Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MIP}
%
\chapter[Charakteristická funkce náhodné veličiny]{Charakteristická funkce\\ náhodné veličiny}
\begin{defi}
Buď $ \xx $ náhodná veličina na $ (\Omega, \sa, P) $. Komplexní funkci $ n $ reálných proměnných $ \varphi_{\xx}\colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C} $ definovanou $ \forall \mt \in \mathbb{R}^n $ vztahem
\begin{equation}\label{eq-def-char-fce}
\varphi_{\xx}(\mt) := \E\left(\e^{\ii \mt \cdot \mkern-2mu \xx}\right)
\end{equation}
nazveme \textbf{charakteristickou funkcí} náhodné veličiny $ \xx $.
\end{defi}
\begin{pozn}\label{pozn-char-fce}
Podívejme se nyní na finesy, které se v~této definici skrývají.
\begin{itemize}
\item Tečka ve výrazu $ \mt \cdot \xx $ značí standardní skalární součin. Je-li $ \xx = (X_1, \ldots, X_n)^{\mathrm{T}} $, $ \mt = \linebreak = (t_1, \ldots, t_n)^{\mathrm{T}} $, potom $ \mt^{\mathrm{T}} \cdot \xx = \sum_{j=1}^n t_j X_j $. Symbol transpozice však vynecháváme.
\item Střední hodnotu jsme definovali pro reálné náhodné veličiny $ \xx\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n $. Veličina $ \e^{\ii \mt\cdot \xx} $ je však \emph{komplexní} funkce $ \Omega \rightarrow \mathbb{C} $ a máme počítat její střední hodnotu. Je vůbec taková definice korektní? Odpověď je \emph{ano}, neboť na komplexní veličinu $ Z = X + \ii Y $ můžeme nahlížet jako na transformaci dvou reálných -- pak už výpočet $ \E Z = \E X + \ii \E Y $ má smysl. Rozdělení $ Z $ je tedy určeno rozdělením veličin $ X $ a $ Y $, takže $ F_Z = F_{(X,Y)} $.
\item Funguje Fubiniho věta i~pro komplexní veličinu dvou proměnných $ Z\!\colon \Omega_1 \times \Omega_2 \rightarrow \mathbb{C} $? Rozložme ji na $ Z = X + \ii Y $, kde $ X = X(\omega_1, \omega_2) $ a $ Y = Y(\omega_1, \omega_2) $ jsou funkce $ \Omega_1 \times \Omega_2 \rightarrow \mathbb{R} $. Je-li míra~$ P $ součinová, pak už můžeme použít Fubiniho větu~\ref{v-fubini} zvlášť na reálnou a imaginární část, čímž obdržíme
\begin{align*}
\int\limits_{\Omega_1 \times \Omega_2}\mkern-12mu Z \dd P &= \int\limits_{\Omega_1 \times \Omega_2}\mkern-15mu X \dd(P_1 \otimes P_2) + \ii \mkern-10mu \int\limits_{\Omega_1 \times \Omega_2}\mkern-10mu Y \dd(P_1 \otimes P_2)\\
&\stackrel{\text{F}}{=} \int_{\Omega_2}\left(\int_{\Omega_1} X \dd P_1\right) \dd P_2 + \ii \int_{\Omega_2}\left(\int_{\Omega_1} Y \dd P_1\right) \dd P_2 \\
&= \int_{\Omega_2} \Bigl(\int_{\Omega_1} (\underbrace{X + \ii Y}_Z) \dd P_1 \Bigr) \dd P_2.
\end{align*}
\item Na integrál v~definičním vztahu \eqref{eq-def-char-fce} bychom rádi použili větu o přenosu integrace~\ref{v-VPI}. Nevíme ale, zda si to můžeme dovolit i~pro komplexní transformaci $ \hat{g}\colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C} $. Nechť tedy $ Z := \hat{g} \circ \xx = \hat{g}(\xx) $. Pak ale $ \hat{g}(\xx) = \Re \hat{g}(\xx) + \ii \Im \hat{g}(\xx) $, přičemž $ \Re \hat{g}(\xx) $ a $ \Im \hat{g}(\xx) $ už jsou \emph{reálné} funkce, pro něž VPI funguje:
\begin{align*}
\E Z &= \int_{\Omega} Z \dd P = \int_{\Omega} \Re \hat{g}(\xx) \dd P + \ii \int_{\Omega} \Im \hat{g}(\xx) \dd P = \\
&\!\stackrel{\text{VPI}}{=} \int_{\mathbb{R}^n}\mkern-10mu \Re\hat{g}(\mx) \dd P^{\xx} + \ii \int_{\mathbb{R}^n}\mkern-10mu \Im \hat{g}(\mx) \dd P^{\xx} = \int_{\mathbb{R}^n}\mkern-10mu \hat{g}(\mx) \dd P^{\xx}.
