01PRA1 2:Kapitola9: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01PRA1_2})
 
 
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{01PRA1_2}
 
%\wikiskriptum{01PRA1_2}
 +
 +
\section{Konvergence na prostoru náhodných veličin}
 +
 +
\begin{define}
 +
Buď $\posloupnost{1}{\infty}{X_n}$ posloupnost náhodných
 +
veličin. Potom $X_n$ konverguje k~$X$ podle pravděpodobnosti ---
 +
značíme $X_n\kp X$ --- pokud pro každé $\epsilon>0$ je
 +
\[\lim_{n\to\infty} P(\{\omega|\abs{X_n-X}\ge\epsilon\})=0.\]
 +
\end{define}
 +
 +
\begin{theorem}
 +
Pro limitu podle pravděpodobnosti platí:
 +
\begin{enumerate}
 +
\item Jestliže $X_n\kp X$ a $Y_n\kp Y$, pak $X_n+Y_n\kp X+Y$.
 +
\item Jestliže $X_n\kp X$, pak $X_n-X\kp 0$.
 +
\item Jestliže $X_n\kp X$, pak $\alpha X_n\kp\alpha X$.
 +
\item Jestliže $X_n\kp K$, pak $X_n^2\kp K^2$.
 +
\item Jestliže $X_n\kp a$ a $Y_n\kp b$, pak $X_nY_n\kp ab$.
 +
\item Jestliže $X_n\kp a$ a $Y_n\kp b$, pak $X_n/Y_n\kp a/b$.
 +
\end{enumerate}
 +
\begin{proof}
 +
\begin{enumerate}
 +
\item Platí
 +
\[
 +
\begin{split}
 +
\{\omega|\abs{(X_n-X)+(Y_n-Y)}\ge\epsilon\}&\subset
 +
\{\omega|\abs{X_n-X}+\abs{Y_n-Y}\ge\epsilon\}\subset\\
 +
&\subset\left\{\omega\left|\abs{X_n-X}\ge\frac\epsilon2\right.\right\}\cup
 +
\left\{\omega\left|\abs{Y_n-Y}\ge\frac\epsilon2\right.\right\}.
 +
\end{split}
 +
\]
 +
Dále z~Booleovy nerovnosti vyplývá, že
 +
\[
 +
P(\abs{(X_n-X)+(Y_n-Y)}\ge\epsilon)\le
 +
P(\abs{X_n-X}\ge\frac\epsilon2)+
 +
P(\abs{Y_n-Y}\ge\frac\epsilon2).
 +
\]
 +
\item $P(\abs{X_n-X-0}\ge\epsilon)=P(\abs{X_n-X}\ge\epsilon)$.
 +
\item $P(\abs{\alpha X_n-\alpha X}\ge\epsilon)=
 +
P(\abs{X_n-X}\ge\frac{\epsilon}{a})$.
 +
\item
 +
$P(\abs{X_n-0}^2\ge\epsilon)=P(\abs{X_n}\ge\sqrt{\epsilon})$. Potom
 +
pokud $X_n-K\kp 0$, pak $Z_n=(X_n-K)^2\kp 0$, $Z_n=X_n^2-2KX_n+K^2\kp 0$. Dále
 +
označme $U_n=2KX_n-K^2$. Protože $X_n\kp K$, platí $2KX_n\kp 2K^2$ a
 +
$2KX_n-K^2\kp K^2$. Konečně $X_n^2=Z_n+U_n\kp K^2$.
 +
\item Z~předchozích pravidel vyplývá, že
 +
\[X_nY_n=\frac14((X_n+Y_n)^2-(X_n-Y_n)^2)\kp\frac14((a+b)^2-(a-b)^2)=ab.\]
 +
\item Nejprve dokážeme, že $X_n\kp 1\implies\frac1{X_n}\kp 1$: Platí,
 +
že
 +
\[\left\{\abs{\frac1{X_n}-1}\ge\epsilon\right\}=
 +
\left\{\frac1{X_n}\le 0\right\}\cup
 +
\left\{0\le\frac1{X_n}\le 1-\epsilon\right\}\cup
 +
\left\{1+\epsilon\le\frac1{X_n}\right\}.\]
 +
Z~Booleovy nerovnosti
 +
\[P\left(\abs{\frac1{X_n}-1}\ge\epsilon\right)\le
