01RMF:Kapitola6: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
Řádka 204: Řádka 204:
  
 
\item Nyní ukážeme, že $p(x) \mathscr{W}(x) = konst. $
 
\item Nyní ukážeme, že $p(x) \mathscr{W}(x) = konst. $
 +
Toto ověříme přímým výpočtem:
 +
$$(p\mathscr{W})' = (p( v_0 v_1' - v_1 v_0'))' = v_0' p v_1' + v_0\underbrace{(pv_1')'}_{qv_1} - v_1' p v_0' - v_1\underbrace{(pv_0')'}_{qv_0} = qv_0v_1 -  q_v_1v_ = 0$$
 +
 +
\item Nalezneme funkce $C_0, C_1$.
 +
$$ \left(
 +
\begin{array}{c}
 +
C_0' \\
 +
C_1'
 +
\end{array}
 +
\right) = \frac{1}{\mathscr{W}} \left(\begin{array}{cc}
 +
v_1' & -v_1 \\
 +
-v_0' & v_0
 +
\end{array} \right) \left(
 +
\begin{array}{c}
 +
0 \\
 +
-\frac{f}{p}
 +
\end{array}
 +
\right) = \frac{1}{p\mathscr{W}} \left(
 +
\begin{array}{c}
 +
fv_1\\
 +
-fv_0
 +
\end{array}
 +
\right) $$
 +
Tímto jsme dvojici obyčejných parciálních diferenciálních rovnic 1. řádu, které určují funkce $C_0, C_1$:
 +
\begin{eqnarray}
 +
\label{C_0}
 +
C_0' & = & \frac{1}{p\mathscr{W}} v_1f \\
 +
\label{C_1}
 +
C_1' & = & - \frac{1}{p\mathscr{W}} v_0 f
 +
\end{eqnarray}
 +
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}

Verze z 28. 12. 2016, 13:10

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01RMF

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01RMFMazacja2 16. 12. 201618:29
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůMazacja2 28. 12. 201613:12
Header editovatHlavičkový souborMazacja2 18. 12. 201621:10 header.tex
Kapitola0 editovatPředmluvaMazacja2 9. 11. 201620:51 predmluva.tex
Kapitola1 editovatMotivaceJohndavi 8. 4. 201916:34 motivace.tex
Kapitola2 editovatZobecněné funkceLomicond 7. 12. 201916:51 zobecnene_funkce.tex
Kapitola3 editovatIntegrální transformaceLomicond 25. 12. 201915:58 integralni_transformace.tex
Kapitola4 editovatŘešení dif. rovnicJohndavi 9. 4. 201915:15 reseni.tex
Kapitola5 editovatIntegrální rovniceJohndavi 8. 4. 201916:25 Kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSturm-Liouvilleova teorieJohndavi 8. 4. 201915:35 Kapitola6.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Eliptické diferenciální rovnice a operátory, Sturm-Liouvilleova teorie}
 
\begin{define}
Buď $G\subset \R^n$ omezená, otevřená množina. Nechť je dále $\partial G$ po částech z $\C^{1}$. Buďte dále $p\in \C^1(\bar{G})$, $q\in \C(\bar{G})$ takové funkce, 
že  $p(x) >0$ a $q(x) \geq 0$ pro všechna $x\in G$. Pak 
$$ Lf(x) = -\div(p(x)\grad f(x)) + q(x) f(x) = g(x)$$
nazýváme {\bf Sturm-Liovilleovou úlohou} s okrajovými podmínkami (Robinovými):
Existují funkce $\alpha(x),\beta(x)$ takové, že $\alpha \geq 0$, $\beta \geq 0$ a $\alpha+\beta >0$ takové, že 
$$ \alpha(x)f(x) + \beta(x)\pd{f}{\vec{n}} = 0\ \mbox{ na } \ \partial G,$$
kde $\vec{n}$ značí jednotkový vektor směřující ve směru vnější normály. 
\end{define}
 