\end{align*}
\item Díky tomu, že lze VPI aplikovat i na komplexní veličiny, můžeme integrál v~\eqref{eq-def-char-fce} dále rozepsat, čímž dospějeme k~zajímavé souvislosti s~Fourierovou transformací. Nechť $ \xx \sim P^{\xx} $ má ASR vzhledem k Lebesgueově míře. Potom díky R--N větě \ref{v-radon-nikodym} existuje Radonova--Nikodymova hustota $ f_{\xx} = \dd P^{\xx}/\dd \mx $, takže můžeme po "rozšíření" $ \dd \mx $ psát
\begin{equation*}
\E\left( \e^{\ii \mt \xx} \right) = \int_{\Omega} \e^{\ii \mt \cdot \xx} \dd P \stackrel{\text{VPI}}{=} \int_{\mathbb{R}^n} \e^{\ii \mt \cdot \mx} \dd P^{\xx} \stackrel{\text{R--N}}{=} \int_{\mathbb{R}^n} \e^{\ii \mt \cdot \mx} f_{\xx}(\mx) \dd \mx = \mathscr{F}[f_{\xx}(\mx)](\mt),
\end{equation*}
kde $ \mathscr{F}[f_{\xx}] $ je Fourierův obraz hustoty $ f_{\xx} $.
\end{itemize}
\end{pozn}
Shrňme nyní vlastnosti charakteristické funkce do věty.
\begin{veta}[O vlastnostech $ \varphi_{\xx} $]\label{v-vlastnosti-char} Mějme veličinu $ \xx $ na prostoru $ (\Omega, \sa, P) $, kde $ P $ je \emph{konečná} míra. Potom pro charakteristickou funkci $ \varphi_{\xx} $ platí:
\begin{enumerate}
\item Vždy existuje.
\item Je omezená, přičemž $ |\varphi_{\xx}| \leq 1 $ a $ \varphi_{\xx}(\bm{0}) = 1 $.
\item Je spojitá.
\item Je-li navíc $ \xx \in \mathcal{L}_k $, pak $ \varphi_{\xx} \in \mathcal{C}^k $ a
\begin{equation}\label{eq-derivace-char-fce}
\frac{\partial^k \varphi_{\xx}}{\partial t_{j_1} \cdots \partial t_{j_k}}(\bm{0}) = \ii^k \E(X_{j_1} \cdots X_{j_k}).
\end{equation}
\end{enumerate}
\end{veta}
\begin{proof}
Ve všech bodech bude zásadní roli hrát předpoklad konečnosti míry.
\begin{enumerate}
\item Pomocí Eulerova vzorce máme $ \varphi_{\xx}(\mt) = \E(\e^{\ii\mt\cdot\xx}) = \E[\cos(\mt\cdot\xx) + \ii\sin(\mt\cdot\xx)] $. Jak $ \cos(\mt\cdot\xx) $, tak $ \sin(\mt\cdot\xx) $ jsou omezené veličiny, takže jsou podle věty \ref{v-o-integrab-omez-vel} integrabilní. Tím pádem nabývá $ \varphi_{\xx} $ vždy konečných hodnot.
\item Odhadujme $ |\varphi_{\xx}(\mt)| = |\E(\e^{\ii\mt\cdot\xx})| \leq \E|\e^{\ii\mt\cdot\xx}| \leq \E(1) = 1$. Navíc $ \varphi_{\xx}(\bm{0}) = \E(\e^{\ii\bm{0}\cdot\xx}) = \linebreak = \E(1) =~1$.
\item Spojitá funkce převádí konvergentní posloupnost na konvergentní. Ověříme tedy platnost implikace $ \mt_n \rightarrow \mt \Longrightarrow \varphi_{\xx}(\mt_n) \rightarrow \varphi_{\xx}(\mt) $. Pišme
\begin{equation*}
\lim_{n \rightarrow +\infty} \varphi_{\xx}(\mt_n) = \lim_{n \rightarrow +\infty}\E(\e^{\ii\mt_n\cdot\xx}) \stackrel{\text{?}}{=} \E(\e^{\ii \mt \cdot
\xx}) = \varphi_{\xx}(\mt).
\end{equation*}
Záměnu limity a integrálu je možné provést, nalezneme-li integrabilní majorantu. To je však na pravděpodobnostním (!) prostoru snadné, neboť $ |\e^{\ii\mt_n\cdot\xx}| \leq 1 \in \mathcal{L}_1(\Omega, \sa, P)$. To, že jsme limitu mohli dále vtáhnout do exponenciály, plyne z~její holomorfnosti (a tedy spojitosti).
