01VYMA:Kapitola3: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: \section{Funkce komplexní proměnné} \subsection{Základní pojmy} \defi{Funkce komplexní proměnné} Řekněme, že na množině $M \cC$ je dána {\it funkce $f$ kompl...)
 
m
 
(Nejsou zobrazeny 4 mezilehlé verze od 3 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
\section{Funkce komplexní proměnné}
+
%\wikiskriptum{01VYMA}
\subsection{Základní pojmy}
+
\defi{Funkce komplexní proměnné}  Řekněme, že na množině $M \cC$ je dána {\it funkce $f$ komplexní proměnné}, je-li každému $z\zC$ přiřazeno právě jedno komplexní číslo $w\zC$. Potom značíme $ w=f(z)$ $\forall z \in M$.
+
  
\pozn{Reálná a imaginární složka FKP}
+
\section{Laurentovy řady}
$z=\reca\, z + i \, \imca\, z$\\
+
Zobecnění mocniných řad.
$w=\reca\, w + i \, \imca\, z$\\
+
Pro komplexní FKP $f$  $\exists u,v: \R^2 \rightarrow \R$ takové, že
+
$f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)$, $x,y \zR$\\
+
$ u(x,y)=\reca f(x+iy) $ reálná a  \\
+
$ v(x,y)=\imca f(x+iy)  $ imaginární složka FKP \\
+
  
 
+
\subsection{Laurentovy řady}
\pr{} $f(z)=z^2$\\
+
$ z = x+iy$, kde $x,y \zR$\\
+
$f(x+iy)=(x+iy)^2=x^2+2ixy-y^2=\underbrace{x^2-y^2}_{u(x,y)}+ i \underbrace{2xy}_{v(x,y)}$ \\
+
$u,v$ jsou definované $\forall [x,y] \in \R^2 \Leftrightarrow f $ je definována $\forall z \zC$.
+
 
+
\defi{Komplexní nekonečno} %Limita a spojitost FKP\\
+
Rozšíříme \textbf{C} o komplexní nekonečno $  \overline{\textbf{C}} = \textbf{C} \cup \{\infty\}  $\\
+
operace s nekonečnem:
+
\begin{itemize}
+
\item $ z \pm \infty = \infty \qquad \forall z \in \overline{\textbf{C}}$
+
\item $ z \cdot \infty = \infty \qquad \forall z \zC \backslash \{0\}$ % PRUH???
+
\item $ \frac {z}  {\infty} = 0 \qquad \forall z \zC$
+
\item $ \frac {z}  {0} = \infty \qquad \forall z \in \overline{\textbf{C}} \backslash \{0\}$
+
\end{itemize}
+
 
+
nedefinujeme tyto neurčité výrazy: $ \infty + \infty,\  0 \cdot \infty,\  \frac{0}{0},\  \frac{\infty}{\infty}$\\
+
 
+
 
+
\subsection{Limita a spojitost FKP}
+
 
+
\defi{Okolí bodu}
+
$\forall \varepsilon > 0$ rozumíme $\varepsilon$-okolí bodu $z_0 \zC$ množinu $H_\varepsilon ({z_0})=\{ z \zC , |z-z_0| < \varepsilon \}$\\
+
$\varepsilon$-okolí nekonečna: $H_\varepsilon ({z_0})=\{ z \zC , |z-z_0| > \varepsilon \}$\\
+
Nechť $z_0\zCp$ je hromadný bod definičního oboru fce $f$. Řekneme, že fce $f$ má v bodě $z_0$ limitu rovnou $w \zCp$ a píšeme $ w=\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z) $, právě tehdy když \\
+
$$
+
  \left( \forall H(w) \right)
+
\left( \exists H(z_0) \right)
+
\left( \forall z \in H(z_0) \cap D_f \backslash \{z_0\} \right)
+
\left( f(z) \in H(w) \right)  \Leftrightarrow
+
$$
+
 
+
$$
+
\Leftrightarrow
+
\left( \forall \varepsilon > 0  \right)
+
\left(  \exists \delta > 0 \right)
+
\left( \forall z \in D_f, 0<|z-z_0|<\delta \right)
+
\left( |f(z)-w| < \varepsilon \right)
+
$$
+
 
+
Speciálně pro:
+
\begin{itemize}
+
\item $
+
z\zC, w=\infty \\  \left( \forall \varepsilon > 0  \right)
+
\left(  \exists \delta > 0 \right)
+
\underbrace{ \left( \forall z \in D_f, 0<|z-z_0|<\delta \right) }_{z \in U^*_\delta (z_0)}
+
\underbrace{\left( |f(z)-w| > \varepsilon \right)}_{\rightarrow \infty}
+
$
+
\item $
+
z=\infty, w\zC \\  \left( \forall \varepsilon > 0  \right)
+
\left(  \exists \delta > 0 \right)
+
\left( \forall z \in D_f, 0<|z|>\delta \right)
+
\left( |f(z)-w| < \varepsilon \right)
+
$
+
 
+
\item $
+
z=\infty, w=\infty \\  \left( \forall \varepsilon > 0  \right)
+
\left(  \exists \delta > 0 \right)
+
\left( \forall z \in D_f, 0<|z|>\delta \right)
+
\left( |f(z)-w| > \varepsilon \right)
+
$
+
 
+
 
+
\end{itemize}
+
 
+
\pozn{} Speciálně pro posloupnosti $D_f = {\bf N} \quad (a_n)_{n \in {\bf N}}: {\bf N} \rightarrow {\bf C}$\\
+
$ \lim\limits_{n \rightarrow + \infty}=a \zCp \Leftrightarrow   \left( \forall H(a) \right)
+
\left( \exists n_0 \zR \right)
+
\left( \forall n \in {\bf N}, n > n_0) \right)
+
\left( a_n \in H(a) \right)
+
$
+
 
+
\pozn{} Podobně jako v \R platí v \C věty o limitách součtu, rozdílu, součinu a podílu limit, pokud je příslušný součet, rozdíl, součin respektive podíl definován v \C.\\
+
Narozdíl od \R  platí v \C :\\
+
\centerline{ $ z_n \rightarrow \infty \Leftrightarrow |z_n| \rightarrow + \infty$ \hskip 20 pt v \R pouze "$\Rightarrow$" }
+
\centerline{ $ z_n \rightarrow 0 \Leftrightarrow \frac {1} {z_n} \rightarrow  \infty$ \hskip 20 pt v \R pouze "$\Leftarrow$"}
+
 
+
\defi{} Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $z_0 \zC$, pokud je v $z_0$ definována a platí $\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z) -=  f(z_0)$.\\
+
Funkce definovaná na $M\cC \Leftrightarrow$ je spojitá v každém bodě  $z_0 \in M$.
+
 
+
\veta{} Funkce je spojitá v bodě  $z_0 \zC \Leftrightarrow$ její složky $u,v$ jsou spojité v funkce v bodě $ [x_0,y_0] \zR^2$, kde $z_0=x_0+iy_0$.
+
 
+
\pr{} $f(z)=\frac 1 z \qquad D_f = \C \backslash \{0\}$ \\
+
$$f(x+iy)= \frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}$$
+
 
+
 
+
$$ u(x,y) =\frac{x}{x^2+y^2}; \qquad v(x,y) =\frac{-y}{x^2+y^2}$$
+
 
 
 
+
\subsubsection{Definice}
$$x^2+y^2 = 0 \Leftrightarrow [x,y]=[0,0] \Leftrightarrow z=0$$
+
Nechť $(a_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ je libovolná posloupnost komplexních čísel, pak řada
$ {u \choose v} :{\bf R^2} \rightarrow {\bf R^2} $ je spojité $\forall [x,y] \in {\bf R^2} \backslash [0,0] \Leftrightarrow$ f je spojité $ \forall z \zC \backslash \{0\}$
+
\begin{equation} \label{eq:L_rada}
 
+
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n = \underbrace{\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n}_{\mathrm{regulární \ část}} + \underbrace{\sum_{n=-\infty}^{-1} a_n(z-z_0)^n}_{\mathrm{hlavní \ část}}
\pr{} $ \arg z \qquad \forall z \zC \quad \arg z \zR \in (-{\rm \pi},{\rm \pi}>$\\
+
\end{equation}
$\displaystyle \cos \varphi = \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}} \qquad z=x+iy \qquad x,y \in \R$
+
se nazývá Laurentova řada.
 
+
$$
+
\subsubsection{Poznámka}
  \arg z = \begin{cases}
+
Konverguje-li regulární část pro $|z-z_0|<R$ a konverguje-li hlavní část pro $\left|\frac{1}{z-z_0}\right|<r$, tj. $|z-z_0|>\frac{1}{r}$ pak řada \eqref{eq:L_rada} konverguje pro $\frac{1}{r}<|z-z_0|<R$.
\arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y \geq 0 \\
+
- \arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y < 0
+
\subsubsection{Poznámka - mezikruží}
\end{cases}
+
Mezikruží definujeme jako $P(z_0,r,R)=\{z\in \mathbb{C}:\frac{1}{r}<|z-z_0|<R\}$ \\
$$
+
Speciální případ -- prstencové okolí $P(z_0,0,R)=\{z\in \mathbb{C}:0<|z-z_0|<R\}$
 
+
 
+
%
$$ u(x,y) = \begin{cases}
+
\subsubsection{Věta - Laurentova}
\arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y \geq 0 \\
+
Nechť $f$ je holomorfní na mezikruží $P(z_0,r,R)$. Potom pro všechna $z \in P$ platí, že
- \arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y < 0
+
\begin{equation} \label{eq:L_rada2}
\end{cases} $$
+
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \qquad \mathrm{kde}
 
+
\end{equation}
\centerline{$v(x,y)=0 \qquad \forall x,y \in \R$ }
+
\begin{equation} \label{eq:koeficienty}
 
+
a_n=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}}
\begin{itemize}
+
\end{equation}
\item $x>0, y=0$\\
+
pro kladně orientovanou, po částech hladkou Jordanovu křivku $\varphi$, $\langle\varphi\rangle \in P(z_0,r,R) \wedge z_0 \in$ Int$\varphi$.
$ \lim\limits_{[x,y]\rightarrow [x_0,0]} u(x,y)=0$
+
 
+
%
\item $x_0 <0,y_0=0$\\
+
\subsubsection{Definice}
$\lim\limits_{[x,y]\rightarrow [x_0,0]} u(x,y)=\arccos(-1)={\rm \pi}$
+
Řadu \eqref{eq:L_rada2} nazýváme Laurentovou řadou funkce $f$ v bodě $z_0$ pro mezikruží $P(z_0,r,R)$.
 
+
\item $y_0>0$\\
+
\subsubsection{Poznámka}
$\lim\limits_{[x,y]\rightarrow [x_0,0]} u(x,y)=-{\rm \pi}$
+
Koeficienty \eqref{eq:koeficienty} řady \eqref{eq:L_rada2} funkce $f$ pro dané mezikruží $P(z_0,r,R)$ jsou dány jednoznačně.
 