\begin{remark}
Robinovy okrajové podmínky jsou jen kombinací dvou klasických podmínek, které je z nich možné snadno obdržet. Volíme-li
\begin{enumerate}
\item[$\alpha = 0$], pak má podmínka tvar $\pd{f}{\vec{n}} = 0\ \mbox{ na } \ \partial G$ a tuto podmínku běžně nazýváme {\it homogenní von Neumannovou okrajovou podmínkou}.
\item[$\beta =0$], pak má podmínka tvar $f(x) = 0\ \mbox{ na } \ \partial G$ a tuto podmínku běžně nazýváme {\it Dirichletovou okrajovou podmínkou}.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{remark}
Podmínky na funkce $p,q$ zajišťují eliptičnost operátoru, resp. rovnice. Provedeme-li totiž aplikaci divergence, obdržíme složky Laplaceova operátoru pronásobené funkcí $p(x)$, která je kladná. 
\end{remark}
 
V následující kapitole budeme zkoumat obecné vlastnosti operátoru $L$. Ty se budou odvíjet i od jeho definičního oboru, podobně jako tomu je u funkcí. 
Pro naše účely budeme brát za definiční obor operátoru $L$ množinu
$$\mathrm{Dom}(L) = \left\{f \in \C^2(G) \cap \C^1 (\bar{G}): Lf \in L^2(G) \ \mbox{a splňují okrajové podmínky}} \right\}$$
 
\section{Vlastnosti $L$}
Než si ukážeme několik vlastností operátoru $L$, rozepíšeme z praktických důvodů, následující integrál:
$$\displaystyle \int_{G}v(x)Lu(x) \dd x = \displaystyle \int_{G}\left(-\div(p(x)\grad u(x)) + q(x) u(x)\right)\dd x = - \displaystyle \int_{G}\left(\div(p(x)\grad u(x)) + q(x) u(x)\right)\dd x$$
Nyní využijeme jednu identitu vektorové analýzy, která říká, že 
$$\div (v(x)p(x)\grad u(x)) = p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x) \div( p(x)\grad u(x)).$$
Aplikací této identity na integrand obdržíme
$$- \displaystyle \int_G \div v(x)p(x)\grad u(x)) \dd x + \displaystyle \int_G (p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x)q(x)u(x)) \dd x =$$
$$ = - \displaystyle \int_{\partial G}  v(x)p(x)\underbrace{\grad u(x) \cdot \vec{n}}_{\pd{u(x)}{\vec{n}}} \dd S + \displaystyle \int_G (p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x)q(x)u(x) )\dd x $$
 
Nyní již přikročme k větě, která nám ozřejmí vlastnosti Sturm-Liouvilleova operátoru
\begin{theorem}
Buď $L$ operátor z definice výše s Robinovými okrajovými podmínkami. Buďte dále $u,v \in \mathrm{Dom}(L)$. Pak platí:
\begin{enumerate}
\item L je symetrický operátor, tj. $\forall u,v \in  \mathrm{Dom}(L) $ platí $\langle u,Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle $;
\item L je positivní operátor, tj. $\forall u \in  \mathrm{Dom}(L) $ platí $\langle u,Lu \rangle \geq 0$ ;
\item dimenze jádra operátoru $L$ je buď 0, nebo 1;
\item všechny vlastní hodnoty operátoru $L$ jsou nezáporné, tj. $\sigma(L) \subset \R^+$;
\item vlastní funkce příslušné různým vlastním hodnotám jsou na sebe kolmé;
\item vlastní funkce lze volit reálné. 
\end{enumerate}
 
