01VYMA:Kapitola3

\section{Funkce komplexní proměnné} \subsection{Základní pojmy} \defi{Funkce komplexní proměnné} Řekněme, že na množině $M \cC$ je dána {\it funkce $f$ komplexní proměnné}, je-li každému $z\zC$ přiřazeno právě jedno komplexní číslo $w\zC$. Potom značíme $ w=f(z)$ $\forall z \in M$.

\pozn{Reálná a imaginární složka FKP} $z=\reca\, z + i \, \imca\, z$\\ $w=\reca\, w + i \, \imca\, z$\\ Pro komplexní FKP $f$ $\exists u,v: \R^2 \rightarrow \R$ takové, že

$f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)$, $x,y \zR$\\

$ u(x,y)=\reca f(x+iy) $ reálná a \\ $ v(x,y)=\imca f(x+iy) $ imaginární složka FKP \\

\pr{} $f(z)=z^2$\\ $ z = x+iy$, kde $x,y \zR$\\ $f(x+iy)=(x+iy)^2=x^2+2ixy-y^2=\underbrace{x^2-y^2}_{u(x,y)}+ i \underbrace{2xy}_{v(x,y)}$ \\ $u,v$ jsou definované $\forall [x,y] \in \R^2 \Leftrightarrow f $ je definována $\forall z \zC$.

\defi{Komplexní nekonečno} %Limita a spojitost FKP\\ Rozšíříme \textbf{C} o komplexní nekonečno $ \overline{\textbf{C}} = \textbf{C} \cup \{\infty\} $\\ operace s nekonečnem: \begin{itemize} \item $ z \pm \infty = \infty \qquad \forall z \in \overline{\textbf{C}}$ \item $ z \cdot \infty = \infty \qquad \forall z \zC \backslash \{0\}$ % PRUH??? \item $ \frac {z} {\infty} = 0 \qquad \forall z \zC$ \item $ \frac {z} {0} = \infty \qquad \forall z \in \overline{\textbf{C}} \backslash \{0\}$ \end{itemize}

nedefinujeme tyto neurčité výrazy: $ \infty + \infty,\ 0 \cdot \infty,\ \frac{0}{0},\ \frac{\infty}{\infty}$\\

\subsection{Limita a spojitost FKP}

\defi{Okolí bodu} $\forall \varepsilon > 0$ rozumíme $\varepsilon$-okolí bodu $z_0 \zC$ množinu $H_\varepsilon ({z_0})=\{ z \zC , |z-z_0| < \varepsilon \}$\\ $\varepsilon$-okolí nekonečna: $H_\varepsilon ({z_0})=\{ z \zC , |z-z_0| > \varepsilon \}$\\ Nechť $z_0\zCp$ je hromadný bod definičního oboru fce $f$. Řekneme, že fce $f$ má v bodě $z_0$ limitu rovnou $w \zCp$ a píšeme $ w=\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z) $, právě tehdy když \\ $$

 \left( \forall H(w) \right)
\left( \exists H(z_0) \right)
\left( \forall z \in H(z_0) \cap D_f \backslash \{z_0\} \right)
\left( f(z) \in H(w) \right)  \Leftrightarrow

$$

\Leftrightarrow
\left( \forall \varepsilon > 0  \right)
\left(  \exists \delta > 0 \right)
\left( \forall z \in D_f, 0<|z-z_0|<\delta \right)
\left( |f(z)-w| < \varepsilon \right)

$$

Speciálně pro: \begin{itemize} \item $ z\zC, w=\infty \\ \left( \forall \varepsilon > 0 \right) \left( \exists \delta > 0 \right) \underbrace{ \left( \forall z \in D_f, 0<|z-z_0|<\delta \right) }_{z \in U^*_\delta (z_0)} \underbrace{\left( |f(z)-w| > \varepsilon \right)}_{\rightarrow \infty} $ \item $ z=\infty, w\zC \\ \left( \forall \varepsilon > 0 \right) \left( \exists \delta > 0 \right) \left( \forall z \in D_f, 0<|z|>\delta \right) \left( |f(z)-w| < \varepsilon \right) $

\item $ z=\infty, w=\infty \\ \left( \forall \varepsilon > 0 \right) \left( \exists \delta > 0 \right) \left( \forall z \in D_f, 0<|z|>\delta \right) \left( |f(z)-w| > \varepsilon \right) $

\end{itemize}

\pozn{} Speciálně pro posloupnosti $D_f = {\bf N} \quad (a_n)_{n \in {\bf N}}: {\bf N} \rightarrow {\bf C}$\\ $ \lim\limits_{n \rightarrow + \infty}=a \zCp \Leftrightarrow \left( \forall H(a) \right) \left( \exists n_0 \zR \right) \left( \forall n \in {\bf N}, n > n_0) \right) \left( a_n \in H(a) \right) $

\pozn{} Podobně jako v \R platí v \C věty o limitách součtu, rozdílu, součinu a podílu limit, pokud je příslušný součet, rozdíl, součin respektive podíl definován v \C.\\ Narozdíl od \R platí v \C :\\ \centerline{ $ z_n \rightarrow \infty \Leftrightarrow |z_n| \rightarrow + \infty$ \hskip 20 pt v \R pouze "$\Rightarrow$" } \centerline{ $ z_n \rightarrow 0 \Leftrightarrow \frac {1} {z_n} \rightarrow \infty$ \hskip 20 pt v \R pouze "$\Leftarrow$"}

\defi{} Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $z_0 \zC$, pokud je v $z_0$ definována a platí $\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z) -= f(z_0)$.\\ Funkce definovaná na $M\cC \Leftrightarrow$ je spojitá v každém bodě $z_0 \in M$.

