Součásti dokumentu 02GMF1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GMF1}
\chapter{Geometrická formulace Hamiltonovy mechaniky}
Uvažujme varietu $N$ a její kotečný bundle $T^\ast N$. Již víme, že je vhodným objektem pro matematický popis fázového prostoru mechanického systému s konfiguračním prostorem $N$. Na $T^\ast N$ existuje význačná, tzv. \textbf{kanonická {\boldmath $1$}-forma} definovaná následujícím předpisem: buď $\pi: T^\ast N \rightarrow N$ projekce ve fibrovaném prostoru $T^\ast N$. Definujeme $\lambda \in \Gamma (T^\ast (T^\ast N))$ předpisem
\[ (\forall \omega \in T^\ast N)(\lambda (\omega) = \pi^\star (\omega)).
\]
V lokálních souřadnicích $(x^i)$ na $U = U^\circ \subset N$ zavádíme souřadnice $(p_i)$ na $T^\ast U$: $p_i (\omega_k (q) \, \dx^k) = \omega_i (q)$ pro $q \in U$. Společně $(x^i, p_i)$ tvoří souřadnice na $T^\ast U$. V nich máme $(\lambda \in \Gamma (T^\ast (T^\ast U)))$:
\[ \lambda = p_i \, \dx^i.
\]
Dále můžeme uvažovat \textbf{kanonickou (Cartanovu--Poincarého) {\boldmath $2$}-formu} $\omega = \de{\lambda}$. V lokálních souřadnicích máme
\[ \omega = \de{p_i} \wedge \de{x^i}.
\]
Evidentně je $\omega$ exaktní a tudíž uzavřená. Dále je \textbf{nedegenerovaná} ve smyslu
\[ (\forall a \in T^\ast N)(\forall X \in T_a (T^\ast N), \ X \neq 0)(\exists Y \in T_a (T^\ast N))( \omega (a) (X, Y) \neq 0).
\]
Tyto vlastnosti jsou základem pro zobecnění. (Nedegenerovaná $2$-forma umožňuje ztotožnit tečný a kotečný prostor $X \in T_a (T^\ast N) \rightarrow i_X \omega \in T_a^\ast (T^\ast N)$.)
\begin{defi}
Diferenciální varieta $M$ vybavená nedegenerovanou uzavřenou diferenciální $2$-formou $\omega$ se nazývá \textbf{symplektická}. Formu $\omega$ pak nazýváme \textbf{symplektická {\boldmath $2$}-forma}.
\end{defi}
\begin{priklad}
$M = T^\ast N$ s formou $\omega = \de{\lambda}$.
\end{priklad}
\begin{pozn}
Nechť $V$ je vektorový prostor, $\omega$ je nedegenerovaná $2$-forma na $V$. Pak $2 \, | \dim V$.
\end{pozn}
\begin{dukaz}
Nechť $(e_i)$ je báze $V$, $(e^i)$ je báze $V^\ast$. Pak $\omega = \omega_{ij} \, e^i \wedge e^j$, $e^i (e_j) = \delta_j^i$, tj. $\omega (X^i e_i, Y^j e_j) = X^i Y^j \omega (e_i, e_j) = X^i Y^j (\omega_{ij} - \omega_{ji})$. Formu $\omega$ budeme dále vybírat jako antisymetrickou matici $A$. Forma $\omega$ je nedegenerovaná $\Leftrightarrow (\forall X)(\omega_{ij} X^i \neq 0) \Leftrightarrow \rank \omega_{ij} = \dim V \Leftrightarrow \det (\omega_{ij}) \neq 0$. Platí $A + A^T = 0$, $\det A = \det A^T$ a současně $\det A = (-1)^{\dim V} \det A^T$. Když $\dim V$ je lichá, tak $\det A = - \det A^T$ a současně $\det A = \det A^T$, tj. $\det A = 0$.
\end{dukaz}
\begin{veta}
\textbf{Darboux:} Buď $(M, \omega)$ symplektická varieta, $q \in M$. Pak existuje okolí $U = U^\circ \subset M$, $q \in U$, a souřadnice $(p_i, x^i)_{i=1}^{\frac{\dim M}{2}}$ na $U$ takové, že $\restr{\omega}{U} = \de{p_i} \wedge \de{q^i}$. \textit{(Bez důkazu.)}
\end{veta}
Nyní se budeme snažit zformulovat hamiltonovskou mechaniku na symplektické varietě. Základní poznatek je, že nedegenerovaná forma $\omega \in \Om{2}$ nám umožňuje ztotožnit $T_q M$ a $T_q^\ast M$, resp. $\cX$ a $\Om{1}$.
\begin{veta}
Zobrazení $\varphi: T_q M \rightarrow T_q^\ast M$, kde $\varphi (X) = i_X \omega (q)$ a $\omega$ je symplektická $2$-forma, je i\-zo\-mor\-fiz\-mus vektorových prostorů.
