Součásti dokumentu 02GMF1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GMF1}
\chapter{Integrace forem}
Jedním z důvodů zavedení diferenciálních forem na varietách je to, že jsou přirozenými objekty, které se dají integrovat. Uvažujme na $n$-rozměrné varietě $M$ $n$-formu v lokálních souřadnicích $(x^i)$, resp. $(\tilde{x}^j)$. Máme
\begin{align*}
\omega & = \omega_{1 2 \ldots n} \ \dx^1 \wedge \dx^2 \wedge \ldots \wedge \dx^n = \omega_{1 \ldots n} (x(\tilde{x})) \pderA{x^1}{\tilde{x}^{i_1}} \ldots \pderA{x^n}{\tilde{x}^{i_n}} \, \de{\tilde{x}}^{i_1} \wedge \ldots \wedge \de{\tilde{x}}^{i_n}
\\& = \sum_{\overrightharpoon{I}} \omega_{1 \ldots n} \ \delta_{(1 \ldots n)}^{\overrightharpoon{I}} \pderA{x^1}{\tilde{x}^{i_1}} \ldots \pderA{x^n}{\tilde{x}^{i_n}} \, \de{\tilde{x}}^1 \wedge \ldots \wedge \de{\tilde{x}}^n = \det \pderA{x^i}{\tilde{x}^j} \cdot \omega_{1 \ldots n} (x (\tilde{x})) \, \de{\tilde{x}}^1 \wedge \ldots \wedge \de{\tilde{x}}^n,
\end{align*}
tedy
\[ \tilde{\omega}_{1 \ldots n} (\tilde{x}) = \det \pderA{x^i}{\tilde{x}^j} \cdot \omega_{1 \ldots n} (x (\tilde{x})).
\]
Tento vztah připomíná větu o substituci v Lebesgueově integrálu $(x^i = \varphi^i (\tilde{x}))$:
\[ \int_{\varphi(\Omega)} f \ \dx^1 \ldots \dx^n = \int_{\Omega} f \circ \varphi \ \left|\det \pderA{\varphi^i}{\tilde{x}^j} \right| \de{\tilde{x}^1} \ldots \de{\tilde{x}^n}.
\]
V definici integrálu $n$-formy ovšem narazíme na dvě nesnáze:
\begin{enumerate}
\item rozdíl v absolutní hodnotě jakobiánu -- řešíme zavedením orientace
\item možná neexistence globálních souřadnic na $M$ -- řešíme pomocí tzv. rozkladu jednotky
\end{enumerate}
\begin{defi}
\textbf{Orientace vektorového prostoru {\boldmath $V$}}, $\dim V = n$, je zobrazení $\sigma$ přiřazující každé $n$-tici LN vektorů číslo $\pm 1$ a vyhovující $\forall e_1, \ldots e_n \in V, \ (e_1, \ldots , e_n) \ \text{LN}, \ T \in GL(V) $:
\[\sigma (T(e_1), \ldots, T(e_n)) = \frac{\det T}{| \det T|} \ \sigma (e_1, \ldots, e_n).
\]
\end{defi}
\begin{defi}
Mějme vektorový prostor $V$ s orientací $\sigma$, $\dim V = n$, $U =U^\circ \subset V$, diferencovatelnou varietu $M$, $\dim M \geq n$, hladké zobrazení $F: U \rightarrow M$ a formu $\omega \in \Om{n}$. Označme $\tilde{U} = F(U)$. Definujeme \textbf{integrál z formy {\boldmath $\omega$} na množině {\boldmath $\tilde{U}$}} při parametrizaci $F$ předpisem
\[ \int_{(\tilde{U},F)} \omega = \sigma (e_1, \ldots, e_n) \int_U (F^\star \omega)_{1 \ldots n} \ \dx^1 \ldots \dx^n,
\]
kde $(x^1, \ldots, x^n)$ jsou standardní souřadnice na $V$, $x^j (a^i e_i) = a^j$, ve zvolené bázi $(e_1, \ldots , e_n)$ vektorového prostoru $V$, $e_i \equiv \pder{x^i}$.
\end{defi}
Takto definovaný integrál $\int_{(\tilde{U},F)} \omega$ má následující vlastnost: při výběru jiného $V', \sigma', U'$ a $F'$ takového, že $F'(U') = \tilde{U}$ a že existuje difeomorfizmus $\phi: U \rightarrow U'$ zachovávající orientaci ve smyslu $\sigma' (\phi_\star (\restr{\pder{x^1}}{p}), \ldots, \phi_\star (\restr{\pder{x^n}}{p})) = \sigma (\pder{x^1}, \ldots, \pder{x^n})$ pro všechny báze $\left( \pder{x^1}, \ldots, \pder{x^n} \right)$ prostoru $T_p V \equiv V$, pro který současně platí $F = F' \circ \phi$, plyne z věty o substituci v Lebesgueově integrálu:
\[ \int_{(\tilde{U},F)} \omega = \int_{(\tilde{U}, F')} \omega.
\]
\begin{pozn}
Pokud je $F$ prosté, tak až na orientaci hodnota integrálu na $F$ nezávisí.
\end{pozn}
\begin{defi}
\textbf{Orientace {\boldmath $\sigma$} variety {\boldmath $M$}}, kde $\dim M = n$, je zobrazení přiřazující každému $p \in M$ orientaci tečného prostoru $\tecn$ tak, že $\forall U = U^\circ \subset M, \ \forall X_1, \ldots, X_n \in \cXA{U}$ taková, že $(\restr{X_1}{p}, \ldots, \restr{X_n}{p})$ je LN $\forall p \in U$, platí:
\[ \sigma (p) (\restr{X_1}{p}, \ldots, \restr{X_n}{p}) = f(p) \text{ je konstantní (či ekvivalentně hladká) funkce na $U$}.