\veta{} Funkce je spojitá v bodě $z_0 \zC \Leftrightarrow$ její složky $u,v$ jsou spojité v funkce v bodě $ [x_0,y_0] \zR^2$, kde $z_0=x_0+iy_0$.

\pr{} $f(z)=\frac 1 z \qquad D_f = \C \backslash \{0\}$ \\ $$f(x+iy)= \frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}$$

$$ u(x,y) =\frac{x}{x^2+y^2}; \qquad v(x,y) =\frac{-y}{x^2+y^2}$$

$$x^2+y^2 = 0 \Leftrightarrow [x,y]=[0,0] \Leftrightarrow z=0$$ $ {u \choose v} :{\bf R^2} \rightarrow {\bf R^2} $ je spojité $\forall [x,y] \in {\bf R^2} \backslash [0,0] \Leftrightarrow$ f je spojité $ \forall z \zC \backslash \{0\}$

\pr{} $ \arg z \qquad \forall z \zC \quad \arg z \zR \in (-{\rm \pi},{\rm \pi}>$\\ $\displaystyle \cos \varphi = \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}} \qquad z=x+iy \qquad x,y \in \R$

$$

 \arg z = 	\begin{cases}

\arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y \geq 0 \\ - \arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y < 0 \end{cases} $$

$$ u(x,y) = \begin{cases} \arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y \geq 0 \\ - \arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y < 0 \end{cases} $$

\centerline{$v(x,y)=0 \qquad \forall x,y \in \R$ }

\begin{itemize} \item $x>0, y=0$\\ $ \lim\limits_{[x,y]\rightarrow [x_0,0]} u(x,y)=0$

\item $x_0 <0,y_0=0$\\ $\lim\limits_{[x,y]\rightarrow [x_0,0]} u(x,y)=\arccos(-1)={\rm \pi}$

\item $y_0>0$\\ $\lim\limits_{[x,y]\rightarrow [x_0,0]} u(x,y)=-{\rm \pi}$

\end{itemize}

{\large Celkově limita neexistuje}\\ $\arg z$ je spojitá na $\C \backslash P_{\theta}$, kde $P_{\theta} = \{ \alpha (\cos \theta + i \cos \theta) | \alpha \geq 0 \}$. Na $P_\theta$ má $\arg z$ skok v reálné složce o velikosti $2{\rm \pi}$.

\pr{} Fce $f(z)=|z|$ je spojitá funkce na \C.

\subsection {Elementární FKP}

\defi{} \begin{itemize} \item $ \displaystyle e^z = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!}\qquad$ mocninná řada s $\rho=+\infty$ \item $\displaystyle \cos z= \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}\qquad$ mocninná řada s $\rho=+\infty$ \item $\displaystyle \sin z= \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}\qquad$ mocninná řada s $\rho=+\infty$ \end{itemize}

\par Za pomoci těchto definic můžeme získat {\it Eulerův vzorec}:\\

$ \displaystyle e^{iz}= \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{i^n z^n}{n!} =  \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)! } + i \cdot \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!}=\cos z + i \sin z \qquad \forall z \zC$\\

$\Rightarrow $ každé $z \zC$ lez psát ve tvaru $z=|z|e^{i\phi}$, kde $\varphi \in$ Arg $(z)$

$$e^{iz} = \cos z + i \sin z \qquad e^{-iz} = \cos z - i \sin z $$ sečtením těchto dvou rovností získáme: $$ \cos z = \frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2} \qquad \cosh z = \frac {e^{z}+e^{-z}}{2}$$ odečtením získáme: $$ \sin z = \frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\qquad \sinh z = \frac {e^{z}-e^{-z}}{2}$$

\veta{} $ \displaystyle \forall z,w \zC: \quad e^{z+w}=e^z e^w$\\ Důkaz: $ \displaystyle e^z e^w= \left( \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!} \right) \left( \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{w^k}{k!} \right) = \sum^{+\infty}_{n=0} \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{z^n}{n!} \frac{w^n-k}{n-k!} = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac {1}{n!} \sum^{n}_{k=0} {n \choose k} z^k w^{n-k}= \sum^{+\infty}_{n=0} \frac {(z+w)^n}{n!}=e^{z+w} $

\pr{Peridiciota exponenciály} $z= \underbrace{\reca z}_{x} + i \underbrace {\imca z}_{y}\\$ $e^z= e^x e^{iy}=e^x(\cos y + i \sin y) \\$ $|e^z| = | e^x e^{iy}|= |e^x|\underbrace{|e^{iy}|}_{1}=e^x$ \\