\end{veta}
\begin{dukaz}
Linearita $\varphi: X \rightarrow i_X \omega$ je zřejmá. Dále pro jádro $\varphi$ z nedegenerovanosti platí: $X \in \ker \varphi \Leftrightarrow i_X \omega (q) = 0 \Leftrightarrow$ $(\forall Y \in T_q M)(i_X \omega (Y) = \omega(X,Y) = 0) \Leftrightarrow$ $X = 0$.
\end{dukaz}
\begin{veta}
Zobrazení $\varphi: \cX \rightarrow \Om{1}$, kde $\varphi(X) = i_X \omega$ a $\omega$ je symplektická $2$-forma, je i\-zo\-mor\-fiz\-mus vektorových prostorů.
\end{veta}
\begin{dukaz}
V každém bodě $q \in M$ máme $\varphi_q$ vzájemně jednoznačné. Hladkost vyplývá z hladké závislosti $i_X \omega$ na $X$.
\end{dukaz}
\begin{defi}
Vektorové pole $X$ na symplektické varietě $(M, \omega)$ je
\begin{itemize}
\item \textbf{lokálně hamiltonovské} $\Leftrightarrow \ i_X \omega$ je uzavřená, tj. $\de{i_X \omega} = 0$.
\item \textbf{hamiltonovské} $\Leftrightarrow \ i_X \omega$ je exaktní ve smyslu: $(\exists f \in \Cnek)( i_X \omega = - \de{f})$. Pak značíme $X \equiv X_f$.
\end{itemize}
\end{defi}
\begin{pozn}
Důvod pro předchozí definici: Buď $M = T^\ast N$, $\omega = \de{p}_i \wedge \dx^i$, $H (p_i, x^i) \in \Cnek$. Pak $X_H = \sum_i \left( \pderA{H}{p_i} \pder{x^i} - \pderA{H}{x^i} \pder{p_i} \right)$. Tudíž integrální křivky vektorového pole $X_H$ jsou řešení Hamiltonových pohybových rovnic $\dot{x}^i = \pderA{H}{p_i}, \ \dot{p}_i = - \pderA{H}{x^i}$.
\end{pozn}
\begin{veta}
Vektorové pole $X \in \cX$ je lokálně hamiltonovské $\Leftrightarrow \Lie \omega = 0.$
\end{veta}
\begin{dukaz}
($\omega$ je uzavřená) $\Lie \omega = \de{} i_X \omega + i_X \de{\omega} = \de{} i_X \omega$.
\end{dukaz}
\begin{veta}
Nechť $N$ je diferencovatelná varieta, $\tau \in \OmA{\bullet}{N}$, $X, Y \in \cXA{N}$. Pak $\Lie \tau = 0 \Leftrightarrow (\forall t \in \R)$ $(\forall q \in N)(\Psi_X^{t \star} \tau = \tau)$, pokud má $\Psi_X^t (q)$ smysl. Podobně $\Lie Y = 0 \Leftrightarrow \Psi_{X \star}^t (Y) = Y.$
\end{veta}
\begin{dukaz}
$\der (\Psi_X^{t \star} \tau) = \lim_{s \rightarrow 0} \frac{1}{s} (\Psi_X^{s + t \star} \tau - \Psi_X^{t \star} \tau) = \lim_{s\rightarrow 0} \Psi_X^{t \star} (\frac{1}{s} (\Psi_X^{s \star} \tau - \tau)) = \Psi_X^{t \star} \Lie \tau = 0$
\end{dukaz}
\begin{veta}
Toky komutujících vektorových polí $X$, $Y$ komutují. Neboli mějme diferencovatelnou varietu $N$ a $X, Y \in \cXA{N}$ takové, že $[X, Y] = 0$. Pak $(\forall q \in N)(\forall s, t \in \R)$ taková, že výrazy mají smysl, platí
\[ \Psi_Y^s \circ \Psi_X^t (q) = \Psi_X^t \circ \Psi_Y^s (q).
\]
\end{veta}
\begin{dukaz}
Nechť $q \in N$, $\gamma_1$ integrální křivka $X$ z $q$, tj. $\gamma_1 (t) = \Psi_X^t (q)$, vybereme pevně $s \in \R$, $\gamma_2$ integrální křivka $X$ z $\tilde{q} = \Psi_Y^s (q)$, tj. $\gamma_2 (t) = \Psi_X^t (\tilde{q}) = \Psi_X^t (\Psi_Y^s (q))$. Definujeme $\gamma_3 = \Psi_Y^s (\gamma_1 (t))$. $\dot{\gamma_2} (t) = X (\gamma_2 (t))$, $\dot{\gamma_3} = \Psi_{Y \star}^s (\dot{\gamma_1} (t)) = \Psi_{Y \star}^s (X (\gamma_1 (t))) = X (\gamma_3 (t))$, neboť $\Lie Y = [X,Y]$, a tedy $\Psi_{Y \star}^s (X) = X$. Máme tedy $\gamma_2 (t)$, $\gamma_3 (t)$, které vyhovují stejné diferenciální rovnici se stejnou počáteční podmínkou a z jednoznačnosti řešení plyne $\gamma_2 (t) = \gamma_3 (t)$.
