Součásti dokumentu 01NUM1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01NUM1}
\section{Úvod do numerické matematiky}
\subsection{Reprezentace čísel s pohyblivou desetinnou čárkou}
\setcounter{define}{1}
\begin{theorem}
\label{ArbitraryPrecision}
Libovolné \( x \in \mathbbm R \) lze s libovolnou přesností aproximovat reálným číslem \( x_\beta \), jehož zápis v soustavě o základu \( \beta \) má konečný počet cifer.
\begin{proof}
\todo{Důkaz 3.2}
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Podmíněnost matic}
\setcounter{define}{28}
\begin{theorem}
\label{PerturbacePodminenost}
Nechť matice \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) je regulární. Buď \( \vec x \) řešením soustavy \( \matice A \vec x = \vec b \neq \vec 0 \) a dále buďte \( \delta \vec x \), \( \delta \vec b \) perturbace takové, že platí \( \matice A ( \vec x + \delta \vec x ) = \vec b + \delta \vec b \). Pak platí
\[ \frac{\lVert \delta \vec x \rVert}{\lVert \vec x \rVert} \leq \kappa ( \matice A ) \frac{\lVert \delta \vec b \rVert}{\lVert \vec b \rVert} \]
a jde-li o indukovanou maticovou normu, pak existují \( \vec b \neq \vec 0 \) a \( \delta \vec b \neq \vec 0 \) takové, že nastává rovnost.
\begin{proof}
Díky regularitě matice \( \matice A \) a požadavku nenulovosti soustavy platí \( \vec b \neq \vec 0 \) a \( \vec x \neq \vec 0 \). Úpravou soustavy s perturbacemi dostáváme
\[ \matice A \delta \vec x = \vec b + \delta \vec b - \matice A \vec x = \delta \vec b \]
a díky regularitě \( \matice A \) tedy \( \delta \vec x = \matice A^{-1} \delta \vec b \). Aplikací trojúhelníkové nerovnosti dále získáváme
\[ \lVert \vec b \rVert \leq \lVert \matice A \rVert \lVert \vec x \rVert \]
\[ \lVert \delta \vec x \rVert \leq \lVert \matice A^{-1} \rVert \lVert \delta \vec b \rVert \]
a tedy
\[ \lVert \vec b \rVert \rVert \delta \vec x \rVert \leq \lVert \matice A \rVert \lVert \matice A^{-1} \rVert \lVert \vec x \rVert \lVert \delta \vec b \rVert \]
Vydělíme (nenulovými) vektory a použíjeme definici \( \kappa ( \matice A ) = \lVert \matice A \rVert \lVert \matice A^{-1} \rVert \), čímž dostaneme tvrzení věty.
\\ Pokud je maticová norma indukovaná, lze si definici normy přepsat jako
\[ \lVert \matice B \rVert = \sup\limits_{\vec y} \frac{\lVert \matice B \vec y \rVert}{\lVert \vec y \rVert} \]
a tedy při volbě \( \vec z \) takového, aby nastalo toto supremum (které je pro nenulové \( \vec z \) maximem) platí
\[ \lVert \matice B \rVert \lVert \vec z \rVert = \frac{\lVert \matice B \vec z \rVert}{\lVert \vec z \rVert} \lVert \vec z \rVert = \lVert \matice B \vec z \rVert \]
a tedy se trojúhelníková nerovnost stává trojúhelníkovou rovností. Možnost volby takových vektorů máme, z čehož plyne tvrzení o rovnosti v dokazované větě.
\end{proof}
\end{theorem}