Hodnota  $|e^{iy}|=1$, protože $e^{iy}$ je bod jednotkové kružnice v komplexní rovině.\\

$ \displaystyle |e^z|=e^{\reca z}$\\ $y=\imca z \in $Arg$ (e^z)$\\ $$ \Rightarrow e^{z+ 2k{\rm \pi} i}=e^z \qquad \forall z \zC, \forall k \in {\bf Z}$$ \centerline{\emph{Exponenciála je v\C periodická funkce s periodou $2{\rm \pi} i$}}

\pr{Komplexní logaritmus} Pro zadané $w \zC$ řešte rovnici $e^z=w$ \\ hledáme množinu $Ln (w) = \{ z \zC, e^z = w\}=?$\\ $w=|w|e^{i\phi},\quad \varphi \in $Arg$(w)$\\ $z$ hledáme ve tvaru $x+iy,\quad x,y \zR$\\ $e^z=e^x e^{iy}=w \qquad$ na rovnici aplikuji abs.hodnotu\\ $e^x=|w| \quad \Rightarrow \quad x=\ln |w| $\\ $y \in Arg (w)$\\ $z=x+iy \in \ln |w| + i$ Arg$ (w)$\\ $$\Rightarrow Ln (w) = \ln |w| + i \mbox{Arg} (w) $$ Fci $e^z$ nelze invertovat na \C, protože není na \C prostá. V množině $Ln(w)$ existuje právě jedno číslo $z$ takové, že $\imca z \in (-{\rm \pi}, {\rm \pi}>$. Toto $z$ značíme $\ln w$ (přirozený logaritmus čísla $w$) = \emph{hlavní hodnota logaritmu}. $$\ln w = \ln |w| + i \arg (w)$$

\pozn{} Funkce $\ln w$ je definovaná $\forall w \zC \backslash \{0\}$.

\pozn{} Rovnice $e^z=w$ má řešení nejen $\ln w$, ale i $z_k= \ln w + 2k{\rm \pi} i, \quad k \in {\bf Z}$

\pozn{} $Ln (z\cdot w)= Ln(z)+Ln(w)$\\ $\ln (z\cdot w)=\ln (z) + \ln(w) + 2k{\rm \pi} i, \quad$ pro \emph{vhodně} zvolené $k$.

\defi{Obecná mocnina} $ \displaystyle z^w:=e^{w\ln z} \quad \forall z,w \zC, z \neq 0$

\pr{} $ \displaystyle \sqrt i = e^{{1 \over 2} \ln z} = \exp \left( {{1 \over 2}\cdot 1\cdot i {{\rm \pi} \over 2}}\right)= e^{i{{\rm \pi} \over 4}}$

\pozn{} Rovnice $ z^n=w$ má n řešení v \C ve tvaru $$ z_k=\sqrt[n]{w}\cdot e^{\frac{2k{\rm \pi}}{n}i} \quad k \in \hat{n} .$$

\subsection {Derivace FKP}

\defi{} Nechť funkce $f$ komplexní proměnné je definována na množině $M \cC$ a nechť je $z_0 \in M$ vnitřní \footnote{stačilo by, aby byl hromadný} bod $D_f$. Existuje-li konečná limita \\ $$ \lim\limits_{z \rightarrow_M z_0} \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}, $$ potom říkáme, že $f$ je diferencovatelná v bodě $z_0$ a tutu hodnotu značíme $f'(z_0)$.\\ Pokud je $f$ diferencovatelná v $z_0$ a na celém okolí $z$, pak říkáme, že $f$ je \emph{holomorfní} v $z_0$.\\ Pokud je $f$ diferencovatelná v každém bodě množiny $M$, pak říkáme, že $f$ je \emph{holomorfní} na $M$.

\pozn{} Je-li $f$ diferencovatelná v $z_0 \zC$ pak $f'(z_0)$ bude stejná, pokud $z \rightarrow z_0$ po libovolné cestě.

\par Nechť $z_0 = x_0 + iy_0$ \begin{enumerate} \item $z = x_0 + \Delta x + i y_0 \qquad \Delta x \zR \qquad$ přibližovanání $\leftrightarrow$\\ $f(x+iy)=u(x+iy)+i\cdot v(x+iy) \qquad u,v: {\bf R^2} \rightarrow \R$\\ $$f' (z_0)=f'(x_0+iy_0)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {u(x_0+\Delta x,y_0)+i\cdot v(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,iy_0)-v(x_0,iy_0)}{x_0+\Delta x + i y_0 - x_0 - iy_0}=$$ $$=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \left( \frac{u(x_0+\Delta x,y_0) - u(x_0,y_0)}{\Delta x} - i \frac{v(x_0+\Delta x,y_0) - v(x_0,y_0)}{\Delta x} \right)=$$ $$= \frac {\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) + i \frac {\partial v}{\partial x}(x_0,y_0) = f'(x_0+iy_0) $$