\item Postupujme matematickou indukcí. Nechť $ \xx = (X_1, \ldots, X_n)^{\text{T}} $ a $ \mt = (t_1, \ldots, t_n)^{\text{T}} $. Pro $ k = 1 $ si připravme derivaci $ j_1 $-té složky skalárního součinu v~exponenciále, kde $ j_1 \in \hat{n} $ (ostatní složky nebudou derivací ovlivněny). Máme\footnote{Nemusíme ověřovat Cauchyho--Riemannovy podmínky, neboť derivujeme podle \emph{reálného} parametru.}
\begin{align*}
\diffp{\exp(\ii t_{j_1} X_{j_1})}{{t_{j_1}}} &= \diffp{}{{t_{j_1}}}\left[\cos(t_{j_1} X_{j_1}) + \ii\sin(t_{j_1} X_{j_1})\right]\\
&= \ii X_{j_1}\left[\cos(t_{j_1} X_{j_1}) + \ii\sin(t_{j_1} X_{j_1})\right] \\
&= \ii X_{j_1} \exp(\ii t_{j_1} X_{j_1}) \stackrel{\text{ozn.}}{=} (\star).
\end{align*}
Toho využijeme v následujícím výpočtu:
\begin{equation*}
\diffp{\varphi_{\xx}}{{t_{j_1}}} = \diffp{}{{t_{j_1}}} \E(\e^{\ii \mt \cdot \xx}) \stackrel{\text{?}}{=} \E\Bigl(\diffp{}{{t_{j_1}}} \e^{\ii \mt \cdot \xx}\Bigr) \stackrel{(\star)}{=} \E\left(\ii X_{j_1} \e^{\ii \mt \cdot \xx}\right) =\Bigr\lvert_{\mt = \bm{0}} \,\,\ii \E (X_{j_1}).
\end{equation*}
Majorantu najdeme pro derivaci integrandu: $ |\ii X_{j_1} \exp(\ii t_{j_1} X_{j_1})| = |X_{j_1}| \in \mathcal{L}_1 $ dle předpokladu.
Spojitost derivace ověříme záměnou limity a integrálu, přičemž majorantu už máme připravenou o~řádek výše. Nechť tedy $ \mt_n \rightarrow \mt $. Pak
\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty} \diffp{{\varphi_{\xx}}}{{t_{j_1}}}(\bm{t}_n) = \lim_{n\rightarrow +\infty} \E\left(\ii X_{j_1} \e^{\ii \bm{t}_n \cdot \xx}\right) = \E\left(\ii X_{j_1} \e^{\ii \bm{t} \cdot \xx} \right) = \diffp{{\varphi_{\xx}}}{{t_{j_1}}}(\bm{t}).
\end{equation*}
Z toho plyne spojitost funkce $ \partial \varphi_{\xx} / \partial t_{j_1} $.
Pro $ k = 2 $ předpokládejme, že $ \xx \in \mathcal{L}_2 $. Analogicky s~využitím prvního kroku a $ (\star) $ dostaneme
\begin{equation*}
\diffp{{\varphi_{\xx}}}{{t_{j_2}}{t_{j_1}}}(\mt) = \diffp{}{{t_{j_2}}} \left(\diffp{\varphi_{\xx}}{{t_{j_1}}}\right) = \E\left(\ii X_{j_1} \ii X_{j_2} \e^{\ii \mt \cdot \xx}\right) =\Bigr\lvert_{\mt = \bm{0}} \,\,\ii^2 \E (X_{j_1}X_{j_2}).
\end{equation*}
První záměna byla v~pořádku díky indukčnímu předpokladu, v~druhé záměně je $ | \ii^2 X_{j_1} X_{j_2}|= \linebreak = |X_{j_1} X_{j_2}| \in \mathcal{L}_1 $ díky Youngově nerovnosti (viz ověření korektnosti definice~\ref{def-skal-soucin}). Spojitost druhé derivace se ukáže záměnou limity a integrálu s~toutéž majorantou. Indukční krok $ k-1 \rightarrow k $ už je potom snadný. \qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}
Pomocí čtvrtého bodu předchozí věty snadno spočítáme střední hodnotu součinu. Stačí vyjádřit z~$ \eqref{eq-derivace-char-fce} $.
\begin{dusl}
Budiž $ \xx = (X, Y) \in \mathcal{L}_{r+s} $. Potom z~\eqref{eq-derivace-char-fce} plyne, že
\begin{equation*}
\E(X^rY^s) = (-1)^{r+s}\, \ii^{r+s}\, \frac{\partial^{r+s} \varphi_{\xx}}{\partial t_1^{r}\, \partial t_2^s}(0,0).
\end{equation*}
To nám umožní rychle spočíst např. momenty či kovarianci dosazením příslušného $ r $ a~$ s $. Samotný výpočet už necháme na čtenáři.
