01NUM1:Kapitola2: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Stylistika V23)
Řádka 34: Řádka 34:
 
\end{itemize}
 
\end{itemize}
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
\begin{itemize}
+
~ \\
 +
\begin{enumerate}[(1)]
 
\item existence
 
\item existence
 
+
indukcí podle n
+
indukcí podle \( n \)
 
\begin{itemize}
 
\begin{itemize}
\item n=1
+
\item \( n=1 \)
\\* $ \mathbb{A} \in \mathbb{C}^{1,1} \Rightarrow \mathbb{A}=(a_{11})=1(a_{11})1$
+
  \\ \( \matice A \in \mathbbm C^{1, 1} \Rightarrow \matice A = ( \matice A_{11} ) = \matice 1 (\matice A_{11} ) 1 \)
kde $\mathbb{L}=1$ a $\mathbb{R}=1$
+
  kde \( \matice L = 1 \) a \( \matice R = 1 \)
\item n $\rightarrow$ n+1
+
\item \( n \rightarrow n + 1 \)
\\* $ \mathbb{A} \in \mathbb{C}^{n+1,n+1}$
+
  \\ \( \matice A \in \mathbbm C^{n+1, n+1} \matice A =  
$\mathbb{A} =  
+
  \begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
+
  \matice A' & \vec v \\
  \mathbb{A}\prime & \vec{v} \\
+
  \vec u^T & \alpha \\
  \vec{u}^T & \alpha \\
+
 
   \end{pmatrix}
 
   \end{pmatrix}
   \Rightarrow \mathbb{A}\prime \in \mathbb{C}^{n,n} \Rightarrow \mathbb{A}\prime = \mathbb{L}\prime\mathbb{D}\prime\mathbb{R}\prime
+
   \Rightarrow \matice A' \in \mathbbm C^{n, n} \Rightarrow \matice A' = \matice {L' D' R'}
\\*\mathbb{A}=\mathbb{LDR}$ a hledám $\vec{l}$, $\vec{r}$ a $d_{n+1}$ tak, aby platil rozklad:
+
  \\* \matice A = \matice {LDR} \) a hledám \( \vec l \), \( \vec r \) a \( d_{n+1} \) tak, aby platil rozklad:
\newline
+
  \\*
\\* $\begin{pmatrix}
+
  \\* \( \begin{pmatrix}
  \mathbb{L}\prime & \vec{0} \\
+
  \matice L' & \vec 0 \\
  \vec{l}^T & 1 \\
+
  \vec l^T & 1 \\
 
   \end{pmatrix}
 
   \end{pmatrix}
 
   \begin{pmatrix}
 
   \begin{pmatrix}
  \mathbb{D}\prime & \vec{0} \\
+
  \matice D' & \vec 0 \\
  \vec{0}^T & d_{n+1} \\
+
  \vec 0^T & d_{n+1} \\
 
   \end{pmatrix}
 
   \end{pmatrix}
 
   \begin{pmatrix}
 
   \begin{pmatrix}
  \mathbb{R}\prime & \vec{r} \\
+
  \matice R' & \vec r \\
  \vec{0}^T & 1 \\
+
  \vec 0^T & 1 \\
   \end{pmatrix}
+
   \end{pmatrix} =
  =
+
 
   \begin{pmatrix}
 
   \begin{pmatrix}
  \mathbb{L}\prime\mathbb{D}\prime & \vec{0} \\
+
  \matice {L' D'} & \vec 0 \\
  \vec{l}^T\mathbb{D}\prime & d_{n+1} \\
+
  \vec l^T \matice D' & d_{n+1} \\
 
   \end{pmatrix}
 
   \end{pmatrix}
 
   \begin{pmatrix}
 
   \begin{pmatrix}
  \mathbb{R}\prime & \vec{r} \\
+
  \matice R' & \vec r \\
  \vec{0}^T & 1 \\
+
  \vec 0^T & 1 \\
   \end{pmatrix}
+
   \end{pmatrix} =
  = \begin{pmatrix}
+
  \mathbb{L}\prime\mathbb{D}\prime\mathbb{R}\prime & \mathbb{L}\prime\mathbb{D}\prime\vec{r} \\
+
  \vec{l}^T\mathbb{D}\prime\mathbb{R}\prime & \vec{r}\vec{l}^T\mathbb{D}\prime + d_{n+1} &  \\
+
  \end{pmatrix}
+
  =
+
 
   \begin{pmatrix}
 
   \begin{pmatrix}
  \mathbb{A}\prime & \vec{v} \\
+
  \matice {L' D' R'} & \matice {L' D'} \vec r \\
   \vec{u}^T & \alpha \\
+
  \vec l^T \matice {D' R'} & \vec r \vec l^T \matice D' + d_{n+1} \\
 +
   \end{pmatrix} =
 +
  \begin{pmatrix}
 +
  \matice A' & \vec v \\
 +
  \vec u^T & \alpha \\
 