\item $z=x_0+i(y_0+\Delta y) \qquad \Delta y \zR$ přibližování $\updownarrow\\$ $$f'(x_0+iy_0)=\lim\limits_{\Delta y_0 \rightarrow 0}\frac{u(x_0,y_0+\Delta y)+i\cdot v (x_0,y_0+\Delta y) - u(x_0,y_0)-v(x_0,y_0)}{x_0+iy_0+i\Delta y-x_0-iy_0}=$$ $$ =\lim\limits_{\Delta y_0 \rightarrow 0} \left( \frac 1 i \frac{u(x_0,y_0+\Delta y) - u(x_0,y_0)}{\Delta y} - \frac i i \frac{v(x_0,y_0+\Delta y) - v(x_0,y_0)}{\Delta y} \right) = $$ $$= \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) - i \frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = f'(x_0+iy_0)$$ \end{enumerate}

Když je $f$ diferencovatelná, tak 1) musí být stejná jako 2) $\Rightarrow$ musí se rovnot reálné i imaginární části:\\

$$ \frac {\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)$$ $$ \frac {\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = - \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)$$ Tyto dvě rovnosti se nazývají \emph{Cauchy-Riemannovy podmínky}.

\veta{Cauchy Riemannova} % 343 Funkce $\C \rightarrow \C$ má v bodě $z_0=(x_0+iy_0), x_0,y_0 \zR$ derivaci, tehdy a jen tehdy mají-li funkce $u(x,y)=\reca f(x+iy)$ a $v(x,y)=\imca f\left(x+iy\right)$ totální diferenciál v bodě $[x_0,y_0]$ a platí-li Cauchy-Reimannovy podmínky.

\pr{} $$f(z)=e^{\overbrace{x+iy}^{z}}=e^x(\cos y + i \sin y)$$ $$u(x,y)=e^x \cos y$$ $$v(x,y)=e^x \sin y$$

\begin{center} $$ \mbox{spojité } \forall[x,y]\zR^2 \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=e^x \cos y \\ \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) = -e^x \sin y \\ \frac{\partial v}{\partial x}(x,y) =e^x \sin y \\ \frac {\partial v}{\partial y}(x,y)=e^x \cos y \end{cases} $$ \end{center} $\Rightarrow u,v$ mají totální diferenciál $\forall [x,y]\zR^2$\\ Cauchy-Riemannovy podmínky $ \frac {\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) \wedge \frac {\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = - \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)$ jsou splněny. Tedy $f$ je diferencovatelná všude v\C. $$f'(x+iy)= \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) + i \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) =e^x \cos y + i\cdot e^x \sin y=e^x(\cos y + i \sin y)=e^z=f'(z) $$

\pr{} Vyřešíme diferencovatelnost funkce $f(z)=z|z|$ $$f(x,y)=(x+iy)\sqrt{x^2+y^2}$$ $$u(x,y)=x\sqrt{x^2+y^2}$$ $$v(x,y)=y\sqrt{x^2+y^2}$$ $$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+x \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ $$\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ $$\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ $$\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+y\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x^2+2y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ Jsou definované a spojité $\forall [x,y] {\bf R^2} \backslash \{[0,0]\}$. Obecně neplatí Cauchy-Reimannovy podmínky, ale pro určitá $x,y$ jsou splněny. První $\Leftrightarrow x = \pm y$, druhá $xy=-xy \Leftrightarrow 2xy=0 \Leftrightarrow x=0 \vee y=0$. \\ $$ \exists f'(0)=0$$

\veta{} Nechť $f$ a $g$ jsou diferencovatelné v bodě $z \zC$ a nechť $c \zC$. Potom: $$(f\pm g)'(z)=f'(z)\pm g'(z)$$ $$(cf)'(z)=cf'(z)$$ $$(f \cdot g)'(z)=f'(z)g(z)+f(z)g'(z) $$ $$\left({f \over g}\right)'(z)= \frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)} \qquad \hbox{pokud} \, g(z) \neq 0$$

\veta{} Pokud je $f$ diferencovatelná v bodě $z\zC$, pak je i v bodě $z$ spojitá.

\pozn{} Obrácené tvrzení neplatí.

\veta{O derivaci složené funkce} Je-li $g$ diferencovatelná v $z\zC$ a $f$ je diferencovatelná v $g(z)$, potom $f\circ g$ je diferencovatelná v $z$ a platí: $$(f\circ g)'(z)=f'(g(z))\cdot g'(z)$$

\veta{O derivaci inverzní funkce} Nechť $f$ je holomorfní v oblasti $\Omega, f'(z) \neq 0, \forall z \in \Omega$. Je-li $f^{-1}$ inverzní funkce k funkce $f$ definovaná a spojitá na oblasti $\Omega' \subset f(\Omega)$. Potom $f^{-1}$ je holomorfní na $\Omega '$ a platí: $$ \left( f^{-1} \right) (z)=\frac {1}{f'(f^{-1}(z))} \quad \forall z \in \Omega '$$