\end{dusl}
\begin{defi}
Nechť $ \xx \sim P^{\xx}$. \textbf{Momentovou vytvořující funkci} definujeme $ \forall \mt \in \mathbb{R}^n $ následovně:
\begin{equation}
m_{\xx}(\mt) := \E\left(\e^{\mt \cdot \xx} \right),
\end{equation}
existuje-li tato střední hodnota. Anglicky se nazývá \emph{moment-generating function} (MGF).
\end{defi}
\begin{pozn}
Zásadní nedostatek MGF je, že vůbec nemusí existovat, neboť integrál obsahující $ \exp(t\cdot X) $ nebude vždy absolutně konvergovat. Je-li však konstelace příznivá a $ X $ má ASR vzhledem k~Lebesgueově míře, potom
\begin{equation*}
m_{X}(t) = \E\left(\e^{t \cdot X} \right) \stackrel{\text{VPI}}{=} \int_{\mathbb{R}} \e^{t \cdot x} \dd P^{X} \stackrel{\text{R--N}}{=} \int_{\mathbb{R}} \e^{t \cdot x} f_{X}(x) \dd x = \mathcal{B}[f_{X}(x)](-t),
\end{equation*}
kde $ \mathcal{B}[f_{X}] $ je obraz hustoty $ f_{X} $ při tzv. oboustranné (bilaterální) Laplaceově transformaci, která je však nad rámcem tohoto textu.
\end{pozn}
Kromě toho, že $ m_{\xx}(\bm{0}) = 1 $, nelze obecně zformulovat větu o~vlastnostech, jako jsme to udělali u~charakteristické funkce. Vše se bude odvíjet od toho, zda lze v~konkrétním případě provést záměnu integrálu a limity (či derivace). Můžeme ale vyslovit větu, která dá do souvislosti momentovou a charakteristickou funkci.
\begin{veta}[Vztah $ \varphi_X $ a $ m_X $]\label{v-o-vztahu-char-a-MGF}
Mějme náhodnou veličinu $ X $. Nechť existuje MGF $ m_X $ a je na nějakém okolí~$ H_0 $ \emph{analytická}\footnote{Funkce $ f $ je \textbf{analytická} na otevřené množině $ A = A^{\circ} \subset \dom f$, psáno $ f \in \mathcal{C}^{\omega}(A) $, právě když ke každému bodu $ x_0 \in A $ existuje okolí $ H_{x_0} \subset A $, na němž lze~$ f $ rozvinout v~Taylorovu řadu. Každá analytická funkce je tedy hladká, ale ne naopak. Typickým patologickým případem je funkce $ f(x) = \exp(-1/x^2) $ pro $ x \neq 0 $, $ f(0) = 0 $, která není v~bodě $ x = 0 $ analytická, třebaže v~něm má derivace všech řádů.}. Potom $ (\forall t \in \mathbb{R})(\varphi_X(t) = m_X(\ii t))$.
\end{veta}
\begin{pozn}
V~důkazu věty se využívá zásadního tvrzení z~komplexní analýzy o~tzv.~\emph{analytickém prodloužení}. Tvrdí, že holomorfní (tedy analytickou) funkci lze z~jejího definičního oboru rozšířit na větší množinu, a to jednozačně.\footnote{Formálně zní toto tvrzení následovně (více v~předmětu FKO v~6.~semestru): \emph{Buďte $ U_1 $, $ U_2 $ neprázdné otevřené podmnožiny~$ \mathbb{C} $, $ U_1 \cup U_2 := \Omega $ a~mějme holomorfní funkce $ f_1\colon U_1 \rightarrow \mathbb{C} $, $f_2\colon U_2 \rightarrow \mathbb{C} $ takové, že $ {(\forall z \in U_1 \cap U_2)}\linebreak(f_1(z) = f_2(z)) $. Pak existuje jediná funkce $ f $ holomorfní na~$ \Omega $ taková, že $ f_{|U_1} = f_1 $, $ f_{|U_2} = f_2 $}. Zvídavý čtenář se více o~analytickém prodloužení aplikovaném na Riemannovu zeta funkci dozví v~názorném videu na \url{https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw}.}
V~případě naší věty je $ m_X(\ii t) $ ve skutečnosti vyčíslením analytického prodloužení $ m_X(z)$, $ z \in \mathbb{C}$, na imaginární ose, neboť $ m_X $ byla původně reálná funkce reálné proměnné.
\end{pozn}
\begin{priklad}\label{priklad-mX}
Ukažme si, jak spočíst charakteristickou funkci veličiny $ X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) $. Ukážeme, že $ \varphi_X(t) = \exp\left(\ii t \mu - (t\sigma)^2/2 \right) $. To lze hned několika způsoby, ať už rozkladem na reálnou a~imaginární část nebo pomocí reziduové věty. My však půjdeme cestou analytického prodloužení.
