Verze z 11. 12. 2015, 23:10

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01NUM1}
\section{Přímé metody pro lineární soustavy}
 
\subsection{Gaussova eliminační metoda - numerická analýza}
 
\setcounter{define}{4}
\begin{theorem}
\label{GEMRegularni}
Základní Gaussovu eliminační metodu lze provést právě tehdy, když je matice soustavy silně regulární.
\begin{proof}
\todo{Důkaz 4.5}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{LU rozklad pro symetrické matice - Choleského dekompozice}
 
\setcounter{define}{10}
\begin{theorem}[Choleského rozklad]
\label{CholeskehoRozklad}
Nechť je matice \( \matice A \) hermitovská a regulární. Pak existuje horní trojúhelníková matice \( \matice S \) taková, že platí
\[ \matice A = \matice S^* \matice S \]
Tomuto rozkladu se říká Choleského rozklad (dekompozice).
\begin{proof}
Díky \ref{LDR} platí \( \matice A = \matice{L D R} \) a \( \matice A^* = \matice R^* \matice D^* \matice L^* \). Protože je matice \( \matice A \) hermitovská, platí díky jednoznačnosti rozkladu \ref{LDR} \( \matice L = \matice R^* \) a \( \matice D = \matice D^* \). Označíme \( \matice S = \sqrt \matice D \matice R \) a pak platí
\[ \matice S^* \matice S = \matice R^* \sqrt{\matice D^*} \sqrt \matice D \matice R = \matice{L D R} = \matice A \]
\end{proof}
\end{theorem}