Aktuální verze z 8. 4. 2019, 17:25

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Integrální rovnice, spektrum, ON báze}
 
Výrazem integrální se označují takové rovnice, v níž se neznámá funkce nachází pod integrálem. Jde o určitou analogii diferenciálních rovnic, jak už totiž z fyziky víme, celou řadu rovnic lze ekvivalentně zapsat jak v integrální, tak v diferenciální podobě, např. Gaussovu větu
 
$$ \Delta \cdot E = \dfrac{\rho}{\epsilon} \qquad <=> \qquad \oint_S E \,\dd S = \dfrac{1}{\epsilon} \int_V \rho  \, \dd V .$$
 
To je naše motivace pro zkoumání integrálních rovnic, vlastně jde způsob jak hledat nové metody řešení diferenciálních rovnic. Na závěr našeho snažení budeme demonstrovat převod zástupce jisté široké třídy diferenciálních rovnic na rovnice integrální. 
 
\begin{define}
Buď $G$ omezená oblast v $\R^n$, pak zavádíme označení:
\begin{enumerate}
\item[] $L^2(G)$, pro funkce s normou $\Vert f\Vert_2 = \left(\displaystyle \int_G f(x) \bar{f}(x) \dd x \right)^{\frac{1}{2}}$;
\item[] $\C(\bar{G})$, pro funkce s normou $\Vert f \Vert_{\C} = \mathrm{max}_{x\in \bar{G}} |f(x)|$. 
\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{define}
Integrálním operátorem \textbf{K} působícím na funkci $\phi$ rozumíme
$$ \Kb \phi(x) = \displaystyle \int_{G} \K(x,y) \phi(y) \dd y. $$
Přičemž $\K\in \C(\bar{G} \times \bar{G})$ nazýváme integrální jádro a zavádíme označení:
\begin{enumerate}
\item[] \textit{mez jádra} $M := \mathrm{max}_{\bar{G}\times \bar{G}} |\K(x,y)|$;
\item[] \textit{objem jádra} $V := \displaystyle \int_{G} 1 \dd x $. 
\end{enumerate}
\end{define}
 
Integrální rovnice se rozdělují na dvě základní třídy: Fredholmovy integrální rovnice a Volterrovy integrální rovnice. U Fredholmových rovnic má interval integrace konstantní hranice, u Volterrových rovnic je pak jedna z hranic funkcí nezávislé proměnné.
 
\section{Fredholmovy integrální rovnice}
 
\begin{define}
Fredholmovou integrální rovnicí pro funkci $\phi$ rozumíme rovnici tvaru 
$$ \phi= \lambda \Kb \phi + f ,$$
kde $\lambda \in \mathbb{C}$,  funkce $f$ se tradičně nazývá pravá strana a $\Kb$ je integrální operátor se spojitým jádrem. 
\end{define}
Tuto úlohu můžeme přepsat do ekvivalentní podoby $(\mathbf{I} - \lambda \Kb)\phi =f$ a hledáme řešení buď v $L^2(G)$ (pak $f \in L^2(G)$), nebo v $\C(\bar{G})$ (pak $f\in \C(\bar{G})$). 
Speciálně pro nulovou pravou stranu dostáváme úlohu na vlastní čísla operátoru $\Kb$.
 
\subsection{Degenerované jádro}
\begin{define}
Řekneme, že integrální jádro $\K(x,y)$ je degenerované, jestliže je separovatelné, tj. existuje $p \in \mathbb{N}$ tak, že je možné jej zapsat ve tvaru $\K(x,y) = \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)v_j(y)$, 
kde $u_j(x), v_j(y) \in \C(\bar{G})$.
\end{define}
 
Přepišme nyní Fredholmovu integrální rovnici pro degenerované jádro:
$$\phi(x) = \lambda \Kb \phi(x) + f(x) = \lambda \displaystyle \int_{G} \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)v_j(y) \phi(y) \dd y  + f(x)= $$
$$ = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \underbrace{\displaystyle \int_{G} v_j(y) \phi(y) \dd y}_{c_j\in \mathbb{C}} + f(x)$$
Tímto jsme získali tvar řešení
$$ \phi(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + f(x).$$
Nyní je možné dosazením tohoto tvaru do vyjádření $c_j$ spočítat tyhle koeficienty. My tyto koeficienty určíme jinou metodou.
Uvažujme tedy řešení 
$$ \phi(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + f(x).$$ 
Pronásobme celou rovnost výrazem $v_j(x)$ a zintegrujme ji přes $G$ podle $x$. 
Máme pak 
$$c_j = \displaystyle \int_G v_j(x)\phi(x) \dd x  = \lambda \displaystyle \sum_{k=1}^{p} c_k \displaystyle \int_{G} u_k(x)v_j(x) \dd x + \displaystyle \int_{G} v_j(x)f(x) \dd x.$$
Pokud tuto úpravu provedeme pro veškerá $j$, získáme soustavu lineárních algebraických rovnic pro koeficienty $c_j$.
 