Uvažme veličinu $ Y \sim \mathcal{N}(0,1) $, od níž lze afinní transformací snadno přejít zpět k~$ X $. Víme, že
\begin{equation*}
m_Y(t) = \E\left(\e^{tY}\right) = \int_{\mathbb{R}} \exp(ty) \underbrace{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(y^2/2)}_{f_Y(y)} \dd y = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} \exp\left(-\frac{1}{2}(y-t)^2 + \frac{t^2}{2}\right)\dd y = \exp(t^2/2).
\end{equation*}
Funkce $ \exp $ je na $ \mathbb{R} $ analytická, takže existuje jednoznačné prodloužení funkce $ m_Y $ na celé~$ \mathbb{C} $; označme ho $ \hat{m}_Y(z) = \exp(z^2/2) $, kde $ z \in \mathbb{C} $. Podle věty \ref{v-o-vztahu-char-a-MGF} dostaneme $ \varphi_Y $ dosazením $ z = \ii t $, tedy $ \hat{m}_Y(\ii t) = \exp(-t^2/2) = \varphi_Y(t)$. Odsud už $ X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) $ dostaneme transformací $ X = \sigma Y + \mu $ (viz \ref{v-o-vlastn-norm-rozd}, bod v.), tedy $ \varphi_X(t) = \varphi_{\sigma Y + \mu}(t) $ a~pomocí definičního vztahu pro $ \varphi_X $ už výsledek obdržíme snadno.
\end{priklad}
\begin{priklad}
Zkusme ještě vypočítat momentovou vytvořující funcki $ m_X $ náhodné veličiny~$ X $, která má Cauchyho rozdělení s~parametry $ 0 $ a $ 1 $, tj. $ X \sim \mathrm{Cauchy}(0,1) $. Počítejme (viz příklad~\ref{priklad-mX}),
\begin{equation*}
m_X(t) = \E(\e^{tX}) = \int_{-\infty}^{+\infty}\e^{tx}\underbrace{\frac{1}{\pi(1+x^2)}}_{f_X}\dd x.
\end{equation*}
Snadno nahlédneme, že tento integrál diverguje pro každé $ t \in \mathbb{R}\setminus \{ 0\} $. Pouze pro $ t = 0 $ je integrál konečný a platí $ m_X(0) = 1 $. Určíme ještě střední hodnotu $ X $, tj.
\begin{equation*}
\E X= \int_{-\infty}^{+\infty} x \frac{1}{\pi (1+x^2)} \dd x.
\end{equation*}
Vidíme, že integrál opět neexistuje (je typu $ 1/x $), tudíž Cauchyho rozdělení nemá definovanou střední hodnotu.
\end{priklad}
\begin{veta}[Nezávislost a charakteristická funkce]\label{v-o-nezavislosti-char-fce}
Nechť $ (X_j)_{j=1}^n $ je $ n $-tice náhodných veličin na pravděpodobnostním prostoru $ (\Omega, \sa, P) $ s rozdělením $ P^{X_j} $. Označme $ Y := \sum_{j=1}^n X_j $. Jsou-li $ (X_j)_1^n $ nezávislé, pak $ \forall t \in \mathbb{R} $ platí:
\begin{equation}
\varphi_Y(t) = \prod_{j=1}^{n} \varphi_{X_j}(t).
\end{equation}
\end{veta}
\begin{proof}
Definujme náhodnou veličinu $ Y := \sum_{j=1}^{n}X_j $ a $ n $-tici $ (X_j)_{j=1}^n $ označme jako vektorovou veličinu $ \xx $. Upravujme charakteristickou funkci $ \varphi_Y $:
\begin{align*}
\varphi_Y(t) = \E(\e^{\ii t Y}) &= \E\Bigl(\exp\Bigl(\ii t \sum_{j=1}^n X_j\Bigr)\Bigr)\\
&\!\stackrel{\text{VPI}}{=} \int_{\mathbb{R}^n} \exp\Bigl(\ii t \sum_{j=1}^{n} x_j\Bigr) \dd P^{\xx}\\
&\stackrel{\footnotemark}{=} \int_{\mathbb{R}^n} \prod_{j=1}^{n} \e^{\ii t x_j} \dd
\Bigl(\bigotimes_{j=1}^n P^{X_j}\Bigr) \\
&\!\stackrel{\text{Fub}}{=} \prod_{j=1}^{n} \int \e^{\ii t x_j} \dd P^{X_j}\\
&\!\stackrel{\text{VPI}}{=} \prod_{j=1}^{n} \E(\e^{\ii t X_j}) = \prod_{j=1}^{n} \varphi_{X_j}(t).
