Součásti dokumentu 02GMF1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GMF1}
\chapter{Diferenciální formy}
\begin{defi}
V každém bodě $p$ variety $M$ můžeme uvažovat vektorový prostor duální k tečnému prostoru $\tecn$. Značíme ho {\boldmath $\kotecn$} a nazýváme \textbf{kotečný prostor} k varietě $M$ v bodě $p$. Prvky $\kotecn$ obvykle značíme řeckými písmeny a nazýváme \textbf{{\boldmath$1$}-formy v bodě} {\boldmath $p$}, tedy
\[ \omega \in \kotecn \Leftrightarrow \omega : \tecn \rightarrow \R \text{ a platí } (\forall X, Y \in \tecn)(\forall a \in \R)(\omega (a X + Y) = a \, \omega (X) + \omega(Y)).
\]
\end{defi}
Mějme lokální souřadnice $(x^i)$ na $U = U^\circ \subset M$, $p \in U$. Pak báze $\tecn$ má tvar $\left( \restr{\pder{x^i}}{p} \right)_{i=1}^n$. Bázi $\kotecn$ k ní duální, tj. funkcionály $\varphi^i \in \kotecn:$ $\varphi^i \left( \restr{\pder{x^j}}{p} \right) = \delta_j^i$, značíme $\left(\restr{\de{x^i}}{p} \right)_{i=1}^n$. Jinak psáno tedy $\restr{\dx^i}{p} \left( \restr{\pder{x^j}}{p} \right) = \delta_j^i$ (důvod pro toto značení bude zřejmý později). Souřadnice 1-formy $\omega$ v bázi $(\dx^i)$ značíme $\omega_i$, tj.
\[ \omega = \omega_i \restr{\dx^i}{p}.
\]
Při změně souřadnic $\tilde{x}^i = \tilde{x}^i (x^j)$, ($\delta_i^k = \restr{\de{\tilde{x}}^k}{p} \left( \pder{\tilde{x}^i} \right)$), máme
\[ \restr{\pder{\tilde{x}^i}}{p} = \restr{\pderA{x^j}{\tilde{x}^i}}{p} \restr{\pder{x^j}}{p} \Rightarrow
\restr{\de{\tilde{x}}^k}{p} \left( \pder{\tilde{x}^i} \right) = \pderA{x^j}{\tilde{x}^i} \restr{\de{\tilde{x}}^k}{p} \left( \pder{x^j} \right) = \delta_i^k.
\]
Poslední rovnost vynásobíme výrazem $\pderA{\tilde{x}^i}{x^l}$ a vysčítáme přes index $i$, čímž dostáváme
\[ \restr{\de{\tilde{x}^k}}{p} \left( \pder{x^l} \right) = \restr{\pderA{\tilde{x}^k}{x^l}}{p},
\]
a pro přechod mezi souřadnicemi tedy platí
\[ \fbox{\restr{\de{\tilde{x}^k}}{p} = \restr{\pderA{\tilde{x}^k}{x^j}}{p} \ \restr{\dx^j}{p}}
\]
Pro $\omega = \omega_i \, \dx^i = \tilde{\omega}_j \, \de{\tilde{x}}^j$ dosazením získáváme
\[ \tilde{\omega}_j \, \de{\tilde{x}}^j = \tilde{\omega}_j \pderA{\tilde{x}^j}{x^i} \, \dx^i,
\]
a tedy $\omega_i = \tilde{\omega}_j \pderA{\tilde{x}^j}{x^i}$ neboli
\[ \fbox{$\tilde{\omega}_j = \restr{\pderA{x^i}{\tilde{x}^j}}{p} \omega_i$}
\]
\begin{defi}
Podobně jako jsme zavedli tečný fibrovaný prostor, zavádíme i strukturu známou jako \textbf{kotečný fibrovaný prostor} neboli \textbf{kotečný bundle} (angl. cotangent bundle) {\boldmath $\kotecnA$}:
\begin{enumerate}
\item totální prostor $\kotecnA = \coprod_{p \in M} \kotecn$
\item projekce $\pi: \kotecnA \rightarrow M$ splňující $(\forall \omega \in \kotecn)(\pi (\omega) = p)$
\item typické vlákno $F \simeq \R^n$
\item lokální trivializace -- buďte $\pokryti : \bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha = M, \ U_\alpha = U_\alpha^\circ$ souřadnicová okolí se souřadnicemi $(x_\alpha^i)$, pak definujeme systém lokálních trivializací $(V_\alpha, \psi_\alpha), V_\alpha = \pi^{(-1)} (U_\alpha)$, $\psi_\alpha: V_\alpha \rightarrow U_\alpha \times F$, kde ($\omega = \omega_i^\alpha \restr{\dx_\alpha^i}{p}$):
\[ \psi_\alpha (\omega) = (p, (\omega_i^\alpha)_{i=1}^n).
\]
\end{enumerate}
Topologii na $\kotecnA$ zavádíme jako topologii indukovanou vzory otevřených množin při $\psi_\alpha, \ \alpha \in I$.
