Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MIP}
%
\chapter{Náhodné veličiny}
\section{Vsuvka do teorie míry}\label{vsuvka}
%pro znacku borelovske jsem vyrobil macro \bb
%specialne pro nahodnou velicinu macro \xx
\begin{defi}
Mějme libovolný systém množin $ \emptyset \neq \tau \subset \mathcal{P}(\Omega)$. \textbf{Minimální $ \sigma $-algebrou} nad systémem $ \tau $ rozumíme systém
\begin{equation*}
\sigma(\tau) = \bigcap_{\alpha \in I} \sa_{\alpha},
\end{equation*}
kde $ \left( \forall \alpha \in I \right)\left(\tau \subset \sa_{\alpha},\ \sa_{\alpha} \text{ je $ \sigma $-algebra}\right) $ a $ I $ je libovolná indexová množina (i nespočetná).
\end{defi}
\begin{pozn}
Všimněme si, že definice minimální $ \sigma $-algebry se nápadně podobá definici uzávěru množiny v topologii. Minimální $ \sigma $-algebra nad $ \tau $ je nejmenší nadsystém systému $ \tau $, který je ještě $ \sigma$-algebrou. To, že průnik libovolného systému $ \sigma $-algeber je skutečně $ \sigma $-algebrou, není těžké ověřit z~definice \ref{def-sigma-alg}.
\end{pozn}
\begin{priklad}
Uvedeme příklad minimální $ \sigma $-algebry, který budeme nadále používat v~teorii pravděpobnosti. Nechť $ \Omega = \mathbb{R}^n, \ n \in \mathbb{N} $ a $ \tau = \{ \bigtimes_{i=1}^{n}\left( a_i, b_i \right) \mid a_i \in \mathbb{R}, \ b_i \in \mathbb{R} \} $. Pak minimální $ \sigma $-algebru nad systémem $ \tau $ nazveme \textbf{borelovskou $ \sigma $-algebrou} v~$ \mathbb{R}^n $ a značíme $ \sigma(\tau) = \bb_n $.
\end{priklad}
\begin{pozn}
V této poznámce se podíváme podrobněji na borelovskou $ \sigma $-algebru $ \bb_{n=1} $. Co všechno takto definovaný systém množin vlastně obsahuje?
\begin{enumerate}[$ \quad $(a)]
\item $ \{ c \} = \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left( c-\frac{1}{n}, c+\frac{1}{n} \right) \in \sigma(\tau) = \bb_1 $, tedy jednobodové množiny.
\item Z bodu (a) můžeme vyvodit, že $ \bb_1 $ obsahuje i množinu všech racionálních čísel $ \mathbb{Q} $. Protože je však $ \bb_1 $ $ \sigma $-algebrou, leží v~ní i~komplement $ \mathbb{Q} $ neboli iracionální čísla.
\item $ A = \bigcup_{i=1}^{n, +\infty}\left( a_i, b_i \right) \in \sigma(\tau) = \bb_1 $, tj. v $ \bb_1 $ jsou všechny otevřené množiny v~$ \mathbb{R} $.
\item $ \bb_1 $ obsahuje i všechny komplementy otevřených množin, tedy uzavřené množiny v $ \mathbb{R}$.
\item $ G_{\delta} = \{ B = \bigcap_{j=1}^{+\infty} A_j \mid A_j \text{ jsou otevřené}\} $, tj. do $ \bb_1 $ patří i množiny typu $ G_{\delta} $.
\item $ F_{\delta} = \{ B = \bigcup_{j=1}^{+\infty} A_j \mid A_j \text{ jsou uzavřené}\} $, tj. do $ \bb_1 $ patří i množiny typu $ F_{\delta} $.
\item $ \bb $ dále obsahuje i různé kombinace množin $ G_{\delta} $ a $ F_{\delta} $.
\end{enumerate}
\end{pozn}
\begin{defi}
Vektorovou funkci $ \bm{g}\colon (\Omega, \sa) \rightarrow (\mathbb{R}^n, \bb_n) $ nazveme \textbf{$ \sa $-měřitelnou} právě tehdy, když platí: $ \left(\forall B \in \bb_n\right)\left( \bm{g}^{-1}(B) \in \sa \right) $, kde symbolem $ \bm{g}^{-1}(B) $ značíme vzor množiny~$B $ při zobrazení $ \bm{g} $. Je-li navíc $ \sa $ nad $ \Omega $ \emph{borelovská} $ \sigma $-algebra, říkáme, že $ \bm{g} $ je \textbf{borelovsky měřitelná} funkce.
\end{defi}
\section{Vlastnosti náhodných veličin}
Nyní uvedeme definici, která bude takřka totožná s~definicí $ \sa $-měřitelné funkce. Jediný rozdíl spočívá v~názvosloví. V~teorii pravděpodobnosti, kam se nyní opět vracíme, budeme funkci $ \bm{g} $ říkat \emph{náhodná veličina}.
\begin{defi}\label{nahodna-vel}
Mějme prostor $ (\Omega, \sa) $. Vektorovou funkci $ \xx \! \colon (\Omega, \sa) \rightarrow (\mathbb{R}^n, \bb_n)$ nazveme \textbf{náhodnou veličinou} právě tehdy, když $ (\forall B \in \bb_n)(\xx^{-1}(B) \in \sa) $.
Je-li navíc $ \sa $ borelovská $ \sigma $-algebra nad $ \Omega $, říká se funkci $ \xx $ jakožto náhodné veličině \emph{borelovsky měřitelná funkce}.
Nutno dodat, že náhodná veličina není ani náhodná, ani se nejedná o veličinu. Pouze se tak říká měřitelným funkcím definovaným na $ (\Omega, \sa) $.
