01NUM1:Kapitola3: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka s textem „%\wikiskriptum{01NUM1} \section{Úvod do numerické matematiky}“) |
(Věty 2 a 29) |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01NUM1} | %\wikiskriptum{01NUM1} | ||
\section{Úvod do numerické matematiky} | \section{Úvod do numerické matematiky} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Reprezentace čísel s pohyblivou desetinnou čárkou} | ||
+ | |||
+ | \setcounter{define}{1} | ||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \label{ArbitraryPrecision} | ||
+ | Libovolné \( x \in \mathbbm R \) lze s libovolnou přesností aproximovat reálným číslem \( x_\beta \), jehož zápis v soustavě o základu \( \beta \) má konečný počet cifer. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \todo{Důkaz 3.2} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Podmíněnost matic} | ||
+ | |||
+ | \setcounter{define}{28} | ||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \label{PerturbacePodminenost} | ||
+ | Nechť matice \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) je regulární. Buď \( \vec x \) řešením soustavy \( \matice A \vec x = \vec b \neq \vec 0 \) a dále buďte \( \delta \vec x \), \( \delta \vec b \) perturbace takové, že platí \( \matice A ( \vec x + \delta \vec x ) = \vec b + \delta \vec b \). Pak platí | ||
+ | \[ \frac{\lVert \delta \vec x \rVert}{\lVert \vec x \rVert} \leq \kappa ( \matice A ) \frac{\lVert \delta \vec b \rVert}{\lVert \vec b \rVert} \] | ||
+ | a jde-li o indukovanou maticovou normu, pak existují \( \vec b \neq \vec 0 \) a \( \delta \vec b \neq \vec 0 \) takové, že nastává rovnost. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Díky regularitě matice \( \matice A \) a požadavku nenulovosti soustavy platí \( \vec b \neq \vec 0 \) a \( \vec x \neq \vec 0 \). Úpravou soustavy s perturbacemi dostáváme | ||
+ | \[ \matice A \delta \vec x = \vec b + \delta \vec b - \matice A \vec x = \delta \vec b \] | ||
+ | a díky regularitě \( \matice A \) tedy \( \delta \vec x = \matice A^{-1} \delta \vec b \). Aplikací trojúhelníkové nerovnosti dále získáváme | ||
+ | \[ \lVert \vec b \rVert \leq \lVert \matice A \rVert \lVert \vec x \rVert \] | ||
+ | \[ \lVert \delta \vec x \rVert \leq \lVert \matice A^{-1} \rVert \lVert \delta \vec b \rVert \] | ||
+ | a tedy | ||
+ | \[ \lVert \vec b \rVert \rVert \delta \vec x \rVert \leq \lVert \matice A \rVert \lVert \matice A^{-1} \rVert \lVert \vec x \rVert \lVert \delta \vec b \rVert \] | ||
+ | Vydělíme (nenulovými) vektory a použíjeme definici \( \kappa ( \matice A ) = \lVert \matice A \rVert \lVert \matice A^{-1} \rVert \), čímž dostaneme tvrzení věty. | ||
+ | \\ Pokud je maticová norma indukovaná, lze si definici normy přepsat jako | ||
+ | \[ \lVert \matice B \rVert = \sup\limits_{\vec y} \frac{\lVert \matice B \vec y \rVert}{\lVert \vec y \rVert} \] | ||
+ | a tedy při volbě \( \vec z \) takového, aby nastalo toto supremum (které je pro nenulové \( \vec z \) maximem) platí | ||
+ | \[ \lVert \matice B \rVert \lVert \vec z \rVert = \frac{\lVert \matice B \vec z \rVert}{\lVert \vec z \rVert} \lVert \vec z \rVert = \lVert \matice B \vec z \rVert \] | ||
+ | a tedy se trojúhelníková nerovnost stává trojúhelníkovou rovností. Možnost volby takových vektorů máme, z čehož plyne tvrzení o rovnosti v dokazované větě. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} |
Verze z 10. 12. 2015, 23:18
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01NUM1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01NUM1 | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 20:49 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 20:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Dedicma2 | 17. 1. 2016 | 17:20 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Dedicma2 | 23. 5. 2017 | 22:32 | znaceni.tex | |
