Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01NUM}
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro PDE 1. řádu}
\subsection{Zákony zachování}
Připomeňme úvahu známou z fyziky. Podobně jako ve fyzice budeme předpokládat, že
jsme oprávněni provádět úpravy, které použijeme. Uvažme jednorozměrné proudění
stlačitelné tekutiny ve směru osy $x$. Přírůstek množství tekutiny v prostoru
mezi libovolnými dvěma body $x_1,\,x_2$ v libovolném čase $t$ je dán
\[
\frac{\text d}{\text dt}\int_{x_1}^{x_2}\rho(t,\,x)\,\text dx=(\rho
v)(t,\,x_1)-(\rho v)(t,\,x_2)
\]
(předpokládáme, že $x_1<x_2$). Integrací předchozí rovnosti od $t_1$ do $t_2$
dostaneme {\em zákon zachování hmotnosti v integrálním tvaru}
\[
\int_{x_1}^{x_2}\rho(t_2,\,x)\,\text dx-\int_{x_1}^{x_2}\rho(t_1,\,x)\,\text dx=\int_{t_1}^{t_2}(\rho v)(t,\,x_1)\,\text dt-\int_{t_1}^{t_2}(\rho
v)(t,\,x_2)\,\text dt.
\]
Jiné možné vyjádření dostaneme, jestliže zaměníme derivaci a integrál:
\[
\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial t}\rho(t,\,x)\,\text dx=-\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}(\rho v)(t,\,x)\,\text dx.
\]
Protože tento vztah platí pro všechna $x_1,\,x_2$, musí platit
\begin{equation}
\frac\partial{\partial t}\rho(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(\rho v)(t,\,x)=0
\label{zakonyzachovanihmotnosti}
\end{equation}
pro skoro všechna $x$. To je {\em zákon zachování hmotnosti v diferenciálním
tvaru}. Další zákony zachování platí pro hybnost a energii, označíme-li tlak $p$ a celkovou hustotu energie $E$, mají diferenciální tvar
\begin{subequations}
\label{zakonyzachovanihybnostiAenergie}
\begin{gather}
\frac\partial{\partial t}(\rho v)(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(\rho v^2 + p)(t,\,x)=0\\
\frac{\partial E}{\partial t}(t,\,x)+\frac\partial{\partial x}(v[E + p])(t,\,x)=0
\end{gather}
\end{subequations}
Systém (\ref{zakonyzachovanihmotnosti}),(\ref{zakonyzachovanihybnostiAenergie}) nazýváme Eulerovými rovnicemi pro pohyb stlačitelné tekutinu. Pokud zavedeme vektory
\[
\tucne U = (\rho, \rho v, E) \qquad , \qquad \tucne F(\tucne U) = (\rho v, \rho v^2 + p, v(E + p))
\]
Můžeme zákony zachování zapsat elegantně v diferenciálním tvaru
\begin{equation}
\label{zakonyzachovani}
\frac{\partial\tucne U}{\partial t}+\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)=\tucne0.
\end{equation}
popř. v integrálním tvaru
\[
\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_2,\,x)\,\text dx-\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_1,\,x)\,\text dx=\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U(t,\,x_1))\,\text
dt-\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U(t,\,x_2))\,\text dt.
\]
Veličina $\tucne F$ se nazývá {\em tok}. Zabývejme se dále úlohou (\ref{zakonyzachovani}).
\begin{example}
Zvolíme-li v jednorozměrném případě $F(u)=\frac12u^2$, dostaneme {\em Burgersovu
rovnici}
\[
\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=0.
\]
\end{example}
Nyní odvodíme slabou formulaci úlohy (\ref{zakonyzachovani}). Vynásobme
(\ref{zakonyzachovani}) skalárně zobrazením $\tucne\phi\in\mathcal C^1((t_1,\,t_2)\times\mathbbm R)$ a vzniklou rovnost integrujme přes $\langle
t_1,\,t_2\rangle\times\langle x_1,\,x_2\rangle$. Dostaneme
\begin{equation}
\label{slabyzakonzachovani}
\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial\tucne U}{\partial t}\tucne\phi\,\text dx\,\text dt+\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)\tucne\phi\,\text dx\,\text dt=\tucne0.
