01NM:Kapitola9: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(odkaz na hlavičkovou stránku dokumentu)
 
Řádka 1: Řádka 1:
 +
%\wikiskriptum{01NM}
 +
 
\section{Numerický výpočet integrálu}
 
\section{Numerický výpočet integrálu}
 
Chceme vypočítat
 
Chceme vypočítat
Řádka 360: Řádka 362:
 
Aby se tato tvrzení odlišila od vět, resp. lemm vyslovených na přednášce přímo (a tedy i v téže podobě vyžadovaných u zkoušky), jsou v textu označována slovem tvrzení. Pojmenování věta, resp. lemma jsou vyhrazena tvrzením takto označeným na přednášce. Upozornění: Přidaná tvrzení velmi často nejsou exaktní, tj. zejména neobsahují všechny potřebné předpoklady, pokud jsou zřejmé z kontextu. Je tomu tak především proto, aby nedošlo k příliš výraznému odklonu od přednášky. Stručně řečeno: cílem není naprostá přesnost ve všech detailech za cenu vytvoření něčeho, co nemá s přednáškou mnoho společného, ale spíš naopak --- jednoduchost a zachování původního pojetí i za cenu drobných nepřesností.
 
Aby se tato tvrzení odlišila od vět, resp. lemm vyslovených na přednášce přímo (a tedy i v téže podobě vyžadovaných u zkoušky), jsou v textu označována slovem tvrzení. Pojmenování věta, resp. lemma jsou vyhrazena tvrzením takto označeným na přednášce. Upozornění: Přidaná tvrzení velmi často nejsou exaktní, tj. zejména neobsahují všechny potřebné předpoklady, pokud jsou zřejmé z kontextu. Je tomu tak především proto, aby nedošlo k příliš výraznému odklonu od přednášky. Stručně řečeno: cílem není naprostá přesnost ve všech detailech za cenu vytvoření něčeho, co nemá s přednáškou mnoho společného, ale spíš naopak --- jednoduchost a zachování původního pojetí i za cenu drobných nepřesností.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
 
 
% následující řádky upravují pouze zobrazení stránky na wiki na obsah dokumentu nemají vliv - prosím neměnit !
 
%\parentlatexfile{01NMskriptum}
 
%\usewikiobsah{01NM:Obsah}
 
%\parentlatexpreamble{01NM:Preamble} .................................. odkaz na hlavičkovou stránku dokumentu, jehož vložení umožní překlad částečného pdf, tj. pdf, které vznikne pouze z této stránky
 

Aktuální verze z 1. 8. 2010, 10:25

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01NM

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01NMAdmin 1. 8. 201010:22
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:47
Header editovatHlavičkový souborKlinkjak 1. 9. 201522:49 header.tex
Kapitola1 editovatFinitní metodyAdmin 1. 8. 201010:24 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatIterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnicKlinkjak 3. 9. 201519:49 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatČástečný problém vlastních číselAdmin 1. 8. 201010:25 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatÚplný problém vlastních číselAdmin 1. 8. 201010:25 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatIterační metody řešení rovnice tvaru f(x)=0Admin 1. 8. 201010:25 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatIterační metody pro řešení systémů nelineárních algebraických a transcendentních rovnicAdmin 1. 8. 201010:25 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatLagrangeova interpolaceAdmin 1. 8. 201010:25 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatNumerický výpočet derivaceAdmin 1. 8. 201010:25 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatNumerický výpočet integrálu Admin 1. 8. 201010:25 kapitola9.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01NM}
 