+
\end{itemize}
+
\hfill \\
 
+
\emph{Důkaz:}
{\large Celkově limita neexistuje}\\
+
\begin{itemize}
$\arg z$ je spojitá na $\C \backslash P_{\theta}$, kde $P_{\theta} = \{ \alpha (\cos \theta + i \cos \theta) | \alpha \geq 0 \}$. Na $P_\theta$ má
+
\item nejprve dokážeme jednoznačnost sporem
$\arg z$ skok v reálné složce o velikosti $2{\rm \pi}$.
+
\item nechť tedy existují koeficienty $a_n$ dané rovnicí \eqref{eq:koeficienty} a nechť zároveň existují koeficienty $b_n\neq a_n$ takové, že
 
+
\begin{equation*}
\pr{} Fce $f(z)=|z|$ je spojitá funkce na \C.
+
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad \wedge \quad f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} b_n(z-z_0)^n \qquad \forall z \in P(z_0,r,R)
 
+
\end{equation*}
 
+
\item dosadíme funkci s koeficienty $b_n$ do inegrálu \eqref{eq:koeficienty} pro $a_n$
 
+
\begin{equation*}
\subsection {Elementární FKP}
+
a_n=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} b_k(\xi-z_0)^{k-n-1} \ud \xi
 
+
\end{equation*}
\defi{} \begin{itemize}
+
\begin{equation*}
\item $ \displaystyle e^z = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!}\qquad$ mocninná řada s $\rho=+\infty$
+
a_n=\frac{1}{2\pi\ui} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} b_k \underbrace{\int_\varphi (\xi-z_0)^{k-n-1} \ud \xi}_{0 \dots k\neq n \ \lor \ 2\pi\ui \dots k=n} = b_n
\item $\displaystyle \cos z= \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}\qquad$ mocninná řada s $\rho=+\infty$
+
\end{equation*}
\item $\displaystyle  \sin z= \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}\qquad$ mocninná řada s $\rho=+\infty$
+
což je spor.
\end{itemize}
+
 
+
\item nyní dokážeme existenci
\par
+
\item okraje mezikruží posuneme o $\varepsilon$ dovnitř a budeme vyšetřovat integrály přes tyto nové křivky $\psi_{1,2}$.
Za pomoci těchto definic můžeme získat {\it Eulerův vzorec}:\\
+
\item použijeme Cauchyho vzorec, který budeme dál upravovat
$ \displaystyle e^{iz}= \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{i^n z^n}{n!} \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)! } + i \cdot \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!}=\cos z + i \sin z \qquad \forall z \zC$\\
+
\begin{align*}
$\Rightarrow $ každé $z \zC$ lez psát ve tvaru $z=|z|e^{i\phi}$, kde $\varphi \in$ Arg $(z)$
+
f(z) & = \frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z)}-\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z)} \\
 
+
& = \frac{1}{2\pi\ui}\left( \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)(1-\frac{z-z_0}{\xi-z_0})}-\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)(1-\frac{\xi-z_0}{z-z_0})} \right) \\
$$e^{iz} = \cos z + i \sin z \qquad  e^{-iz} = \cos z - i \sin z $$
+
& = \frac{1}{2\pi\ui}\left( \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)}\cdot\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{z-z_0}{\xi-z_0}\right)^n+\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)}\cdot\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{\xi-z_0}{z-z_0}\right)^n \right) \\
sečtením těchto dvou rovností získáme:
+
& = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2\pi\ui} \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}}(z-z_0)^n+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{-n}}(z-z_0)^{-n-1} \\
$$ \cos z = \frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2} \qquad \cosh z = \frac {e^{z}+e^{-z}}{2}$$
+
& = \sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n+\sum_{n'=-\infty}^{-1} \underbrace{\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\varphi} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n'+1}}}_{a_n'}(z-z_0)^{n'}
odečtením získáme:
+
\end{align*}
$$ \sin z = \frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\qquad \sinh z = \frac {e^{z}-e^{-z}}{2}$$
+
\end{itemize}
 
+
 
+
%
\veta{} $ \displaystyle \forall z,w \zC: \quad e^{z+w}=e^z e^w$\\
+
\subsubsection{Příklad}
Důkaz: $ \displaystyle  e^z e^w= \left( \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!} \right) \left(  \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{w^k}{k!} \right)
+
Mějme funkci $f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$, která je holomorfní $\forall z \in \mathbb{C} \backslash \{1,2\}$. Hledáme Laurentovu řadu $f$ pro mezikruží $P(0,1,2)$.
= \sum^{+\infty}_{n=0} \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{z^n}{n!} \frac{w^n-k}{n-k!} = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac {1}{n!} \sum^{n}_{k=0} {n \choose k} z^k w^{n-k}= \sum^{+\infty}_{n=0} \frac {(z+w)^n}{n!}=e^{z+w} $
+
\begin{equation*}
 
+
f(z)=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}
\pr{Peridiciota exponenciály}
+
\end{equation*}
$z= \underbrace{\reca z}_{x} + i \underbrace {\imca z}_{y}\\$
+
pro $z \in P(0,1,2): 1<|z|<2$.
$e^z= e^x e^{iy}=e^x(\cos y + i \sin y) \\$
+
\begin{align*}
$|e^z| = | e^x e^{iy}|=  |e^x|\underbrace{|e^{iy}|}_{1}=e^x$ \\
+
\frac{1}{z-2} & =-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{z}{2} \right)^n \\
Hodnota  $|e^{iy}|=1$, protože $e^{iy}$ je bod jednotkové kružnice v komplexní rovině.\\
+
-\frac{1}{z-1} & =-\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{1}{z} \right)^n
$ \displaystyle  |e^z|=e^{\reca z}$\\
+
\end{align*}
$y=\imca z \in $Arg$ (e^z)$\\
+
\begin{equation*}
$$ \Rightarrow e^{z+ 2k{\rm \pi} i}=e^z
+
f(z)=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{2^n} - \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{z^{n+1}}
\qquad \forall z \zC, \forall k \in {\bf Z}$$
+
\end{equation*}
\centerline{\emph{Exponenciála je v\C periodická funkce s periodou $2{\rm \pi} i$}}
+
 
+
%
\pr{Komplexní logaritmus}
+
\subsubsection{Definice - klasifikace singularit}
Pro zadané $w \zC$ řešte rovnici $e^z=w$ \\
+
Řekneme, že $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$, je-li $f$ holomorfní na nějakém prstencovém okolí $z_0$ (na celém okolí $z_0$ s vyjímkou bodu $z_0$ samotného).
hledáme množinu $Ln (w) = \{ z \zC, e^z = w\}=?$\\
+
$w=|w|e^{i\phi},\quad \varphi \in $Arg$(w)$\\
+
Pokud $z_0$ je izolovaná singularita, pak $z_0$ je
$z$ hledáme ve tvaru $x+iy,\quad x,y \zR$\\
+
\begin{description}
$e^z=e^x e^{iy}=w \qquad$ na rovnici aplikuji abs.hodnotu\\
+
\item[odstranitelná singularita] \hfill \\ $\iff$ Laurentův rozvoj funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$ má nulovou hlavní část.
$e^x=|w| \quad \Rightarrow \quad x=\ln |w| $\\
+
\item[pól stupně $m$]\hfill \\ $\iff$ Laurentův rozvoj funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$ má konečně mnoho nenulových členů v hlavní části. $a_{-m} \neq 0 \ \wedge \ a_k =0 \ \forall k<m$
$y \in Arg (w)$\\
+
\item[podstatná singularita]\hfill \\ $\iff$ hlavní část Laurentova rozvoje obsahuje nekonečně mnoho nenulových členů.
$z=x+iy \in \ln |w| + i$ Arg$ (w)$\\
+
\end{description}
$$\Rightarrow  Ln (w) = \ln |w| + i \mbox{Arg} (w) $$
+
Fci $e^z$ nelze invertovat na \C, protože není na \C prostá. V množině $Ln(w)$ existuje právě jedno číslo $z$ takové, že $\imca z \in (-{\rm \pi}, {\rm \pi}>$. Toto $z$ značíme $\ln w$ (přirozený logaritmus čísla $w$) = \emph{hlavní hodnota logaritmu}.
+
%
$$\ln w = \ln |w| + i \arg (w)$$
+
\subsubsection{Příklady}
 
+
\begin{itemize}
\pozn{} Funkce $\ln w$ je definovaná $\forall w \zC \backslash \{0\}$.
+
\item $f(z)=\frac{\sin(z)}{z}$, $Dom(f)=\mathbb{C} \backslash \{0\}$
 
+
\begin{equation*}
\pozn{} Rovnice $e^z=w$ má řešení nejen $\ln w$, ale i $z_k= \ln w + 2k{\rm \pi} i, \quad k \in {\bf Z}$
+
f(z)=\frac{1}{z}\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n+1)!}
 
+
\end{equation*}
\pozn{} $Ln (z\cdot w)= Ln(z)+Ln(w)$\\
+
$\implies$ 0 je odstranitelná singularita.
$\ln (z\cdot w)=\ln (z) + \ln(w) + 2k{\rm \pi} i, \quad$ pro \emph{vhodně} zvolené $k$.
+
 
+
\item $f(z)=\frac{z}{(z-1)^3}$, holomorfní na $\mathbb{C} \backslash \{1\}$
\defi{Obecná mocnina}
+
\begin{equation*}
$ \displaystyle  z^w:=e^{w\ln z} \quad \forall z,w \zC, z \neq 0$
+
f(z)=\frac{z-1+1}{(z-1)^3}=\frac{1}{(z-1)^3}+\frac{1}{(z-2)^2}
 
+
\end{equation*}
\pr{} $ \displaystyle  \sqrt i = e^{{1 \over 2} \ln z} = \exp \left( {{1 \over 2}\cdot 1\cdot i {{\rm \pi} \over 2}}\right)= e^{i{{\rm \pi} \over 4}}$
+
$\implies$ 1 je pól stupně 3.
 
+
\pozn{} Rovnice $ z^n=w$ má n řešení v \C ve tvaru $$  z_k=\sqrt[n]{w}\cdot e^{\frac{2k{\rm \pi}}{n}i} \quad k \in \hat{n} .$$
+
\item $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$, holomorfní $\forall z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}$
 
+
\begin{equation*}
 
+
f(z)=\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{1}{n!z^n}=1+\sum^{-1}_{n=-\infty} \frac{z^n}{(-n)!}
 
+
\end{equation*}
\subsection {Derivace FKP}
+
$\implies$ 0 je podstatná singularita.
 
+
\end{itemize}
\defi{}
+
Nechť funkce $f$ komplexní proměnné je definována na množině $M \cC$ a nechť je $z_0 \in M$ vnitřní \footnote{stačilo by, aby byl hromadný} bod $D_f$. Existuje-li konečná limita \\
+
%
$$
+
\subsubsection{Věta}
\lim\limits_{z \rightarrow_M z_0} \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0},
+
Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Potom $z_0$ je odstranitelná singularita $\iff$ existuje limita
$$
+
\begin{equation*}
potom říkáme, že $f$ je diferencovatelná v bodě $z_0$ a tutu hodnotu značíme $f'(z_0)$.\\
+
\lim_{z \to z_0}f(z)
Pokud je $f$ diferencovatelná v $z_0$ a na celém okolí $z$, pak říkáme, že $f$ je \emph{holomorfní} v $z_0$.\\
+
\end{equation*}
Pokud je $f$ diferencovatelná v každém bodě množiny $M$, pak říkáme, že $f$ je \emph{holomorfní} na $M$.
+
a je konečná.
 