\]
Varietu, na níž existuje orientace, nazýváme \textbf{orientovatelná}.
\end{defi}
\begin{pozn}
Označení: $\sigma (p) (\restr{X_1}{p}, \ldots, \restr{X_n}{p}) = \sigma (\restr{X_1}{p}, \ldots, \restr{X_n}{p})$.
\end{pozn}
\begin{pozn}
Pokud na $M$, $\dim M = n$, existuje $\omega \in \Om{n}$ taková, že $(\forall p \in M)(\omega(p) \neq 0)$, tak je $M$ orientovatelná a ($X_1, \ldots, X_n \in \tecn$ jsou LN):
\[ \sigma (\restr{X_1}{p}, \ldots, \restr{X_n}{p}) = \frac{\omega (X_1, \ldots, X_n) (p)}{| \, \omega (X_1, \ldots, X_n) (p)\, |}.
\]
\end{pozn}
\begin{dusledek}
$\kotecnA$ je vždy orientovatelná, $T M$ orientovatelná být nemusí.
\end{dusledek}
Pokud v $M$ existuje křivka $\gamma: \langle 0,1 \rangle \rightarrow M$ taková, že $\gamma (0) = \gamma (1)$, $\gamma( \langle 0,1 \rangle) \subset U = U^\circ$ a pro pole $X \in \cXA{U}$ a $\forall t \in \langle 0, 1 \rangle$ splňuje $\dot{\gamma} (t) = X_{\gamma (t)}$, a LN vektory $E_1, \ldots, E_n \in T_{\gamma(0)}M = T_{\gamma(1)} M$ takové, že $(\Psi_{X \star}^1 (E_1), \ldots, \Psi_{X \star}^1 (E_n))$ je báze opačně orientovaná než $(E_1, \ldots, E_n)$, tj. matice přechodu z jedné báze do druhé má záporný determinant, pak $M$ není orientovatelná.
\begin{priklad}
Möbiův list není orientovatelný.
\end{priklad}
\begin{defi}
Buď $M$ diferencovatelná varieta s orientací $\sigma$, $\dim M = n$, $U =U^\circ$ souřadnicové okolí se souřadnicemi $(x^i)$, $\varphi: x(U) \subset \R^n \rightarrow U$ zobrazení inverzní k souřadnicím. Buď dále forma $\omega \in \Om{n}$ a nosič této formy $\supp \omega = \overline{\{ p \in M | \omega(p) \neq 0\}} \subset U$. Definujeme \textbf{integrál z formy {\boldmath $\omega$} na varietě {\boldmath $M$}} předpisem
\[ \int_M \omega = \int_{(U, \varphi)} \omega = \sigma \left( \pder{x^1}, \ldots, \pder{x^n} \right) \int_{x(U)} (\varphi^\star \omega)_{1 \ldots n} \dx^1 \ldots \dx^n.
\]
\end{defi}
\begin{pozn}
Dle výše uvedeného nezávisí $\int_M \omega$ na výběru souřadnic na $U$.
\end{pozn}
Jak integrovat formy, jejichž nosič nelze pokrýt jedinou mapou?
\begin{defi}
Buď $M$ diferencovatelná varieta, $\pokryti$ její otevřené pokrytí. Indexová množina $J$ a soubor funkcí $f_\beta \in \Cnek$, $\beta \in J$, tvoří \textbf{rozklad jednotky} podřízený pokrytí $\pokryti$ pokud jsou splněny následující podmínky:
\begin{enumerate}
\item $(\forall \beta \in J )( \exists \alpha \in I)( \supp f_\beta \subset U_\alpha$ a současně je $\supp f_\beta$ kompaktní$)$
\item $(\forall p \in M )(\exists K_p \subset J, \# \{ K_p\} < + \infty )( \exists U =U^\circ, \ p \in U)(\forall \beta \in J \setminus K_p)(\supp f_\beta \cap U = \emptyset)$
\item $(\forall \beta \in J)(\forall p \in M)(f_\beta (p) \geq 0)$
\item $(\forall p \in M)(\sum_{\beta \in J} f_\beta (p) = \sum_{\beta \in K_p} f_\beta (p) = 1)$
\end{enumerate}
\end{defi}
\begin{veta}
Ke každému otevřenému pokrytí $\pokryti$ variety $M$ existuje jemu podřízený rozklad jednotky. (Přičemž není určen jednoznačně.)
\end{veta}
\begin{dukaz}
Bez důkazu. K platnosti věty potřebujeme parakompaktnost v definici variety.
\end{dukaz}
\begin{defi}
Buď $M$ diferencovatelná varieta s orientací $\sigma$, $\dim M = n$ a $\omega \in \Om{n}$. Definujeme \textbf{integrál z {\boldmath $n$}-formy {\boldmath $\omega$} na varietě {\boldmath $M$}} předpisem
\[ \int_M \omega = \sum_{\beta \in J} \int_M f_\beta \, \omega,
\]
kde $\{ f_\beta\}_{\beta \in J}$ je rozklad jednotky podřízený nějakému atlasu $\{ U_\alpha, (x_\alpha^i)\}_{\alpha \in I}$.
\end{defi}
\begin{pozn}
$\int_M \omega$ nezávisí na výběru $\pokryti$.
\end{pozn}
\begin{dukaz}
Společné zjemnění $\{ U_\alpha \cap \tilde{U}_\beta \}_{\alpha \in I, \, \beta \in \tilde{I}}$ a jemu podřízený rozklad jednotky.
\end{dukaz}