\section{Numerický výpočet integrálu}
Chceme vypočítat
\begin{equation}
\label{integral}
\int_c^d f(x)\text{ d}x
\end{equation}
na základě znalosti $f(x_1\, \hdots\, x_n)$, kde uzly $x_1\, \hdots\, x_n$ jsou z intervalu $\langle c\, d\rangle$.
\subsection{Newtonovy-Cotesovy formule pro ekvidistantní rozmístění uzlů}
Podle rozmístění uzlů v intervalu $\langle c\, d\rangle$ rozlišujeme
\begin{enumerate}
\item formule uzavřeného typu:
\[
\begin{matrix}
a & c & \hdots & d\\
\hline
x_0 & x_1 & \hdots & x_n
\end{matrix}
\]
\[
c=a+h\, d=a+nh\, h=\frac{d-c}{n-1},
\]
\item formule otevřeného typu:
\[
\begin{matrix}
a = c & a+h & \hdots & a+nh & d\\
\hline
x_0 & x_1 & \hdots & x_n & x_{n+1}
\end{matrix}
\]
\[
c=a\, d=a+(n+1)h\, h=\frac{d-c}{n+1}.
\]
\end{enumerate}
Odvozovat budeme oba typy najednou pomocí parametru $k$:
\[
c=a+(1-k)h\, d=a+(n+k)h\, h=\frac{d-c}{n-1+2k}.
\]
Formule uzavřeného, resp. otevřeného typu zřejmě získáme volbou $k=0$, resp. $k=1$.
Definujme funkci $F(y)=f(a+hy)$. Potom $F(i)=f(x_i)$. Zavedeme-li do integrálu (\ref{integral}) substituci $x=a+hy$, je
\[
\int_c^d f(x)\text{ d}x=h\int_{1-k}^{n+k} F(y)\text{ d}y.
\]
Funkci $F$ nahradíme Lagrangeovým interpolačním polynomem příslušným k této funkci a uzlům $1\, \hdots\, n$. Potom
\[
\int_c^d f(x)\text{ d}x=h\int_{1-k}^{n+k}\sum_{i=1}^n F(i)\frac{(y-1)\hdots(y-(i-1))(y-(i+1))\hdots(y-n)}{(i-1)\hdots(i-(i-1))(i-(i+1))\hdots(i-n)}\text{ d}y+
\]
\[
+h\underbrace{\int_{1-k}^{n+k} (y-1)\hdots(y-n)\; F(y\, 1\, \hdots\, n)\text{ d}y}_{\text{ozn. }\rho_n}=
\]
\[
=h\int_{1-k}^{n+k}\sum_{i=1}^n \frac{F(i)}{(i-1)!\;(n-i)!\;(-1)^{i-n}}\frac{(y-1)\hdots(y-n)}{y-i}\text{ d}y+h\rho_n=
\]
\[
=(d-c)\sum_{i=1}^n f(x_i) \underbrace{\frac{(-1)^{n-i}\int_{1-k}^{n+k}\frac{(y-1)\hdots(y-n)}{y-i}\text{ d}y}{(n-1+2k)(i-1)!\;(n-i)!}}_{\text{ozn. }I_{i, k}^{(n)}}+\underbrace{h\rho_n}_{\text{ozn. }R_{n, k}(f)},
\]
kde $I_{i\, k}^{(n)}$ jsou tzv. Newtonova-Cotesova čísla. Získali jsme tedy obecný vzorec
\begin{equation}
\label{obfor}
\int_c^d f(x)\text{ d}x=(d-c)\sum_{i=1}^n I_{i\, k}^{(n)} f(x_i)+R_{n\, k} (f).
\end{equation}
\begin{tvrz}
Newtonova-Cotesova čísla $I_{i, k}^{(n)}$ jsou symetrická v $i$, tj. \linebreak[4]$(\forall i\in\hat n)(I_{i\, k}^{(n)}=I_{n+1-i\, k}^{(n)})$, a pro jejich součet platí
\[
\sum_{i=1}^n I_{i\, k}^{(n)}=1.
\]
\begin{proof}
První část tvrzení: Platí
\[
I_{n+1-i\, k}^{(n)}=\frac{(-1)^{i-1}}{(n-1+2k)(n-i)!\;(i-1)!}\int_{1-k}^{n+k}\frac{(y-1)\hdots(y-n)}{y-n+i-1}\text{ d}y.
\]
Do integrálu vpravo zavedeme substituci $z=n+1-y$, tj. $y=n+1-z$:
\[
I_{n+1-i\, k}^{(n)}=\frac{(-1)^{1-i}}{(n-1+2k)(i-1)!\;(n-i)!}\int_{n+k}^{1-k}\frac{(n-z)\hdots(1-z)}{i-z}(-\text{d}z)=
\]
\[
=\frac{(-1)^{n-i}}{(n-1+2k)(i-1)!\;(n-i)!}\int_{1-k}^{n+k}\frac{(z-1)\hdots(z-n)}{z-i}\text{ d}z=I_{i\, k}^{(n)}.
\]
 