+
\pozn{} Je-li $f$ diferencovatelná v $z_0 \zC$ pak $f'(z_0)$ bude stejná, pokud $z \rightarrow z_0$ po libovolné cestě.
+
\hfill \\
 
+
\emph{Důkaz:}
\par Nechť $z_0 = x_0 + iy_0$
+
\begin{itemize}
\begin{enumerate}
+
\item dokážeme implikaci "$\Rightarrow$"
\item $z = x_0 + \Delta x + i y_0 \qquad \Delta x \zR \qquad$ přibližovanání $\leftrightarrow$\\
+
\begin{equation*}
$f(x+iy)=u(x+iy)+i\cdot v(x+iy) \qquad u,v: {\bf R^2} \rightarrow \R$\\
+
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \implies \lim_{z \to z_0}f(z)=a_0
$$f' (z_0)=f'(x_0+iy_0)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {u(x_0+\Delta x,y_0)+i\cdot v(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,iy_0)-v(x_0,iy_0)}{x_0+\Delta x + i y_0 - x_0 - iy_0}=$$  $$=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \left(
+
\end{equation*}
\frac{u(x_0+\Delta x,y_0) - u(x_0,y_0)}{\Delta x} - i \frac{v(x_0+\Delta x,y_0) - v(x_0,y_0)}{\Delta x}
+
\end{itemize}
\right)=$$ $$= \frac {\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) + i \frac {\partial v}{\partial x}(x_0,y_0) = f'(x_0+iy_0) $$
+
 
+
%
\item $z=x_0+i(y_0+\Delta y) \qquad \Delta y \zR$ přibližování $\updownarrow\\$
+
\subsubsection{Věta}
$$f'(x_0+iy_0)=\lim\limits_{\Delta y_0 \rightarrow 0}\frac{u(x_0,y_0+\Delta y)+i\cdot v (x_0,y_0+\Delta y) - u(x_0,y_0)-v(x_0,y_0)}{x_0+iy_0+i\Delta y-x_0-iy_0}=$$  $$
+
Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Potom $z_0$ je pólem $k$-tého stupně
=\lim\limits_{\Delta y_0 \rightarrow 0}
+
\begin{equation*}
\left(
+
\iff f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0)^k}
\frac 1 i \frac{u(x_0,y_0+\Delta y) - u(x_0,y_0)}{\Delta y} - \frac i i \frac{v(x_0,y_0+\Delta y) - v(x_0,y_0)}{\Delta y}
+
\end{equation*}
\right) = $$
+
na nějakém okolí $z_0$, kde $g$ je holomorfní v $z_0$ a $g(z_0)\neq 0$.
$$= \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) - i \frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = f'(x_0+iy_0)$$
+
\end{enumerate}
+
\hfill \\
 +
\emph{Důkaz:}
 +
\begin{itemize}
 +
\item nejprve dokážeme implikaci "$\Rightarrow$"
 +
\begin{align*}
 +
f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-k}}^{\neq 0}}{(z-z_0)^k}+\frac{a_{-k+1}}{(z-z_0)^{k-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{(z-z_0)^1}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n\\
 +
& = \frac{1}{(z-z_0)^k}[\underbrace{a_{-k}+a_{-k+1}(z-z_0)+\dots+a_{-1}(z-z_0)^{k-1}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+k}}_{g(z), \ g(z_0)=a_{-k}}]
 +
\end{align*}
 +
 +
\item zbývá dokázat implikaci "$\Leftarrow$"
 +
\begin{align*}
 +
f(z) & =\frac{g(z)}{(z-z_0)^k}=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n-k} \\
 +
& = \frac{\overbrace{a_0}^{\neq 0}}{(z-z_0)^k}+\frac{a_1}{(z-z_0)^{k-1}}+ \dots \\
 +
g(z) & = a_0+a_1(z-z_0)+ \dots
 +
\end{align*}
 +
\end{itemize}
 +
 +
%
 +
\subsubsection{Věta}
 +
Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Bod $z_0$ je pól stupně $k$ funkce $f$
 +
\begin{equation*}
 +
\iff \exists \lim_{z\to z_0} (z-z_0)^k f(z) \neq 0 = a_{-k}
 +
\end{equation*}
 +
 +
%
 +
\subsection{Reziduum} % REZIDUUM
 
 
Když je $f$ diferencovatelná, tak 1) musí být stejná jako 2) $\Rightarrow$ musí se rovnot reálné i imaginární části:\\
+
\subsubsection{Poznámka}
 +
Z koeficientů $(a_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ Laurentova rozvoje funkce $f$ je v mezikruží $P(z_0,0,R)$, $R>0$ důležitý právě $a_{-1}$.
 +
\begin{equation*}
 +
a_{-1}=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi f(\xi)\ud\xi
 +
\end{equation*}
 +
kde $\varphi$ je Jordanova křivka, $\langle \varphi \rangle \subset P(z_0,0,R)$ a $z_0 \in$ Int$\varphi$. Pokud totiž známe $a_{-1}$, snadno vypočteme integrál
 +
\begin{equation*}
 +
\int_\varphi f(\xi)\ud\xi=2\pi\ui\cdot a_{-1}
 +
\end{equation*}
 +
 +
%
 +
\subsubsection{Definice - reziduum}
 +
Nechť $z_0$ je singulární bod funkce $f$ a řada \eqref{eq:L_rada2} je Laurentův rozvoj funkce $f$ na mezikruží $P(z_0,0,R)$, kde $R>0$. Koeficient $a_{-1}$ rozvoje v $z_0$ funkce $f$ nazýváme reziduem funkce $f$ v bodě $z_0$.
 +
 +
%
 +
\subsubsection{Věta - metody výpočtu rezidua}
 +
\begin{enumerate}
 +
\item $z_0$ je podstatná singularita $\implies$ problém, nutno umět sestrojit Laurentův rozvoj.
 +
\item $z_0$ je odstranitelná singularita ($f$ je holomorfní v $z_0$) $\implies$ rez$_{z_0}f=0$.
 +
\item $z_0$ je pól stupně 1
 +
\begin{align*}
 +
\implies f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-1}}^{\neq 0}}{(z-z_0)}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad /\cdot(z-z_0) \\
 +
(z-z_0)f(z) & = a_{-1} + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+1} \quad /\lim_{z\to z_0}
 +
\end{align*}
 +
\begin{equation}
 +
\lim_{z\to z_0} (z-z_0)f(z)=a_{-1}
 +
\end{equation}
 +
 +
\item $z_0$ je pól stupně $m>1$
 +
\begin{align*}
 +
\implies f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-m}}^{\neq 0}}{(z-z_0)^m}+\frac{a_{-m+1}}{(z-z_o)^{m-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{(z-z_0)}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad /\cdot(z-z_0)^m \\
 +
(z-z_0)^mf(z) & =a_{-m}+a_{-m+1}(z-z_0)+\dots+ a_{-1}(z-z_0)^{m-1} + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+m} \quad /\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}} \\
 +
\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}(z-z_0)^mf(z) & =a_{-1}(m-1)!+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}(z-z_0)^{n+m} \quad /\lim_{z\to z_0}
 +
\end{align*}
 +
\begin{equation}
 +
\lim_{z\to z_0}\frac{1}{(m-1)!}\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}\left[(z-z_0)^m f(z)\right]=a_{-1}
 +
\end{equation}
 +
\end{enumerate}
 +
 +
%
 +
\subsubsection{Věta - Cauchyho-reziduová}
 +
Nechť funkce $f(z)$ je holomorfní na oblasti $\Omega \in \mathbb{C}$ s vyjímkou konečného počtu bodů (tj. $\exists M \subset \Omega$ konečná tak, že $f$ je holomorfní na $\Omega\backslash M$). Nechť $\varphi$ je uzavřená, po čátech hladká křivka, $\langle \varphi \rangle \subset \Omega$. Potom
 +
\begin{equation} \label{eq:reziduova_veta}
 +
\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{w\in M} \ind_\varphi w \cdot \rez_w f
 +
\end{equation}
 +
 +
%
 +
\subsubsection{Poznámka}
 +
Díky ind$_\varphi w$ si zahrajou jen body uvnitř křivky $\varphi$. Je-li $\varphi$ kladně orientovaná, pak
 +
\begin{equation*}
 +
\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{w\in M} \rez_w f
 +
\end{equation*}
  
$$  \frac {\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)$$
+
\subsubsection{Příklad}
$$  \frac {\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = - \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)$$
+
Vypočtěte pomocí reziduové věty reálný integrál $\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} $, pro $a>1$\\
Tyto dvě rovnosti se nazývají \emph{Cauchy-Riemannovy podmínky}.
+
\begin{equation*}
+
\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} = 2 \int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{2a+e^{it}+e^{-it}} =
\veta{Cauchy Riemannova} % 343
+
\begin{vmatrix}  
Funkce $\C \rightarrow \C$ má v bodě $z_0=(x_0+iy_0), x_0,y_0 \zR$ derivaci, tehdy a jen tehdy mají-li funkce $u(x,y)=\reca f(x+iy)$ a $v(x,y)=\imca f\left(x+iy\right)$ totální diferenciál v bodě $[x_0,y_0]$ a platí-li Cauchy-Reimannovy podmínky.
+
z = e^{it} \\
 +
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=iz\\
 +
\end{vmatrix}
 +
= \frac{2}{i} \int_{|z|=1} \dfrac{\mathrm{d}z}{2az+z^2+1}
 +
\end{equation*}
 +
 +
funkce $ \dfrac{1}{z^2+2az+1}$ má na kruhu ohraničeném $ |z| = 1 $ pouze jediný singulární bod $z_0 =-a+\sqrt{a^2-1}$, zjevně se jedná o pól stupně 1, snadno tedy určíme reziduum
  
\pr{} $$f(z)=e^{\overbrace{x+iy}^{z}}=e^x(\cos y + i \sin y)$$
+
\begin{equation*}
$$u(x,y)=e^x \cos y$$
+
\mathrm{rez}_{z_0} \dfrac{1}{z^2+2az+1} = \lim_{z\rightarrow z_0}\dfrac{z+a-\sqrt{a^2-1}}{z^2+2az+1} = \dfrac{1}{2\sqrt{a^2-1}}
$$v(x,y)=e^x \sin y$$
+
\end{equation*}
+
\begin{center}
+
$$ \mbox{spojité } \forall[x,y]\zR^2
+
\begin{cases}
+
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=e^x \cos y \\
+
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y) = -e^x \sin y \\
+
\frac{\partial v}{\partial x}(x,y) =e^x \sin y \\
+
  \frac {\partial v}{\partial y}(x,y)=e^x \cos y
+
\end{cases} $$
+
\end{center}  $\Rightarrow u,v$ mají totální diferenciál $\forall [x,y]\zR^2$\\
+
Cauchy-Riemannovy podmínky $  \frac {\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) \wedge \frac {\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = - \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)$ jsou splněny. Tedy $f$ je diferencovatelná všude v\C.
+
$$f'(x+iy)= \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) + i \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) =e^x \cos y + i\cdot e^x \sin y=e^x(\cos y + i \sin y)=e^z=f'(z) $$
+
  
