02GMF1:Kapitola12
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 21. 3. 2013, 20:33, kterou vytvořil Kyseljar (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02GMF1} %\chapter{Variety s dodatečnou strukturou} VZHLEDEM K NE ZCELA PŘESNÝM ZÁPISKŮM Z PŘEDNÁŠEK NENÍ TATO KAPITOLA ZPRACOVÁNA V CELISTVÉ POD...)
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02GMF1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02GMF1 | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 21:31 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 21:12 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Diferencovatelné variety | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 12:32 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Tečné vektory k varietě | Kyseljar | 27. 10. 2013 | 16:12 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Tečný bundle, vektorová pole, integrální křivky | Kyseljar | 27. 10. 2013 | 17:38 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Abstraktnější pohled na vektorová pole | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 21:17 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Diferenciální formy | Kyseljar | 27. 10. 2013 | 19:30 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Operace s diferenciálními formami | Kyseljar | 30. 10. 2013 | 00:05 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Zobrazení indukovaná zobrazením variet, podvariety | Kyseljar | 31. 10. 2013 | 11:24 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Lieova derivace | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 14:44 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Geometrická formulace Hamiltonovy mechaniky | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 16:26 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Integrace forem | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 17:15 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Integrace na varietách s hranicí, Stokesova věta | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 20:00 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Variety s dodatečnou strukturou | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 21:19 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Literatura a poznámka na konec | Kyseljar | 30. 3. 2013 | 00:08 | literatura.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GMF1} %\chapter{Variety s dodatečnou strukturou} VZHLEDEM K NE ZCELA PŘESNÝM ZÁPISKŮM Z PŘEDNÁŠEK NENÍ TATO KAPITOLA ZPRACOVÁNA V CELISTVÉ PODOBĚ A DOST VĚCÍ CHYBÍ NEBO JSOU NEPŘESNÉ! \begin{pozn} Mějme vektorové prostory $V$ a $W$ konečných dimenzí. Pak zobrazení $A: V \rightarrow W$ je lineární $\Leftrightarrow$ $A: V \times W^\ast \rightarrow \R$ je bilineární $\Leftrightarrow$ $A: V \otimes W^\ast \rightarrow \R$ je lineární. Prostory lineárních zobrazení a lineárních funkcionálů jsou tedy kanonicky sdružené. \end{pozn} \begin{defi} \textbf{Tenzor {\boldmath $q$}-krát kovariantní a {\boldmath $r$}-krát kontravariantní} na varietě $M$ je zobrazení, které $p \in M$ přiřadí $T(p) \in (\kotecn)^{\otimes q} \otimes (\tecn)^{\otimes r}$. Neboli tenzor $T$ je multilineární zobrazení \mbox{$T: (\cX)^{\times q} \times (\Om{1})^{\times r} \rightarrow \Cnek$}. \end{defi} \begin{defi} \textbf{Metrika} na varietě $M$ je kovariantní symetrický tenzor 2. řádu na $M$ nedegenerovaný v každém bodě $p \in M$. \end{defi} \begin{pozn} Varietu $M$ s metrikou $g$ značíme $(M,g)$. \end{pozn} \begin{defi} Metrika $g$ na varietě $M$ se nazývá \begin{itemize} \item \textbf{riemannovská} $\Leftrightarrow$ $\forall p \in M$ je $g(p)$ pozitivně definitní. \item \textbf{Lorentzova (pseudoriemannovská)} $\Leftrightarrow$ $\forall p \in M$ má $g(p)$ signaturu $(\dim M - 1, 1)$. \end{itemize} \end{defi} \begin{pozn} Někdy se používá definice se signaturou $(1, \dim M - 1)$. Je to podobné, jako kdybychom v Riemannovské metrice měli negativní definitnost. \end{pozn} \begin{pozn} Metrika umožňuje měřit délky tečných vektorů. Na varietě může být zavedeno více metrik, je třeba vždy uvést, kterou uvažujeme. \end{pozn} Metrika se při změně souřadnic transformuje způsobem ($p \in M$, $g_{ij} (p) = g_{ji} (p)$): \[ g(p) = g_{ij}(p) \, \dx^i \otimes \dx^j \equiv g_{ij} (p) \dx^i \dx^j \quad \rightarrow \quad g(p) = g'_{ij}(p) \, \dx'^i \otimes \dx'^j, \text{ kde } g'_{ij} = \pderA{x^a}{x'^i} g_{ij} \pderA{x^b}{x'^j} \] \begin{defi} Nechť je $M$ vnořená podvarieta $N$, $\Phi: M \rightarrow N$ a $g$ riemannovská metrika na $N$. Pak $\Phi^\star g$ definuje Riemannovskou metriku na $M$. Tato metrika se nazývá \textbf{indukovaná metrika}. \end{defi} \begin{pozn} Metrika umožňuje vzájemně jednoznačně zobrazit $\tecn$ a $\kotecn$ pomocí zobrazení $\flat: \tecn \rightarrow \kotecn$ a $\sharp (p): \kotecn \rightarrow \tecn$, pro která platí $\flat \circ \sharp = id$ a \[ \flat (p) V(W) = g(V,W), \quad g(\sharp(p) \alpha, V) = \alpha(V), \quad \forall V, W \in \tecn \] \end{pozn} \begin{defi} \textbf{(Afinní) konexe} (někdy též \textbf{kovariantní derivace}, angl. affine connection) na varietě $M$ je zobrazení $\nabla: \cX \times \cX \rightarrow \cX$ vyhovující vztahům ($\forall f \in \Cnek$, $\forall a \in \R$, $\forall X, Y, Z \in \cX$, $\nabla (X,Y) \equiv \nabla_X (Y)$): \begin{enumerate} \item $\nabla_{f X + Y} (Z) = f \nabla_X (Z) + \nabla_Y (Z)$ \item $\nabla_X (a Y + Z) = a \nabla_X (Y) + \nabla_X (Z)$ \item $\nabla_X (f Y) = f \nabla_X (Y) + (X f) Y$ \end{enumerate} \end{defi} \begin{pozn} Kvůli třetí podmínce není konexe tenzor. \end{pozn} Mějme na $U = U^\circ \subset M$ referenční souřadný systém, tj. $e_1, \ldots, e_n \in \cXA{U}$, $(\restr{e_1}{p}, \ldots, \restr{e_n}{p})$ je LN $\forall p \in U$. Pak definujeme složky konexe $\nabla$ vzhledem k $(e_1, \dots, e_n)$, které značíme $\Gamma_{ij}^k$ a které splňují $(X =X^i e_i, Y = Y^i e_i, X^i, Y^i \in \CnekA{U})$: \[ \nabla e_i (e_j) (p) = \Gamma_{ij}^k (p) e_k (p) \] \[ \nabla_X (Y) = X^i \nabla_{e_i} (Y^j e_j) = X^i Y^j \Gamma_{ij}^k e_k + X^i e_i (Y^j) \, e_j = X^i Y^j \Gamma_{ij}^k e_k + X (Y^j) e_j \] \begin{defi} \textbf{Tenzor torze} konexe $\nabla$ je zobrazení $T: \cX \times \cX \rightarrow \cX$ zadané vztahem $(\forall X, Y \in \cX)$: \[ T(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]. \] \end{defi} \begin{defi} \textbf{Tenzor křivosti} konexe $\nabla$ je definován vztahem $(\forall X, Y, Z \in \cX)$: \[ R (X,Y) Z = \nabla_X (\nabla_Y Z) - \nabla_Y (\nabla_X Z) - \nabla_{[X,Y]} Z. \] \end{defi} \begin{pozn} Máme-li varietu s metrikou $(M,g)$, pak na $M$ existuje význačná konexe, která se nazývá \textbf{Levi-Civitova}, splňuje vztah $X(g(Y,Z)) = g(\nabla_X Y, Z) + g(Y, \nabla_X Z)$ a pro její torzi platí $T \equiv 0$. \end{pozn} Mějme $(M,g)$ s orientací $\sigma$, pak na $M$ existuje význačná forma maximálního stupně s předpisem \[ \omega_g = \text{vol}_g = \sigma \left( \pder{x^1}, \ldots, \pder{x^n} \right) \ \sqrt{|\det g|} \ \dx^1 \! \wedge \ldots \wedge \dx^n. \] \begin{defi} $(M,g), f \in \Cnek$: \[ \int_M f = \int_M f \omega_g \] \end{defi}