 +
P\left(\frac1{X_n}\le 0\right)+
 +
P\left(0\le\frac1{X_n}\le 1-\epsilon\right)+
 +
P\left(1+\epsilon\le\frac1{X_n}\right).\]
 +
Dále platí
 +
\[
 +
\begin{split}
 +
P\left(\frac{1}{X_n}\le 0\right)&=P\left(X_n\le 0\right)\le
 +
P(X_n\le 0)+P(X_n\ge 2)=\\
 +
&=P(\abs{X_n-1}\ge 1)\to 0,
 +
\end{split}
 +
\]
 +
\[P\left(0<\frac1{X_n}\le 1-\epsilon\right)=
 +
P\left(X_n-1\ge \frac{\epsilon}{1-\epsilon}\right)\to 0,\]
 +
\[P\left(\frac1{X_n}\ge 1+\epsilon\right)=
 +
P\left(1-X_n\ge \frac{\epsilon}{1-\epsilon}\right)\to 0.\]
 +
Potom $\frac{Y_n}{b}\kp 1$, podle lemmatu $\frac{b}{Y_n}\kp 1$ a z
 +
předchozích pravidel pak $\frac1a X_n\frac{b}{X_n}\kp 1$.
 +
\end{enumerate}
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 +
\begin{example}
 +
Buďte $\posloupnost{1}{\infty}{X_n}$ iid $\sim N(\mu,\sigma^2)$,
 +
\[Y_n=\frac1n\sum_1^n X_i.\]
 +
Ukážeme, že $Y_n\kp\mu$. Pro $Y_n$ platí $Y_n\sim
 +
N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$.
 +
\[
 +
\begin{split}
 +
P(\abs{Y_n-\mu}\ge\epsilon)&=
 +
1-P(\abs{Y_n-n}<\epsilon)=\\
 +
&=1-\int_{S_n:\abs{y_n-\mu}<\epsilon}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
 +
\frac{\sqrt{n}}{\sigma}
 +
\exp\left(-\frac{(y_n-\mu)^2n}{2\sigma^2}\right)\,\d y_n=\\
 +
&=1-\int_{-\frac{\epsilon\sqrt{n}}{\sigma}}
 +
^{\frac{\epsilon\sqrt{n}}{\sigma}}
 +
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)\to
 +
1-\int_{\R}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
 +
\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)=0
 +
\end{split}
 +
\]
 +
\end{example}
 +
 +
\begin{define}
 +
Posloupnost náhodných veličin $X_n$ konverguje skoro jistě ($X_n\ksj
 +
X$), právě když
 +
\[P\left\{\omega\left|\lim_{n\to\infty}X_n=X\right.\right\}=1.\]
 +
\end{define}
 +
 +
\begin{define}
 +
Posloupnost náhodných veličin $X_n$ konverguje podle $\alpha$-středu
 +
($X_n\ks{\alpha} X$), právě když $E\abs{X_n-X}^\alpha\to 0$.
 +
\end{define}
 +
 +
\begin{define}
 +
Posloupnost náhodných veličin $X_n$ konverguje v~distribuci
 +
($X_n\kd X$), právě když $F_{X_n}(x)\to F_X$ pro každé $x\in\R$, kde
 +
$F_X$ je spojitá.
 +
\end{define}
 +
 +
\begin{define}
 +
Kolmogorovova vzdálenost distribučních funkcí
 +
\[K(F,G)=\sup_{x\in\R}\abs{F(x)-G(x)}.\] Píšeme $X_n\kk X$, právě když
 +
$K(F_{X_n},F_X)\to 0$.
 +
\end{define}
 +
 +
\begin{theorem}
 +
Buď $X_n$ posloupnost náhodných veličin. Potom platí:
 +
\begin{enumerate}
 +
\item $X_n\ks{\alpha=2}X\implies X_n\kp X$;
 +
\item $X_n\ksj X\implies X_n\kp X\implies X_n\kd X$.
 +
\end{enumerate}
 +
\begin{proof}
 +
\begin{enumerate}
 +
\item Buď $\epsilon>0$ libovolné, potom
 +
\[
 +
\begin{split}
 +
P\{\abs{X_n-x}\ge\epsilon\}&=
 +
\int_{S:\abs{x_n-x}\ge\epsilon}f_{X_n,X}\,\d x_n\d x\le\\
 +
&\le\int_{S:\abs{x_n-x}\ge\epsilon}
 +
\underbrace{\frac{(x_n-x)^2}{\epsilon^2}}_{\ge 1}f_{X_n,X}
 +
\,\d x_n\d x\le\\
 +
&\le\frac{1}{\epsilon^2}\int_{\R^2}(x_n-x)^2 f_{X_n,X}=
 +
\frac1{\epsilon^2}E(X_n-X)^2.
 +
\end{split}
 +
\]
 +
\item
 +
\begin{enumerate}
 +
\item
 +
\[
 +
\begin{split}
 +
F_{X_n(x)}&=P(X_n\le x)=\\&=P(X_n\le x\wedge\abs{X_n-X}<\epsilon)+
 +
P(X_n\le x\wedge\abs{X_n-X}\ge\epsilon)\le\\
 +
&\le P(X-\epsilon<x\wedge\abs{X_n-X}<\epsilon)+
 +
P(\abs{X_n-X}\ge\epsilon)\le\\
 +
&\le P(X\le x+\epsilon)+P(\abs{X_n-X}\ge\epsilon)
 +
\end{split}
 +
\]
 +
Z~toho vyplývá, že $\limsup F_{X_n}(x)\le F_X(x+\epsilon)$. Analogicky
 +
se dokáže, že $F_{X_n}(x)\ge
 +
F_X(x-\epsilon)-P(\abs{X_n-X}\ge\epsilon)$ a
 +
$\liminf F_{X_n}(x)\ge F_X(x-\epsilon)$.
 +
 +
Pokud je $x$ bod spojitosti $F_X$, pak $F_{X_n}(x)\to F_X(x)$.
 +
\item $X_n\ksj X$, právě když
 +
\[
 +
\{\omega|X_n\to X\}=
 +
\bigcap_{k=1}^\infty\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{p=n}^\infty
 +
\left\{\omega\left|\abs{X_p-X}\le\frac1k\right.\right\}=M\text{ a }
 +
P(M)=1.
 +
\]
 +
\[
 +
P(M\compl)=
 +
P\left(\bigcup_{k=1}^\infty\bigcap_{n=1}^\infty
 +
\bigcup_{p=n}^\infty\left\{\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right\}\right)=0,
 +
\]
 +
z~čehož vyplývá, že $\forall k\in\N$
 +
\[
 +
P\left(\bigcap_{n=1}^\infty
 +
\bigcup_{p=n}^\infty\left\{\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right\}\right)=0
 +
\]
 +
a z~věty o~spojitosti pravděpodobnosti
 +
\[
 +
\lim_{n\to\infty}
 +
P\left(\bigcup_{p=n}^\infty\left\{\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right\}\right)=0,
 +
\]
 +
dále $(\forall k)(\forall\delta)(\exists n_0)(\forall n>n_0)$
 +
\[
 +
P\left(\bigcup_{p=n}^\infty\left\{\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right\}\right)<\delta,
 +
\]
 +
a $(\forall k)(\forall\delta)(\forall p>n_0)$
 +
\[
 +
P\left(\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right)<\delta.
 +
\]
 +
\end{enumerate}
 +
\end{enumerate}
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}