Dosaďme za $\phi(x)$ z Fredholmovy rovnice:
$$c_i = \displaystyle \int_{G} (v_i(x)(\lambda \Kb \phi(x) + f(x) ) \dd x = 
\lambda \displaystyle \int_{G} v_i(x) \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \left(  \displaystyle \int_{G}v_j(y)\phi(y) \dd y \right) \dd x + \displaystyle \int_{G} v_i(x)f(x) \dd x = $$
$$ = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p} \underbrace{\left( \displaystyle \int_{G}v_i(x)u_j(x)\dd x \right)}_{A_{ij}} \underbrace{\left( \displaystyle \int_{G}v_j(y)\phi(y)\dd y \right)}_{c_j} +
\underbrace{ \displaystyle \int_{G}v_i(x)f(x)\dd x }_{b_i}$$
Tedy jsme získali rovnici 
$$c = \lambda \A c + b.$$
 
Označme $c^{\ast}$ řešení této rovnice. Jelikož celou dobu chceme získat řešení Fredholmovy integrální rovnice, dosaďme tento výsledek do tvaru, do kterého jsme rovnici v první úpravě převedli. 
$$\phi^{\ast}(x) = \lambda \Kb \phi^{\ast}(x) +f = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \underbrace{\displaystyle \int_{G} v_j(y)\phi^{\ast}(y) \dd y}_{c_j^{\ast}} + f(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) c^{\ast}_j(x) + f(x)$$
Tímto jsme vyřešili Fredholmovu rovnici pro degenerované jádro. 
 
\subsection{Iterativní metody řešení}
\begin{theorem}
Integrální operátor $\Kb$ se spojitým jádrem $\K$ zobrazuje:
\begin{enumerate}
\item $L^2(G) \to \C(\bar{G})$, protože $\Vert \Kb f \Vert_{\C} \leq M\sqrt{V} \Vert f \Vert_2$ pro všechny $f\in L^2(G)$;
\item $\C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$, protože $\Vert \Kb f \Vert_{\C} \leq MV \Vert f \Vert_{\C}$ pro všechny $f \in \C(\bar{G})$;
\item $ L^2(G) \to L^2(G)$, protože $\Vert \Kb f \Vert_2 \leq MV \Vert f \Vert_2$ pro všechny $f\in L^2(G)$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
 
V důkazu budeme často využívat Schwarzovu nerovnost a mez jádra. 
\begin{enumerate}
\item $$\Vert \Kb f \Vert_{\C} = \mathrm{max}_{\bar{G}} \left| \displaystyle \int_{G} \K(x,y) f(y)\dd y \right| \leq \mathrm{max}_{\bar{G}} \left| \left(\displaystyle \int_{G}\K^2(x,y) \dd y\right)^{\frac{1}{2}} 
\left( \displaystyle \int_{G} f^2(y) \dd y\right)^{\frac{1}{2}}\right| =$$
$$ = \sqrt{M^2}\mathrm{max}_{\bar{G}} \left(\displaystyle \int_{G}1 \dd y\right)^{\frac{1}{2}} \Vert f \Vert_2 = M \sqrt{V}\Vert f \Vert_2$$
\item $$\Vert \Kb f \Vert_{\C}  = \mathrm{max}_{\bar{G}} \left| \displaystyle \int_{G} \K(x,y) f(y)\dd y \right| \leq \mathrm{max}_{\bar{G}} \displaystyle \int_{G}|\K(x,y)| |f(y)| \dd y \leq M \Vert f \Vert_{\C}$$
\item $$\Vert \Kb f \Vert^2_{2} = \displaystyle \int_{G} \left| \Kb f(x) \right|^2 \dd x =  \displaystyle \int_{G} \left| \left( \displaystyle \int_{G} \K(x,y) f(y)\dd y \right) \right|^2 \dd x \leq $$
$$\leq \displaystyle \int_{G} \left[\left(\displaystyle \int_{G}|\K(x,y)|^2 \dd y \right)^{\frac{1}{2}} \left( \displaystyle \int_{G}|f(y)|^2 \dd y \right)^{\frac{1}{2}}\right]^{2} \dd x  \leq $$
$$ \leq  \displaystyle \int_{G} \left( MV^{\frac{1}{2}} \Vert f \Vert_2\right)^2 \dd x = M^2 V^2 \Vert f \Vert_2 ^2$$
Odtud již plyne požadovaná nerovnost. 
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
Buďte $V, V_1$ normované vektorové prostory. Zobrazení (operátor) $B:V\to V_1$ nazveme {\bf omezené (omezený)}, jestliže existuje $c>0$ takové, že pro všechna $x\in V$ platí, že 
$$\Vert Bx\Vert_1 \leq c\Vert x\Vert.$$
Nejmenší takovéto $c$ nazveme normou operátoru $B$ a označujeme jej $\Vert B \Vert$.
\end{define}
Je zřejmé, že normu operátoru lze snadno určit pomocí vztahu
$$ \Vert B \Vert  = \mathrm{sup}_{x \neq 0} \frac{\Vert Bx\Vert_1}{\Vert x\Vert}. $$
 