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Jelikož $\langle u,Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle \Leftrightarrow \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle =0 $, budeme zkoumat tento výraz a využijeme přitom faktu, že operátor $L$ má reálné koeficienty a rozepsání integrálu, které jsme provedli výše: 
$$ \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle  = \displaystyle \int_G \bar{u}Lv - \overline{Lu} v \ \dd x =  \displaystyle \int_G \bar{u}Lv - L\bar{u} v \ \dd x =$$
$$ =  -\displaystyle \int_{\partial G}p\left(\bar{u}\pd{v}{\vec{n}} - v \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \right)\dd S + \displaystyle \int_G 
\left[ p\grad \bar{u} \grad v + \bar{u}vq -\left(p\grad v \grad \bar{u} + v\bar{u}q\right) \right]\dd x  = $$
$$ = - \displaystyle \int_{\partial G}p\left(\bar{u}\pd{v}{\vec{n}} - v \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \right)\dd S$$
Abychom ukázali, že tento výraz je rovný nule, využijeme počáteční podmínky:
Ty jsou pro  funkce $\bar{u}$ a $v$ následující: $\left\{\begin{array}{ll} \alpha \bar{u} + \beta \pd{\bar{u}}{\vec{n}}, &\mbox{na } \partial G, \\ \alpha v + \beta\pd{v}{\vec{n}}, &\mbox{na } \partial G. \end{array}\right.$ Toto lze ale ekvivalentně přepsat na tvar rovnice pro $\alpha$, $\beta$:
$$ \left(\begin{array}{cc} 
\bar{u} & \displaystyle \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \\ 
v & \displaystyle \pd{v}{\vec{n}}
\end{array} \right)  \left(
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta 
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array}
\right) $$
Tohle ale je ekvivalentní s tvrzením, že
$$ \left| \begin{array}{cc} 
\bar{u} & \displaystyle \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \\ 
v & \displaystyle \pd{v}{\vec{n}}
\end{array} \right|  =  \bar{u}\pd{v}{\vec{n}} - v \pd{\bar{u}}{\vec{n}}  = 0$$ 
Tímto jsme ukázali, že integrand je nulový a tedy celý integrál  je nulový, čímž jsme ukázali, že operátor je symetrický. 
 
\item Nyní máme ukázat, že $\langle u,Lu \rangle \geq 0$. 
Rozepíšeme opět tento skalární součin a využijeme rozepsání integrálu
$$ \langle \bar{u},Lu \rangle   = \displaystyle \int_{G} \bar{u},Lu \ \dd x = - \displaystyle \int_{\partial G} \bar{u}p \pd{u}{\vec{n}} \dd S + 
\displaystyle \int_G p \grad \bar{u} \grad u + \bar{u}uq \ \dd x$$
Prozkoumáme integrandy u jednotlivých integrálů: 
\subitem Pro druhý integrand dostáváme odhad 
$$p \grad \bar{u} \grad u = p \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\pd{\bar{u}}{x_j}\pd{u}{x_j}  = p \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert ^2 >0,$$
přičemž využíváme kladnosti funkce $p$.
\subitem Pro třetí integrand dostáváme tento odhad (a tentokrát využíváme nezápornosti funkce $q$): 
$$ \bar{u}uq = \Vert u \Vert q \geq 0$$
\subitem Pro první integrand bude diskuse nezápornosti obsáhlejší. Využijeme pro ni počáteční podmínky: 
 
Jestliže  existuje $x_0$ takové, že $\alpha(x_0) = 0$, pak $\beta(x_0)>0$. Pak podmínka přechází na tvar $\beta(x_0)\pd{u}{\vec{n}}(x_0) = 0$. odtud pak již plyne, že $\pd{u}{\vec{n}}(x_0) = 0$. Pak ale pro všechna $x$ taková, že $\alpha(x)= 0$ plyne, že integrand $p\bar{u}\pd{u}{\vec{n}}$ je nulový. 
 
Jestliže  existuje $x_0$ takové, že $\beta(x_0) = 0$, pak $\alpha(x_0)>0$. Pak podmínka přechází na tvar $\alpha(x_0)u(x_0) = 0$. odtud pak již plyne, že $u(x_0) = 0$. Pak ale pro všechna $x$ taková, že $\beta(x)= 0$ plyne, že integrand $p\bar{u}\pd{u}{\vec{n}}$ je nulový. 
 