\end{dukaz}
\begin{defi}
Nechť $(M, \omega)$ je symplektická varieta. Pak zobrazení (transformaci) $\phi: M \rightarrow M$ nazveme \textbf{kanonické zobrazení} $\Leftrightarrow \phi^\star \omega = \omega$.
\end{defi}
\begin{defi}
\textbf{{\boldmath $1$}-parametrická lokální grupa transformací} variety $N$ je takové zobrazení $\phi$, kde \mbox{$\phi: U = U^\circ \subset \R \times N \rightarrow N$}, $\{ 0\} \times N \subset U$, $(\forall q \in N)(\phi (0, q) = q)$, pro které platí
\[ (\forall s, t \in \R)(\forall q \in N)(((t, q) \in U \text{ a současně } (s, \phi (t, q)) \in U) \Rightarrow \phi (s, \phi(t, q)) = \phi (s + t, q)).
\]
\end{defi}
\begin{veta}
Nechť $(M, \omega)$ je symplektická varieta, $X \in \cX$. $X$ je lokálně hamiltonovské $\Leftrightarrow$ jeho tok $\Psi_X^t$ definuje $1$-parametrickou lokální grupu kanonických transformací variety $M$.
\end{veta}
\begin{dukaz}
$\Lie \omega = 0 \Leftrightarrow \Psi_X^{t \star} \omega = \omega$
\end{dukaz}
\begin{defi}
Nechť $(M, \omega)$ je symplektická varieta, $f, g \in \Cnek$. \textbf{Poissonova závorka} na $M$ je bilineární zobrazení $\{ \cdot, \cdot \}: \Cnek \times \Cnek \rightarrow \Cnek$ dané předpisem
\[ \{ f, g \} = i_{X_f} i_{X_g} \omega.
\]
\end{defi}
\begin{pozn}
$\{ f, g\} = i_{X_f} i_{X_g} \omega = - i_{X_f} \de{g} = - X_f (g) = -i_{X_g} i_{X_f} \omega = i_{X_g} \de{f} = X_g (f)$
\end{pozn}
\begin{pozn}
V Darbouxových souřadnicích máme $\omega = \de{p_i} \wedge \dx^i, \ \{ f, g\} = \pderA{f}{x^i} \pderA{g}{p_i} - \pderA{g}{x^i} \pderA{f}{p_i}$.
\end{pozn}
\begin{veta}
Nechť $f,g \in \Cnek$. Pak \fbox{$X_{\{ f, g\}} = - [X_f, X_g]$}
\end{veta}
\begin{dukaz}
$h = \{ f, g\} = i_{X_f} i_{X_g} \omega$, ($\mathscr{L}_{X_g} \omega = 0$, $\mathscr{L}_{X_f} \omega = 0$), tj. $i_{X_h} \omega = - \de{} (i_{X_f} i_{X_g} \omega) = - \mathscr{L}_{X_f} (i_{X_g} \omega) + i_{X_f} \de{} (i_{X_g} \omega) = - \mathscr{L}_{X_f} i_{X_g} \omega + i_{X_f} \mathscr{L}_{X_g} \omega = - i_{[X_f, X_g]} \omega - i_{X_g} \mathscr{L}_{X_f} \omega = - i_{[X_f, X_g]} \omega$ a tedy $X_h = - [X_f, X_g]$.
\end{dukaz}
\begin{veta}
Poissonova závorka vyhovuje Jacobiho identitě, tj. $(f, g, h \in \Cnek)$:
\[\{ f, \{ g, h\}\} + \{ g, \{ h, f\}\} + \{ h, \{ f, g\}\} = 0.
\]
\end{veta}
\begin{dukaz}
$\{ f, \{ g, h\}\} = i_{X_f} i_{X_{\{g,h\}}} \omega = - i_{X_f} \de{} \{g, h\} = - \mathscr{L}_{X_f} \{ g, h\} = - \mathscr{L}_{X_f} i_{X_g} i_{X_h} \omega = -i_{\mathscr{L}_{X_f} (X_g)} i_{X_h} \omega - i_{X_g} i_{\mathscr{L}_{X_f} (X_h)} \omega$. Navíc $\mathscr{L}_{X_f} (X_{g/h}) = [X_f, X_{g/h}] = - X_{\{ f, g/h\}}$, takže $\{ f, \{ g, h\}\} = i_{X_{\{f,g\}}} i_{X_h} \omega + i_{X_g} i_{X_{\{f,h\}}} \omega = \{\{ f, g\}, h\} + \{ g, \{ f, h\}\}$.
\end{dukaz}
\begin{veta}
Nechť $f, g \in \Cnek,\ \{ f, g\} = 0$. Pak $f \circ \Psi_{X_g}^t = f, \ g \circ \Psi_{X_f}^t = g.$
\end{veta}
\begin{dukaz}
Zřejmý.
\end{dukaz}
\begin{pozn}
Naopak, máme-li lokální $1$-parametrickou grupu kanonických transformací, tak je $X$ (její generátor) lokálně hamiltonovské, a tedy existuje lokálně definované $f \in \CnekA{U}: X =X_f$, tj. integrál pohybu pokud grupa zachovává $H$.
\end{pozn}