Druhá část tvrzení: Položíme-li $f(x)\equiv 1$, potom zřejmě $R_{n\, k}(f)=0$ a podle (\ref{obfor}) platí $d-c=(d-c)\sum_{i=1}^n I_{i\, k}^{(n)}$.
\end{proof}
\end{tvrz}
Nyní do vzorce (\ref{obfor}) dosadíme $k=0$ a $n=2$. Podle předchozího tvrzení musí být $I_{1,0}^{(2)}=I_{2,0}^{(2)}$, takže
\[
\int_c^d f(x)\text{ d}x\approx (d-c)\left(\frac{1}{2}f(x_1)+\frac{1}{2}f(x_2)\right).
\]
Pro $n=3$ si už musíme alespoň $I_{1,0}^{(3)}$ spočítat podle definice:
\[
I_{1, 0}^{(3)}=\frac{1}{2.0!\;2!}\int_{1}^{3}\frac{(y-1)(y-2)(y-3)}{y-1}\text{ d}y=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{6},
\]
\[
\int_c^d f(x)\text{ d}x\approx (d-c)\left(\frac{1}{6}f(x_1)+\frac{4}{6}f(x_2)+\frac{1}{6}f(x_3)\right).
\]
Podobným způsobem se dozvíme, že pro $n=4$ platí
\[
\int_c^d f(x)\text{ d}x\approx (d-c)\left(\frac{1}{8}f(x_1)+\frac{3}{8}f(x_2)+\frac{3}{8}f(x_3)+\frac{1}{8}f(x_4)\right).
\]
 