\begin{theorem}
Buďte $(V,\Vert  \ \cdot \ \Vert), (V_1,\Vert \ \cdot \ \Vert_1)$ normované prostory \footnote{Nikoliv nutně Banachovy, nepožadujeme úplnost!} a buď $B:V \to V_1$ lineární operátor. Pak následující výroky jsou ekvivalentní :
\begin{enumerate}
\item $B$ je omezený;
\item $B$ je spojitý;
\item $B$ je spojitý v bodě. 
\begin{proof}
\begin{enuemrate}
\item[$1 \Rightarrow 2$] 
$$\Vert Bx -By\Vert_1 = \Vert B(x-y)\Vert_1 \leq \Vert B \Vert \Vert x-y \Vert$$
Odtud již z omezenosti plyne spojitost. 
\item[$2 \Rightarrow 3$] Je zřejmé, že zobrazení, které je spojité (tedy je spojité v každém bodě svého definičního oboru), je spojité v bodě. 
\item[$3 \Rightarrow 1$] Buď $B$ spojité BÚNO v $x=0$. To znamená, že
$$\forall \epsilon >0 \ \exists \delta >0 \ \Vert x \Vert < \delta \Rightarrow \Vert Bx \Vert_1 < \epsilon.$$
Volme tedy $\epsilon = 1$. Pak $\Vert x \Vert < \delta \Rightarrow \Vert Bx \Vert_1 < 1$. Beru-li nyní libovolné $y\in V$, $y \neq 0$, pak zcela jistě
$$\left\Vert \frac{\delta}{2} \frac{y}{\Vert y \Vert}\right\Vert < \delta \Rightarrow \left\Vert B\left(\frac{\delta}{2} \frac{y}{\Vert y \Vert}\right) \right\Vert_1 <1 $$
Toto ale lze přepsat na tvar 
$$ \frac{\delta}{2}\frac{1}{\Vert y \Vert} \Vert By \Vert_1 < 1 \Leftrightarrow \Vert By \Vert_1 < \frac{2}{\delta}\Vert y \Vert$$
Tímto jsme ukázali omezenost. 
 
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
Důsledkem této věty je fakt, že Fredholmův integrální operátor je omezený a spojitý (a samozřejmě lineární) jako zobrazení  $L^2(G) \to \C(\bar{G})$, $\C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$, $ L^2(G) \to L^2(G)$. 
 
 
\subsection{Metoda postupných aproximací na $\C(\bar{G})$}
Předpokládejme, že $f \in \C (\bar{G})$ a hledejme funkci $\phi \in \C (\bar{G}) $, která bude řešit úlohu 
\begin{equation}
\label{hvezdicka}
\phi(x) = \lambda \Kb \phi(x) + f(x).
\end{equation}
Jak název metody napovídá, budeme se snažit najít řešení iterací. 
Proto položme 
\begin{equation}
\label{dvehvezdicky}
\begin{split}
\phi_0(x) = f(x), \\
\phi_{k+1}(x) = \lambda \Kb \phi_{k}(x) + f(x). 
\end{split}
\end{equation}
 
Získáváme posloupnost funkcí $\phi_k(x)$. Je zřejmé, že $$\displaystyle \lim_{k\to + \infty} \phi_k(x) = \phi(x),$$
což je funkce, která řeší zadanou úlohy. 
Skutečně. Stačí provést limitu rekutrentního výrazu pro $\phi_{k+1}$ \eqref{dvehvezdicky}. Jelikož je $\Kb$ spojité, dostáváme po provedení limity hledané řešení \eqref{hvezdicka}. 
 
\begin{theorem}
Buď $|\lambda| < \frac{1}{MV}$. Pak posloupnost $\phi_k \sk{\bar{G}} \phi$, kde funkce $\phi$ je jediným řešením rovnice $\phi(x) = \lambda \Kb \phi(x) + f(x).$
\begin{proof}
Z rekurentního vztahu dostáváme $$\phi_k= \displaystyle \sum_{j=1}^{k} \lambda^j \Kb^j f + f.$$
Toto ověříme matematickou indukcí:
Pro $k=0,1$ je vztah dle definice výše zřejmě splněn. Proto se zaměřme na přechod od $k$ ke $k+1$:
$$\phi_{k+1}= \lambda \Kb \phi_k + f = \lambda \Kb \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{k}\lambda^j \Kb^j f + f  \right) +f = \displaystyle \sum_{j=1}^{k}\lambda^{j+1} \Kb^{j+1} f + \lambda \Kb f + f = $$
$$= \displaystyle \sum_{j=2}^{k+1}\lambda^{j} \Kb^{j} f + \lambda \Kb f + f = \displaystyle \sum_{j=1}^{k+1}\lambda^{j} \Kb^{j} f + f $$
Abychom ukázali stejnoměrnou konvergenci funkční posloupnosti $\phi_k$, stačí ukázat, že řada $\displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \Kb^{j} f$ konverguje stejnoměrně. K důkazu toho tvrzení využijeme 
Weierstrassovu větu, která říká, že stačí najít konvergentní číslenou majorantu. Stačí totiž pracovat v normě. 
Tedy řada $\displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \Kb^{j} f$ konverguje stejnoměrně na $\bar{G}$, pokud $\displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\Vert\lambda^{j} \Kb^{j} f \Vert_{\C}$ konverguje. 
Použijme nyní pro člen uvnitř této sumy odhad: $$\Vert\lambda^{j} \Kb^{j} f \Vert_{\C} \leq |\lambda MV|^j \Vert f \Vert_{\C}$$
Jelikož je $\Vert f \Vert_{\C}$ konstanta, je možné ji z řady vytknout a díky předpokladům \footnote{Tento předpoklad tam není jen z důvodu \uv{aby to vyšlo}, ale vyplývá ze spektra operátoru, o kterém bude pojednáno dále.}
je výraz v závorce ostře menší než jedna, tudíž řada (geometrická) konverguje. 
 