\pr{} $f(z)= \ln (z) \dots $ inverzní funkce k $g(z)=e^z$ definovaná na množině $M, \forall z\zC$. $$g'(z)=\left[ f^{-1}(z) \right]'$$ $f$ je holomorfní na M $$ e^z = 0 \qquad z=x+iy \qquad x,y \zR $$ $$e^x e^{iy}= \underbrace{e^x}_{\neq 0} \underbrace{(\cos y + i \sin y)}_{\neq 0}=0 \qquad \forall z \in M $$ $$\Omega = M$$ $$ \Omega ' \subset f(M) = \C \backslash \{0\}$$ $$g(z)=\ln (z)$$ definovaná a spojitá na $\Omega '$ $$ \Rightarrow g'(z)= \frac {1}{e^{\ln z}}= \frac 1 z \qquad z \neq 0 \quad \forall z \in \C \backslash P_{\rm \pi}$$ $P_{\rm \pi}$ je polopřímka od počátku ve směru záporné části reálné osy. Na $P_{\rm \pi}$ je logaritmus nespojitý.

\subsection {Integrál FKP} \defi{Integrál komplexní funkce reálné proměnné} Pro funkci $f: \R \rightarrow \C$ definujeme: $$ \int_a^b f(x) {\rm d}x = \int_a^b \reca f(x) {\rm d}x + i \int_a^b \imca f(x) {\rm d}x$$

\defi{} \begin{itemize} \item Křivkou v\C nezveme libovolné spojité zobrazení nějakého uzavřeného intervalu $<a,b> \rightarrow \C$\\ \item Křivku $\varphi$ nazveme \emph{uzavřenou} pokud $\varphi(a)=\varphi(b)$\\ \item Křivku $\varphi$ nazveme \emph{jednoduchou} pokud $\varphi$ prosté na $<a,b>$ - sama sebe neprotíná\\ \item Křivku $\varphi$ nazveme \emph{jednoduchou uzavřenou = Jordanovou}, je-li $\varphi$ prosté na $<a,b)$ a $\varphi(a)=\varphi(b)$\\ \item Obor hodnot $\varphi$ značíme $\langle \varphi \rangle$ ... geometrický obraz křivky \item Řekneme, že křivka $\varphi$ je třídy $C^1$ (hladká), pokud má $\varphi$ v $<a,b>$ spojitou derivaci. \item Řekneme, že křivka $\varphi$ je po částech hladká (po částech třídy $C^1$), pokud ji lze rozložit na sjednocení konečně mnoha křivek třídy $C^1$. \end{itemize} \defi{Součet křivek} Součet křivek $\varphi: <a,b> \rightarrow \C$ a $\psi: <a,b> \rightarrow \C$ lze definovat, pokud $\varphi(b)=\psi(c)$\\ $$(\varphi \dot{+} \psi)(t)=\begin{cases} \varphi(t) \quad t \in <a,b> \\ \psi(t-b-c) \quad t \in <b,d+b-c> \end{cases} $$ $$(\varphi \dot{+} \psi)(t):<a,d+b-c> \rightarrow \C$$

\defi{Opačná křivka} Opačná křivka ke křivce $\varphi:<a,b> \rightarrow \C$ je $\dot{-}\varphi:<-b,-a> \rightarrow \C$, dána předpisem $\dot{-}\varphi(t)= \varphi(-t)$ pro $t \in <-b,-a>$

\pozn{} Je-li $\varphi$ křivka po částech třídy $C^1$. $\varphi (t)= x(t)+iy(t)$ pro $t\in <a,b>$,pak výraz $$S_\varphi := \int^b_a |\varphi ' (t)| {\rm d}t = \int^b_a \sqrt{\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)}{\rm d}t$$ je délka geometrického obrazu křivky. Dále platí: $$ S_{\varphi \dot{+} \psi}=S_\varphi + S_\psi $$ $$ S_{\dot{-}\varphi}=S_\varphi $$

\defi{Křivkový integrál prvního druhu} Nechť $\psi:<a,b> \rightarrow \C$ je po částech hladká křivka v \C a nechť FKP $f$ je spojitá na $\langle \varphi \rangle$. Potom klademe: $$ \int_a^b f (z) {\rm d}z := \int_a^b f (\varphi(t))\dot{\varphi}(t) {\rm d}t$$

\pr{} $ \displaystyle \int_\varphi z^2 {\rm d}z \qquad \varphi $ úsečka spojující $z_1=0$ a $z_2=1+i$ \\ $\varphi (t)=(1+i)t \quad t\in <0,1>$ \\ $ \dot\phi(t)=1+i$ $$\int_\varphi z^2 {\rm d}z = \int_0^1\left((1+i)t\right)^2(1+i){\rm d}t = (1+i)^3 \int^1_0 t^2 {\rm d}t = \frac {(1+i)^3}{3}= \frac{(2i-2)} {3}$$

\pr{} Popisy jedné $\langle \varphi \rangle$ pomocí dvou $\varphi_{1,2}$ $$ \varphi_1 (t)=e^{it} \qquad t\in <0,phi>$$ $$ \varphi_2 (t)=\sqrt{1-t^2} \qquad t\in <0,phi>$$

\pozn{} V reálné analýze platí: $$ \left| \int^b_a f(x){\rm d}x \right| \leq \int^b_a |f(x)|{\rm d}x,$$ ale v \C toto neplatí.