\end{defi}
\begin{pozn}
Buď $p \in U_\alpha \cap U_\beta$. Pak z předchozí definice vyplývá, že přechodové funkce na vlákně tvaru
\[ \tau_{\alpha \beta} (p) \left( \left( \omega_i^\alpha \right)_{i=1}^n \right) = \left( \pderA{x_\alpha^k}{x_\beta^i} \ \omega_k^\alpha \right)_{i=1}^n ,
\]
kde $\omega = \omega_i^\alpha \restr{\dx_\alpha^i}{p} = \omega_j^\beta \restr{\dx_\beta^j}{p}$, $\psi_\beta \circ \psi_\alpha^{-1} (p, (\omega_i^\alpha (p))_{i=1}^n) = (p, \big( \omega_k^\alpha \pderA{x_\alpha^k}{x_\beta^j} (p) \big)_{j=1}^n)$,
jsou \emph{inverzemi} přechodových funkcí na vlákně tečného bundlu a tečný a kotečný bundle jsou tedy geometricky odlišné struktury. Navíc $\left( \omega_i^\alpha \right)_{i=1}^n \in \R^n$, a tedy $\tau_{\alpha \beta} (p) \in \mathcal{L} (\R^n)$ hladce závisející na $p$.
\end{pozn}
\begin{defi}
\textbf{Diferenciální {\boldmath $1$}-forma} {\boldmath $\omega$} na $M$ je řez kotečného fibrovaného prostoru, $\omega \in \Gamma(\kotecnA)$.
\end{defi}
V lokálních souřadnicích $(x^i)$ na souřadnicovém okolí $U$ bodu $p$ máme vyjádření formy $\omega \in \Gamma(\kotecnA)$ ve tvaru $\omega(p) = \omega_i(p) \, \dx^i (p)$, kde $\omega_i \in \CnekA{U}$. Většinou značíme $\Gamma(\kotecnA) =$ {\boldmath $\Omega^1 (M)$}.
\begin{defi}
Buď $1 < k \leq n = \dim M, \ p \in M$. Pak \textbf{{\boldmath $k$}-forma v bodě} {\boldmath $p$} je $k$-lineární totálně antisymetrické zobrazení $\omega: \underbrace{\tecn \times \dots \times \tecn}_{k\text{-krát}} \rightarrow \R$. Tedy \mbox{$\forall X_1, \dots, X_k \in \tecn ,\ \forall \pi \in S_k = \mathrm{Bij}(\{ 1, \dots, k\})$ platí:}
\[ \omega (X_{\pi (1)}, \dots , X_{\pi (k)}) = \sgn \pi \ \omega(X_1, \dots, X_k).
\]
Vektorový prostor všech $k$-forem v bodě $p$ značíme $\Lamb{k}$ nebo {\boldmath $\LambP{k}$}, $\dim \LambP{k} = \binom{n}{k}$.
\end{defi}
Buď $\left( \restr{\pder{x^i}}{p}\right)_{i=1}^n$ báze $\tecn$, $\left( \restr{\dx^i}{p} \right)_{i=1}^n$ báze $\kotecn$, $i_1, \ldots, i_k \in \hat{n}$. Bazické vektory prostoru $\LambP{k}$ značíme $\restr{dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k}}{p}$ (symbol $\wedge$ se nazývá \textbf{skobka} (angl. wedge)) a definujeme způsobem $(j_1, \ldots, j_k \in \hat{n})$:
\[ \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k} \restr{\left( \pder{x^{j_1}}, \ldots , \pder{x^{j_k}} \right)}{p} = \sum_{\pi \in S_k} \sgn \pi \ \delta_{j_1}^{i_{\pi (1)}} \dots \delta_{j_k}^{i_{\pi (k)}}.
\]
\begin{priklad}
$\R^3 [x^1, x^2, x^3]: \dx^1 \wedge \dx^2 \left( \pder{x^2}, \pder{x^1} \right) = -1$, $\dx^1 \wedge \dx^3 \left( \pder{x^2}, \pder{x^1} \right) = 0$
\end{priklad}
\begin{pozn}
Zavádíme tzv. \textbf{multiindexy}, kde $j_1, \ldots , j_k \in \hat{n}, \ |J| = k$ ($|J|$ označuje délku indexu):
\begin{itemize}
\item $J = (j_1, \ldots , j_k)$
\item $\overrightharpoon{J} = (j_1, \ldots , j_k), \ 1 \leq j_1 < j_2 < \ldots < j_k \leq n$
\item $\delta_J^I = \sum_{\pi \in S_k} \sgn \pi \ \delta_{j_1}^{i_{\pi (1)}} \ldots \ \delta_{j_k}^{i_{\pi (k)}}$
\item $\dx^{\overrightharpoon{J}} = \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_k}$
\end{itemize}
\end{pozn}
\begin{pozn}
$\dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k} \left( \pder{x^{j_1}}, \ldots, \pder{x^{j_k}}\right) = \delta_J^I$
\end{pozn}
Souřadnicové vyjádření $\omega \in \LambP{k}$ je
\[ \omega = \sum_{j_1 < \ldots < j_k} \omega_{j_1, \ldots , j_k} \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_k} = \omega_{\overrightharpoon{J}} \, \dx^{\overrightharpoon{J}},
\]
kde $\omega_{\overrightharpoon{J}} = \omega_{j_1, \ldots , j_k} = \omega \left( \pder{x^{j_1}}, \ldots, \pder{x^{j_k}} \right)$. Tudíž $(\dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k})_{i_1 < \ldots < i_k}$ neboli $(\dx^{\overrightharpoon{J}})$ tvoří bázi vektorového prostoru $\LambP{k}$ (jehož dimenze je rovna $\binom{n}{k}$).