\pr{} Vyřešíme diferencovatelnost funkce $f(z)=z|z|$
+
a finální výsledek získáme použitím Cauchyho-reziduové věty
$$f(x,y)=(x+iy)\sqrt{x^2+y^2}$$
+
$$u(x,y)=x\sqrt{x^2+y^2}$$
+
$$v(x,y)=y\sqrt{x^2+y^2}$$
+
$$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+x \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
+
$$\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
+
$$\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
+
$$\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+y\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x^2+2y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
+
Jsou definované a spojité $\forall [x,y] {\bf R^2} \backslash \{[0,0]\}$. Obecně neplatí  Cauchy-Reimannovy podmínky, ale pro určitá $x,y$ jsou splněny. První $\Leftrightarrow x = \pm y$, druhá $xy=-xy \Leftrightarrow 2xy=0 \Leftrightarrow x=0 \vee y=0$. \\
+
$$ \exists f'(0)=0$$
+
 
+
\veta{} Nechť $f$ a $g$ jsou diferencovatelné v bodě $z \zC$ a nechť $c \zC$. Potom:
+
$$(f\pm g)'(z)=f'(z)\pm g'(z)$$
+
$$(cf)'(z)=cf'(z)$$
+
$$(f \cdot g)'(z)=f'(z)g(z)+f(z)g'(z) $$
+
$$\left({f \over g}\right)'(z)= \frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)} \qquad \hbox{pokud} \, g(z) \neq 0$$
+
 
+
\veta{} Pokud je $f$ diferencovatelná v bodě $z\zC$, pak je i v bodě $z$ spojitá.
+
 
+
\pozn{} Obrácené tvrzení neplatí.
+
 
+
\veta{O derivaci složené funkce} Je-li $g$ diferencovatelná v $z\zC$ a $f$ je diferencovatelná v $g(z)$, potom $f\circ g$ je diferencovatelná v $z$ a platí: $$(f\circ g)'(z)=f'(g(z))\cdot g'(z)$$
+
 
+
\veta{O derivaci inverzní funkce} Nechť $f$ je holomorfní v oblasti $\Omega, f'(z) \neq 0, \forall z \in \Omega$. Je-li $f^{-1}$ inverzní funkce k funkce $f$ definovaná a spojitá na oblasti $\Omega' \subset f(\Omega)$. Potom $f^{-1}$ je holomorfní na $\Omega '$  a platí: $$ \left( f^{-1} \right) (z)=\frac {1}{f'(f^{-1}(z))} \quad \forall z \in \Omega '$$
+
 
+
\pr{} $f(z)= \ln (z) \dots $ inverzní funkce k $g(z)=e^z$ definovaná na množině $M, \forall z\zC$.
+
$$g'(z)=\left[ f^{-1}(z) \right]'$$ $f$ je holomorfní na M
+
$$ e^z = 0 \qquad z=x+iy \qquad x,y \zR $$
+
$$e^x e^{iy}=  \underbrace{e^x}_{\neq 0} \underbrace{(\cos y + i \sin y)}_{\neq 0}=0 \qquad \forall z \in M $$
+
$$\Omega = M$$
+
$$ \Omega ' \subset f(M) = \C \backslash \{0\}$$
+
$$g(z)=\ln (z)$$ definovaná a spojitá na $\Omega '$
+
$$ \Rightarrow g'(z)= \frac {1}{e^{\ln z}}= \frac 1 z \qquad z \neq 0 \quad \forall z \in \C \backslash P_{\rm \pi}$$
+
$P_{\rm \pi}$ je polopřímka od počátku ve směru záporné části reálné osy. Na $P_{\rm \pi}$ je logaritmus nespojitý.
+
 
+
 
+
 
+
\subsection {Integrál FKP}
+
\defi{Integrál komplexní funkce reálné proměnné} Pro funkci $f: \R \rightarrow \C$ definujeme:
+
$$ \int_a^b f(x) {\rm d}x = \int_a^b \reca f(x) {\rm d}x + i \int_a^b \imca f(x) {\rm d}x$$
+
 
 
\defi{} \begin{itemize}
+
\begin{equation*}
\item Křivkou v\C nezveme libovolné spojité zobrazení nějakého uzavřeného intervalu $<a,b> \rightarrow \C$\\
+
\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} = \frac{2}{i} \cdot 2\pi i \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{a^2-1}} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}
\item Křivku $\varphi$ nazveme \emph{uzavřenou} pokud $\varphi(a)=\varphi(b)$\\
+
\end{equation*}
\item Křivku $\varphi$ nazveme \emph{jednoduchou} pokud $\varphi$ prosté na $<a,b>$ - sama sebe neprotíná\\
+
\item Křivku $\varphi$ nazveme \emph{jednoduchou uzavřenou = Jordanovou}, je-li $\varphi$ prosté na $<a,b)$ a  $\varphi(a)=\varphi(b)$\\
+
%
\item Obor hodnot $\varphi$ značíme $\langle \varphi \rangle$ ... geometrický obraz křivky
+
\subsubsection{Věta - rozvoj funkce v okolí $\infty$}
\item Řekneme, že křivka $\varphi$ je třídy $C^1$ (hladká), pokud má $\varphi$ v $<a,b>$ spojitou derivaci.
+
Nechť funkce $f$ je holomorfní na okolí $\infty$, tj. $\forall z, |z|>R$. Zavedeme substituci $z=\frac{1}{w}$, $f(z)=f\left(\frac{1}{w}\right):=g(w) \implies g(w)$ je holomorfní na okolí 0.
\item Řekneme, že křivka $\varphi$ je po částech hladká (po částech třídy $C^1$), pokud ji lze rozložit na sjednocení konečně mnoha křivek třídy $C^1$.
+
\end{itemize}
+
\subsubsection{Poznámka}
\defi{Součet křivek}
+
Studujeme hlavní část Laurentova rozvoje funkce $g(w)$ v okolí 0 (záporné mocniny $w \implies$ kladné mocniny $z$). $f(z)$ je holomorfní v $\infty \iff g(w)$ je holomorfní v 0. Pokud toto platí, definuji $f(\infty)=g(0)=\lim_{z\to\infty}f(z)$. Charakter singularity funkce $f(z)$ v $\infty$ je stejný jako $g(w)$ v 0.
Součet křivek $\varphi: <a,b> \rightarrow \C$ a $\psi: <a,b> \rightarrow \C$ lze definovat, pokud $\varphi(b)=\psi(c)$\\
+
\begin{enumerate}
$$(\varphi \dot{+} \psi)(t)=\begin{cases} \varphi(t) \quad t \in <a,b>  \\
+
\item odstranitelná singularita:
\psi(t-b-c) \quad t \in <b,d+b-c>
+
\begin{equation*}
\end{cases} $$
+
g(w)=\sum_{n=0}^\infty a_n w^n \quad \implies \quad f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^{-n}
$$(\varphi \dot{+} \psi)(t):<a,d+b-c> \rightarrow \C$$
+
\end{equation*}
 
+
\item pól stupně $m$
\defi{Opačná křivka} Opačná křivka ke křivce $\varphi:<a,b> \rightarrow \C$ je $\dot{-}\varphi:<-b,-a> \rightarrow \C$, dána předpisem $\dot{-}\varphi(t)= \varphi(-t)$ pro $t \in <-b,-a>$
+
\begin{align*}
 
+
g(w) & =\frac{a_{-m}}{w^m}+\frac{a_{-m+1}}{w^{m-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{w}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_nw^n \\
\pozn{} Je-li $\varphi$ křivka po částech třídy $C^1$.
+
f(z) & =a_{-m}z^m+a_{-m+1}z^{m+1}+\dots+ a_{-1}z + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{z^n}
$\varphi (t)= x(t)+iy(t)$ pro $t\in <a,b>$,pak výraz $$S_\varphi := \int^b_a |\varphi ' (t)| {\rm d}t = \int^b_a \sqrt{\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)}{\rm d}t$$ je délka geometrického obrazu křivky. Dále platí:
+
\end{align*}
$$ S_{\varphi \dot{+} \psi}=S_\varphi + S_\psi $$
+
\item podstatná singularita
$$ S_{\dot{-}\varphi}=S_\varphi $$
+
\begin{align*}
 
+
g(w) & =\sum_{n=0}^{+\infty} a_nw^n + \sum_{n=-\infty}^{-1} a_nw^n \\
\defi{Křivkový integrál prvního druhu} Nechť $\psi:<a,b> \rightarrow \C$ je po částech hladká křivka v \C a nechť FKP $f$ je spojitá na $\langle \varphi \rangle$. Potom klademe: $$ \int_a^b f (z) {\rm d}z := \int_a^b f (\varphi(t))\dot{\varphi}(t) {\rm d}t$$
+
f(z) & =\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{z^n}+\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{a_n}{z^n}
 
+
\end{align*}
\pr{} $ \displaystyle \int_\varphi z^2 {\rm d}z \qquad \varphi $ úsečka spojující $z_1=0$ a $z_2=1+i$ \\ $\varphi (t)=(1+i)t \quad t\in <0,1>$ \\ $ \dot\phi(t)=1+i$
+
\end{enumerate}
$$\int_\varphi z^2 {\rm d}z = \int_0^1\left((1+i)t\right)^2(1+i){\rm d}t = (1+i)^3 \int^1_0 t^2 {\rm d}t = \frac {(1+i)^3}{3}= \frac{(2i-2)} {3}$$
+
 
+
%
\pr{} Popisy jedné $\langle \varphi \rangle$ pomocí dvou $\varphi_{1,2}$
+
\subsubsection{Příklady}
$$ \varphi_1 (t)=e^{it} \qquad t\in <0,phi>$$
+
\begin{itemize}
$$ \varphi_2 (t)=\sqrt{1-t^2} \qquad t\in <0,phi>$$
+
\item $f(z)=\frac{1}{z}$
 
+
\begin{equation*}
\pozn{} V reálné analýze platí: $$ \left| \int^b_a f(x){\rm d}x \right| \leq \int^b_a |f(x)|{\rm d}x,$$ ale v \C toto neplatí.
+
\lim_{z\to\infty} \frac{1}{z}=0 \qquad f(\infty)=0
 