Analogicky dokážeme, že v případě formulí otevřeného typu (tj. pro $k=1$) platí
\begin{eqnarray*}
n=1 & \Rightarrow & \int_c^d f(x)\text{ d}x\approx (d-c)f(x_1),\\
n=2 & \Rightarrow & \int_c^d f(x)\text{ d}x\approx (d-c)\left(\frac{1}{2}f(x_1)+\frac{1}{2}f(x_2)\right),\\
n=3 & \Rightarrow & \int_c^d f(x)\text{ d}x\approx (d-c)\left(\frac{2}{3}f(x_1)-\frac{1}{3}f(x_2)+\frac{2}{3}f(x_3)\right).
\end{eqnarray*}
\subsection{Určení chyby v Newtonových-Cotesových formulích}
\subsubsection{Lichý počet uzlů}
Soustřeďme se nejprve na případ lichého počtu uzlů, tj. nechť $(\exists m\in\N)(n=2m-1)$. Potom pro chybu platí
\[
\rho_{2m-1}=\int_{1-k}^{2m-1+k} \underbrace{(y-1)\hdots(y-2m+1)}_{\text{ozn. }\psi(y)} F(y\, 1\, \hdots\, 2m-1) \text{ d}y.
\]
Definujme funkci
\begin{equation}
\label{fipsi}
\phi(x)=\int_{1-k}^x \psi(y)\text{d}y.
\end{equation}
\begin{tvrz}[pomocné]
\label{lema}
Označme
\[
I_i=\int_i^{i+1}\psi(y)\text{ d}y
\]
pro $i=0\, 1\, \hdots\, m-1$. Potom platí $\abs{I_0}>\abs{I_1}>\hdots>\abs{I_{m-1}}$.
\begin{proof}
Pro $i\le m-2$ je $I_{i+1}=\int_{i+1}^{i+2} (y-1)\hdots(y-2m+1)\text{ d}y$. Do tohoto integrálu zavedeme substituci $z=y-1$, tj. $y=z+1$:
\[
I_{i+1}=\int_i^{i+1} z(z-1)\hdots(z-2m+2)\text{ d}z=\int_i^{i+1} z\cdot\frac{\psi(z)}{z-2m+1}\text{ d}z.
\]
Protože funkce $z\rightarrow\frac{z}{z-2m+1}$ je v intervalu $\langle i\, i+1\rangle$ zřejmě spojitá a funkce $\psi$ nemění v intervalu $(i\, i+1)$ znamení (je to polynom a body $i\, i+1$ jsou jeho jediné kořeny v $\langle i\, i+1\rangle$), existuje podle 1. věty o střední hodnotě takové $\xi\in(i\, i+1)$, že
\[
I_{i+1}=\frac{\xi}{\xi-2m+1}\int_i^{i+1}\psi(z)\text{ d}z=\frac{\xi}{\xi-2m+1}I_i.
\]
Zřejmě platí $\abs{\frac{\xi}{\xi-2m+1}}=\frac{\xi}{2m-1-\xi}$ a tato funkce proměnné $\xi$ je v celém intervalu $\langle 0\, m-1\rangle$ ostře rostoucí. Proto $\forall i\in\{0\, \hdots\, m-2\}$ platí
\[
\abs{I_{i+1}}=\frac{\xi}{2m-1-\xi}\abs{I_i}\le \frac{m-1}{m}\abs{I_i}<\abs{I_i}.
\]
\end{proof}
\end{tvrz}
\begin{tvrz}[pomocné]
\label{lempsi}
Platí $\psi(y)=-\psi(2m-y)$.
\begin{proof}
Je $\psi(2m-y)=(2m-1-y)\hdots(1-y)=-(y-1)\hdots(y-2m+1)$.
\end{proof}
\end{tvrz}
\begin{tvrz}
\label{tvrzeniofi}
\begin{enumerate}
\item Funkce $\phi$ je polynom,
\item $\phi(1-k)=0$,
\item $\phi(2m-1+k)=0$,
\item $(\forall x\in (1-k\, 2m-1+k))(\phi(x)\ne 0)$.
\end{enumerate} 
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Zřejmé.
\item Zřejmé.
\item Podle (\ref{fipsi}) je
\[
\phi(2m-1+k)=\int_{1-k}^{2m-1+k} (y-1)\hdots(y-2m+1)\text{ d}y.
\]
Zavedeme substituci $z=2m-y$, tj. $y=2m-z$:
\[
\phi(2m-1+k)=\int_{2m-1+k}^{1-k} (2m-1-z)\hdots(1-z)(-\text{d}z)=
\]
\[
=-\int_{1-k}^{2m-1+k} (z-1)\hdots(z-2m+1)\text{ d}z=-\phi(2m-1+k).
\]
Protože $\phi(2m-1+k)=-\phi(2m-1+k)$, musí být $\phi(2m-1+k)=0$.
\item Z důkazu tvrzení \ref{lema} vyplývá, že funkce $\phi$ nemění v intervalu $(i\, i+1\rangle$ znamení a že sgn $I_i=-\text{ sgn }I_{i+1}$ $(i\in\{0\, \hdots\, m-2\})$. Odtud je zřejmé, že \linebreak[4]$(\forall x\in (1-k\, m\rangle)(\text{sgn }\phi(x)=\text{sgn }I_0)$.
 