Jednoznačnost se ukáže sporem, jak tomu obvykle bývá. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Z důkazu vyplynulo, že 
$$\phi(x) = \displaystyle \lim_{k\to +\infty} \phi_{k}(x) = \displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \Kb^{j} f(x) + f(x).$$
Později ukážeme, že $\Kb^j$ je integrální operátor s  jádrem $\K_j(x,y)$. Využijme nyní této znalosti a zkusme formálně rozepsat výraz, který jsme dostali. Můžeme rovněž zkusit provést záměnu sumy a integrálu a zkoumat výraz, 
který obdržíme. Korektnost postupu bude ověřena později.
$$\displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \Kb^{j} f(x) + f(x)  = \displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \displaystyle \int_{G}\K_j(x,y)f(y)\dd y + f(x) =$$
$$= \lambda \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}\lambda^{j} \displaystyle \int_{G}\K_{j+1}(x,y)f(y)\dd y + f(x) = \lambda  \displaystyle \int_{G} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}\lambda^{j} \K_{j+1}(x,y)\right) f(y) \dd y + f(x)$$
Výraz  $\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}\lambda^{j} \K_{j+1}(x,y)$ nazývámme {\it resolventa} a označujeme jej $\Res(x,y,\lambda)$. Pomocí resolventy je pak možné napsat funkci $\phi(x)$ ve tvaru:
$$\phi(x) = \lambda \displaystyle \int_{G} \Res(x,y,\lambda) f(y) \dd y + f(x)$$
Je očividné, jakou výhodu resolventa poskytuje. Jestliže máme nějaký integrální operátor, tak pro něj spočítáme jen jednou resolventu a pak pomocí ní konstruujeme řešení pro libovolnou pravou stranu $f$. 
\end{remark}
 
\subsection{Metoda iterovaných jader}
\begin{remark}
Buďte $K,L: \C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$ integrální operátory se spojitými jádry $\K(x,y),\mathscr{L}(x,y)$. Pak operátor  $(KL):\C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$ a působí na funkci $f$ následovně:
$$(KLf)(x) =K(Lf(z))(x) = \displaystyle \int_{G} \K(x,z)Lf(z) \dd z = \displaystyle \int_{G} \K(x,z) \left(\displaystyle \int_{G} \mathscr{L}(z,y) f(y) \dd y \right)\dd z =$$
$$ = \displaystyle \int_{G} f(y) \left( \displaystyle \int_{G} \K(x,z)\mathscr{L}(z,y) \dd z \right) \dd y$$
Odtud plyne, že  $KL$ je integrální operátor se spojitým jádrem $ \int_{G} \K(x,z)\mathscr{L}(z,y) \dd z $. 
Speciálně, dosadíme -li ze $L = K^j$, získáme rekurentní vztah pro posloupnost iterovaných jader.
$$\K_{j+1} (x,y) = \displaystyle \int_{G}\K(x,z)\K_j(z,y) \dd z $$
\end{remark}
 