+
\end{equation*}
\veta{} Nechť $\varphi$ je křivka po částech třídy $C^1$ konečné délky $S_\varphi$ a nechť funkce $f$ je spojitá a omezená na $\langle \varphi \rangle$. Potom: $$ \left| \int_\varphi f(z){\rm d}z \right| \leq S_\varphi \cdot \max |f(z)|$$
+
$\implies \infty$ je odstranitekná singularita.
Důkaz:  $$ \left| \int_\varphi f(z){\rm d}z \right| = \left| \int_\varphi f(\varphi(t)) \dot{\varphi}(t){\rm d}t \right| \leq  \int_a^b \underbrace{| f(\varphi(t))|}_{f \hbox{\small{omezená na}} \langle \varphi \rangle}|\dot{\varphi}(t)|{\rm d}t \leq \max_{z \in \langle \varphi \rangle}|f(z)| \int^b_a|\dot{\varphi}(t)|{\rm d}t =$$
+
$$= S_\varphi \cdot \max |f(z)|$$
+
\item $f(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+a_0$ \\
 
+
$\implies \infty$ je pól stupně $n$.
\veta{} Jsou-li $\varphi$ a $\psi$ po částech hladké křivky v \C a $f$ a $g$ FKP spojité na $\langle \varphi \rangle$, resp. $<\psi>$, $\alpha, \beta \in \C$, potom platí:
+
\begin{itemize}
+
\item $f(z)=e^z$
\item linearita $ \int_\varphi \alpha f(z) + \beta g(z) {\rm d}z = \alpha \int_\varphi f(z) {\rm d}z + \beta \int_\varphi g (z) {\rm d}z$
+
\begin{equation*}
\item aditivita v mezích $\int_{\varphi \dot{+} \psi} f(z){\rm d}z= \int_\varphi f(z){\rm d}z + \int_\psi f(z){\rm d}z$
+
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}
\item $\int_{\dot{-}\varphi} f(z){\rm d}z = - \int_{\varphi} f(z){\rm d}z $
+
\end{equation*}
\end{itemize}
+
$\implies \infty$ je podstatnou singularitou funkce $f(z)$.
 
+
\defi{Primitivní funkce} Nechť $f$ a $F$ jsou FKP takové, že $F'(z)=f(z) \quad \forall z \in \Omega$ ($\Omega$ otevřená podmnožina v \C). Pak říkáme, že $F$ je primitivní funkce k $f$ na $\Omega$.
+
\item $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$
 
+
\begin{equation*}
\veta{} Jsou-li $F$ a $G$ primitivní funkce k funkcím $f$ a $g$ na otevřené množině $\Omega \subset \C$ a jsou-li $\alpha, \beta \in \C$, pak $\alpha F + \beta G$ jsou primitivni fuknce k $\alpha f + \beta g$ na $\Omega$.\\ Je-li $F$ primitivní funkce k $f$ na $\Omega \in \C$ a je-li $C \in \C$ libovolná konstanta, potom je $F+C$ primitivní funkce k $f$ na $\Omega$.\\
+
f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!z^n}
Jsou-li $F$ a $G$ primitivní funkce k $f$ a $g$ na $\Omega \subset \C$ a je-li $H$ primitivní funkce k $fG$ na $\Omega$, potom funkce $FG-H$ je primitivní funkce k $Fg$ na $\Omega$.
+
\end{equation*}
\\
+
$\implies$ 0 je podstatná singularita, funkce $f(z)$ je holomorfní v $\infty$ (s odstranitelnou singularitou), $f(\infty)=e^0=1$.
\par
+
\end{itemize}
$\varphi \ldots$ po částech hladká křivka\\
+
$F$ je primitivní funkce k $f$ na oblasti $\Omega \subset \C$, která obssahuje $\langle \varphi \rangle$. Vyšetřujeme: $$\int_\varphi f(z) {\rm d}z = \int_a^b f(\varphi(t))\dot(\varphi)(t){\rm d}t = \int_a^b \underbrace{F'(\varphi(t))}_{\frac{d}{{\rm d}t}\left( F'(\varphi(t)\right)}{\rm d}t =\left[ F(\varphi(t)) \right]^b_a=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))$$
+
%
+
\subsubsection{Definice}
\subsubsection{Důsledky} Má-li $f$ v oblasti $\Omega \subset \C$ primitivní funkce, potom:
+
Nechť funkce $f$ je holomorfní pro $|z|>R$. Reziduem v $\infty$ funkce $f$ nazveme
\begin{enumerate}
+
\begin{equation} \label{eq:reziduum_nekonecna}
\item $\int_\varphi f(z){\rm d}z=0 \qquad \forall$ uzavřenou křivku $\varphi$, pro kterou $\langle \varphi \rangle \subset \Omega$
+
\rez_\infty f= \frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi f(z)\ud z
\item $\int_\varphi f(z){\rm d}z$ nezávisí na integrační cestě $\varphi$ v $\Omega$, ale pouze na počátečním a koncovém bodu křivky, tj.: $$\int_\varphi f(z){\rm d}z=\int_\psi f(z){\rm d}z,$$ kde $\varphi:<a,b> \rightarrow \C \quad \psi:<c,d> \rightarrow \C$\\
+
\end{equation}
$\varphi(a)=\psi(c) \quad \varphi(b)=\psi(d)$\\
+
kde $\varphi(t)=\varrho e^{-\ui t}$ je {\bf záporně} orientovaná kružnice, $0\leq t\leq 2\pi$, $\varrho>R$.
$\langle \varphi \rangle \subset \Omega, <\psi> \subset \Omega$
+
\end{enumerate}
+
%
+
\subsubsection{Poznámka}
\pr{} Vypočtěte: $\int_\varphi (z-z_0)^n {\rm d}z \qquad n \in {\bf Z} $ \\
+
Vzpomeňte
$\varphi$ je kladně orientovaná kružnice se středem $z_0$ a poloměrem $R>0$\\
+
\begin{equation*}
$\varphi(t)=z_0 + Re^{it} \qquad t\in <0,2{\rm \pi}>$\\
+
\rez_{z_0}f = \frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi f(z)\ud z
$\dot{\varphi}(t)= iRe^{it}$
+
\end{equation*}
$$ \int_\varphi (z-z_0)^n {\rm d}z = \int_0^{2{\rm \pi}} (Re^{it})^n Rie^{it} {\rm d}t =  \int_0^{2{\rm \pi}} i R^{n+1} e^{i(n+1)t}{\rm d}t=\oslash$$
+
$ = a_{-1}$ v Laurentově rozvoji funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$, $\varphi$ je kladně orientovaná. \\
\begin{itemize}
+
Obdobně rez$_\infty f =$ \eqref{eq:reziduum_nekonecna} $=-a_{-1}$ v Laurentově rozvoji funkce $f$ v okolí $\infty$. $\varphi$ je záporně orientovaná.
\item $n \neq -1 \quad \oslash=R^{n+1}i \left[ \frac{e^{i(n+1)t}}{i(n+1)} \right]^{2{\rm \pi}}_{0}=\frac{iR^{n+1}}{i(n+1)}\left( e^{2{\rm \pi} i (n+1)} - e^0\right)=\footnote{\hbox{Exponenciála je $2{\rm \pi} i$ periodická funkce}}0$
+
 
+
%
\item $n=-1 \quad \oslash = \int_\varphi \frac{1}{z-z_0}{\rm d}z = i \int^{2{\rm \pi}}_0 e^{0\cdot t}{\rm d}t = i \int^{2{\rm \pi}}_0 1 {\rm d}t = 2 {\rm \pi} i$
+
\subsubsection{Příklad}
\end{itemize}
+
$f(z)=\frac{1}{z}$, $\infty$ je odstranitelná singularita.
Tento výsledek není v rozporu s předchozí větou $f(z)= \frac {1} {z-z_0}$ má primitivní funkci $F(z)=\ln(z-z_0)$. $F'(z)=f(z)$ platí $\forall z \zC \backslash P_{\rm \pi} = \Omega$. Hodnota skoku $f$ na $P_{\rm \pi}$ je právě $2{\rm \pi} i$.
+
\begin{equation*}
 
+
\frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi f(z)\ud z=\frac{1}{2\pi\ui} \underbrace{\int_\varphi \frac{\ud z}{z}}_{=-2\pi\ui}=-1
\pozn{} Libovolná Jordanova křivka (uzavřená a jednoduchá v \C) rozděluje \C na 2 komponenty z nichž právě jedna je omezená - Int $\varphi$, tzv."vnitřek křivky". Druhá je neomezená - Ext $\varphi$, tzv."vnějšek křivky".
+
\end{equation*}
 
+
protože $\varphi$ je záporně orientovaná.
\veta{Cauchyho věta} Nechť $f$ je holomorfní na otevřené množině $\Omega \subset \C$ a nechť $\varphi$ je po částech hlaská Jordanova křivka taková, že $\overline{\hbox{Int} \varphi} \subset \Omega$. Potom: $$ \int_\varphi f(z) {\rm d}z = 0$$
+
Důkaz: $z=x+iy \qquad x,y \zR \qquad f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$\\
+
%
$\varphi: <a,b> \rightarrow \C$\\
+
\subsubsection{Věta - zobecněná reziduová}
$\varphi (t) = x(t) + i y(t)$\\
+
-li funkce $f$ v $\mathbb{C}^*$ konečně mnoho singularit, je součet jejich reziduí roven 0.
$\dot{\varphi} (t) = \dot{x}(t) + i \dot{y}(t)$\\
+
$$ \int_\varphi f(z){\rm d}z= \int^b_a f(\varphi(t))(\dot\phi)(t){\rm d}t=\int^b_a [u(x(t),y(t))+iv(x(t),y(t))][\dot{x}(t)+i\dot{y}(t)]{\rm d}t=$$ $$= \int^b_a u(x(t),y(t))\dot{x}(t)-v(x(t),y(t))\dot{y}(t){\rm d}t+i \int^b_a u(x(t),y(t))\dot{y}(t)-v(x(t),y(t))\dot{x}(t){\rm d}t =$$ $$= \int_\varphi u {\rm d}x - v dy + i\int_\varphi u dy + v {\rm d}x \underbrace{=}_{\hbox{Greenova věta}}
+
\hfill \\
\int_{Int \varphi}
+
\emph{Důkaz:}
\underbrace{
+
\begin{itemize}
\left[
+
\item vyjdeme z reziduové věty \eqref{eq:reziduova_veta}.
\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}
+
\begin{equation*}
\right]}_{=0} {\rm d}x\, dy + i \int_{Int \varphi}
+
\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f
\underbrace{
+
\end{equation*}
\left[ 
+
kde $\varphi$ je kladně orientovaná Jordanova křivka, která obkrouží všechny konečné singulární body.
\frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial x}
+
\item předchozí rovnici vydělíme $2\pi\ui$ a převedeme integrál na druhou stranu čímž důkaz dokončíme
\right]}_{=0}{\rm d}x\, dy=$$ $$ = 0 $$
+
\begin{equation*}
Hranaté závorky jsou nulové díky platnosti Cauchy-Riemannových podmínek.
+
\sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f-\underbrace{\frac{-1}{2\pi\ui}\int_{\dot{-}\varphi} f(z)\ud z}_{\rez_\infty f}=0
 