\veta{} Nechť $\varphi$ je křivka po částech třídy $C^1$ konečné délky $S_\varphi$ a nechť funkce $f$ je spojitá a omezená na $\langle \varphi \rangle$. Potom: $$ \left| \int_\varphi f(z){\rm d}z \right| \leq S_\varphi \cdot \max |f(z)|$$ Důkaz: $$ \left| \int_\varphi f(z){\rm d}z \right| = \left| \int_\varphi f(\varphi(t)) \dot{\varphi}(t){\rm d}t \right| \leq \int_a^b \underbrace{| f(\varphi(t))|}_{f \hbox{\small{omezená na}} \langle \varphi \rangle}|\dot{\varphi}(t)|{\rm d}t \leq \max_{z \in \langle \varphi \rangle}|f(z)| \int^b_a|\dot{\varphi}(t)|{\rm d}t =$$

$$= S_\varphi \cdot \max |f(z)|$$

\veta{} Jsou-li $\varphi$ a $\psi$ po částech hladké křivky v \C a $f$ a $g$ FKP spojité na $\langle \varphi \rangle$, resp. $<\psi>$, $\alpha, \beta \in \C$, potom platí: \begin{itemize} \item linearita $ \int_\varphi \alpha f(z) + \beta g(z) {\rm d}z = \alpha \int_\varphi f(z) {\rm d}z + \beta \int_\varphi g (z) {\rm d}z$ \item aditivita v mezích $\int_{\varphi \dot{+} \psi} f(z){\rm d}z= \int_\varphi f(z){\rm d}z + \int_\psi f(z){\rm d}z$ \item $\int_{\dot{-}\varphi} f(z){\rm d}z = - \int_{\varphi} f(z){\rm d}z $ \end{itemize}

\defi{Primitivní funkce} Nechť $f$ a $F$ jsou FKP takové, že $F'(z)=f(z) \quad \forall z \in \Omega$ ($\Omega$ otevřená podmnožina v \C). Pak říkáme, že $F$ je primitivní funkce k $f$ na $\Omega$.

\veta{} Jsou-li $F$ a $G$ primitivní funkce k funkcím $f$ a $g$ na otevřené množině $\Omega \subset \C$ a jsou-li $\alpha, \beta \in \C$, pak $\alpha F + \beta G$ jsou primitivni fuknce k $\alpha f + \beta g$ na $\Omega$.\\ Je-li $F$ primitivní funkce k $f$ na $\Omega \in \C$ a je-li $C \in \C$ libovolná konstanta, potom je $F+C$ primitivní funkce k $f$ na $\Omega$.\\ Jsou-li $F$ a $G$ primitivní funkce k $f$ a $g$ na $\Omega \subset \C$ a je-li $H$ primitivní funkce k $fG$ na $\Omega$, potom funkce $FG-H$ je primitivní funkce k $Fg$ na $\Omega$. \\ \par $\varphi \ldots$ po částech hladká křivka\\ $F$ je primitivní funkce k $f$ na oblasti $\Omega \subset \C$, která obssahuje $\langle \varphi \rangle$. Vyšetřujeme: $$\int_\varphi f(z) {\rm d}z = \int_a^b f(\varphi(t))\dot(\varphi)(t){\rm d}t = \int_a^b \underbrace{F'(\varphi(t))}_{\frac{d}{{\rm d}t}\left( F'(\varphi(t)\right)}{\rm d}t =\left[ F(\varphi(t)) \right]^b_a=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))$$

\subsubsection{Důsledky} Má-li $f$ v oblasti $\Omega \subset \C$ primitivní funkce, potom: \begin{enumerate} \item $\int_\varphi f(z){\rm d}z=0 \qquad \forall$ uzavřenou křivku $\varphi$, pro kterou $\langle \varphi \rangle \subset \Omega$ \item $\int_\varphi f(z){\rm d}z$ nezávisí na integrační cestě $\varphi$ v $\Omega$, ale pouze na počátečním a koncovém bodu křivky, tj.: $$\int_\varphi f(z){\rm d}z=\int_\psi f(z){\rm d}z,$$ kde $\varphi:<a,b> \rightarrow \C \quad \psi:<c,d> \rightarrow \C$\\ $\varphi(a)=\psi(c) \quad \varphi(b)=\psi(d)$\\ $\langle \varphi \rangle \subset \Omega, <\psi> \subset \Omega$ \end{enumerate}