Následující věta korektně zdůvodní, proč je možné provést záměny, kterou jsme dělali v postupu výše. 
\begin{theorem}[o možnosti záměny]
Je-li $|\lambda|< \frac{1}{MV}$, pak řada $\Res(x,y,\lambda) = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\lambda^k \K_{k+1}(x,y)$ konverguje v $\C (\bar{G} \times \bar{G})$. Řadu $\Res$ nazýváme resolventní jádro. Toto jádro je spojité na $\C(\bar{G}\times \bar{G}\times B_{\frac{1}{MV}}(0))$. Navíc řešení $\phi$ rovnice $\phi = \lambda \Kb \phi + f$ je 
$$\phi(x) = f(x) + \lambda  \displaystyle \int_{G} \Res(x,y,\lambda) f(y) \dd y.$$
\begin{remark}
Celou dobu řešíme problém $\phi = \lambda \Kb \phi + f$, který je možno převést na tvar $(\mathbf{I} - \lambda \Kb) \phi = f$. Zároveň ale tato věta říká, že 
$\phi = f+ \lambda \mathbf{R} f = (\mathbf{I} + \lambda \mathbf{R})f$. Odtud ale plyne, že $$(\mathbf{I}-\lambda \Kb)^{-1} = (\mathbf{I} + \lambda \mathbf{R}).$$
Tedy problém nalezení řešení integrální rovnice vyřešíme nalezením inverzního operátoru se spojitým jádrem pomocí původního operátoru. Tímto získáme mnohem více informací, 
než kdybychom použili kteroukoliv jinou metodu.  
\end{remark}
\begin{proof}
Ukážeme, že $\Res$ je stejnoměrně konvergentní. Pak je možné v postupu provést záměnu a tím je tvrzení dokázáno. K vyšetření stejnoměrné konvergence opět použijeme Weierstrassovu větu.
Buď proto $x,y \in \bar{G}$ libovolná. Pak 
$$\left| \K_{p+1}(x,y)\right| = \left| \displaystyle \int_{G} \K(x,z) \K_{p}(z,y) \dd z \right| \leq MV \mathrm{max}_{\bar{G} \times \bar{G}} \left|\K_{p}(x,y) \right|.$$
Toto ale říká, že 
$$ \left\Vert \K_{p+1}\right \Vert_{\C} \leq MV \left\Vert  \K_p \right \Vert_{\C}$$
Tímto dokážeme odhadnout každý člen. Zbývá vyšetřit odhad prvního členu. 
$$ \left| \K_1(x,y) \right| \leq \left| \K(x,y) \right| \Rightarrow \left \Vert \K_1 \right \Vert_{\C} = M $$
Odtud již získáváme žádaný odhad 
$$ \left\Vert  \K_p \right \Vert_{\C} \leq M^pV^{p-1} $$
Je očividné, že $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \left \Vert  \lambda^k \K_{k+1}\right\Vert_{\C} $ je číselnou majorantou $\Res$. Navíc pro ni platí
$$\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \left \Vert  \lambda^k \K_{k+1}\right\Vert_{\C}  \leq \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} |\lambda|^k M^{k+1}V^k = \frac{M}{1-|\lambda|MV} < + \infty$$
Tedy jsme nalezli číselnou majorantu, která majorizuje $\Res(x,y,\lambda)$ pro libovolné $x,y$ z uvažovaného definičního oboru. Z tohoto důvodu můžeme při hledání řešení (v rozepisování, které jsme provedli
před touto větou, jdeme zpětně) zaměňovat řadu a integrál. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\section{Volterrovy integrální rovnice}
\begin{define}
Buď $G = (0,a)$, kde $a>0$. Pak {\bf Volterrovou integrální rovnicí} nazýváme rovnici tvaru 
$$ \phi(x) = \lambda \displaystyle \int_{0}^{x} \K(x,y)\phi(y) \dd y + f(x) = \lambda \Kb \phi + f.$$
\end{define}
Hned vidíme, že metoda degenerovaného jádra zde nemá žádnou praktickou výhodu, neboť máme proměnnou $x$ v mezi integrálu. chtěli bychom ale problém řešení Volterrovy rovnice převést na Fredholmovu rovnici, tj. do tvaru
$$ \lambda \Kb \phi + f = \lambda \displaystyle \int_{G} \widetilde{\K}(x,y) \phi (y) + f(x) = \lambda \widetilde{\Kb} \phi + f,$$
kde $\widetilde{\Kb}$ je Fredholmův  integrální operátor. 
Proto se zavádí tzv. Volterrovo integrální jádro:
\begin{define}
{\bf Volterrovo integrální jádro} je definováno jako 
$$\widetilde{\K}(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} \K(x,y), &\mbox{pro } 0\leq y<x<a, \\0 &\mbox{jinak}. \end{array}\right.$$
\end{define}
Je snadno vidět, že Volterrovo integrální jádro působí nenulově na množině, kterou je v $\R^2$  pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník, který má jednu z odvěsen na x-ové ose. 
\begin{remark}
Volterrovo jádro není nutně spojité! Ukážeme později, že předpoklad spojitosti je zbytečně silný. Spokojíme se totiž pouze se spojitostí jádra $ \K$ na výše zmiňovaném trojúhelníku. 
\end{remark}
\subsection{Iterovaná jádra}
Nejprve si uvědomme, že operátor $\widetilde{\K}(x,z)$ je nenulový pro $0<z<x<a$ a operátor $\widetilde{\K}_k(z,y)$ je nenulový pro $0<y<z <a$. Na množině, na které je operátor nenulový, pak působí jako $\K(x,z)$, resp. $\K_k(z,y)$ Proto potom platí
$$\widetilde{\K}_{k+1}(x,y) = \displaystyle \int_{0}^{a} \widetilde{\K}(x,z)\widetilde{\K}_k(z,y)\dd z =\displaystyle \int_{y}^{x} \K(x,z)\K_k(z,y) \dd z .$$
Zvolíme-li $y>x$, integrujeme přes prázdnou množinu a proto je integrál nulový, tedy je vidět, že $\widetilde{\K}_{k+1}(x,y)$ má strukturu Volterrova integrálního jádra, 
přičemž jeho nenulové hodnoty jsou dány hodnotami $\K_{k+1}(x) = \displaystyle \int_{y}^{x} \K(x,z)\K_k(z,y) \dd z $.
Je zřejmě jasné, kam směřujeme. Najdeme jen odhad pro velikost obrazu Volterrova integrálního operátoru a převedeme tento případ na Fredholmovu úlohu. 
\begin{lemma}
Buď  $\Kb$ Volterrův integrální operátor. Pak pro všechna $p\in \mathbb{N}_0$  a pro všechna $x\in \left[ 0, a\right]$ platí
$$ \left| \Kb^p \phi(x)\right| \leq \frac{(Mx)^p}{p!}\Vert \phi \Vert_{\C}.$$
\begin{proof}
Tvrzení dokážeme matematickou indukcí. Pro $p=0$ zjevně platí. Pro $p=1$ platí:
$$ |\Kb \phi(x)| = \left|\displaystyle \int_{0}^{x}\K(x,y)\phi(y) \dd y \right| \leq \displaystyle \int_{0}^{x} |\K(x,y)||\phi(y)|\dd y \leq Mx\Vert \phi \Vert_{\C}. $$
Nyní provedeme indukční krok $p\mapsto p+1$:
$$ |\Kb^{p+1} \phi(x)| = |\Kb (\Kb^p \phi(x))| \leq \displaystyle \int_{0}^{x} |\K(x,y)||\Kb^p \phi(y)|\dd y \leq \displaystyle \int_{0}^{x} M \frac{(My)^p}{p!} \Vert \phi \Vert_{\C} \dd y  = 
\frac{(Mx)^{p+1}}{(p+1)!} \Vert \phi \Vert_{\C}.$$
\end{proof}
\end{lemma}
 