Aktuální verze z 1. 11. 2010, 18:32

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01PRA1_2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01PRA1_2Karel.brinda 2. 11. 201012:27
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůValapet2 5. 3. 201618:31
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 9. 1. 201213:04 header.tex
Kapitola1 editovatÚvodKarel.brinda 1. 11. 201018:29 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatDiskrétní náhodné veličinyKarel.brinda 1. 11. 201018:30 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatVícerozměrná diskrétní rozděleníKarel.brinda 1. 11. 201018:30 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAbsolutně spojitá rozděleníValapet2 3. 3. 201610:51 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatFunkce náhodných veličinKarel.brinda 1. 11. 201018:31 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatPříklady absolutně spojitých rozděleníValapet2 5. 3. 201618:35 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatCharakteristiky náhodných veličinKarel.brinda 1. 11. 201018:32 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatCharakteristiky vícerozměrných náhodných veličinKarel.brinda 1. 11. 201018:32 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatKonvergence na prostoru náhodných veličinKarel.brinda 1. 11. 201018:32 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatLimitní věty teorie pravděpodobnostiKarel.brinda 1. 11. 201018:33 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatZákladní pojmy ze statistikyKarel.brinda 1. 11. 201018:33 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatOdhad parametrů rozděleníKarel.brinda 1. 11. 201018:33 kapitola12.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.eps Gauss.eps
Image:Fisher.eps Fisher.eps
Image:Gamma.eps Gamma.eps
Image:Chi2.eps Chi2.eps
Image:Pravd.eps Pravd.eps
Image:Gauss1.pdf Gauss.pdf
Image:Fisher.eps Fisher.pdf
Image:Gamma.pdf Gamma.pdf
Image:Chi2.pdf Chi2.pdf
Image:Beta.pdf Beta.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01PRA1_2}
 
\section{Konvergence na prostoru náhodných veličin}
 
\begin{define}
Buď $\posloupnost{1}{\infty}{X_n}$ posloupnost náhodných
veličin. Potom $X_n$ konverguje k~$X$ podle pravděpodobnosti ---
značíme $X_n\kp X$ --- pokud pro každé $\epsilon>0$ je
\[\lim_{n\to\infty} P(\{\omega|\abs{X_n-X}\ge\epsilon\})=0.\]
\end{define}
 