Kapitola2 | editovat | Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 16:41 | prezentace2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Úvod do numerické matematiky | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 16:51 | prezentace3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Přímé metody pro lineární soustavy | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 17:47 | prezentace4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Iterativní metody | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 17:59 | prezentace5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Vlastní čísla a vektory matic | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 18:07 | prezentace6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Nelineární rovnice | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 15:27 | prezentace7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Interpolace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 16:43 | prezentace8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Derivace a integrace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 18:33 | prezentace9.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01NUM1} \section{Úvod do numerické matematiky} \subsection{Reprezentace čísel s pohyblivou desetinnou čárkou} \setcounter{define}{1} \begin{theorem} \label{ArbitraryPrecision} Libovolné \( x \in \mathbbm R \) lze s libovolnou přesností aproximovat reálným číslem \( x_\beta \), jehož zápis v soustavě o základu \( \beta \) má konečný počet cifer. \begin{proof} \todo{Důkaz 3.2} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Podmíněnost matic} \setcounter{define}{28} \begin{theorem} \label{PerturbacePodminenost} Nechť matice \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) je regulární. Buď \( \vec x \) řešením soustavy \( \matice A \vec x = \vec b \neq \vec 0 \) a dále buďte \( \delta \vec x \), \( \delta \vec b \) perturbace takové, že platí \( \matice A ( \vec x + \delta \vec x ) = \vec b + \delta \vec b \). Pak platí \[ \frac{\lVert \delta \vec x \rVert}{\lVert \vec x \rVert} \leq \kappa ( \matice A ) \frac{\lVert \delta \vec b \rVert}{\lVert \vec b \rVert} \] a jde-li o indukovanou maticovou normu, pak existují \( \vec b \neq \vec 0 \) a \( \delta \vec b \neq \vec 0 \) takové, že nastává rovnost. \begin{proof} Díky regularitě matice \( \matice A \) a požadavku nenulovosti soustavy platí \( \vec b \neq \vec 0 \) a \( \vec x \neq \vec 0 \). Úpravou soustavy s perturbacemi dostáváme \[ \matice A \delta \vec x = \vec b + \delta \vec b - \matice A \vec x = \delta \vec b \] a díky regularitě \( \matice A \) tedy \( \delta \vec x = \matice A^{-1} \delta \vec b \). Aplikací trojúhelníkové nerovnosti dále získáváme \[ \lVert \vec b \rVert \leq \lVert \matice A \rVert \lVert \vec x \rVert \] \[ \lVert \delta \vec x \rVert \leq \lVert \matice A^{-1} \rVert \lVert \delta \vec b \rVert \] a tedy \[ \lVert \vec b \rVert \rVert \delta \vec x \rVert \leq \lVert \matice A \rVert \lVert \matice A^{-1} \rVert \lVert \vec x \rVert \lVert \delta \vec b \rVert \] Vydělíme (nenulovými) vektory a použíjeme definici \( \kappa ( \matice A ) = \lVert \matice A \rVert \lVert \matice A^{-1} \rVert \), čímž dostaneme tvrzení věty. \\ Pokud je maticová norma indukovaná, lze si definici normy přepsat jako \[ \lVert \matice B \rVert = \sup\limits_{\vec y} \frac{\lVert \matice B \vec y \rVert}{\lVert \vec y \rVert} \] a tedy při volbě \( \vec z \) takového, aby nastalo toto supremum (které je pro nenulové \( \vec z \) maximem) platí \[ \lVert \matice B \rVert \lVert \vec z \rVert = \frac{\lVert \matice B \vec z \rVert}{\lVert \vec z \rVert} \lVert \vec z \rVert = \lVert \matice B \vec z \rVert \] a tedy se trojúhelníková nerovnost stává trojúhelníkovou rovností. Možnost volby takových vektorů máme, z čehož plyne tvrzení o rovnosti v dokazované větě. \end{proof} \end{theorem}