Součásti dokumentu 02GMF1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GMF1}
\chapter{Variety s dodatečnou strukturou}
VZHLEDEM K NE ZCELA PŘESNÝM ZÁPISKŮM Z PŘEDNÁŠEK NENÍ TATO KAPITOLA ZPRACOVÁNA V CELISTVÉ PODOBĚ A DOST VĚCÍ CHYBÍ NEBO JSOU NEPŘESNÉ!
\begin{pozn}
Mějme vektorové prostory $V$ a $W$ konečných dimenzí. Pak zobrazení $A: V \rightarrow W$ je lineární $\Leftrightarrow$ $A: V \times W^\ast \rightarrow \R$ je bilineární $\Leftrightarrow$ $A: V \otimes W^\ast \rightarrow \R$ je lineární. Prostory lineárních zobrazení a lineárních funkcionálů jsou tedy kanonicky sdružené.
\end{pozn}
\begin{defi}
\textbf{Tenzor {\boldmath $q$}-krát kovariantní a {\boldmath $r$}-krát kontravariantní} na varietě $M$ je zobrazení, které $p \in M$ přiřadí $T(p) \in (\kotecn)^{\otimes q} \otimes (\tecn)^{\otimes r}$. Neboli tenzor $T$ je multilineární zobrazení \mbox{$T: (\cX)^{\times q} \times (\Om{1})^{\times r} \rightarrow \Cnek$}.
\end{defi}
\begin{defi}
\textbf{Metrika} na varietě $M$ je kovariantní symetrický tenzor 2. řádu na $M$ nedegenerovaný v každém bodě $p \in M$.
\end{defi}
\begin{pozn}
Varietu $M$ s metrikou $g$ značíme $(M,g)$.
\end{pozn}
\begin{defi}
Metrika $g$ na varietě $M$ se nazývá
\begin{itemize}
\item \textbf{riemannovská} $\Leftrightarrow$ $\forall p \in M$ je $g(p)$ pozitivně definitní.
\item \textbf{Lorentzova (pseudoriemannovská)} $\Leftrightarrow$ $\forall p \in M$ má $g(p)$ signaturu $(\dim M - 1, 1)$.
\end{itemize}
\end{defi}
\begin{pozn}
Někdy se používá definice se signaturou $(1, \dim M - 1)$. Je to podobné, jako kdybychom v Riemannovské metrice měli negativní definitnost.
\end{pozn}
\begin{pozn}
Metrika umožňuje měřit délky tečných vektorů. Na varietě může být zavedeno více metrik, je třeba vždy uvést, kterou uvažujeme.
\end{pozn}
Metrika se při změně souřadnic transformuje způsobem ($p \in M$, $g_{ij} (p) = g_{ji} (p)$):
\[ g(p) = g_{ij}(p) \, \dx^i \otimes \dx^j \equiv g_{ij} (p) \dx^i \dx^j \quad \rightarrow \quad g(p) = g'_{ij}(p) \, \dx'^i \otimes \dx'^j, \text{ kde } g'_{ij} = \pderA{x^a}{x'^i} g_{ij} \pderA{x^b}{x'^j}
\]
\begin{defi}
Nechť je $M$ vnořená podvarieta $N$, $\Phi: M \rightarrow N$ a $g$ riemannovská metrika na $N$. Pak $\Phi^\star g$ definuje Riemannovskou metriku na $M$. Tato metrika se nazývá \textbf{indukovaná metrika}.
\end{defi}
\begin{pozn}
Metrika umožňuje vzájemně jednoznačně zobrazit $\tecn$ a $\kotecn$ pomocí zobrazení $\flat: \tecn \rightarrow \kotecn$ a $\sharp (p): \kotecn \rightarrow \tecn$, pro která platí $\flat \circ \sharp = id$ a
\[ \flat (p) V(W) = g(V,W), \quad g(\sharp(p) \alpha, V) = \alpha(V), \quad \forall V, W \in \tecn
\]
\end{pozn}
\begin{defi}
\textbf{(Afinní) konexe} (někdy též \textbf{kovariantní derivace}, angl. affine connection) na varietě $M$ je zobrazení $\nabla: \cX \times \cX \rightarrow \cX$ vyhovující vztahům ($\forall f \in \Cnek$, $\forall a \in \R$, $\forall X, Y, Z \in \cX$, $\nabla (X,Y) \equiv \nabla_X (Y)$):
\begin{enumerate}
\item $\nabla_{f X + Y} (Z) = f \nabla_X (Z) + \nabla_Y (Z)$
\item $\nabla_X (a Y + Z) = a \nabla_X (Y) + \nabla_X (Z)$
\item $\nabla_X (f Y) = f \nabla_X (Y) + (X f) Y$
\end{enumerate}
\end{defi}
\begin{pozn}
Kvůli třetí podmínce není konexe tenzor.
\end{pozn}
Mějme na $U = U^\circ \subset M$ referenční souřadný systém, tj. $e_1, \ldots, e_n \in \cXA{U}$, $(\restr{e_1}{p}, \ldots, \restr{e_n}{p})$ je LN $\forall p \in U$. Pak definujeme složky konexe $\nabla$ vzhledem k $(e_1, \dots, e_n)$, které značíme $\Gamma_{ij}^k$ a které splňují $(X =X^i e_i, Y = Y^i e_i, X^i, Y^i \in \CnekA{U})$:
\[ \nabla e_i (e_j) (p) = \Gamma_{ij}^k (p) e_k (p)
\]
\[ \nabla_X (Y) = X^i \nabla_{e_i} (Y^j e_j) = X^i Y^j \Gamma_{ij}^k e_k + X^i e_i (Y^j) \, e_j = X^i Y^j \Gamma_{ij}^k e_k + X (Y^j) e_j
\]
\begin{defi}
\textbf{Tenzor torze} konexe $\nabla$ je zobrazení $T: \cX \times \cX \rightarrow \cX$ zadané vztahem $(\forall X, Y \in \cX)$:
\[ T(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y].
\]
\end{defi}
\begin{defi}
\textbf{Tenzor křivosti} konexe $\nabla$ je definován vztahem $(\forall X, Y, Z \in \cX)$:
\[ R (X,Y) Z = \nabla_X (\nabla_Y Z) - \nabla_Y (\nabla_X Z) - \nabla_{[X,Y]} Z.
\]
\end{defi}
\begin{pozn}
Máme-li varietu s metrikou $(M,g)$, pak na $M$ existuje význačná konexe, která se nazývá \textbf{Levi-Civitova}, splňuje vztah $X(g(Y,Z)) = g(\nabla_X Y, Z) + g(Y, \nabla_X Z)$ a pro její torzi platí $T \equiv 0$.
\end{pozn}
Mějme $(M,g)$ s orientací $\sigma$, pak na $M$ existuje význačná forma maximálního stupně s předpisem
\[ \omega_g = \text{vol}_g = \sigma \left( \pder{x^1}, \ldots, \pder{x^n} \right) \ \sqrt{|\det g|} \ \dx^1 \! \wedge \ldots \wedge \dx^n.
\]
\begin{defi}
$(M,g), f \in \Cnek$:
\[ \int_M f = \int_M f \omega_g
\]
\end{defi}
