01NUM1:Kapitola2: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka s textem „%\wikiskriptum{01NUM1} \section{Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry}“)
 
(Věta 22)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{01NUM1}
 
%\wikiskriptum{01NUM1}
 
\section{Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry}
 
\section{Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry}
 +
 +
\setcounter{define}{21}
 +
\begin{theorem}
 +
Nechť jsou $\matrix A$ a $\matrix B \in \mathbbm C^{nn}$ dolní (resp. horní) trojúhelníkové matice. Pak matice $\matrix C = \matrix A \matrix B$ je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí:
 +
$$\forall i \in \hat n, \matrix C_{ii} = \matrix A_{ii} \matrix B_{ii} $$
 +
\begin{proof}
 +
Protože jsou matice $\matrix A$ a $\matrix B$ dolní trojúhelníkové, platí $\matrix A_{ik} = 0 \; \; \forall i < k$ a $\matrix B_{kj} = 0 \; \; \forall k < j$. Tudíž:
 +
$$\matrix C_{ij} = \sum_{k = 1}^n \matrix A_{ik} \matrix B_{kj} = \sum_{k = 1}^i \matrix A_{ik} \matrix B_{kj} = \sum_{k = j}^i \matrix A_{ik} \matrix B_{kj} $$
 +
což je rovno 0 pro $i < j$ a $\matrix A_{ii} \matrix B_{ii}$ pro $i = j$.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}

Verze z 12. 11. 2015, 20:31

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01NUM1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01NUM1Kubuondr 26. 11. 201616:56
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůDedicma2 23. 5. 201721:31
Header editovatHlavičkový souborDedicma2 17. 1. 201616:20 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníDedicma2 23. 5. 201721:32 preamble.tex
Kapitola2 editovatOpakování a doplnění znalostí z lineární algebryKubuondr 30. 1. 201717:14 prezentace2.tex
Kapitola3 editovatÚvod do numerické matematikyKubuondr 10. 12. 201614:17 prezentace3.tex
Kapitola4 editovatPřímé metody pro lineární soustavyKubuondr 30. 1. 201711:27 prezentace4.tex
Kapitola5 editovatIterativní metodyKubuondr 31. 1. 201710:41 prezentace5.tex
Kapitola6 editovatVlastní čísla a vektory maticKubuondr 31. 1. 201713:13 prezentace6.tex
Kapitola7 editovatNelineární rovniceKubuondr 31. 1. 201714:27 prezentace7.tex
Kapitola8 editovatInterpolaceKubuondr 31. 1. 201715:43 prezentace8.tex
Kapitola9 editovatDerivace a integraceKubuondr 31. 1. 201717:33 prezentace9.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01NUM1}
\section{Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry}
 
\setcounter{define}{21}
\begin{theorem}
Nechť jsou $\matrix A$ a $\matrix B \in \mathbbm C^{nn}$ dolní (resp. horní) trojúhelníkové matice. Pak matice $\matrix C = \matrix A \matrix B$ je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí:
$$\forall i \in \hat n, \matrix C_{ii} = \matrix A_{ii} \matrix B_{ii} $$
\begin{proof}
Protože jsou matice $\matrix A$ a $\matrix B$ dolní trojúhelníkové, platí $\matrix A_{ik} = 0 \; \; \forall i < k$ a $\matrix B_{kj} = 0 \; \; \forall k < j$. Tudíž:
$$\matrix C_{ij} = \sum_{k = 1}^n \matrix A_{ik} \matrix B_{kj} = \sum_{k = 1}^i \matrix A_{ik} \matrix B_{kj} = \sum_{k = j}^i \matrix A_{ik} \matrix B_{kj} $$
což je rovno 0 pro $i < j$ a $\matrix A_{ii} \matrix B_{ii}$ pro $i = j$.
\end{proof}
\end{theorem}