Dokážeme, že pro $x\in\langle m\, 2m-1+k)$ platí $\phi(x)=\phi(2m-x)$:
Do integrálu
\[
\phi(2m-x)=\int_{1-k}^{2m-x} \psi(y)\text{d}y
\]
zavedeme substituci $z=2m-y$, takže s využitím tvrzení \ref{lempsi} a již dokázaného bodu 3 dostaneme
\[
\phi(2m-x)=-\int_{2m-1+k}^x \psi(2m-z)\text{ d}z=\int_{2m-1+k}^x \psi(z)\text{ d}z=
\]
\[
=\int_{2m-1+k}^{1-k} \psi(z)\text{ d}z+\int_{1-k}^x \psi(z)\text{ d}z=-\phi(2m-1+k)+\phi(x)=\phi(x).
\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{tvrz}
Nyní již můžeme určit chybu $\rho_{2m-1}$. K tomu využijeme metody per partes:
\[
\rho_{2m-1}=\int_{1-k}^{2m-1+k} \psi(y) F(y\, 1\, \hdots\, 2m-1) \text{ d}y=
\]
\[
=\left[\phi(x) F(x\, 1\, \hdots\, 2m-1)\right]_{1-k}^{2m-1+k}-\int_{1-k}^{2m-1+k} \phi(y) \frac{\text{d}}{\text{d}y} F(y\, 1\, \hdots\, 2m-1) \text{ d}y.
\]
Podle bodů 2 a 3 tvrzení \ref{tvrzeniofi} je první sčítanec nulový, do druhého dosadíme z (\ref{derdif}), takže
\[
\int_{1-k}^{2m-1+k} \psi(y) F(y\, 1\, \hdots\, 2m-1) \text{ d}y=-\int_{1-k}^{2m-1+k} \phi(y) F(y\, y\, 1\, \hdots\, 2m-1) \text{ d}y.
\]
Z tvrzení \ref{pomdif} vyplývá spojitost funkce $y\rightarrow F(y\, y\, 1\, \hdots\, 2m-1)$ a podle tvrzení \ref{tvrzeniofi} funkce $\phi$ nemění na $(k-1\, 2m-1+k)$ znamení. Podle 1. věty o střední hodnotě proto existuje $\eta\in(1-k\, 2m-1+k)$ tak, že
\[
\rho_{2m-1}=-F(\eta\, \eta\, 1\, \hdots\, 2m-1)\int_{1-k}^{2m-1+k} \phi(y)\text{ d}y=-\frac{F^{(2m)}(\xi)}{(2m)!}\int_{1-k}^{2m-1+k} \phi(y)\text{ d}y.
\]
 