Označme $\Gamma = \left\{ x \in \partial G : \alpha(x) \neq 0 \land \beta(x) \neq 0 \right\}$. Pak $\forall x \in \Gamma$ platí
$$ \alpha u + \beta\pd{u}{\vec{n}} = 0 \Leftrightarrow u = - \frac {\beta}{\alpha}\pd{u}{\vec{n}}$$
Dosazením do prvního integrandu získáváme: 
$$ - p\bar{u}\pd{u}{\vec{n}} = p \frac {\beta}{\alpha} \overline{\pd{u}{\vec{n}}}\pd{u}{\vec{n}} = p \frac {\beta}{\alpha}\pd{\bar{u}}{\vec{n}}\pd{u}{\vec{n}} =  
p \frac {\beta}{\alpha} \left\Vert \pd{u}{\vec{n}}  \right\Vert ^2 \geq 0$$
Tímto jsme tedy dokázali, že je Sturm-Liouvilleův operátor positivní. 
\item Odhady, které jsme získali v předešlé části, použijeme i při dokazování dimense jádra. Ukážeme, že $\mathrm{dim}ker L= 1 \Rightarrow ker L$ obsahuje konstantní funkce a 
$\mathrm{dim}ker L= 0 \Rightarrow ker L $ obsahuje nulovou funkci. Berme tedy $u \in \mathrm{Dom} (L)$ takové, že $ u\in ker L$. Pak tedy z linearity plyne
$$ 0 = \langle u,Lu \rangle = displaystyle \int_{\Gamma} p \frac{\beta}{\alpha} \left\Vert \pd{u}{\vec{n}}  \right\Vert ^2 \dd S + 
\displaystyle \int_{G} p \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert ^2 + q \Vert u \Vert^2 \dd x$$
Jelikož jsou všechny členy dle předešlé části důkazu nezáporné, musí být rovny nule, chceme-li dostat v jejich součtu nulu. 
\subitem Pro druhý integrand máme 
$$ p \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert ^2 = 0 \Leftrightarrow \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert^2  = 0 \ \forall j\in \hat{n}.$$
Toto plyne z faktu, že $p>0$. Znamená to tedy, že $\pd{u}{x_j} = 0$ a tedy funkce $u $ je konstantní na $\bar{G}.$
Aby byla dimenze rovna jedné, musí být funkce $q \equiv 0$ na $G$. 
\subitem První integraand je při těěchto podmínkách již automaticky roven nule. Je-li ovšem dimense jádra 1, pak okrajová podmínka má tvar
$$\alpha u =0 \Rightarrow \alpha \equiv 0 \ \mbox{na } \partial G$$
 
Tedy shrňme výsledek tohoto důkazu: $\mathrm{dim} \ ker L =0$, nebo $\mathrm{dim}\ker L =1 \Leftrightarrow q \equiv 0 \ \mbox{na }G \land \alpha \equiv 0 \ \mbox{na } \partial G$. 
 
\item Buď $\lambda $ vlastní hodnota operátoru $L$, tj. $Lu = \lambda u$ pro jisté $u\in \mathrm{Dom}(L)$. Pak
$$ \langle u, Lu \rangle \geq 0 \Rightarrow  \langle u, \lambda u \rangle \geq 0 \Leftrightarrow \lambda \langle u,  u \rangle \geq 0 \Leftrightarrow \lambda \geq 0$$
Poslední nerovnost plyne z positivity skalárního součinu. 
 
\item Buďte $\lambda, \mu$ různé vlastní hodnoty operátoru $L$ a $u,v$ k nim příslušné vlastní vektory. Potom 
$$ \langle u, Lv \rangle = \langle u, \mu v \rangle \land \langle Lu, v \rangle = \langle \lambda u, v \rangle $$
Jelikož je ale operátor $L$ symetrický, platí $\langle u, Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle$. 
To ale říká, že 
$$ \langle u, \mu v \rangle = \rangle = \langle \lambda u \Rightarrow \mu  \langle u, v \rangle = \lambda \langle u, v \rangle \Leftrightarrow (\mu - \lambda)\langle u, v \rangle = 0 
\Leftrightarrow \langle u, v \rangle = 0 $$
Poslední ekvivalence plyne  z faktu, že $\mu$ a $\lambda$ jsou různé vlastní hodnoty. Tedy vlastní funkce $u,v$ jsou ortogonální. 
 
