_\beta^i}{x_\alpha^j}}{x_\alpha} \! \! \cdot X_\alpha^j
 
\right)_{i=1}^n$ je hladké jako funkce $2n$ proměnných $x^i$ a $X^i$ a 
 
$x_\beta \circ x_\alpha^{-1}$ je hladké z předpokladů.
 
\begin{pozn}
U variet budeme dále implicitně uvažovat zobrazení, která jsou hladká.
\end{pozn}
 
\begin{defi}
Diferencovatelnou varietu $TM$ nazýváme \textbf{tečný fibrovaný 
 
prostor} (též \textbf{tečný bundle}). $TM$ je speciálním případem tzv. 
 
fibrovaného prostoru.
\end{defi}
 
\begin{defi}
\textbf{Fibrovaný prostor} (angl. fibre bundle) je diferencovatelná 
 
varieta $E$, nazývaná \mbox{\textbf{totální prostor}}, vybavená 
 
následujícími dodatečnými strukturami:
\begin{enumerate}
\item Diferencovatelnou varietou $M$ zvanou \textbf{báze} neboli  
 
\textbf{bázová varieta} se surjektivním zobrazením $\pi: E \rightarrow 
 
M$ zvaným \textbf{projekce} a otevřeným pokrytím $\pokryti$, $\bigcup_
 
{\alpha \in I} U_\alpha = M$.
\item Diferencovatelnou varietou $F$ zvanou \textbf{typické vlákno} s 
 
difeomorfizmy  $\psi_\alpha : \pi^{(-1)}(U_\alpha) \rightarrow U_\alpha 
 
\times F$ zvanými \textbf{lokálními trivializace} splňujícími ($\pi_1$ 
 
je projekce na první složku kartézského součinu $U_\alpha \times F$):
\[ \pi_1 \circ \psi_\alpha = \restr{\pi}{\pi^{(-1)}(U_\alpha)}.
\]
\end{enumerate}
\end{defi}
 
\begin{defi}
Nechť $p \in U_\alpha \cap U_\beta$. Zobrazení $\tau_{\alpha \beta}: F 
 
\rightarrow F$ takové, že
\[ (\forall u \in F)((p, \tau_{\alpha \beta}(p) u) = \psi_\beta \circ 
 
\psi_\alpha^{-1} (p, u)),
\]
nazýváme \textbf{přechodová funkce} na vlákně při přechodu z 
 
trivializace $(U_\alpha, \psi_\alpha)$ do trivializace $(U_\beta, 
 
\psi_\beta)$.
\end{defi}
 
\begin{pozn}
Neplést $\tau_{\alpha \beta}$ s přechodovou funkcí u variet.
\end{pozn}
 
\begin{pozn}
Fibrovaný prostor $(E, M, F, \pi, \{(U_\alpha, \psi_\alpha) \}_{\alpha 
 
\in I})$ často značíme jen jako $E$ nebo $E \stackrel{\pi}{\rightarrow} 
 
M$.
\end{pozn}
 
Často klademe omezení na přípustné lokální trivializace: připouštíme 
 
pouze takové trivializace, kdy všechny přechodové funkce na vlákně leží 
 
ve vhodně vybrané grupě zobrazení $F \rightarrow F$, tj. ve vhodné 
 
podgrupě grupy všech difeomorfizmů Diff$(E)$. Vybranou grupu nazýváme 
 
\textbf{strukturní grupa} fibrovaného prostoru $E$. Může jít o případy, 
 
kdy má $F$ dodatečnou strukturu, jako např. vektorový prostor nebo 
 
varieta s metrikou. Za přechodové funkce se pak vybírají zobrazení 
 
zachovávající onu strukturu, např. lineární zobrazení.
 
\begin{pozn}
Pokud $F$ má strukturu vektorového prostoru, je přirozené požadovat, 
 
aby strukturní grupa fibrovaného prostoru $E$ s typickým vláknem $F$ 
 
byla $GL(\dim F, \R)$. Takový fibrovaný prostor nazýváme \textbf
 
{vektorový fibrovaný prostor}.
\end{pozn}
 
\begin{defi}
Pro dané $p \in M$ nazýváme $\pi^{(-1)}(p)$ \textbf{vlákno nad bodem 
 
{\boldmath $p$}}. $\pi^{(-1)}(p)$ je diferencovatelná varieta izomorfní 
 
typickému vláknu $F$ (izomorfizmus není určen jednoznačně, předpis pro 
 
něj zní: $x \rightarrow \pi_2 (\psi_\alpha(x)), \ x \in \pi^{(-1)}
 
(p)$).
\end{defi}
 
\begin{defi}
\textbf{Řez fibrovaného prostoru $E$} definujeme jako hladké zobrazení 
 
$\sigma: M \rightarrow E$ vyhovující podmínce $\pi \circ \sigma = id$. 
 