\subsubsection{Sudý počet uzlů}
Nyní si rozeberme případ sudého počtu uzlů, tj. nechť $(\exists m\in\N)(n=2m)$. Potom
\[
\rho_{2m}=\int_{1-k}^{2m+k} (y-1)\hdots(y-2m) F(y\, 1\, \hdots\, 2m) \text{ d}y=
\]
\[
=\int_{1-k}^{2m-1+k}\psi(y)(y-2m) F(y\, 1\, \hdots\, 2m)\text{ d}y + \int_{2m-1+k}^{2m} (y-1)\hdots(y-2m)F(y\, 1\, \hdots\, 2m)\text{ d}y.
\]
Označme poslední dva integrály po řadě $S_1\, S_2$. Do prvního integrálu dosadíme
\[
F(y\, 1\, \hdots\, 2m)=\frac{F(1\, \hdots\, 2m)-F(y\, 1\, \hdots\, 2m-1)}{2m-y},
\]
takže dostaneme
\[
S_1=-F(1\, \hdots\, 2m)\int_{1-k}^{2m-1+k}\psi(y)\text{ d}y+\int_{1-k}^{2m-1+k}\psi(y)F(y\, 1\, \hdots\, 2m-1)\text{ d}y=
\]
\[
=-F(1\, \hdots\, 2m)\underbrace{\phi(2m-1+k)}_{=0}+\rho_{2m-1}=\frac{F^{(2m)}(\xi_1)}{(2m)!}\underbrace{\left(-\int_{1-k}^{2m-1+k} \phi(y)\text{ d}y\right)}_{\text{ozn. }A_1}.
\]
Na druhý integrál použijeme oblíbenou 1. větu o střední hodnotě a máme
\[
S_2=\int_{2m-1+k}^{2m} (y-1)\hdots(y-2m)F(y\, 1\, \hdots\, 2m)\text{ d}y=
\]
\[
=F(\eta\, 1\, \hdots\, 2m)\underbrace{\int_{2m-1+k}^{2m+k}(y-1)\hdots(y-2m)\text{ d}y}_{\text{ozn. }A_2}=\frac{F^{(2m)}(\xi_2)}{(2m)!} A_2.
\]
\begin{tvrz}
Platí sgn $A_1=\text{sgn}A_2$.
\begin{proof}
Nechť např. $k=0$ (případ $k=1$ se dokáže podobně). Potom
\[
A_1=-\int_1^{2m-1} \phi(y)\text{ d}y\, \;\;\;\;\;\text{kde}\;\;\;\;\;\phi(y)=\int_1^y (t-1)\hdots(t-2m+1)\text{ d}t.
\]
Podle tvrzení \ref{tvrzeniofi} nemění funkce $\phi$ na $(1\, 2m-1)$ znamení, a proto stačí zjistit $\text{sgn }\phi$ v libovolném bodě tohoto intervalu, např. v bodě $y=2$:
\[
\phi(2)=\int_1^2 \underbrace{(t-1)}_{>0}\underbrace{(t-2)}_{<0}\hdots\underbrace{(t-2m+1)}_{<0}\text{ d}t > 0,
\]
takže $A_1$ je záporně vzatým integrálem kladné funkce, odkud $A_1<0$. Pro $A_2$ platí
\[
A_2=\int_{2m-1}^{2m} \underbrace{(y-1)\hdots(y-(2m-1))}_{>0}\underbrace{(y-2m)}_{<0}\text{ d}y<0.
\]
\end{proof}
\end{tvrz}
\begin{lemma}
Jsou-li $\phi$ funkce spojitá v intervalu $\langle x_1\, x_2\rangle$ a $A_1\, A_2$ konstanty buď obě kladné, nebo obě záporné, potom
\[
(\exists\xi\in\langle x_1\, x_2\rangle)(A_1\phi(x_1)+A_2\phi(x_2)=(A_1+A_2)\phi(\xi)).
\]
\begin{proof}
$\;\emptyset$
\end{proof}
\end{lemma}
Platí
\[
\rho_{2m}=S_1+S_2=\frac{F^{(2m)}(\xi_1)}{(2m)!} A_1+\frac{F^{(2m)}(\xi_2)}{(2m)!} A_2.
\]
Předpokládejme, že $F^{(2m)}$ je spojitá funkce. Potom podle předchozí lemmy existuje $\xi\in\langle\xi_1\, \xi_2\rangle$ tak, že
\[
\rho_{2m}=\frac{F^{(2m)}(\xi)}{(2m)!}\left( - \int_{1-k}^{2m-1+k} \phi(y)\text{ d}y + \int_{2m+1-k}^{2m+k} (y-1)\hdots(y-2m)\text{ d}y\right).
\]
\subsubsection{Shrnutí}
\begin{tvrz}
Platí $F^{(n)}(y)=h^nf^{(n)}(x)$.
\begin{proof}
Na začátku kapitoly jsme zavedli funkci $F(y)=f(a+hy)$ a provedli substituci $x=a+hy$. Odtud plyne
\[
\frac{\text{d}F(y)}{\text{d}y}=\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}\frac{\text{d}x}{\text{d}y},
\]
tj. $F'(y)=hf'(a+hy)$ a indukcí pak $\frac{\text{d}^nF}{\text{d}y^n}(y)=h^n\frac{\text{d}^n f}{\text{d}x^n}(x)$.
\end{proof}
\end{tvrz}
 
Obecné vzorce pro numerický výpočet integrálu tedy jsou:
\[
\int_c^d f(x)\text{ d}x=(d-c)\sum_{i=1}^{2m-1} I_{i\, k}^{(2m-1)} f(x_i)-\frac{h^{2m+1}}{(2m)!}\;f^{(2m)} (\xi)\int_{1-k}^{2m-1+k} \phi(y)\text{ d}y
\]
pro lichá $n$, tj. $n=2m-1$, a
\[
\int_c^d f(x)\text{ d}x=(d-c)\sum_{i=1}^{2m} I_{i\, k}^{(2m)} f(x_i)-
\]
\[
-\frac{h^{2m+1}}{(2m)!}\;f^{(2m)} (\xi)\left(\int_{1-k}^{2m-1+k} \phi(y)\text{ d}y-\int_{2m-1+k}^{2m+k} (y-1)\hdots(y-2m) \text{ d}y\right)
\]
pro sudá $n$, tj. $n=2m$.
 