V důsledku tohoto lemmatu máme vyřešenou Volterrovu integrální rovnici, protože pro metodu postupných aproximací (u Fredholmových integrálních rovnic) jsme potřebovali znát odhad 
$\Vert \Kb^p\phi\Vert_{\C}$ kvůli nalezení integrabilní majoranty. Ten ale již máme a dokonce víme, že díky němu bude resolventa konvergovat. Odhad je zřejmě
$$ \Vert \Kb^p\phi\Vert_{\C} \leq \frac{(Ma)^p}{p!}\Vert \phi \Vert_{\C}.$$
Zopakujeme-li nyní důkaz, který jsme provedli u metody post. aproximací a iterovaných jader, a využijeme-li odhady výše, máme tyto metody pro  Volterrovy rovnice a máme zajištěno, že fungují pro libovolné $\lambda$, neboť odhady tentokrát na $\lambda$ nezávisí. 
Zformulujme tento poznatek do věty.
\begin{theorem}
Volterrova integrální rovnice $\phi(x) = \lambda \displaystyle \int_{0}^{x} \K(x,y)\phi(y) \dd y + f(x)$ má pro všechna $\lambda \in \mathbb{C}$ a pro všechny spojité funkce $f\in \mathcal{C}(\left[0,a\right]) $ právě jedno řešení $\phi(x)\in\mathcal{C}(\left[0,a\right])$.
\end{theorem}
 
\section{Spektrum, ortonormální báze a vlastnosti integrálních operátorů}
V této sekci budou definovány pojmy jako spektrum operátoru, ortonormální báze atp., které budou navazovat na látku lineární algebry a budou ji  rozšiřovat na prostory nekonečné dimense. 
Jedná se o jistý krátký úvod do funkcionální analýzy. 
 
V celé kapitole budeme pracovat s Banachovými prostory, nebude-li řečeno jinak. Operátor $T:X\to X$ bude lineární operátor na Banachově prostoru. 
Zkoumejme řešení rovnice 
\begin{equation}
\label{vl}
 (T - \lambda I) x= y 
\end{equation}
v závislosti na $\lambda \in \mathbb{C}$  a $y\in X$. 
Připomeňme, že z lineární algebry (tj. pro $X$ konečně dimensionální) víme, že spektrum operátoru $T$ je množina
$$\sigma(T) = \left\{ \lambda \in \mathbb{C} : \exists x \in X, \ x\neq 0, \ Tx = \lambda x \right \}.$$
Rovněž víme, že 
$$\lambda \in \sigma(T) \Leftrightarrow \mathrm{det}(T - \lambda I ) =0 .$$
Zmiňme ještě, že operátor je regulární (na prostorech kon. dimense), právě když je prostý a to je tehdy a jen tehdy, když je surjektivní. 
Proto je-li $y=0$, má rovnice $\eqref{vl}$ řešení, právě když $\lambda \in \sigma(T)$. 
Jestliže je $y\neq 0$, pak je operátor $(T- \lambda I)$ bijekcí, právě když $\lambda \notin \sigma(T)$. Odtud je možné získat další definici, kterou nakonec zobecníme:
$$\sigma(T) = \mathbb{C} \setminus \varrho (T),$$
kde $\varrho(T) = \left\{ \lambda \in \mathbb{C}: (T-\lambda I)^{-1} \mbox{ existuje a je omezený}\right\}$. 
Tyto úvahy jsou na prostorech konečné dimense ekvivalencemi, ale na prostorech nekonečné dimense ekvivalencemi obecně nejsou. 
Nyní se již přesuňme na prostory nekonečné dimense.
\begin{define}
{\bf Spektrem operátoru} $T:X\to X$ ($X$ je Banachův prostor) rozumíme 
$$ \sigma(T) = \mathbb{C} \setminus \varrho (T),$$
kde $\varrho(T) = \left\{ \lambda \in \mathbb{C}: (T-\lambda I)^{-1} \mbox{ existuje a je omezený}\right\}$ a  $\varrho(T)$ nazýváme resolventní množina. 
\end{define}
 
Na základě toho, co způsobuje to, že operátor $(T-\lambda I)^{-1}$ neexistuje, dělíme spektrum na několik typů. 
Předpokládejme, že $\lambda \in \sigma(T)$. Pak 
\begin{enumerate}
\item $(T-\lambda I) $ není prosté a tedy k němu neexistuje inverzní operátor. Pak ale tato vlastní čísla $\lambda$ odpovídají řešení rovnice $Tx = \lambda x$ ($\exists y,z \in X,\ y\neq z$ tak, že $(T-\lambda)(y)=(T-\lambda)(z)$). 
Množinu těchto čísel nazýváme {\it bodové spektrum} a označujeme $\sigma_p(T)$.
\item Inverzní operátor existuje, ale není surjektivní. Jestliže je 
\subitem $\overline{\mathrm{Ran}(T-\lambda I)} = X$, pak říkáme, že $\lambda$ leží ve {\it spojitém spektru}, tj. $\lambda \in \sigma_c(T)$;
\subitem $\overline{\mathrm{Ran}(T-\lambda I)} \neq X$, pak říkáme, že $\lambda$ leží v {\it residuálním spektru}, tj. $\lambda \in \sigma_r(T)$.
\end{enumerate}
 