\end{align*}
To, že VPI~\ref{v-VPI} a~Fubiniho věta~\ref{v-fubini} fungují i~pro komplexní veličiny, jsme diskutovali v~poznámce~\ref{pozn-char-fce}. Tím je tvrzení věty dokázáno.
\footnotetext{Zde využíváme nezávislosti náhodných veličin $ X_j $, viz \ref{v-o-nezav-soucinova-mira}.}
\end{proof}
\begin{pozn}
Větu lze vyslovit i pro momentové vytvořující funkce $ m_{X_j} $, ovšem musíme navíc předpokládat existenci jak u~$ m_Y $, tak u~$ m_{X_j} $ pro každé $ j \in \hat{n} $ (při stejném značení jako v~předchozí větě). Potom je tvrzení analogické, tj. pokud jsou~$ X_j $ nezávislé, pak platí
\begin{equation*}
m_Y(t) = \prod_{j=1}^{n} m_{X_j}(t).
\end{equation*}
\end{pozn}
\begin{priklad}[Reprodukční vlastnost Gaussova rozdělení]\label{pr-reprod-vlastn-gauss}
Mějme $ n $-tici nezávislých náhodných veličin $ (X_j)_{j=1}^n $ a nechť $ (\forall j \in \hat{n})(X_j \sim \mathcal{N}(\mu_j, \sigma_j^2)) $. Pak platí:
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^n X_j \sim \mathcal{N}\Bigl(\sum_{j=1}^n \mu_j, \sum_{j=1}^n \sigma_j^2\Bigr)
\end{equation*}
\end{priklad}
\begin{proof}
Přiznáváme, že "důkaz příkladu" je poněkud atypický. Mohlo by se jednat klidně o~větu nebo lemma, ovšem držme se značení pana přednášejícího, tudíž je to příklad! Toto tvrzení jsme pracně ukázali v~odstavci o~normálním rozdělení (viz větu \ref{v-reprod-vlastn-N-1}). Nyní však s~využitím charakteristické funkce provedeme důkaz takřka na řádku.
Využijeme předchozí věty \ref{v-o-nezavislosti-char-fce}, tj. při značení $ Y = \sum_{j=1}^n X_j $ máme
\begin{equation*}
\varphi_Y(t) = \prod_{j=1}^n \varphi_{X_j}(t) \stackrel{\ref{priklad-mX}}{=} \prod_{j=1}^n \exp\left(\ii t \mu_j - t^2 \sigma_j^2/2\right)
= \exp\Bigl(\ii t \underbrace{\sum_{j=1}^n \mu_j}_{\text{ozn. }\mu'} - \frac{t^2}{2}\underbrace{\sum_{j=1}^n \sigma_j^2}_{\text{ozn. }{\sigma'}^2}\Bigr) = \exp\left( \ii t \mu' - t^2\sigma'^2/2 \right).
\end{equation*}
Vyšla nám opět charakteristická funkce Gaussova rozdělení, a to $ \mathcal{N}(\mu', {\sigma'}^2) $.
\end{proof}
Díky jednoznačnosti Fourierova obrazu je charakteristická funkce Gaussova rozdělení jedinečná. Zatím ale nevíme, zda výsledná charakteristická funkce nepřísluší ještě jinému rozdělení. To, že taková situace nenastane, nám říká následující věta.
\begin{veta}[Vzájemná jednoznačnost distribuční a charakteristické funkce]\label{v-jedn-charakt}
Buď $ X\!\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R} $ \linebreak náhodná veličina s~distribuční funkcí $ F_X $. Pak ve všech bodech spojitosti $ a,b \in \mathbb{R}, \ a < b $ distribuční funkce $ F_X $ platí:
\begin{equation}
F_X(b)-F_X(a) = \frac{1}{2\pi} \lim_{c \rightarrow +\infty} \int_{-c}^{c} \frac{\e^{-\ii a t} - \e^{-\ii b t}}{\ii t} \varphi_X(t) \dd t.
\end{equation}
\end{veta}
\begin{proof}
Důkaz jsme dostali v~tištěné podobě. Zájemci mohou nahlédnout tam.
\end{proof}
\begin{dusl}
Charakteristická funkce $ \varphi_X $ jednoznačně určuje distribuční funkci $ F_X $. V~bodech spojitosti $ F_X $ je to zaručeno předchozí větou. Problém není ani v~případných bodech nespojitosti, protože monotonie a spojitost zprava nedovolí, aby v~nich byla $ F_X $ určena jinak.