\end{equation}
Je
\[
\int_{t_1}^{t_2}\frac{\partial\tucne U}{\partial t}\tucne\phi\,\text dt=\left[\tucne U\tucne\phi\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}\,\text dt
\]
a podobně
\[
\int_{x_1}^{x_2}\frac\partial{\partial x}\left(\tucne F(\tucne U)\right)\tucne\phi\,\text dx=\left[\tucne F(\tucne U)\tucne\phi\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\,\text dx.
\]
Můžeme tedy (\ref{slabyzakonzachovani}) přepsat jako
\[
\left[\int_{x_1}^{x_2}\tucne U\tucne\phi\,\text
dx\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}\,\text dx\,\text dt+ \left[\int_{t_1}^{t_2}\tucne F(\tucne U)\tucne\phi\,\text dt\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\,\text dx\,\text dt=\tucne0.
\]
Za předpokladu, že $\tucne\phi(t_2,\,x)=\tucne0$ pro všechna $x$ a že
$\tucne\phi(t,\,x)=\tucne0$ pro $\abs x\to+\infty$, odtud pro v absolutní
hodnotě dost velká $x_1,\,x_2$ dostaneme
\[
-\int_{x_1}^{x_2}\tucne U(t_1,\,x)\tucne\phi(t_1,\,x)\,\text dx-\int_{t_1}^{t_2}\int_{x_1}^{x_2}\left(\tucne U\frac{\partial\tucne\phi}{\partial t}+\tucne F(\tucne U)\frac{\partial\tucne\phi}{\partial x}\right)\text dx\,\text dt=\tucne0.
\]
{\bf Slabým řešením úlohy (\ref{zakonyzachovani})} nazýváme zobrazení $\tucne
U$, které splňuje předchozí vztah pro každé zobrazení $\tucne\phi\in\mathcal
C^1((t_1,\,t_2)\times\mathbbm R)$ s danými vlastnostmi.
\subsection{Numerické metody pro nalezení slabého řešení}
V celém odstavci bude $\tau$, resp. $h$ značit časový, resp. prostorový krok;
$U_j^k$ pak bude značit $\tucne U(k\tau,\,jh)$.
\subsubsection{Laxovo-Friedrichsovo schéma}
\[
U_j^{k+1}=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F_{\text{num}}(U_j^k,\,U_{j+1}^k)-\tucne F_{\text{num}}(U_{j-1}^k,\,U_j^k)\right], \]
kde
\[
\tucne F_{\text{num}}(\tucne U,\,\tucne V)=\frac h{2\tau}(\tucne U-\tucne V)+\frac12\left(\tucne F(\tucne U)+\tucne F(\tucne V)\right) \]
je tzv. {\em numerický tok}.
\subsubsection{Laxovo-Wendroffovo schéma}
\[
U_{j+\frac12}^{k+\frac12}=\frac12(U_j^k+U_{j+1}^k)-\frac\tau{2h}\left[\tucne F(U_{j+1}^k)-\tucne F(U_j^k)\right],
\]
\[
U_j^{k+1}=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F(U_{j+\frac12}^{k+\frac12})-\tucne F(U_{j-\frac12}^{k+\frac12})\right].
\]
\subsubsection{MacCormackovo schéma}
\[
U_j^{k+1}=\frac12(U_j^k+U_j^*)-\frac\tau{2h}\left[\tucne F(U_j^*)-\tucne F(U_{j-1}^*)\right],
\]
kde
\[
U_j^*=U_j^k-\frac\tau h\left[\tucne F(U_{j+1}^k)-\tucne F(U_j^k)\right].
\]
\subsubsection{Podmínka stability}
Podmínka stability všech tří schémat je
\[
\frac\tau h\le\frac1{\sigma(\tucne F'(\tucne U))},
\]
kde $\sigma$ značí spektrální poloměr.