Závěr: Výhodnější je formule pro lichý počet uzlů, protože mocnina $h$ je stejná, ale počet sčítanců je menší. Navíc koeficient u $h$ je v případě sudého počtu uzlů větší, jak víme z předchozí lemmy.
\subsection{Formule používané v praxi}
K praktickému výpočtu $\int_a^b f(x)\text{ d}x$ se nepoužívají Newtonovy-Cotesovy formule, ale obdélníková, lichoběžníková a Simpsonova formule.
\subsubsection{Obdélníková formule}
Interval $\langle a\, b\rangle$ rozdělíme na $n$ dílků stejné délky a doprostřed každého dílku umístíme uzel $x_i=a+(i-\frac{1}{2})h$, kde $h=\frac{b-a}{n}\, i\in\hat n$. Potom platí
\[
\int_a^b f(x)\text{ d}x=\sum_{i=1}^n \int_{\Delta_i} f(x)\text{ d}x.
\]
Jednotlivé integrály vypočteme pomocí Newtonových-Cotesových formulí pro \linebreak[4]$k=n=m=1$ (otevřený typ):
\[
\int_{\Delta_i} f(x)\text{ d}x=hf(x_i)-\frac{1}{2}\left(\frac{h}{2}\right)^3f''(\xi)\int_0^2\left(\int_0^y (t-1)\text{ d}t\right)\text{d}y=hf(x_i)+\frac{h^3}{24}f''(\xi_i).
\]
Odtud
\[
\int_a^b f(x)\text{ d}x=h\sum_{i=1}^n f(x_i)+\frac{h^3}{24}\sum_{i=1}^n f''(\xi_i)=h\sum_{i=1}^n f(x_i)+h^2\cdot\frac{b-a}{24}\cdot\frac{\sum_{i=1}^n f''(\xi_i)}{n}.
\]
Poslední zlomek je aritmetickým průměrem hodnot $f''(\xi_i)$, označme jej proto $f''(\xi)$:
\[
\int_a^b f(x)\text{ d}x=h\sum_{i=1}^n f(x_i)+\frac{b-a}{24} h^2 f''(\xi).
\]
\subsubsection{Lichoběžníková formule}
Interval $\langle a\, b\rangle$ rozdělíme na $n$ dílků stejné délky a do jejich hraničních bodů umístíme uzly $x_i=x_0+ih$, kde $h=\frac{b-a}{n}\, i\in\hat n_0$. Potom platí
\[
\int_a^b f(x)\text{ d}x=\sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)\text{ d}x.
\]
Jednotlivé integrály vypočteme pomocí Newtonových-Cotesových formulí pro \linebreak[4]$k=0\, n=2\, m=1$ (uzavřený typ):
\[
\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)\text{ d}x=\frac{h}{2}[f(x_{i-1})+f(x_i)]-\frac{h^3}{12}f''(\xi_i),
\]
\[
\int_a^b f(x)\text{ d}x=\frac{h}{2}[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\hdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)]-\frac{h^3}{12}\sum_{i=1}^n f''(\xi_i)=
\]
\[
=\frac{h}{2}[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\hdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)]-h^2\cdot\frac{b-a}{12}\cdot\frac{\sum_{i=1}^n f''(\xi_i)}{n}.
\]
Za předpokladu spojitosti $f''$ je poslední zlomek opět aritmetickým průměrem, takže můžeme psát
\[
\int_a^b f(x)\text{ d}x=\frac{h}{2}[f(x_0)+2f(x_1)+\hdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)]-\frac{b-a}{12}h^2 f''(\xi).
\]
\begin{remark}
Chyba zde vyšla větší než u obdélníkové formule. Je to tím, že zde jsme použili Newtonovy-Cotesovy formule pro sudé $n$.
\end{remark}
\subsubsection{Simpsonova formule}
Interval $\langle a\, b\rangle$ rozdělíme na $2n$ dílků stejné délky a uzly $x_i=x_0+ih$, kde $h=\frac{b-a}{2n}\, i\in\{0\, \hdots\, 2n\}$ umístíme do prostředního i obou hraničních bodů každého dílku. Potom platí
\[
\int_a^b f(x)\text{ d}x=\sum_{i=1}^n \int_{x_{2i-2}}^{x_{2i}} f(x)\text{ d}x.
\]
Jednotlivé integrály vypočteme pomocí Newtonových-Cotesových formulí pro \linebreak[4]$k=0\, n=3\, m=2$ (uzavřený typ):
\[
\int_{2i-2}^{2i} f(x)\text{ d}x=\frac{2h}{6}[f(x_{2i-2})+4f(x_{2i-1})+f(x_{2i})]-\frac{h^5}{90} f^{(4)} (\xi_i),
\]
\[
\int_a^b f(x)\text{ d}x=\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\hdots+
\]
\[
+2f(x_{2n-2})+4f(x_{2n-1})+f(x_{2n})]-\frac{h^5}{90} \sum_{i=1}^n f^{(4)}(\xi_i).
\]
V posledním výrazu dosadíme za $h=\frac{b-a}{2n}$ a za předpokladu spojitosti $f^{(4)}$ můžeme psát
\[
\int_a^b f(x)\text{ d}x=\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\hdots+
\]
\[
+2f(x_{2n-2})+4f(x_{2n-1})+f(x_{2n})]-\frac{b-a}{180} h^4 f^{(4)}(\xi).
\]
\begin{remark}[závěrečná]
Numerická matematika II není doslovným přepisem zápisků z přednášky. Důvodem byla snaha o přehlednější a ucelenější pojetí, které by navíc zdůraznilo styčné body s lineární algebrou a matematickou analýzou. Výsledkem by mělo být snažší pochopení látky. Co je tedy jinak?
 