   \end{pmatrix}
 
   \end{pmatrix}
   \newline
+
   \\*
   \\* \mathbb{L}\prime\mathbb{D}\prime\vec{r}=\vec{v} \Rightarrow \vec{r}=(\mathbb{L}\prime\mathbb{D}\prime)^{-1}\vec{v}
+
   \\* \matice {L' D'} \vec r = \vec v \Rightarrow \vec r = (\matice {L' D'})^{-1} \vec v
   \\* \vec{l}^T\mathbb{D}\prime\mathbb{R}\prime=\vec{u}^T \Rightarrow \vec{u}=(\mathbb{D}\prime\mathbb{R}\prime)^T=\vec{l} \Rightarrow \vec{l}=((\mathbb{D}\prime\mathbb{R}\prime)^T)^{-1}\vec{u}
+
   \\* \vec l^T \matice {D' R'} = \vec u^T \Rightarrow \vec u = (\matice {D' R'})^T = \vec l \Rightarrow \vec l = ((\matice {D' R'})^T)^{-1} \vec u
   \\* d_{n+1}=\alpha - \vec{r}\vec{l}^T\mathbb{D}\prime
+
   \\* d_{n+1} = \alpha - \vec r \vec l^T \matice D'
$
+
\)
 
\end{itemize}
 
\end{itemize}
 
\item jednoznačnost
 
\item jednoznačnost
\\* $\mathbb{A}=\mathbb{L}_1\mathbb{D}_1\mathbb{R}_1=\mathbb{L}_2\mathbb{D}_2\mathbb{R}_2
+
\\* \( \matice A =\matice L_1 \matice D_1 \matice R_1 = \matice L_2 \matice D_2 \matice R_2
\\* \mathbb{D}_1\mathbb{R}_1=(\mathbb{L}_1)^{-1}\mathbb{L}_2\mathbb{D}_2\mathbb{R}_2
+
\\* \matice D_1 \matice R_1 = (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \matice R_2
\\* \mathbb{D}_1\mathbb{R}_1(\mathbb{R}_2)^{-1}=(\mathbb{L}_1)^{-1}\mathbb{L}_2\mathbb{D}_2$
+
\\* \matice D_1 \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} = (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \)
kde $\mathbb{D}_1\mathbb{R}_1(\mathbb{R}_2)^{-1}$ je horní trojúhelníková matice a $(\mathbb{L}_1)^{-1}\mathbb{L}_2\mathbb{D}_2$ je dolní trojúhelníková matice
+
kde \( \matice D_1 \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} \) je horní trojúhelníková matice a \( (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \) je dolní trojúhelníková matice
\\* $ \Rightarrow (\mathbb{L}_1)^{-1}\mathbb{L}_2$ je diagonální a má jedničky na diagonále
+
\\* \( \Rightarrow (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \) je diagonální a má jedničky na diagonále, tzn. \( (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 = \matice I
\\* $ \Rightarrow (\mathbb{L}_1)^{-1}\mathbb{L}_2=\mathbb{I} \Rightarrow \mathbb{L}_1=\mathbb{L}_2 $
+
\\* \Rightarrow (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 = \matice I \Rightarrow \matice L_1 = \matice L_2
\\* $\mathbb{R}_1(\mathbb{R}_2)^{-1}=\mathbb{I} \Rightarrow \mathbb{R}_1=\mathbb{R}_2
+
\\* \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} = \matice I \Rightarrow \matice R_1 = \matice R_2
\\* \mathbb{D}_1=\mathbb{D}_2 $
+
\\* \matice D_1 = \matice D_2 \)
\end{itemize}
+
\end{enumerate}
\end{proof}
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
  

Verze z 13. 11. 2015, 12:28

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01NUM1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01NUM1Kubuondr 26. 11. 201616:56
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůDedicma2 23. 5. 201721:31
Header editovatHlavičkový souborDedicma2 17. 1. 201616:20 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníDedicma2 23. 5. 201721:32 preamble.tex
Kapitola2 editovatOpakování a doplnění znalostí z lineární algebryKubuondr 30. 1. 201717:14 prezentace2.tex
Kapitola3 editovatÚvod do numerické matematikyKubuondr 10. 12. 201614:17 prezentace3.tex
Kapitola4 editovatPřímé metody pro lineární soustavyKubuondr 30. 1. 201711:27 prezentace4.tex
Kapitola5 editovatIterativní metodyKubuondr 31. 1. 201710:41 prezentace5.tex
Kapitola6 editovatVlastní čísla a vektory maticKubuondr 31. 1. 201713:13 prezentace6.tex
Kapitola7 editovatNelineární rovniceKubuondr 31. 1. 201714:27 prezentace7.tex
Kapitola8 editovatInterpolaceKubuondr 31. 1. 201715:43 prezentace8.tex
Kapitola9 editovatDerivace a integraceKubuondr 31. 1. 201717:33 prezentace9.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01NUM1}
\section{Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry}
 