Množinu všech řezů $E$ značíme $\Gamma(E)$.
\end{defi}
 
\begin{defi}
\textbf{Lokální řez} na okolí $U = U^\circ \subset M$ je hladké 
 
zobrazení $\sigma: U \rightarrow E$ splňující $\pi \circ \sigma = 
 
\restr{id}{U}$.
\end{defi}
 
\begin{defi}
\textbf{Zobrazením fibrovaných prostorů} $(E, M, F, \pi)$ a $(\tilde
 
{E}, \tilde{M}, \tilde{F}, \tilde{\pi})$ (angl. bundle map) nazveme 
 
dvojici zobrazení $\phi: E \rightarrow \tilde{E}$ a $\varphi: M 
 
\rightarrow \tilde{M}$ vyhovující podmínce: $\tilde{\pi} \circ \phi = 
 
\varphi \circ \pi$.
\end{defi}
 
\begin{defi}
Fibrovaný prostor $E \stackrel{\pi}{\rightarrow} M$ je \textbf
 
{triviální}, pokud existuje vzájemně jednoznačné zobrazení fibrovaných 
 
prostorů $E \stackrel{\pi}{\rightarrow} M$ a $M \times F \stackrel
 
{\pi_1}{\rightarrow} M$.
\end{defi}
 
\begin{defi}
\textbf{Vektorové pole $X$} na varietě $M$ je řez tečného bundlu, tj. 
 
$X \in \Gamma(TM)$. Množinu všech vektorových polí na varietě $M$ 
 
značíme $\cX$ nebo $\Gamma(TM)$ (viz důsledek \ref{cXoznaceni}).
\end{defi}
 
\begin{pozn}
Jinak řečeno, vektorové pole přiřazuje každému $p \in M$ tečný vektor 
 
$X(p) \in \tecn$ hladkým způsobem, tj. v libovolných souřadnicích $X(p) 
 
= X^i(p) \pder{x^i}$, kde $X^i \in \CnekA{U}$, $(X: M \rightarrow TM)$.
\end{pozn}
 
\begin{defi}
\textbf{Integrální křivka vektorového pole} $X \in \cX$ vycházející z 
 
bodu $p_0 \in M$ je hladké zobrazení $\gamma: (a,b) \rightarrow M, \ a 
 
< 0 < b, \ \gamma(0)=p_0$, takové, že $\der \gamma(t) \equiv \dot
 
{\gamma}(t) = \restr{X}{\gamma(t)}$. Přitom $\dot{\gamma}(t)$ je 
 
definováno jako tečný vektor v $\gamma(t) \in M$ určený třídou 
 
ekvivalence $[\tilde{\gamma}]$, kde $\tilde{\gamma} (s) = \gamma(t+s)$, 
 
$s \in (a - t, b - t)$.
\end{defi}
 
\begin{pozn}
V lokálních souřadnicích:
\[ \der \gamma^i (t) = X^i (\gamma^1 (t), \ldots, \gamma^n (t)), \, 
 
\gamma^i (0) = x^i (p_0),\,  \forall i \in \hat{n}, \text{ kde } 
 
\gamma^i (t) = x^i (\gamma (t)).
\]
\end{pozn}
 
\begin{defi}
Vektorové pole $X \in \cX$ je \textbf{úplné}, právě když lze každou 
 
jeho integrální křivku rozšířit na integrální křivku zobrazující $\R$ 
 
do $M$.
\end{defi}
 
\begin{defi}
\textbf{Tok vektorového pole} $X \in \cX$ je zobrazení $\Psi_X: U 
 
\rightarrow M$, kde $U = U^\circ \subset M \times \R$ a $M \times \{0\} 
 
\subset U$, takové, že $(\forall p \in M)(\Psi_X (p, 0) = p)$ a $\Psi_X 
 
(p, t) = \gamma_X^p (t)$ je integrální křivka vektorového pole $X$ 
 
vycházející z bodu $p \in M$.
\end{defi}
 
\begin{pozn}
Z teorie diferenciálních rovnic vyplývá, že existuje právě jedno hladké 
 
zobrazení $\Psi_X$. Dále budeme často psát $\Psi_X (t, p ) \equiv 
 
\Psi_X^t (p)$, kde $\Psi_X^t: M \rightarrow M$. \label{tokZnaceni}
\end{pozn}
 
\begin{pozn}
\fbox{$\Psi_X^s \circ \Psi_X^t (p) = \Psi_X^{s+t} (p)$}, pokud má pravá 
 
strana smysl, tj. $(\Psi_X^t(p), s) \in U, \ (p,t) \in U$. \label
 
{tokVztah}
\end{pozn}
 
V lokálních souřadnicích $(x^i)$, kde jsme označili $(\tilde{x}^1, 
 
\dots, \tilde{x}^n) = (x^1(p), \dots, x^n(p))$, máme:
\begin{gather*}
\Psi_X \leftrightarrow (\Psi_X^i): V_1 \times V_2 \rightarrow \R^n, \ 
 
V_1 = V_1^\circ \subset \R^n, \ V_2 = V_2^\circ \subset \R, \ 0 \in 
 
V_2:
\\ \left( \forall (\tilde{x}^1, \ldots, \tilde{x}^n) \in V_1, \ t \in 
 
V_2 \right) \left( \pder{t} \Psi_X^i (\tilde{x}^1, \ldots, \tilde{x}^n, 
 
t) = X^i (\Psi_X (\tilde{x}^1, \ldots, \tilde{x}^n, t)) \right),
\\ \left( \forall (\tilde{x}^1, \ldots, \tilde{x}^n) \in V_1 \right) 
 
\left( \Psi_X^i (\tilde{x}^1, \ldots, \tilde{x}^n, 0) = \tilde{x}^i 
 
\right).
\end{gather*}