Odtud tedy plyne, že spektrum je možné zapsat jako sjednocení bodového, spojitého a residuálního spektra, tj.
 $$ \sigma = \sigma_p \cup \sigma_c \cup \sigma_r $$
 
\begin{define}
$R_{T}(\lambda) = (T-\lambda I)^{-1}$ se nazývá {\bf resolventa operátoru} pro $\lambda \in \varrho(T)$. Zobrazení $R_T:\varrho(T) \to \mathscr{B}\footnote{$\mathscr{B}$ označuje prostor všech omezených operátorů.}: \lambda \mapsto (T-\lambda I)^{-1} $ nazýváme {\bf resolventní funkcí}.
\end{define}
 
Zamysleme se nyní nad souvislostí s integrálními rovnicemi. Jistou roli bude určitě hrát resolventa a parametr $\lambda$. Například díky předešlým úvahám víme, že pro 
$$\phi = \lambda \Kb \phi +f \Leftrightarrow \left(\Kb - \frac{1}{\lambda}\mathbf{I}\right)\phi = -\frac{1}{\lambda}f $$
nemá smysl hledat řešení $\frac{1}{\lambda}\in \sigma(\Kb)$. 
Nyní vyslovíme několik drobných tvrzení, která nám pak poslouží k důkazu věty, která vysvětlí onu záhadnou podmínku na $\lambda$ v kapitole o Fredholmových integrálních rovnicích. 
\begin{lemma}
Buďte $B,C$ omezené operátory. Pak operátor $BC$ je omezený a  platí $\Vert BC\Vert \leq \Vert B \Vert \cdot \Vert C \Vert $.
\begin{proof}
$$\Vert BC x\Vert = \Vert B(Cx)\Vert \leq \Vert B\Vert \cdot \Vert Cx\Vert \leq \Vert B\Vert \cdot \Vert C\Vert \cdot \Vert x \Vert $$
Odtud již (protože  norma operátoru je nejmenší takové číslo $c$, které splňuje $\Vert BCx\Vert \leq c\Vert x\Vert$ ) plyne, že 
$$ \Vert BC\Vert  \leq \Vert B\Vert \cdot \Vert C\Vert $$
\end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{lemma}
Je-li $B$ omezený operátor a $\Vert I- B\Vert < 1$, pak existuje $B^{-1}$ omezený operátor.
\begin{proof}
Z faktu, že $\Vert I- B\Vert < 1$ plyne, že posloupnost $\Vert I- B\Vert^{n}$ konverguje k nule. 
Díky tomu $\forall \epsilon >0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ \forall m,n \in \N$ taková, že $n_0<m<n$, a že platí
$$ \left \Vert \displaystyle \sum_{j=m+1}^{n} (I-B)^j \right \Vert \leq \displaystyle \sum_{j=m+1}^{n}\left \Vert (I-B)\right \Vert ^j = \frac{\Vert I-B \Vert^m - \Vert I-B \Vert^n}{1 - (\Vert I-B \Vert)} < \epsilon,$$
což plyne ze součtu gemetické řady a vhodnou volbou $n_0$ zajistíme konvergenci. Pak tedy posloupnost $S_n = \displaystyle \sum_{j=0}^{n} (I-B)^j$ je cauchyovská. Jelikož je prostor omezených operátorů Banachův, má tato posloupnost za limitu opět omezený operátor $S$. 
Navíc platí, že 
\begin{eqnarray*}
BS_n =  S_nB & = &S_{n}- S_{n+1} + I \\
 & \downarrow \lim & \\
BS = SB & = & I 
\end{eqnarray*}
Tedy $S= B^{-1}$. 
\end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{theorem}
Buď $T$ omezený operátor , pak $\sigma(T) \subset B_{\Vert T \Vert}(0)$. 
\begin{proof}
Volme $\lambda$ takové, že $|\lambda| > \Vert T \Vert$. Budeme chtít ukázat, že při této volně již $\lambda$ leží v resolventní množině $\varrho(T)$. 
Proto definujme operátor $A$ jako:
$$ A = I - \frac{1}{\lambda}T$$
Tento operátor je zřejmě omezený, protože identický operátor je omezený a násobek omezeného operátoru je rovněž omezený operátor. Navíc $\Vert I - A \Vert <1$. Dle předchozího lemmatu tedy existuje
$A^{-1}$ omezený operátor. Nyní zkoumejme operátor z definice resolventní množiny:
$$(T-\lambda I)^{-1} = (\lambda)^{-1}(I - \frac{1}{\lambda}T)^{-1} = -\frac{1}{\lambda} A^{-1}$$ 
Jelikož je operátor na prvé straně omezený, je číslo $\lambda \in \varrho(T)$. Tedy odtud plyne, že pro spektrum, které splňuje $\sigma(T) = \mathbb{C} \setminus \varrho(T)$, platí dokazované tvrzení, tj. 
$$ \sigma(T) \subset B_{\Vert T \Vert} (0) $$
\end{proof}
\end{theorem}
 
V důsledku této věty je již zřejmá podmínka, která vyvstávala u integrálních rovnic. Tam jsme totiž měli operátor $\Kb: \C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$, který byl omezený a norma byla rovna 
$\Vert \Kb \Vert_{\C} = MV$.
 