\setcounter{define}{21}
\begin{theorem}
\label{SoucinTrojuhelniku}
Nechť jsou \( \matice A \) a \( \matice B \in \mathbbm C^{n, n} \) dolní (resp. horní) trojúhelníkové matice. Pak matice \( \matice C = \matice A \matice B \) je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí:
\[ \forall i \in \hat n, \matice C_{ii} = \matice A_{ii} \matice B_{ii} \]
\begin{proof}
Protože jsou matice \( \matice A \) a \( \matice B \) dolní trojúhelníkové, platí \( \matice A_{ik} = 0 \; \; \forall i < k$ a $\matice B_{kj} = 0 \; \; \forall k < j \). Tudíž:
\[ \matice C_{ij} = \sum_{k = 1}^n \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = 1}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = j}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} \]
což je rovno 0 pro \( i < j \) a \( \matice A_{ii} \matice B_{ii}$ pro $i = j \). Důkaz pro horní trojúhelníkové matice je obdobný.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{InverzeTrojuhelniku}
Nechť je \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) regulární dolní (resp. horní) trojúhelníková matice. Pak matice \( \matice A^{-1} \) je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí:
\[ \forall i \in \hat n, (\matice A^{-1})_{ii} = \frac{1}{\matice A_{ii} } \]
\begin{proof}
TODO
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{LDR}
Každou regulární matici \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru součinu:
\[ \matice A = \matice L \matice D \matice R \]
kde:
\begin{itemize}
 \item \( \matice L \) je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále
 \item \( \matice D \) je diagonální matice
 \item \( \matice R \) je horní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále
\end{itemize}
\begin{proof}
~ \\
\begin{enumerate}[(1)]
\item existence
 
indukcí podle \( n \)
\begin{itemize}
 \item \( n=1 \)
  \\ \( \matice A \in \mathbbm C^{1, 1} \Rightarrow \matice A = ( \matice A_{11} ) = \matice 1 (\matice A_{11} ) 1 \)
  kde \( \matice L = 1 \) a \( \matice R = 1 \)
 \item \( n \rightarrow n + 1 \)
  \\ \( \matice A \in \mathbbm C^{n+1, n+1} \matice A = 
  \begin{pmatrix}
   \matice A' & \vec v \\
   \vec u^T & \alpha \\
  \end{pmatrix}
  \Rightarrow \matice A' \in \mathbbm C^{n, n} \Rightarrow \matice A' = \matice {L' D' R'}
  \\* \matice A = \matice {LDR} \) a hledám \( \vec l \), \( \vec r \) a \( d_{n+1} \) tak, aby platil rozklad:
  \\*
  \\* \( \begin{pmatrix}
   \matice L' & \vec 0 \\
   \vec l^T & 1 \\
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
   \matice D' & \vec 0 \\
   \vec 0^T & d_{n+1} \\
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
   \matice R' & \vec r \\
   \vec 0^T & 1 \\
  \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix}
   \matice {L' D'} & \vec 0 \\
   \vec l^T \matice D' & d_{n+1} \\
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
   \matice R' & \vec r \\
   \vec 0^T & 1 \\
  \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix}
   \matice {L' D' R'} & \matice {L' D'} \vec r \\
   \vec l^T \matice {D' R'} & \vec r \vec l^T \matice D' + d_{n+1} \\
  \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix}
   \matice A' & \vec v \\
   \vec u^T & \alpha \\
  \end{pmatrix}
  \\*
  \\* \matice {L' D'} \vec r = \vec v \Rightarrow \vec r = (\matice {L' D'})^{-1} \vec v
  \\* \vec l^T \matice {D' R'} = \vec u^T \Rightarrow \vec u = (\matice {D' R'})^T = \vec l \Rightarrow \vec l = ((\matice {D' R'})^T)^{-1} \vec u
  \\* d_{n+1} = \alpha - \vec r \vec l^T \matice D'
\)
\end{itemize}
\item jednoznačnost
 \\* \( \matice A =\matice L_1 \matice D_1 \matice R_1 = \matice L_2 \matice D_2 \matice R_2
 \\* \matice D_1 \matice R_1 = (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \matice R_2
 \\* \matice D_1 \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} = (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \)
 kde \( \matice D_1 \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} \) je horní trojúhelníková matice a \( (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \matice D_2 \) je dolní trojúhelníková matice
 \\* \( \Rightarrow (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 \) je diagonální a má jedničky na diagonále, tzn. \( (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 = \matice I
 \\* \Rightarrow (\matice L_1)^{-1} \matice L_2 = \matice I \Rightarrow \matice L_1 = \matice L_2
 \\* \matice R_1 (\matice R_2)^{-1} = \matice I \Rightarrow \matice R_1 = \matice R_2
 \\* \matice D_1 = \matice D_2 \)
\end{enumerate}
\end{proof}
 
\end{theorem}
\begin{remark}
Čísla na diagonále matice \( \matice D \) z \ref{LDR} \textbf{nejsou} vlastními čísly matice \( \matice A \)
\end{remark}