\begin{theorem}
Pro limitu podle pravděpodobnosti platí:
\begin{enumerate}
\item Jestliže $X_n\kp X$ a $Y_n\kp Y$, pak $X_n+Y_n\kp X+Y$.
\item Jestliže $X_n\kp X$, pak $X_n-X\kp 0$.
\item Jestliže $X_n\kp X$, pak $\alpha X_n\kp\alpha X$.
\item Jestliže $X_n\kp K$, pak $X_n^2\kp K^2$.
\item Jestliže $X_n\kp a$ a $Y_n\kp b$, pak $X_nY_n\kp ab$.
\item Jestliže $X_n\kp a$ a $Y_n\kp b$, pak $X_n/Y_n\kp a/b$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Platí
\[
\begin{split}
\{\omega|\abs{(X_n-X)+(Y_n-Y)}\ge\epsilon\}&\subset
\{\omega|\abs{X_n-X}+\abs{Y_n-Y}\ge\epsilon\}\subset\\
&\subset\left\{\omega\left|\abs{X_n-X}\ge\frac\epsilon2\right.\right\}\cup
\left\{\omega\left|\abs{Y_n-Y}\ge\frac\epsilon2\right.\right\}.
\end{split}
\]
Dále z~Booleovy nerovnosti vyplývá, že
\[
P(\abs{(X_n-X)+(Y_n-Y)}\ge\epsilon)\le
P(\abs{X_n-X}\ge\frac\epsilon2)+
P(\abs{Y_n-Y}\ge\frac\epsilon2).
\]
\item $P(\abs{X_n-X-0}\ge\epsilon)=P(\abs{X_n-X}\ge\epsilon)$.
\item $P(\abs{\alpha X_n-\alpha X}\ge\epsilon)=
P(\abs{X_n-X}\ge\frac{\epsilon}{a})$.
\item
$P(\abs{X_n-0}^2\ge\epsilon)=P(\abs{X_n}\ge\sqrt{\epsilon})$. Potom
pokud $X_n-K\kp 0$, pak $Z_n=(X_n-K)^2\kp 0$, $Z_n=X_n^2-2KX_n+K^2\kp 0$. Dále
označme $U_n=2KX_n-K^2$. Protože $X_n\kp K$, platí $2KX_n\kp 2K^2$ a
$2KX_n-K^2\kp K^2$. Konečně $X_n^2=Z_n+U_n\kp K^2$.
\item Z~předchozích pravidel vyplývá, že
\[X_nY_n=\frac14((X_n+Y_n)^2-(X_n-Y_n)^2)\kp\frac14((a+b)^2-(a-b)^2)=ab.\]
\item Nejprve dokážeme, že $X_n\kp 1\implies\frac1{X_n}\kp 1$: Platí,
že
\[\left\{\abs{\frac1{X_n}-1}\ge\epsilon\right\}=
\left\{\frac1{X_n}\le 0\right\}\cup
\left\{0\le\frac1{X_n}\le 1-\epsilon\right\}\cup
\left\{1+\epsilon\le\frac1{X_n}\right\}.\]
Z~Booleovy nerovnosti
\[P\left(\abs{\frac1{X_n}-1}\ge\epsilon\right)\le
P\left(\frac1{X_n}\le 0\right)+
P\left(0\le\frac1{X_n}\le 1-\epsilon\right)+
P\left(1+\epsilon\le\frac1{X_n}\right).\]
Dále platí
\[
\begin{split}
P\left(\frac{1}{X_n}\le 0\right)&=P\left(X_n\le 0\right)\le
P(X_n\le 0)+P(X_n\ge 2)=\\
&=P(\abs{X_n-1}\ge 1)\to 0,
\end{split}
\]
\[P\left(0<\frac1{X_n}\le 1-\epsilon\right)=
P\left(X_n-1\ge \frac{\epsilon}{1-\epsilon}\right)\to 0,\]
\[P\left(\frac1{X_n}\ge 1+\epsilon\right)=
P\left(1-X_n\ge \frac{\epsilon}{1-\epsilon}\right)\to 0.\]
Potom $\frac{Y_n}{b}\kp 1$, podle lemmatu $\frac{b}{Y_n}\kp 1$ a z
předchozích pravidel pak $\frac1a X_n\frac{b}{X_n}\kp 1$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{example}
Buďte $\posloupnost{1}{\infty}{X_n}$ iid $\sim N(\mu,\sigma^2)$,
\[Y_n=\frac1n\sum_1^n X_i.\]
Ukážeme, že $Y_n\kp\mu$. Pro $Y_n$ platí $Y_n\sim
N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$.
\[
\begin{split}
P(\abs{Y_n-\mu}\ge\epsilon)&=
1-P(\abs{Y_n-n}<\epsilon)=\\
&=1-\int_{S_n:\abs{y_n-\mu}<\epsilon}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\frac{\sqrt{n}}{\sigma}
\exp\left(-\frac{(y_n-\mu)^2n}{2\sigma^2}\right)\,\d y_n=\\
&=1-\int_{-\frac{\epsilon\sqrt{n}}{\sigma}}
^{\frac{\epsilon\sqrt{n}}{\sigma}}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)\to
1-\int_{\R}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)=0
\end{split}
\]
\end{example}
 
\begin{define}
Posloupnost náhodných veličin $X_n$ konverguje skoro jistě ($X_n\ksj
X$), právě když 
\[P\left\{\omega\left|\lim_{n\to\infty}X_n=X\right.\right\}=1.\]
\end{define}
 