\pr{} Vypočtěte: $\int_\varphi (z-z_0)^n {\rm d}z \qquad n \in {\bf Z} $ \\ $\varphi$ je kladně orientovaná kružnice se středem $z_0$ a poloměrem $R>0$\\ $\varphi(t)=z_0 + Re^{it} \qquad t\in <0,2{\rm \pi}>$\\ $\dot{\varphi}(t)= iRe^{it}$ $$ \int_\varphi (z-z_0)^n {\rm d}z = \int_0^{2{\rm \pi}} (Re^{it})^n Rie^{it} {\rm d}t = \int_0^{2{\rm \pi}} i R^{n+1} e^{i(n+1)t}{\rm d}t=\oslash$$ \begin{itemize} \item $n \neq -1 \quad \oslash=R^{n+1}i \left[ \frac{e^{i(n+1)t}}{i(n+1)} \right]^{2{\rm \pi}}_{0}=\frac{iR^{n+1}}{i(n+1)}\left( e^{2{\rm \pi} i (n+1)} - e^0\right)=\footnote{\hbox{Exponenciála je $2{\rm \pi} i$ periodická funkce}}0$

\item $n=-1 \quad \oslash = \int_\varphi \frac{1}{z-z_0}{\rm d}z = i \int^{2{\rm \pi}}_0 e^{0\cdot t}{\rm d}t = i \int^{2{\rm \pi}}_0 1 {\rm d}t = 2 {\rm \pi} i$ \end{itemize} Tento výsledek není v rozporu s předchozí větou $f(z)= \frac {1} {z-z_0}$ má primitivní funkci $F(z)=\ln(z-z_0)$. $F'(z)=f(z)$ platí $\forall z \zC \backslash P_{\rm \pi} = \Omega$. Hodnota skoku $f$ na $P_{\rm \pi}$ je právě $2{\rm \pi} i$.

\pozn{} Libovolná Jordanova křivka (uzavřená a jednoduchá v \C) rozděluje \C na 2 komponenty z nichž právě jedna je omezená - Int $\varphi$, tzv."vnitřek křivky". Druhá je neomezená - Ext $\varphi$, tzv."vnějšek křivky".

\veta{Cauchyho věta} Nechť $f$ je holomorfní na otevřené množině $\Omega \subset \C$ a nechť $\varphi$ je po částech hlaská Jordanova křivka taková, že $\overline{\hbox{Int} \varphi} \subset \Omega$. Potom: $$ \int_\varphi f(z) {\rm d}z = 0$$ Důkaz: $z=x+iy \qquad x,y \zR \qquad f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$\\ $\varphi: <a,b> \rightarrow \C$\\ $\varphi (t) = x(t) + i y(t)$\\ $\dot{\varphi} (t) = \dot{x}(t) + i \dot{y}(t)$\\ $$ \int_\varphi f(z){\rm d}z= \int^b_a f(\varphi(t))(\dot\phi)(t){\rm d}t=\int^b_a [u(x(t),y(t))+iv(x(t),y(t))][\dot{x}(t)+i\dot{y}(t)]{\rm d}t=$$ $$= \int^b_a u(x(t),y(t))\dot{x}(t)-v(x(t),y(t))\dot{y}(t){\rm d}t+i \int^b_a u(x(t),y(t))\dot{y}(t)-v(x(t),y(t))\dot{x}(t){\rm d}t =$$ $$= \int_\varphi u {\rm d}x - v dy + i\int_\varphi u dy + v {\rm d}x \underbrace{=}_{\hbox{Greenova věta}} \int_{Int \varphi} \underbrace{ \left[ \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} \right]}_{=0} {\rm d}x\, dy + i \int_{Int \varphi} \underbrace{ \left[ \frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x} \right]}_{=0}{\rm d}x\, dy=$$ $$ = 0 $$ Hranaté závorky jsou nulové díky platnosti Cauchy-Riemannových podmínek.

\subsubsection{Důsledky:}

Nechť $\varphi$ a $\psi$ jsou stejně orientované , po částech hladké Jordanovy křivky takové, že $\langle \varphi \rangle \subset Int \psi$ a nechť funkce $f$ je holomorfní na oblasti $\Omega$ obsahující $\overline{Int \psi} \, \backslash \, Int \varphi$. Potom: $$ \int_\varphi f(z) {\rm d}z =\int_\psi f(z) {\rm d}z$$
Důkaz: $$\int_\varphi f(z) {\rm d}z = \int_{\varphi_1 \dot{+} \varphi_2} f(z) {\rm d}z =   \int_{\varphi_1 \dot{+} \varphi_4 \dot{-} \psi_1 \dot{+} \varphi_3} f(z) {\rm d}z +  \int_{\varphi_2 \dot{-} \varphi_3 \dot{-} \psi_2 \dot{-} \varphi_4} f(z) {\rm d}z +\int_{\psi_1 \dot{+} \psi_2} f(z) {\rm d}z =$$ $$= \int_\psi f(z) {\rm d}z$$

\pozn{} Body, v nichž funkce $f$ není holomorfní nezveme \emph{singulární}. Věta říká, že integrál z $f$ se nezmění pokud křivky $\varphi$ a $\psi$ mají stejnou orientaci a obě obíhají stejné singulární body.