\item Poslední tvrzení dokážeme snadno. Předpokládejme, že $Lu = \lambda u$. Pak pomocí komplexního sdružení získáme 
$$ \overline{Lu} = \overline{\lambda u} = \lambda \bar{u}$$
Jelikož má $L$ reálné koeficienty, platí, že $\overline{Lu}  = L\bar{u}$. Pak ale 
$$ \lambda \bar{u} = L\bar{u} \land Lu = \lambda u $$
Tedy vektory $u$ a $\bar{u}$ jsou vlastní vektory stejné vlastní hodnoty, tedy i jejich součet je vlastním vektorem. Pak ale stačí volit jako reálnou funkci $u +\bar{u}$. 
Tímto jsme tedy explicitně našli konkrétní reálnou vlastní funkci příslušnou vlastní hodnotě $\lambda$. 
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\section{Sturm-Liouvilleova úloha pro 1 dimensi}
V této kapitole budeme řešit S-L úlohu pro 1 dimensi, což je případ, se kterým se člověk (ve zkouškových písemkách) setkává nejčastěji. Na konci této kapitoly budou rovněž zavedeny Greenovy funkce. 
Pro 1D má tedy úloha tvar:
 
\textit{Buď $G = (0,l)$, $l>0$ s hranicí $\partial G = \left\{0,l \right\}$. Buď dále $p>0$, $p\in \C^{(1)}\left(\left[0,l\right]\right)$ a $q\geq 0$, $q\in \C\left(\left[0,l\right]\right)$. 
Sturm-Liouvilleova úloha má pak tvar 
$$ L f(x) = -\frac{\dd }{\dd x}\left(p(x) \frac{\dd}{\dd x}f(x) \right) + q(x)f(x) $$
s okrajovou podmínkou pro dva body na hranici: 
Buďte $\alpha_0, \alpha_1, \beta_0, \beta_1 \geq 0$ tak, že $\alpha_0 + \beta_0 >0$ a $\alpha_1 + \beta_1 >0$, pak 
$$\alpha_0 f(0) - \beta_0 f'(0) = 0\footnote{Před druhým členem je skutečně mínus, neboť se jedná o derivaci ve směru vnější normály.}$$ 
$$\alpha_1 f(l) + \beta_1 f'(l) = 0$$ }
Budeme navíc předpokládat, že dimense jádra je 0. Tedy neplatí podmínka odvozená v předešlé kapitole, tj. není pravda, že $q(x) =0 \ \forall x \in G \land \alpha_0 = \alpha_1 = 0$. 
Spočítáme řešení této úlohy a získáme vlastnosti $L$. Při řešení této úlohy budeme postupovat v několika krocích:
\begin{enumerate}
\item 
Najdeme dvojici řešení $v_0$, $v_1$, která řeší úlohu $Lv_0 = 0 = Lv_1$ a splňují právě jednu z okrajových podmínek. 
Nechť tedy $v_0$ splňuje levou hraniční podmínku, tj. $$ \alpha_0 v_0 (0) - \beta_0 v'_0 (0) = 0,$$ 
a $v_1$ splňuje pravou hraniční podmínku, tj. $$ \alpha_1 v_1 (l) - \beta_1 v'_1 (l) = 0.$$ 
Že taková řešení existují, vyplývá z teorie diferenciálních rovnic. 
\item
Hledejme obecné řešení tvaru:
$$ u(x) = C_0(x)v_0(x) + C_1(x)v_1(x)$$
Pak po dosazení do S-L operátoru získáváme
$$ Lu = -\left(p(x)u'(x)\right)' + q(x)u(x) = -\left[ p(C_0'v_0 + C_0 v_0' + C_1' v_1 + C_1 v_1') \right]' + q (C_0 v_0 + C_1 v_1) = $$
$$ = -p'(C_0'v_0) - p (C_0'v_0)' - p(C_0 v_0')' - p'(C_0 v_0') - p'(C_1 'v_1) - p (C_1' v_1)' - p(C_1 v_1')' - p'(C_1 v_1') + q C_0 v_0 + q C_1 v_1 = $$
$$ = C_0 \underbrace{\left[ -(pv_0')' + qv_0 \right]}_{Lv_0 = 0} - p C_0' v_0'  + C_1 \underbrace{\left[ -(pv_1')' + qv_1 \right]}_{Lv_1 =0} - pC_1' v_1' - 
p'(C_0v_0') - p(C_0 v_0)' - p'(C_1' v_1) - p(C_1' v_1)'= $$
$$ = -\left[ p\left(C_0' v_0 + C_1' v_1 \right) \right]' - p \left( C_0' v_0' + C_1' v_1'\right) \stackrel{! }{=} f $$
Aby tohle platilo, je třeba nalézt funkce $C_0, C_1$ takové, že 
$$ C_0' v_0 + C_1' v_1  = 0 $$
$$ C_0' v_0' + C_1' v_1' = -\frac{f}{p} $$ 
Tuto soustavu lze maticově formulovat jako: 
$$ \left(\begin{array}{cc} 
v_0 & v_1 \\ 
v_0' & v_1'
\end{array} \right)  \left(
\begin{array}{c}
C_0' \\
C_1'
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
0 \\
-\frac{f}{p}
\end{array}
\right) $$
Matice soustavy je {\it Wronského matice} funkcí $v_0, v_1$, ozn.  $\mathcal{W}(v_0,v_1)$. Jestliže ukážeme, že {\it wronskián $\mathscr{W}$} je nenulový,
 tj. $\mathrm{det}\ \mathcal{W}(v_0,v_1) \neq 0 $ pro všechna $x \in [0,l]$, pak je možné tuto soustavu vyřešit a najít funkce $C_0$ a $C_1$. 
\item Sporem ukážeme, že $\mathscr{W} = \left| \begin{array}{cc}  v_0 & v_1 \\ v_0' & v_1' \end{array}\right| = v_0 v_1' - v_1 v_0' \neq 0$ pro všechna  $x \in [0,l]$. 
Pro spor předpokládejme, že existuje bod $x_0 \in [0,l]$ takový, že $\mathscr{W}(x_0) = 0$. To ale znamená, že Wronského matice má lineárně závislé sloupce. Tedy existuje $\lambda \in \mathbb{C}$ 
tak, že 
$$ \left(
\begin{array}{c}
v_0(x_0) \\
v_0'  (x_0)
\end{array}
\right) = \lambda \left(
\begin{array}{c}
v_1(x_0) \\
v_1'(x_0)
\end{array}
\right) $$
Nyní prozkoumejme funkci $\tilde{v}(x) = v_0(x) - \lambda v_1(x)$. Je zřejmé, že z linearity operátoru $L$ plyne, že $L\tilde{v} = 0$ a z nulovosti determinantu plyne 
$\tilde{v}(x_0) =0 $ a $\tilde{v}'(x_0) =0 $. Jelikož je ale $L\tilde{v} = 0$ diferenciální rovnice 2. řádu a máme dvě podmínky, plyne z věty o jednoznačnosti řešení, že jediné řešení je nulová funkce. Toto ale znamená, že pokud bychom našli jediný bod, ve kterém je $\mathscr{W}$ nulový, tak je nulový na intervalu $[0,l]$. A toto je spor, protože víme, že dimense jádra je 0. 
Tedy wronskián je nenulový. 
 