+
\end{equation*}
\subsubsection{Důsledky:}
+
\end{itemize}
Nechť $\varphi$ a $\psi$ jsou stejně orientované , po částech hladké Jordanovy křivky takové, že $\langle \varphi \rangle \subset Int \psi$ a nechť funkce $f$ je holomorfní na oblasti $\Omega$ obsahující $\overline{Int \psi} \, \backslash \, Int \varphi$. Potom: $$ \int_\varphi f(z) {\rm d}z =\int_\psi f(z) {\rm d}z$$
+
Důkaz: $$\int_\varphi f(z) {\rm d}z = \int_{\varphi_1 \dot{+} \varphi_2} f(z) {\rm d}z =   \int_{\varphi_1 \dot{+} \varphi_4 \dot{-} \psi_1 \dot{+} \varphi_3} f(z) {\rm d}z + \int_{\varphi_2 \dot{-} \varphi_3 \dot{-} \psi_2 \dot{-} \varphi_4} f(z) {\rm d}z +\int_{\psi_1 \dot{+} \psi_2} f(z) {\rm d}z =$$ $$= \int_\psi f(z) {\rm d}z$$
+
%
 
+
\subsubsection{Příklad}
\pozn{} Body, v nichž funkce $f$ není holomorfní nezveme \emph{singulární}. Věta říká, že integrál z $f$ se nezmění pokud křivky $\varphi$ a $\psi$ mají stejnou orientaci a obě obíhají stejné singulární body.
+
\begin{equation*}
 
+
f(z)=\int_{|z|=2} \frac{1}{z^{10}+1}\ud z
\defi{Index bodu} Nechť $\psi$ je po částech hladká, uzavřená křivka (ne nutně Jordanova) a $z_0 \zC \, \backslash \, \langle \varphi \rangle$. Index bodu $z_0$ vzhledek ke křivce $\varphi$ je definován předpisem: $$ \ind_\varphi z_0 = \frac {1} {2 {\rm \pi} i} \int_\varphi \frac {{\rm d}z}{z-z_0}$$
+
\end{equation*}
 
+
Integrál můžeme počítat dvěma způsoby
\pozn{} Vlastnosti $\ind_\varphi z_0$. Nechť $\varphi$ je Jordanova křivka. Funkce $f(z)=\frac{1}{z-z_0}$ je holomorfní $\forall z \zC \, \backslash \, {z_0}$.
+
\begin{enumerate}
\begin{itemize}
+
\item najdeme singulární body funkce $f(z)$. Řešíme rovnici $z^{10}=-1$, ta má celkem 10 kořenů rozložených na kružnici $|z|=1$. Museli bychom tedy najít všech 10 reziduí a spočítat integrál pomocí reziduové věty \eqref{eq:reziduova_veta}.
\item $z_0 \in Ext \varphi \Rightarrow \ind_\varphi z_0= 0$ z Cauchyho věty
+
\item použijeme zobecněnou reziduovou větu a integrál spočteme přímo.
\item $z_0 \in Int \varphi \Rightarrow \ind_\varphi z_0=\frac {1} {2 {\rm \pi} i} \underbrace{\int_\psi \frac {{\rm d}z}{z-z_0}}_{2 {\rm \pi} i} = 1$, kde $\psi$ je dost malá kružnice se středem v $z_0$ a poloměrem takovým, že $<\psi> \subset Int \varphi$
+
\begin{equation*}
\end{itemize}
+
\sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f=-\rez_\infty f
Pokud $z_0 \in Int \varphi$ a $\varphi$ je záporně orientovaná, pak $$\ind_\varphi z_0=\frac {1} {2 {\rm \pi} i} \int_\psi \frac {{\rm d}z}{z-z_0} = -1$$ $\psi$ je \emph{záporně} orientovaná kružnice se středem $z_0$ a poloměrem $R>0$ dost malým, aby křivka $<\psi> \subset Int \varphi$.\\
+
\end{equation*}
Pokud je $\varphi$ uzavřená,ale ne Jordanova $\ind_\varphi z_0 \in {\bf Z}$ udává počet oběhu daného bodu křivkou $\varphi$, oběhy v kladném smyslu se přičítají, v záporném odečítají.
+
\begin{align*}
 
+
\frac{1}{z^{10}+1} & =\frac{1}{z^{10}}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{z^{10}}}=\frac{1}{z^{10}}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( -\frac{1}{z^{10}} \right)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{z^{10(n+1)}} \\
\veta{Cauchyho integrální vzorec} Nechť $\varphi$ je po částech hladká Jordanova křivka a nechť $f$ je holomorfní na obslati $\Omega \supset \overline{Int \varphi}$. Potom $\forall z_0 \in Int \varphi$ platí:
+
& = \frac{1}{z^{10}}-\frac{1}{z^{20}}+\frac{1}{z^{30}}-\dots
$$f(z_0)= \frac {1}{2{\rm \pi} i \cdot \ind_\varphi z_0} \int_\varphi \frac{f(z) {\rm d}z}{z-z_0}$$
+
\end{align*}
Hodnoty holomorfní funkce v Int $\varphi$ jsou jednoznačně určeny hodnotami $f$ na $\langle \varphi \rangle$.\footnote{Například v elektrostatice u potenciálu. Hodnoty potenciálu na povrchu tělesa určují hodnoty potenciálu uvnitř tělesa.}\\
+
koeficient $a_{-1}$ se tedy rovná 0 = rez$_\infty f \implies \int_{|z|=2} \frac{1}{z^{10}+1}\ud z=0$.
Důkaz: $$\frac {1}{2{\rm \pi} i \cdot \ind_\varphi z_0} \int_\varphi \frac{f(z) {\rm d}z}{z-z_0}=\frac {1}{2{\rm \pi} i \cdot \ind_\varphi z_0} \left[
+
\end{enumerate}
\underbrace{
+
\int_\varphi \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z
+
%
}_{I_1}
+
\subsubsection{Věta}
  + \int_\varphi \frac{f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z
+
Nechť $f$ je holomorfní v $z_0$ a $g$ má v $z_0$ pól prvního stupně. Potom
\right] $$
+
\begin{equation}
 
+
\rez_{z_0} f\cdot g=f(z_0)\cdot \rez_{z_0}g
Křivka $\psi \ldots$ malá kružnice se středem $z_0$ s poloměrem $R>0$. $\langle \psi \rangle \subset Int \varphi$, stejně orientovaná jako $\varphi$.
+
\end{equation}
$$ I_1 = \int_\psi \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z$$
+
$$|I_1|=\left|\int_\psi \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z \right| \leq 2 {\rm \pi} R \cdot \max_{z \in \langle \psi \rangle}
+
\hfill \\
\underbrace{
+
\emph{Důkaz:}
\left|
+
\begin{align*}
\frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}
+
\rez_{z_0} f\cdot g & = \lim_{z\to z_0} (z-z_0) f(z)g(z) \\
\right|
+
& = \underbrace{\lim_{z\to z_0}f(z)}_{=f(z_0)}\cdot \underbrace{\lim_{z\to z_0} (z-z_0)g(z)}_{=\rez_{z_0}g}
}_{\hbox{spojitá fce na $\langle \psi \rangle$}}
+
\end{align*}
$$
+
+
%
pro $R \rightarrow 0 \quad \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \longmapsto f'(z_0)$\\
+
\subsubsection{Věta}
pro $R \in H^+_0$ lze hodnoty $\left| \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right|$ odhadnout shora pomocí konstanty $M>0$
+
Nechť $f$, $g$ jsou holomorfní v $z_0$, $g(z_0)=0$, $g'(z_0)\neq 0$. Potom
$$ |I_1| \leq 2 {\rm \pi} R M \qquad | \lim\limits_{R \rightarrow 0}$$
+
\begin{equation}
$$ |I_1| = 0 \Rightarrow I_1 = 0 $$
+
\rez_{z_0} \frac{f}{g}=\frac{f(z_0)}{g'(z_0)}
$$ \frac {(\ind_\varphi z_0)^{-1}} {2 {\rm \pi} i } \int\limits_\varphi \frac {f(z)}{z-z_0}{\rm d}z = 0 + \frac {f(z_0)} {\ind_\varphi z_0} \frac {1} {2 {\rm \pi} i } \int\limits_\varphi \frac {{\rm d}z}{z-z_0}$$
+
\end{equation}
 
+
\pr{}
+
\hfill \\
 
+
\emph{Důkaz:}
\veta{Rozvoj holomorfní funkce v mocninou řadu}
+
\begin{equation*}
Nechť $f$ je holomorfní v kruhu $B(z_0,R)$, kde $R>0$. Potom $\forall z \in B(z_0,R)$ platí: $$ f(z) = \sum^{+\infty}_{n=0} a_n (z-z_0)^n,$$
+
\rez_{z_0} \frac{f(z)}{g(z)}= \underbrace{\lim_{z\to z_0}\frac{(z-z_0)}{g(z)-\underbrace{g(z_0)}_{=0}}}_{=\frac{1}{g'(z_0)}}f(z)=\frac{f(z_0)}{g'(z_0)}
$$ \hbox {kde  } a_n = \frac{1}{2 {\rm \pi} i} \int\limits_\varphi \frac {f(\xi)}{(\xi - z_0)^{n+1}} {\rm d} \xi $$
+
\end{equation*}
 
+
a $\varphi$ je kladně orientovaná po částech hladká Jordanova křivka taková, že $\langle \varphi \rangle \subset B(z_0,R)$ a $ z_0 \in Int \varphi$.
+
 
+
\subsubsection{Důsledek: Cauchyho integrální vzorec pro derivace}
+
 
+
 
+
\pozn{}
+
 
+
\pozn{}
+
 
+
\pr{}
+
 
+
\pozn{}
+

Aktuální verze z 19. 6. 2016, 00:31

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01VYMA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01VYMADrtikol 7. 6. 201112:40
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:47
Header editovatHlavičkový souborDrtikol 7. 6. 201112:50 header.tex
Kapitola1 editovatFourierovy řadyDrtikol 7. 6. 201112:44 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatKomplexní čísla, Funkce komplexní proměnnéJohndavi 19. 6. 201600:19 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatLaurentovy řadyJohndavi 19. 6. 201600:31 kapitola3.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01VYMA}
 
\section{Laurentovy řady}
Zobecnění mocniných řad.
 
	\subsection{Laurentovy řady}
 
		\subsubsection{Definice}
		Nechť $(a_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ je libovolná posloupnost komplexních čísel, pak řada
		\begin{equation} \label{eq:L_rada}
			\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n = \underbrace{\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n}_{\mathrm{regulární \ část}} + \underbrace{\sum_{n=-\infty}^{-1} a_n(z-z_0)^n}_{\mathrm{hlavní \ část}}
		\end{equation}
		se nazývá Laurentova řada.
 
		\subsubsection{Poznámka}
		Konverguje-li regulární část pro $|z-z_0|<R$ a konverguje-li hlavní část pro $\left|\frac{1}{z-z_0}\right|<r$, tj. $|z-z_0|>\frac{1}{r}$ pak řada \eqref{eq:L_rada} konverguje pro $\frac{1}{r}<|z-z_0|<R$.
 