Něco je zde navíc a něco jiného chybí. Přidáno bylo několik poznámek, které upozorňují na souvislosti s jinými předměty, zejména s matematickou analýzou 3. Tyto poznámky slouží pouze ke zdůraznění souvislostí a ke snazšímu pochopení. Jsou samozřejmě zcela mimo rámec toho, co je třeba se učit ke zkoušce, a ten, koho by mátly, nebo kdo ještě neabsolvoval MAA3, je může klidně vynechat.
 
Co zde naopak nenajdete: Snahou bylo odstranit vše, co se nevyžaduje u zkoušky a přitom není podstatné pro pochopení další látky. Přesto zde zůstalo i několik takovýchto věcí, např. popis metody řízené relaxace.
 
Za zmínku stojí ještě dvě úpravy: Většina nových pojmů je uváděna až ve chvíli, kdy jsou tyto pojmy potřeba. Pozornému čtenáři skript jistě neuniklo, že dílčí snahy v tomto směru se objevují i v samotné přednášce. Tento projekt v nich tedy pouze jde o trochu dál.
 
Poslední a vlastně nejzásadnější změnou oproti přednášce je forma, jakou je veden výklad v jednotlivých kapitolách. Na přednášce je postup většinou takový, že se odvozuje ,,pořád dál", tj. bez průběžných shrnutí získaných výsledků. Naproti tomu zde je zvolena ,,klasičtější" forma tvrzení-důkaz. Velká část odvození je tak ,,skryta" do důkazů jistých tvrzení. To by mělo mít za následek větší přehlednost a srozumitelnost. 
Aby se tato tvrzení odlišila od vět, resp. lemm vyslovených na přednášce přímo (a tedy i v téže podobě vyžadovaných u zkoušky), jsou v textu označována slovem tvrzení. Pojmenování věta, resp. lemma jsou vyhrazena tvrzením takto označeným na přednášce. Upozornění: Přidaná tvrzení velmi často nejsou exaktní, tj. zejména neobsahují všechny potřebné předpoklady, pokud jsou zřejmé z kontextu. Je tomu tak především proto, aby nedošlo k příliš výraznému odklonu od přednášky. Stručně řečeno: cílem není naprostá přesnost ve všech detailech za cenu vytvoření něčeho, co nemá s přednáškou mnoho společného, ale spíš naopak --- jednoduchost a zachování původního pojetí i za cenu drobných nepřesností.
\end{remark}