\item Nyní ukážeme, že $p(x) \mathscr{W}(x) = konst. $
Toto ověříme přímým výpočtem:
$$(p\mathscr{W})' = (p( v_0 v_1' - v_1 v_0'))' = v_0' p v_1' + v_0\underbrace{(pv_1')'}_{qv_1} - v_1' p v_0' - v_1\underbrace{(pv_0')'}_{qv_0} = qv_0v_1 -  q_v_1v_ = 0$$
 
\item Nalezneme funkce $C_0, C_1$. 
$$ \left(
\begin{array}{c}
C_0' \\
C_1'
\end{array}
\right) = \frac{1}{\mathscr{W}} \left(\begin{array}{cc} 
v_1' & -v_1 \\ 
-v_0' & v_0
\end{array} \right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
-\frac{f}{p}
\end{array}
\right) = \frac{1}{p\mathscr{W}} \left(
\begin{array}{c}
fv_1\\
-fv_0
\end{array}
\right) $$
Tímto jsme dvojici obyčejných parciálních diferenciálních rovnic 1. řádu, které určují funkce $C_0, C_1$:
\begin{eqnarray}
\label{C_0}
C_0' & = & \frac{1}{p\mathscr{W}} v_1f \\
\label{C_1}
C_1' & = & - \frac{1}{p\mathscr{W}} v_0 f
\end{eqnarray}
 
\end{enumerate}