		\subsubsection{Poznámka - mezikruží}
		Mezikruží definujeme jako $P(z_0,r,R)=\{z\in \mathbb{C}:\frac{1}{r}<|z-z_0|<R\}$ \\
		Speciální případ -- prstencové okolí $P(z_0,0,R)=\{z\in \mathbb{C}:0<|z-z_0|<R\}$
 
		%
		\subsubsection{Věta - Laurentova}
		Nechť $f$ je holomorfní na mezikruží $P(z_0,r,R)$. Potom pro všechna $z \in P$ platí, že
		\begin{equation} \label{eq:L_rada2}
			f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \qquad \mathrm{kde}
		\end{equation}
		\begin{equation} \label{eq:koeficienty}
			a_n=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}}
		\end{equation}
		pro kladně orientovanou, po částech hladkou Jordanovu křivku $\varphi$, $\langle\varphi\rangle \in P(z_0,r,R) \wedge z_0 \in$ Int$\varphi$.
 
		%
		\subsubsection{Definice}
		Řadu \eqref{eq:L_rada2} nazýváme Laurentovou řadou funkce $f$ v bodě $z_0$ pro mezikruží $P(z_0,r,R)$.
 
		\subsubsection{Poznámka}
		Koeficienty \eqref{eq:koeficienty} řady \eqref{eq:L_rada2} funkce $f$ pro dané mezikruží $P(z_0,r,R)$ jsou dány jednoznačně.
 
		\hfill \\
		\emph{Důkaz:}
		\begin{itemize}
			\item nejprve dokážeme jednoznačnost sporem
			\item nechť tedy existují koeficienty $a_n$ dané rovnicí \eqref{eq:koeficienty} a nechť zároveň existují koeficienty $b_n\neq a_n$ takové, že
			\begin{equation*}
				f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad \wedge \quad f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} b_n(z-z_0)^n \qquad \forall z \in P(z_0,r,R)
			\end{equation*}
			\item dosadíme funkci s koeficienty $b_n$ do inegrálu \eqref{eq:koeficienty} pro $a_n$
			\begin{equation*}
				a_n=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} b_k(\xi-z_0)^{k-n-1} \ud \xi
			\end{equation*}
			\begin{equation*}
				a_n=\frac{1}{2\pi\ui} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} b_k \underbrace{\int_\varphi (\xi-z_0)^{k-n-1} \ud \xi}_{0 \dots k\neq n \ \lor \ 2\pi\ui \dots k=n} = b_n
			\end{equation*}
			což je spor.
 
			\item nyní dokážeme existenci
			\item okraje mezikruží posuneme o $\varepsilon$ dovnitř a budeme vyšetřovat integrály přes tyto nové křivky $\psi_{1,2}$.
			\item použijeme Cauchyho vzorec, který budeme dál upravovat
			\begin{align*}
				f(z) & = \frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z)}-\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z)} \\
				& = \frac{1}{2\pi\ui}\left( \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)(1-\frac{z-z_0}{\xi-z_0})}-\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)(1-\frac{\xi-z_0}{z-z_0})} \right) \\
				& = \frac{1}{2\pi\ui}\left( \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)}\cdot\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{z-z_0}{\xi-z_0}\right)^n+\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)}\cdot\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{\xi-z_0}{z-z_0}\right)^n \right) \\
				& = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2\pi\ui} \int_{\psi_1} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}}(z-z_0)^n+\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\psi_2} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{-n}}(z-z_0)^{-n-1} \\
				& = \sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n+\sum_{n'=-\infty}^{-1} \underbrace{\frac{1}{2\pi\ui}\int_{\varphi} \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n'+1}}}_{a_n'}(z-z_0)^{n'}
			\end{align*}
		\end{itemize}
 
		%
		\subsubsection{Příklad}
		Mějme funkci $f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$, která je holomorfní $\forall z \in \mathbb{C} \backslash \{1,2\}$. Hledáme Laurentovu řadu $f$ pro mezikruží $P(0,1,2)$.
		\begin{equation*}
			f(z)=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}
		\end{equation*}
		pro $z \in P(0,1,2): 1<|z|<2$.
		\begin{align*}
			\frac{1}{z-2} & =-\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{z}{2}}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{z}{2} \right)^n \\
			-\frac{1}{z-1} & =-\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=-\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( \frac{1}{z} \right)^n
		\end{align*}
		\begin{equation*}
			f(z)=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{2^n} - \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{z^{n+1}}
		\end{equation*}
 
		%
		\subsubsection{Definice - klasifikace singularit}
		Řekneme, že $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$, je-li $f$ holomorfní na nějakém prstencovém okolí $z_0$ (na celém okolí $z_0$ s vyjímkou bodu $z_0$ samotného).
 
		Pokud $z_0$ je izolovaná singularita, pak $z_0$ je
		\begin{description}
			\item[odstranitelná singularita] \hfill \\ $\iff$ Laurentův rozvoj funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$ má nulovou hlavní část.
			\item[pól stupně $m$]\hfill \\ $\iff$ Laurentův rozvoj funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$ má konečně mnoho nenulových členů v hlavní části. $a_{-m} \neq 0 \ \wedge \ a_k =0 \ \forall k<m$
			\item[podstatná singularita]\hfill \\ $\iff$ hlavní část Laurentova rozvoje obsahuje nekonečně mnoho nenulových členů.
		\end{description}
 
		%
		\subsubsection{Příklady}
		\begin{itemize}
			\item $f(z)=\frac{\sin(z)}{z}$, $Dom(f)=\mathbb{C} \backslash \{0\}$
			\begin{equation*}
				f(z)=\frac{1}{z}\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n+1)!}
			\end{equation*}
			$\implies$ 0 je odstranitelná singularita.
 
			\item $f(z)=\frac{z}{(z-1)^3}$, holomorfní na $\mathbb{C} \backslash \{1\}$
			\begin{equation*}
				f(z)=\frac{z-1+1}{(z-1)^3}=\frac{1}{(z-1)^3}+\frac{1}{(z-2)^2}
			\end{equation*}
			$\implies$ 1 je pól stupně 3.
 
			\item $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$, holomorfní $\forall z \in \mathbb{C} \backslash \{0\}$
			\begin{equation*}
				f(z)=\sum^{+\infty}_{n=0} \frac{1}{n!z^n}=1+\sum^{-1}_{n=-\infty} \frac{z^n}{(-n)!}
			\end{equation*}
			$\implies$ 0 je podstatná singularita.
		\end{itemize}
 
		%
		\subsubsection{Věta}
		Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Potom $z_0$ je odstranitelná singularita $\iff$ existuje limita
		\begin{equation*}
			\lim_{z \to z_0}f(z)
		\end{equation*}
		a je konečná.
 
		\hfill \\
		\emph{Důkaz:}
		\begin{itemize}\item dokážeme implikaci "$\Rightarrow$"
			\begin{equation*}
				f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \implies \lim_{z \to z_0}f(z)=a_0
			\end{equation*}
		\end{itemize}
 
		%	
		\subsubsection{Věta}
		Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Potom $z_0$ je pólem $k$-tého stupně
		\begin{equation*}
			\iff f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0)^k}
		\end{equation*}
		na nějakém okolí $z_0$, kde $g$ je holomorfní v $z_0$ a $g(z_0)\neq 0$.
 
		\hfill \\
		\emph{Důkaz:}
		\begin{itemize}\item nejprve dokážeme implikaci "$\Rightarrow$"
			\begin{align*}
				f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-k}}^{\neq 0}}{(z-z_0)^k}+\frac{a_{-k+1}}{(z-z_0)^{k-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{(z-z_0)^1}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n\\
				& = \frac{1}{(z-z_0)^k}[\underbrace{a_{-k}+a_{-k+1}(z-z_0)+\dots+a_{-1}(z-z_0)^{k-1}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+k}}_{g(z), \ g(z_0)=a_{-k}}]
			\end{align*}
 
			\item zbývá dokázat implikaci "$\Leftarrow$"
			\begin{align*}
				f(z) & =\frac{g(z)}{(z-z_0)^k}=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n-k} \\
				& = \frac{\overbrace{a_0}^{\neq 0}}{(z-z_0)^k}+\frac{a_1}{(z-z_0)^{k-1}}+ \dots \\
				g(z) & = a_0+a_1(z-z_0)+ \dots
			\end{align*}
		\end{itemize}
 
		%
		\subsubsection{Věta}
		Nechť $z_0 \in \mathbb{C}$ je izolovaná singularita funkce $f$. Bod $z_0$ je pól stupně $k$ funkce $f$
		\begin{equation*}
			\iff \exists \lim_{z\to z_0} (z-z_0)^k f(z) \neq 0 = a_{-k}
		\end{equation*}
 
		%
	\subsection{Reziduum}				% REZIDUUM
 
		\subsubsection{Poznámka}
		Z koeficientů $(a_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ Laurentova rozvoje funkce $f$ je v mezikruží $P(z_0,0,R)$, $R>0$ důležitý právě $a_{-1}$.
		\begin{equation*}
			a_{-1}=\frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi f(\xi)\ud\xi
		\end{equation*}
		kde $\varphi$ je Jordanova křivka, $\langle \varphi \rangle \subset P(z_0,0,R)$ a $z_0 \in$ Int$\varphi$. Pokud totiž známe $a_{-1}$, snadno vypočteme integrál 
		\begin{equation*}
			\int_\varphi f(\xi)\ud\xi=2\pi\ui\cdot a_{-1}
		\end{equation*}
 
		%
		\subsubsection{Definice - reziduum}
		Nechť $z_0$ je singulární bod funkce $f$ a řada \eqref{eq:L_rada2} je Laurentův rozvoj funkce $f$ na mezikruží $P(z_0,0,R)$, kde $R>0$. Koeficient $a_{-1}$ rozvoje v $z_0$ funkce $f$ nazýváme reziduem funkce $f$ v bodě $z_0$.
 