Podobně jako pro kotečný prostor konstruujeme vektorový fibrovaný prostor označený $\Lambda^k (\kotecnA)$ nebo {\boldmath $\LambA{k}$} jako disjunktní sjednocení $\Lambda^k (\kotecnA) = \coprod_{p \in M} \Lamb{k}$. Jeho bazickou varietou je $M$, projekcí $\pi: \LambA{k} \rightarrow M$, kde $(\forall \omega \in \LambP{k})(\pi (\omega) = p)$, a typickým vláknem $F = \R^{\binom{n}{k}}$.
Lokální trivializace na prostoru $\LambA{k}$ zavádíme pomocí atlasu $\atlas$ na varietě $M$ způsobem $\psi_\alpha : \pi^{(-1)} (U_\alpha) \rightarrow U_\alpha \times F$, kde ($p \in U_\alpha$, $\omega \in \LambP{k}$, $\omega = \omega_{\overrightharpoon{J}} \restr{\dx_\alpha^{\overrightharpoon{J}}}{p}$, $ (\omega_{j_1, \dots , j_k})_{j_1 < j_2 < \ldots < j_k}$ je $\binom{n}{k}$-tice čísel):
\[ \psi_\alpha ( \omega_{\overrightharpoon{J}} \ \dx^{\overrightharpoon{J}}|_p) = (p, (\omega_{j_1, \dots , j_k})_{j_1 < j_2 < \ldots < j_k}). %tady neni vyjimecne pouzit prikaz \restr, protoze zde jeho vystup nevypada dobre
\]
\begin{defi}
Zobrazení $\omega \in \Gamma(\LambA{k})$ nazýváme \textbf{diferenciální {\boldmath $k$}-forma} na varietě $M$. Značíme {\boldmath $\Om{k}$}$ = \Gamma(\LambA{k})$.
\end{defi}
\begin{pozn}
Též je možné používat vyjádření:
\begin{align*}
\Omega^k (M) = \{ \, & \omega: \cX \times \ldots \times \cX \rightarrow \Cnek | \ (\forall X_1, \ldots, X_k \in \cX)(\forall \pi \in S_k)
\\& (\omega (X_{\pi(1)}, \ldots , X_{\pi (k)}) = \sgn \pi \ \omega (X_1, \ldots, X_k)) \text{ a současně }
\\& (\forall X_1, \ldots, X_k, Y_1, \ldots, Y_k \in \cX)(\forall p \in M)(\forall j \in \hat{n}: X_j(p) = Y_j(p))
\\& (\omega (X_1, \ldots, X_k)(p) = \omega (Y_1, \ldots, Y_k)(p))\}.
\end{align*}
\end{pozn}
\begin{pozn}
$\LambP{0} \equiv \R$
\end{pozn}
Direktním součtem všech nenulových $\LambP{k}$ (tj. $k \in \hat{n} \cup \{ 0 \}$, kde $n = \dim M$) dostáváme \mbox{$2^n$-rozměrný} vektorový prostor $\LambP{\bullet}$, tedy:
\[ \LambP{0} \oplus \LambP{1} \oplus \ldots \oplus \LambP{n} = \LambP{\bullet}.
\]
K němu příslušný vektorový fibrovaný prostor (tj. vybudovaný podobně jako výše) značíme $\Lambda^\bullet (\kotecnA)$ nebo {\boldmath $\LambA{\bullet}$}. Prostor jeho řezů značíme {\boldmath $\Omega^\bullet (M)$}$ = \Gamma (\LambA{\bullet})$.
\begin{defi}
Prvky $\Om{\bullet}$ nazýváme \textbf{diferenciální formy} na varietě $M$.
\end{defi}
\begin{pozn}
Každá diferenciální forma $\omega \in \Om{\bullet}$ se dá jednoznačně rozložit na $\omega (p) = \sum_{k=0}^n \omega^{(k)}$, kde $\omega^{(k)} \in \Om{k}$, tj. lokálně:
\[ \omega (p) = \sum_{k=0}^n \omega^{(k)}, \quad \text{kde} \quad\omega^{(k)} (p) = \sum_{|J| = k} \omega_{\overrightharpoon{J}} (p) \dx^{\overrightharpoon{J}}.
\]
\end{pozn}