\end{dusl}
\begin{dusl}
Z předchozí věty plyne jednoznačnost distribuční funkce $ F_X $ při dané charakteristické funkci $ \varphi_X $. Z~věty~\ref{v-distr-fce-generator} dále víme, že distribuční funkcí je jednoznačně určeno rozdělení~$ P^X $ náhodné veličiny $ X $. Charakteristická funkce $ \varphi_Y $ vypočtená v~příkladu $ \ref{pr-reprod-vlastn-gauss} $ skutečně přísluší jen a~pouze veličině s~rozdělením $ \mathcal{N}(\mu', \sigma'^2) $.
\end{dusl}
\begin{veta}
Nechť $ X $ je náhodná veličina s charakteristickou funkcí $ \varphi_X $, kde $ \varphi_X \in L_1(\mathbb{R}, \dd x) $. Potom existuje hustota pravděpodobnosti $ f_X $ a je tvaru
\begin{equation}\label{eq-v-o-hustote-pres-FT}
f_X(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \e^{-\ii t x} \varphi_X(t) \dd t = \mathscr{F}^{-1}[\varphi_X(t)](x),
\end{equation}
kde $ \mathscr{F}^{-1}[\varphi_X] $ značí inverzní Fourierovu transformaci funkce $ \varphi_X $.
\end{veta}
\begin{proof}
Nechť $ a,b \in \mathbb{R} $ a BÚNO $ a < b $. Lze ukázat, že vzor při inverzní Fourierově transformaci je omezená a spojitá funkce (tato věta má tedy velmi omezující předpoklady pro hustotu pravděpodobnosti). Ověříme, že funkce $ f_X $ daná vztahem~\eqref{eq-v-o-hustote-pres-FT} je opravdu hustotou. Bude-li platit
\begin{align*}
\int_{a}^{b} f_X &= P(a < X \leq b),\\
f_X &\geq 0,\\
\int_{\mathbb{R}} f_X &= 1,
\end{align*}
pak bude jasné, že tomu tak je. Pišme tedy:
\begin{align*}
\int_{a}^{b} f_X(x) \dd x &= \int_a^b \frac{1}{2\pi} \left(\int_{-\infty}^{+\infty} \e^{-\ii t x}\varphi_{X}(t) \dd t\right) \dd x\\
&\stackrel{\text{F}}{=} \frac{1}{2\pi} \lim_{c \rightarrow +\infty} \int_{-c}^{c}\left( \varphi_X(t) \int_{a}^{b} \e^{-\ii t x} \dd x \right) \dd t\\
&= \frac{1}{2\pi} \lim_{c \rightarrow +\infty} \int_{-c}^{c} \varphi_X \frac{\e^{-\ii a t} - \e^{-\ii b t}}{\ii t} \dd t \\
&\!\!\!\stackrel{\ref{v-jedn-charakt}}{=} F_X(b) - F_X(a) \\
&= P(a < X \leq b).
\end{align*}
Fubiniho věta byla použita korektně, neboť $ |\e^{\ii t x} \varphi_{X}(t)| \leq 1 \cdot |\varphi_X| \in L_1\bigl((a,b) \times \mathbb{R}\bigr) $.
Protože je $F_X $ neklesající funkce, je jistě $ f_X \geq 0$. Konečně spočtěme \begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}}f_X(x) \dd x = \lim_{\substack{a \rightarrow -\infty \\ b \rightarrow +\infty}} \left(F_X(b) - F_X(a)\right) = F_X(+\infty) - F_X(-\infty) \stackrel{\ref{v-o-vlastnostech-F}}{=} 1 - 0 = 1.
\end{equation*}
Tím jsou všechny vlastnosti hustoty ověřeny.
\end{proof}
Větu \ref{v-jedn-charakt} lze zobecnit i~na vícerozměrné veličiny.
\begin{veta}
Mějme vektorovou náhodnou veličinu $ \xx: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ a nechť $ \varphi_{\xx} $ je její charakteristická funkce. Buď dále $ I $ $ n $-rozměrný interval ze systému $ \tau_{4, n} $ (viz \ref{t4}):
\begin{equation*}
I \in \tau_{4, n} = \{ \bigtimes_{j=1}^n(a_j, b_j] \mid a_j, b_j \in \mathbb{R}, \ a_j < b_j\}.
\end{equation*}
Potom platí:
\begin{equation}
P(\xx \in I) = P^{\xx}(I) = \frac{1}{(2\pi)^n} \lim_{c \rightarrow +\infty} \int_{-c}^{c}
\prod_{j=1}^n \left(\frac{\e^{-\ii a t_j} - \e^{-\ii b t_j}}{\ii t_j} \right) \varphi_{\xx}(\mt) \dd \mt.
\end{equation}
\end{veta}
\begin{proof}
Věta je ponechána bez důkazu.
\end{proof}
\begin{veta}
Buď $ \xx: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n $ vektorová náhodná veličina. Pak jsou charakteristická funkce $ \varphi_{\xx} $ a~rozdělení $ P^{\xx} $ vzájemně jednoznačné.