Bez důkazu uveďme nyní dvě věty z funkcionální analýzy, které budou úzce souviset s pojmem ortogonální báze, jenž bude představen vzápětí. 
\begin{theorem}
Integrální operátor $\Kb: \C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$ se spojitým jádrem má čistě bodové spektrum kromě 0, všechny vlastní hodnoty mají konečnou násobnost a nemají nenulový hromadný bod.
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[Hilbert-Schmidtova věta]
Buď $\Kb: L^2(G) \to L^2(G)$ integrální operátor se spojitým jádrem $\K(x,y)$, které navíc splňuje $\K(x,y) = \overline{\K(y,x)}$. Pak $\Kb $ má čistě bodové spektrum kromě 0 a z
vlastních funkcí operátoru $\Kb$ lze sestavit ortonormální bázi. 
\end{theorem}
 
Pojem ortonormální (ortogonální) báze je pouhým rozšířením klasické definice báze a pojmů ortogonální, resp. ortonormální množina, tak jak ji známe z lineární algebry. Intuitivně pod pojmem báze rozumíme 
nějakou množinu, z jejichž prvků jsme schopni lineární kombinací získat libovolný prvek, resp. jsme schopni každý prvek z daného prostoru rozložit do podoby lineární kombinace prvků z této množiny.
S nějakou takovouto množinou jsme se již dříve setkali. Při studiu Fourierových řad jsme prováděli v podstatě rozklad funkcí z $L^2((a,a+l))$ do ortogonální báze 
$$ \left\{ 1 , \sin\left(\frac{2n\pi}{l}x\right), \cos\left(\frac{2n\pi}{l}x\right) : n\in \mathbb{N}  \right\} . $$
 
Nyní již definujme korektně ortonormální a ortogonální bázi
\begin{define}
O množině $M$ řekneme, že je ortonormální (ON), resp. ortogonální (OG) bází Hilbertova prostoru $\mathcal{H}$, jestliže 
\begin{enumerate}
\item $M$ je ortonormální, resp. ortogonální množina;
\item $\overline{M_{lin}} = \mathcal{H}$, tj. množina všech lineárních kombinací prvků z $M$ je hustá v prostoru $\mathcal{H}$ (taková $M$ je tzv. totální množina).
\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{theorem}
Následující výroky o množině $M\subset \mathcal{H}$ jsou ekvivalentní:
\begin{enumerate}
\item Množina $M$ je OG bází v $\mathcal{H}$;
\item $M^{\perp} = \{0\}$;
\item $M$ je maximální OG množina v $\mathcal{H}$, tj. není vlastní podmnožinou jiné OG množiny;
\item $\forall x \in \mathcal{H}$ platí $x = \displaystyle \sum_{\alpha \in \mathcal{I}} \beta_{\alpha} m_{\alpha}$ pro $\beta_{\alpha}$ z tělesa (tj. $\R$ nebo $\mathbb{C}$) a  $m_{\alpha}\in M$. 
$\mathcal{I}$ je indexová množina. 
\end{enumerate}
\end{theorem}
 
Uveďme některé příklady ortogonálních bází na prostoru funkcí lebegueovsky integrovatelných s kvadrátem. 
\begin{enumerate}
\item Pro $G = (-\pi,\pi)$ je to například $\left\{1 , \sin\left(nx\right), \cos\left(nx\right) : n\in \mathbb{N} \right\}.$
\item {\it Ortogonální polynomy} (resp. ON polynomy při použití Gramm-Schmidtova ON procesu)
Ze Stone-Weierstrassovy věty plyne, že každou funkci z $L^2(a,b)$ je možné libovolně přesně aproximovat polynomem. \footnote{Pokud si myslíte, že jste o této větě nikdy neslyšeli, máte pravdu. Na FJFI se s ní obvykle jen setká pár vybraných jedinců u zkoušky z MAA3, kdy ji mají dokázat jako nové tvrzení, resp. o něm uvažovat. Jinak je možné se s ní setkat třeba na předmětu 01TOP, ale...  } Odtud plyne, že $$\left\{ x^l : l\in \mathbb{N}_0 \right\}$$ je totální množina v $L^2((a,b))$. Z tohoto souboru pak můžeme pomocí Gramm-Schmidtova ON procesu získat různou volbou skalárního součinu 
následující ON polynomy:
\subitem na  $L^2((0,1))$ se skalárním součinem $\langle u,v \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1} \bar{u}(x)v(x) \dd x$ dávají tzv. {\bf Lagrangeovy polynomy}
\subitem na  $L^2((0,´+\infty))$ se skalárním součinem $\langle u,v \rangle = \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \bar{u}(x)v(x) e^{-x} \dd x$ dávají tzv. {\bf Laguerrovy polynomy}
\subitem {\bf Hermitovy polynomy} etc.
\end{enumerate}
 
\begin{remark}
Obecně je možné ortogonální polynomy vyjádřit čtyřmi způsoby:
\begin{enumerate}
\item Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem;
\item rekurentní formulí;
\item diferenciální rovnicí;
\item Rodriguezovou formulí.
\end{enumerate}
\end{remark}