\begin{define}
Posloupnost náhodných veličin $X_n$ konverguje podle $\alpha$-středu
($X_n\ks{\alpha} X$), právě když $E\abs{X_n-X}^\alpha\to 0$.
\end{define}
 
\begin{define}
Posloupnost náhodných veličin $X_n$ konverguje v~distribuci
($X_n\kd X$), právě když $F_{X_n}(x)\to F_X$ pro každé $x\in\R$, kde
$F_X$ je spojitá.
\end{define}
 
\begin{define}
Kolmogorovova vzdálenost distribučních funkcí
\[K(F,G)=\sup_{x\in\R}\abs{F(x)-G(x)}.\] Píšeme $X_n\kk X$, právě když
$K(F_{X_n},F_X)\to 0$.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Buď $X_n$ posloupnost náhodných veličin. Potom platí:
\begin{enumerate}
\item $X_n\ks{\alpha=2}X\implies X_n\kp X$;
\item $X_n\ksj X\implies X_n\kp X\implies X_n\kd X$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Buď $\epsilon>0$ libovolné, potom
\[
\begin{split}
P\{\abs{X_n-x}\ge\epsilon\}&=
\int_{S:\abs{x_n-x}\ge\epsilon}f_{X_n,X}\,\d x_n\d x\le\\
&\le\int_{S:\abs{x_n-x}\ge\epsilon}
\underbrace{\frac{(x_n-x)^2}{\epsilon^2}}_{\ge 1}f_{X_n,X}
\,\d x_n\d x\le\\
&\le\frac{1}{\epsilon^2}\int_{\R^2}(x_n-x)^2 f_{X_n,X}=
\frac1{\epsilon^2}E(X_n-X)^2.
\end{split}
\]
\item
\begin{enumerate}
\item
\[
\begin{split}
F_{X_n(x)}&=P(X_n\le x)=\\&=P(X_n\le x\wedge\abs{X_n-X}<\epsilon)+
P(X_n\le x\wedge\abs{X_n-X}\ge\epsilon)\le\\
&\le P(X-\epsilon<x\wedge\abs{X_n-X}<\epsilon)+
P(\abs{X_n-X}\ge\epsilon)\le\\
&\le P(X\le x+\epsilon)+P(\abs{X_n-X}\ge\epsilon)
\end{split}
\]
Z~toho vyplývá, že $\limsup F_{X_n}(x)\le F_X(x+\epsilon)$. Analogicky
se dokáže, že $F_{X_n}(x)\ge
F_X(x-\epsilon)-P(\abs{X_n-X}\ge\epsilon)$ a 
$\liminf F_{X_n}(x)\ge F_X(x-\epsilon)$.
 
Pokud je $x$ bod spojitosti $F_X$, pak $F_{X_n}(x)\to F_X(x)$.
\item $X_n\ksj X$, právě když
\[
\{\omega|X_n\to X\}=
\bigcap_{k=1}^\infty\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{p=n}^\infty
\left\{\omega\left|\abs{X_p-X}\le\frac1k\right.\right\}=M\text{ a }
P(M)=1.
\]
\[
P(M\compl)=
P\left(\bigcup_{k=1}^\infty\bigcap_{n=1}^\infty
\bigcup_{p=n}^\infty\left\{\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right\}\right)=0,
\]
z~čehož vyplývá, že $\forall k\in\N$
\[
P\left(\bigcap_{n=1}^\infty
\bigcup_{p=n}^\infty\left\{\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right\}\right)=0
\]
a z~věty o~spojitosti pravděpodobnosti
\[
\lim_{n\to\infty}
P\left(\bigcup_{p=n}^\infty\left\{\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right\}\right)=0,
\]
dále $(\forall k)(\forall\delta)(\exists n_0)(\forall n>n_0)$
\[
P\left(\bigcup_{p=n}^\infty\left\{\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right\}\right)<\delta,
\]
a $(\forall k)(\forall\delta)(\forall p>n_0)$
\[
P\left(\abs{X_p-X}\ge\frac1k\right)<\delta.
\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}