		%
		\subsubsection{Věta - metody výpočtu rezidua}
		\begin{enumerate}
			\item $z_0$ je podstatná singularita $\implies$ problém, nutno umět sestrojit Laurentův rozvoj.
			\item $z_0$ je odstranitelná singularita ($f$ je holomorfní v $z_0$) $\implies$ rez$_{z_0}f=0$.
			\item $z_0$ je pól stupně 1
			\begin{align*}
				\implies f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-1}}^{\neq 0}}{(z-z_0)}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad /\cdot(z-z_0) \\
				(z-z_0)f(z) & = a_{-1} + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+1} \quad /\lim_{z\to z_0}
			\end{align*}
			\begin{equation}
				\lim_{z\to z_0} (z-z_0)f(z)=a_{-1}
			\end{equation}
 
			\item $z_0$ je pól stupně $m>1$
			\begin{align*}
				\implies f(z) & =\frac{\overbrace{a_{-m}}^{\neq 0}}{(z-z_0)^m}+\frac{a_{-m+1}}{(z-z_o)^{m-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{(z-z_0)}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \quad /\cdot(z-z_0)^m \\
				(z-z_0)^mf(z) & =a_{-m}+a_{-m+1}(z-z_0)+\dots+ a_{-1}(z-z_0)^{m-1} + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-z_0)^{n+m} \quad /\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}} \\
				\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}(z-z_0)^mf(z) & =a_{-1}(m-1)!+\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}(z-z_0)^{n+m} \quad /\lim_{z\to z_0}
			\end{align*}
			\begin{equation}
				\lim_{z\to z_0}\frac{1}{(m-1)!}\frac{\ud^{m-1}}{\ud z^{m-1}}\left[(z-z_0)^m f(z)\right]=a_{-1}
			\end{equation}
		\end{enumerate}
 
		%
		\subsubsection{Věta - Cauchyho-reziduová}
		Nechť funkce $f(z)$ je holomorfní na oblasti $\Omega \in \mathbb{C}$ s vyjímkou konečného počtu bodů (tj. $\exists M \subset \Omega$ konečná tak, že $f$ je holomorfní na $\Omega\backslash M$). Nechť $\varphi$ je uzavřená, po čátech hladká křivka, $\langle \varphi \rangle \subset \Omega$. Potom
		\begin{equation} \label{eq:reziduova_veta}
			\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{w\in M} \ind_\varphi w \cdot \rez_w f
		\end{equation}
 
		%
		\subsubsection{Poznámka}
		Díky ind$_\varphi w$ si zahrajou jen body uvnitř křivky $\varphi$. Je-li $\varphi$ kladně orientovaná, pak
		\begin{equation*}
			\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{w\in M} \rez_w f
		\end{equation*}
 
		\subsubsection{Příklad}
		Vypočtěte pomocí reziduové věty reálný integrál $\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} $, pro $a>1$\\
		\begin{equation*}
			\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} = 2 \int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{2a+e^{it}+e^{-it}} = 
		\begin{vmatrix} 
		z = e^{it} \\
		\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=iz\\
		\end{vmatrix}
		= \frac{2}{i} \int_{|z|=1} \dfrac{\mathrm{d}z}{2az+z^2+1}
		\end{equation*}
 
		funkce $ \dfrac{1}{z^2+2az+1}$ má na kruhu ohraničeném $ |z| = 1 $ pouze jediný singulární bod $z_0 =-a+\sqrt{a^2-1}$, zjevně se jedná o pól stupně 1, snadno tedy určíme reziduum
 
		\begin{equation*}
		\mathrm{rez}_{z_0} \dfrac{1}{z^2+2az+1} = \lim_{z\rightarrow z_0}\dfrac{z+a-\sqrt{a^2-1}}{z^2+2az+1} = \dfrac{1}{2\sqrt{a^2-1}}
		\end{equation*}
 
		a finální výsledek získáme použitím Cauchyho-reziduové věty		
 
			\begin{equation*}
		\int_0^{2\pi} \dfrac{\mathrm{d}t}{a+\cos{t}} = \frac{2}{i} \cdot 2\pi i \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{a^2-1}} = \dfrac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}
		\end{equation*}	
 
		%
		\subsubsection{Věta - rozvoj funkce v okolí $\infty$}
		Nechť funkce $f$ je holomorfní na okolí $\infty$, tj. $\forall z, |z|>R$. Zavedeme substituci $z=\frac{1}{w}$, $f(z)=f\left(\frac{1}{w}\right):=g(w) \implies g(w)$ je holomorfní na okolí 0.
 
		\subsubsection{Poznámka}
		Studujeme hlavní část Laurentova rozvoje funkce $g(w)$ v okolí 0 (záporné mocniny $w \implies$ kladné mocniny $z$). $f(z)$ je holomorfní v $\infty \iff g(w)$ je holomorfní v 0. Pokud toto platí, definuji $f(\infty)=g(0)=\lim_{z\to\infty}f(z)$. Charakter singularity funkce $f(z)$ v $\infty$ je stejný jako $g(w)$ v 0.
		\begin{enumerate}
			\item odstranitelná singularita:
			\begin{equation*}
				g(w)=\sum_{n=0}^\infty a_n w^n \quad \implies \quad f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^{-n}
			\end{equation*}
			\item pól stupně $m$
			\begin{align*}
				g(w) & =\frac{a_{-m}}{w^m}+\frac{a_{-m+1}}{w^{m-1}}+ \dots +\frac{a_{-1}}{w}+\sum_{n=0}^{+\infty} a_nw^n \\
				f(z) & =a_{-m}z^m+a_{-m+1}z^{m+1}+\dots+ a_{-1}z + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{z^n}
			\end{align*}
			\item podstatná singularita
			\begin{align*}
				g(w) & =\sum_{n=0}^{+\infty} a_nw^n + \sum_{n=-\infty}^{-1} a_nw^n \\
				f(z) & =\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{z^n}+\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{a_n}{z^n}
			\end{align*}
		\end{enumerate}
 
		%
		\subsubsection{Příklady}
		\begin{itemize}
			\item $f(z)=\frac{1}{z}$
			\begin{equation*}
				\lim_{z\to\infty} \frac{1}{z}=0 \qquad f(\infty)=0
			\end{equation*}
			$\implies \infty$ je odstranitekná singularita.
 
			\item $f(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+a_0$ \\
			$\implies \infty$ je pól stupně $n$.
 
			\item $f(z)=e^z$
			\begin{equation*}
				f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}
			\end{equation*}
			$\implies \infty$ je podstatnou singularitou funkce $f(z)$.
 
			\item $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$
			\begin{equation*}
				f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!z^n}
			\end{equation*}
			$\implies$ 0 je podstatná singularita, funkce $f(z)$ je holomorfní v $\infty$ (s odstranitelnou singularitou), $f(\infty)=e^0=1$.
		\end{itemize}
 
		%
		\subsubsection{Definice}
		Nechť funkce $f$ je holomorfní pro $|z|>R$. Reziduem v $\infty$ funkce $f$ nazveme
		\begin{equation} \label{eq:reziduum_nekonecna}
			\rez_\infty f= \frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi f(z)\ud z
		\end{equation}
		kde $\varphi(t)=\varrho e^{-\ui t}$ je {\bf záporně} orientovaná kružnice, $0\leq t\leq 2\pi$, $\varrho>R$.
 
		%
		\subsubsection{Poznámka}
		Vzpomeňte
		\begin{equation*}
			\rez_{z_0}f = \frac{1}{2\pi\ui}\int_\varphi f(z)\ud z
		\end{equation*}
		$ = a_{-1}$ v Laurentově rozvoji funkce $f$ na $P(z_0,0,R)$, $\varphi$ je kladně orientovaná. \\
		Obdobně rez$_\infty f =$ \eqref{eq:reziduum_nekonecna} $=-a_{-1}$ v Laurentově rozvoji funkce $f$ v okolí $\infty$. $\varphi$ je záporně orientovaná.
 
		%
		\subsubsection{Příklad}
		$f(z)=\frac{1}{z}$, $\infty$ je odstranitelná singularita.
		\begin{equation*}
			\frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi f(z)\ud z=\frac{1}{2\pi\ui} \underbrace{\int_\varphi \frac{\ud z}{z}}_{=-2\pi\ui}=-1
		\end{equation*}
		protože $\varphi$ je záporně orientovaná.
 
		%
		\subsubsection{Věta - zobecněná reziduová}
		Má-li funkce $f$ v $\mathbb{C}^*$ konečně mnoho singularit, je součet jejich reziduí roven 0.
 
		\hfill \\
		\emph{Důkaz:}
		\begin{itemize}
			\item vyjdeme z reziduové věty \eqref{eq:reziduova_veta}.
			\begin{equation*}
				\int_\varphi f(z)\ud z=2\pi\ui \sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f
			\end{equation*}
			kde $\varphi$ je kladně orientovaná Jordanova křivka, která obkrouží všechny konečné singulární body.
			\item předchozí rovnici vydělíme $2\pi\ui$ a převedeme integrál na druhou stranu čímž důkaz dokončíme
			\begin{equation*}
				\sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f-\underbrace{\frac{-1}{2\pi\ui}\int_{\dot{-}\varphi} f(z)\ud z}_{\rez_\infty f}=0
			\end{equation*}
		\end{itemize}
 
		%
		\subsubsection{Příklad}
		\begin{equation*}
			f(z)=\int_{|z|=2} \frac{1}{z^{10}+1}\ud z
		\end{equation*}
		Integrál můžeme počítat dvěma způsoby
		\begin{enumerate}
			\item najdeme singulární body funkce $f(z)$. Řešíme rovnici $z^{10}=-1$, ta má celkem 10 kořenů rozložených na kružnici $|z|=1$. Museli bychom tedy najít všech 10 reziduí a spočítat integrál pomocí reziduové věty \eqref{eq:reziduova_veta}.
			\item použijeme zobecněnou reziduovou větu a integrál spočteme přímo.
			\begin{equation*}
				\sum_{k=1}^p \rez_{z_k} f=-\rez_\infty f
			\end{equation*}
			\begin{align*}
				\frac{1}{z^{10}+1} & =\frac{1}{z^{10}}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{z^{10}}}=\frac{1}{z^{10}}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( -\frac{1}{z^{10}} \right)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{z^{10(n+1)}} \\
				& = \frac{1}{z^{10}}-\frac{1}{z^{20}}+\frac{1}{z^{30}}-\dots
			\end{align*}
			koeficient $a_{-1}$ se tedy rovná 0 = rez$_\infty f \implies \int_{|z|=2} \frac{1}{z^{10}+1}\ud z=0$.
		\end{enumerate}
 
		%
		\subsubsection{Věta}
		Nechť $f$ je holomorfní v $z_0$ a $g$ má v $z_0$ pól prvního stupně. Potom
		\begin{equation}
			\rez_{z_0} f\cdot g=f(z_0)\cdot \rez_{z_0}g
		\end{equation}
 
		\hfill \\
		\emph{Důkaz:}
		\begin{align*}
			\rez_{z_0} f\cdot g & = \lim_{z\to z_0} (z-z_0) f(z)g(z) \\
			& = \underbrace{\lim_{z\to z_0}f(z)}_{=f(z_0)}\cdot \underbrace{\lim_{z\to z_0} (z-z_0)g(z)}_{=\rez_{z_0}g}
		\end{align*}
 
		%
		\subsubsection{Věta}
		Nechť $f$, $g$ jsou holomorfní v $z_0$, $g(z_0)=0$, $g'(z_0)\neq 0$. Potom
		\begin{equation}
			\rez_{z_0} \frac{f}{g}=\frac{f(z_0)}{g'(z_0)}
		\end{equation}
 
		\hfill \\
		\emph{Důkaz:}
		\begin{equation*}
			\rez_{z_0} \frac{f(z)}{g(z)}= \underbrace{\lim_{z\to z_0}\frac{(z-z_0)}{g(z)-\underbrace{g(z_0)}_{=0}}}_{=\frac{1}{g'(z_0)}}f(z)=\frac{f(z_0)}{g'(z_0)}
		\end{equation*}