\end{veta}
\begin{proof}
$ $
\begin{itemize}
\item Jednoznačnost přiřazení $ P^{\xx} \mapsto \varphi_{\xx} $ plyne z~jedinečnosti obrazu Fourierovy transformace.
\item Jednoznačnost $ \varphi_{\xx} \mapsto P^{\xx} $ plyne z~předchozí věty. \qedhere
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{veta}
Buď $ \xx = (X_1, \ldots, X_n) $ vektorová náhodná veličina. Pak $ (X_j)_{j=1}^n $ jsou vzájemně nezávislé právě tehdy, když
\begin{equation*}
\varphi_{\xx}(\mt) = \prod_{j=1}^n \varphi_{X_j}(t_j).
\end{equation*}
\end{veta}
\begin{proof}
$ $
\begin{enumerate}
\item[$( \Rightarrow )$] Upravujme charakteristickou funkci $ \varphi_{\xx} $ z definice:
\begin{equation*}
\varphi_{\xx}(\mt) = \E (\e^{\ii \mt \xx}) = \E\Bigl[\exp\Bigl(\ii \sum_{j=1}^n t_j X_j\Bigr)\Bigr] = \E\Bigl(\prod_{j=1}^n \exp(\ii t_j X_j)\Bigr).
\end{equation*}
Pozor, nemůžeme nyní využít nezávislosti a říci, že je poslední výraz roven součinu jednotlivých středních hodnot, jelikož se pohybujeme v~$ \mathbb{C} $, a nikoli v~$ \mathbb{R} $. Musíme použít větu o~přenosu integrace \ref{v-VPI}:
\begin{equation*}
\E\Bigl(\prod_{j=1}^n \exp(\ii t_j X_j)\Bigr) \stackrel{\text{VPI}}{=} \int\limits_{\mathbb{R}^n} \prod_{j=1}^n \exp(\ii t_j x_j) \dd P^{\xx} \stackrel{\ref{v-o-nezav-soucinova-mira}}{=} \int\limits_{\mathbb{R}^n} \prod_{j=1}^n \exp(\ii t_j x_j) \dd \Bigl( \bigotimes_{j=1}^n P^{X_j} \Bigr).
\end{equation*}
Teď už stačí použít Fubiniho větu a tato implikace je hotova:
\begin{equation*}
\int\limits_{\mathbb{R}^n} \prod_{j=1}^n \exp(\ii t_j x_j) \dd \Bigl( \bigotimes_{j=1}^n P^{X_j} \Bigr) \stackrel{\text{Fub}}{=}
\prod_{j=1}^n \underbrace{\int\limits_{\mathbb{R}} \exp(\ii t_j x_j) \dd P^{X_j}}_{\E(\exp(\ii t_j x_j))} =
\prod_{j=1}^n \varphi_{X_j}(t_j).
\end{equation*}
\item[$ (\Leftarrow) $] Upravme zvlášť levou a pravou stranu rovnice $ \varphi_{\xx}(\mt) = \prod_{j=1}^n \varphi_{X_j}(t_j) $:
\begin{align*}
\text{L} &= \varphi_{\xx}(\mt) = \int_{\mathbb{R}^n} \e^{\ii \mt \xx} \dd P^{\xx} = \mathscr{F}(P^{\xx})\\
\text{R} &= \prod_{j=1}^n \varphi_{X_j}(t_j) = \prod_{j=1}^n \left( \int_{\mathbb{R}} \e^{\ii t_j x_j} \dd P^{X_j} \right) \stackrel{\text{Fub}}{=} \int\limits_{\mathbb{R}^n} \prod_{j=1}^n \e^{\ii t_j x_j} \dd \Bigl(\bigotimes_{j=1}^n P^{X_j}\Bigr) =\\
&= \int_{\mathbb{R}^n} \e^{\ii \mt \xx} \dd \Bigl(\bigotimes_{j=1}^n P^{X_j}\Bigr) = \mathscr{F}\Bigl(\bigotimes_{j=1}^n P^{X_j}\Bigr).
\end{align*}
Ukázali jsme tedy, že $ \mathscr{F}(P^{\xx}) = \mathscr{F}(\bigotimes_{j=1}^n P^{X_j})$. Protože je Fourierova transformace prosté zobrazení, musí se rovnat i argumenty:
\begin{equation*}
P^{\xx} = \bigotimes_{j=1}^n P^{X_j}.
\end{equation*}
Z věty \ref{v-o-nezav-soucinova-mira} plyne vzájemná nezávislost náhodných veličin $ (X_j)_{j=1}^n $, což jsme chtěli dokázat.
\end{enumerate}\qedhere
\end{proof}