\defi{Index bodu} Nechť $\psi$ je po částech hladká, uzavřená křivka (ne nutně Jordanova) a $z_0 \zC \, \backslash \, \langle \varphi \rangle$. Index bodu $z_0$ vzhledek ke křivce $\varphi$ je definován předpisem: $$ \ind_\varphi z_0 = \frac {1} {2 {\rm \pi} i} \int_\varphi \frac {{\rm d}z}{z-z_0}$$

\pozn{} Vlastnosti $\ind_\varphi z_0$. Nechť $\varphi$ je Jordanova křivka. Funkce $f(z)=\frac{1}{z-z_0}$ je holomorfní $\forall z \zC \, \backslash \, {z_0}$.
\begin{itemize}
	\item $z_0 \in Ext \varphi \Rightarrow \ind_\varphi z_0= 0$ z Cauchyho věty
	\item $z_0 \in Int \varphi \Rightarrow \ind_\varphi z_0=\frac {1} {2 {\rm \pi} i} \underbrace{\int_\psi \frac {{\rm d}z}{z-z_0}}_{2 {\rm \pi} i} = 1$, kde $\psi$ je dost malá kružnice se středem v $z_0$ a poloměrem takovým, že $<\psi> \subset Int \varphi$
\end{itemize}
Pokud $z_0 \in Int \varphi$ a $\varphi$ je záporně orientovaná, pak $$\ind_\varphi z_0=\frac {1} {2 {\rm \pi} i} \int_\psi \frac {{\rm d}z}{z-z_0} = -1$$ $\psi$ je \emph{záporně} orientovaná kružnice se středem $z_0$ a poloměrem $R>0$ dost malým, aby křivka $<\psi> \subset Int \varphi$.\\
Pokud je $\varphi$ uzavřená,ale ne Jordanova $\ind_\varphi z_0 \in {\bf Z}$ udává počet oběhu daného bodu křivkou $\varphi$, oběhy v kladném smyslu se přičítají, v záporném odečítají.

\veta{Cauchyho integrální vzorec} Nechť $\varphi$ je po částech hladká Jordanova křivka a nechť $f$ je holomorfní na obslati $\Omega \supset \overline{Int \varphi}$. Potom $\forall z_0 \in Int \varphi$ platí: $$f(z_0)= \frac {1}{2{\rm \pi} i \cdot \ind_\varphi z_0} \int_\varphi \frac{f(z) {\rm d}z}{z-z_0}$$ Hodnoty holomorfní funkce v Int $\varphi$ jsou jednoznačně určeny hodnotami $f$ na $\langle \varphi \rangle$.\footnote{Například v elektrostatice u potenciálu. Hodnoty potenciálu na povrchu tělesa určují hodnoty potenciálu uvnitř tělesa.}\\ Důkaz: $$\frac {1}{2{\rm \pi} i \cdot \ind_\varphi z_0} \int_\varphi \frac{f(z) {\rm d}z}{z-z_0}=\frac {1}{2{\rm \pi} i \cdot \ind_\varphi z_0} \left[ \underbrace{ \int_\varphi \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z }_{I_1} + \int_\varphi \frac{f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z \right] $$

Křivka $\psi \ldots$ malá kružnice se středem $z_0$ s poloměrem $R>0$. $\langle \psi \rangle \subset Int \varphi$, stejně orientovaná jako $\varphi$. $$ I_1 = \int_\psi \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z$$ $$|I_1|=\left|\int_\psi \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z \right| \leq 2 {\rm \pi} R \cdot \max_{z \in \langle \psi \rangle} \underbrace{ \left| \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right| }_{\hbox{spojitá fce na $\langle \psi \rangle$}} $$

pro $R \rightarrow 0 \quad \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \longmapsto f'(z_0)$\\ pro $R \in H^+_0$ lze hodnoty $\left| \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right|$ odhadnout shora pomocí konstanty $M>0$ $$ |I_1| \leq 2 {\rm \pi} R M \qquad | \lim\limits_{R \rightarrow 0}$$ $$ |I_1| = 0 \Rightarrow I_1 = 0 $$ $$ \frac {(\ind_\varphi z_0)^{-1}} {2 {\rm \pi} i } \int\limits_\varphi \frac {f(z)}{z-z_0}{\rm d}z = 0 + \frac {f(z_0)} {\ind_\varphi z_0} \frac {1} {2 {\rm \pi} i } \int\limits_\varphi \frac {{\rm d}z}{z-z_0}$$

\pr{}

\veta{Rozvoj holomorfní funkce v mocninou řadu} Nechť $f$ je holomorfní v kruhu $B(z_0,R)$, kde $R>0$. Potom $\forall z \in B(z_0,R)$ platí: $$ f(z) = \sum^{+\infty}_{n=0} a_n (z-z_0)^n,$$ $$ \hbox {kde } a_n = \frac{1}{2 {\rm \pi} i} \int\limits_\varphi \frac {f(\xi)}{(\xi - z_0)^{n+1}} {\rm d} \xi $$

a $\varphi$ je kladně orientovaná po částech hladká Jordanova křivka taková, že $\langle \varphi \rangle \subset B(z_0,R)$ a $ z_0 \in Int \varphi$.

\subsubsection{Důsledek: Cauchyho integrální vzorec pro derivace}

\pozn{}

\pr{}

\pozn{}