\end{defi}
Následující věta nám poskytne ekvivalentní definici náhodné veličiny. Navíc nám ulehčí práci, neboť se dozvíme, že podmínku v~definici \ref{nahodna-vel} stačí ověřit jen pro množiny, které generují $ \bb_n $ (tedy např. pro otevřené množiny).
\begin{veta}
Budiž $ \tau \subset \mathcal{P}(\mathbb{R}^n) $ neprázdný systém, který \emph{generuje}\footnote{To znamená, že $ \sigma(\tau) = \bb_n $, jak bylo definováno ve vsuvce \ref{vsuvka}.} borelovskou $ \sigma $-algebru $ \bb_n $. Pak je $ \xx $ náhodnou veličinou, právě když $ (\forall B \in \tau)(\xx^{-1}(B) \in \sa) $.
\end{veta}
\begin{proof}
$ $
\begin{itemize}
\item[($ \Rightarrow $)] Toto je jasné přímo z definice \ref{nahodna-vel}. Sigma-algebra $\bb_n $ je totiž průnikem všech $ \sigma $-algeber obsahujích $ \tau $.
\item[($ \Leftarrow $)] Označme $ \tau' := \lbrace B \in \bb_n = \sigma(\tau) \mid \xx^{-1}(B) \in \sa \rbrace $. O této množině ukážeme, že $ \tau' = \bb_n $. Inkluze $ \tau \subset \tau' $ je zaručena předpokladem. Nyní ověřme, že $ \tau' $ je $ \sigma $-algebrou. Nahlédneme-li do definice \ref{def-sigma-alg}, vidíme, že je třeba ověřit:
\begin{itemize}
\item[\textbullet] Jistě je $ \tau' \neq \emptyset $, protože $ \emptyset \neq \tau \subset \tau' $.
\item[\textbullet] $ \mathbb{R}^n \in \tau'$, neboť $ \xx^{-1}(\mathbb{R}^n) = \Omega \in \sa $. Zde se hodí poznamenat, že $ \mathbb{R}^n $ v~argumentu náhodné veličiny je ve smyslu \emph{množiny} z~$ \bb_n $, kdežto výsledek tohoto působení už je \emph{jev} (a to jistý). Stačí se podívat, odkud kam zobrazuje funkce $ \xx $.
\item[\textbullet] \textbf{Uzavřenost na komplement.} Vezměme $ B \in \tau' $. Ptáme se, zda $ \comp{B} \in \tau' $. Skutečně,
\begin{equation*}
\xx^{-1}(\comp{B}) = \xx^{-1}(\mathbb{R}^n) \setminus \xx^{-1}(B) = \Omega \setminus \xx^{-1}(B) = \comp{(\xx^{-1}(B))} \in \sa.
\end{equation*}
V~posledním kroku jsme využili toho, že vzor $ B $ při funkci $ \xx $ je elementem $\sigma $-algebry~$\sa $ a ta je, jak říká definice \ref{def-sigma-alg}, uzavřená na komplement.
\item[\textbullet] \textbf{Uzavřenost na sjednocení.} O systému množin $ (B_n)_1^{+\infty} \in \tau'$ nyní dokážeme, že $ \bigcup_{j=1}^{+\infty}B_j \in \tau' $. Toto je pravdou, neboť
\begin{equation*}
\xx^{-1} \Bigl( \bigcup_{j=1}^{+\infty}B_j \Bigr) = \bigcup_{j=1}^{+\infty} \xx^{-1} (B_j) \in \sa.
\end{equation*}
Důvod je opět stejný: vzor každé množiny $ B_j $ náleží $ \sa $, která je jakožto $ \sigma $-algebra uzavřená na spočetné sjednocení svých prvků.
\end{itemize}
Ukázali jsme tedy, že systém $ \tau' $ tvoří $ \sigma $-algebru. Jelikož je $ \tau \subset \tau' $, sestrojme nad $ \tau $ minimální $ \sigma $-algebru. Z~definice pak musí platit, že $ \sigma(\tau) \subset \tau' $. Dle předpokladu je však $ \sigma(\tau) = \bb_n $, přičemž do $ \tau' $ jsme brali pouze množiny $ \bb_n $. Tím je dokázáno, že $ \tau' = \bb_n$.\qedhere
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{defi}[$ \xx $ jako generátor]
Nechť je funkce $ \xx \! \colon (\Omega, \sa) \rightarrow (\mathbb{R}^n, \bb_n)$ náhodná veličina. Položme $ \xx^{-1}(\bb_n) := \lbrace \xx^{-1}(B) \mid B \in \bb_n \rbrace$. Této množině budeme říkat \emph{$ \sigma $-algebra generovaná náhodnou veličinou $ \xx $}.
\end{defi}
Rovnost $ \tau' = \bb_n $ nám nyní umožní vyslovit ekvivalentní definice náhodné veličiny.
\begin{defi}[Ekvivalentní definice NV]\label{alt-def-nah-vel}
Funkci $ \xx \! \colon (\Omega, \sa) \rightarrow (\mathbb{R}^n, \bb_n)$ nazveme náhodnou veličinou právě tehdy, když je splněna alespoň jedna z následujících podmínek:
\begin{enumerate}
\item $ \xx^{-1}(\bb_n) \in \sa $.
\item Pro libovolný systém $ \emptyset \neq \tau \subset \mathcal{P}(\mathbb{R}^n) $ generující $ \bb_n $ platí: $ \xx^{-1}(\tau) \in \sa $.
\end{enumerate}
\end{defi}
\begin{veta}\label{v-o-tau}
V $ \mathbb{R}^1 $ definujme následující systémy:
\begin{align}
\tau_1 &= \lbrace (-\infty, b] \mid b \in \mathbb{R} \rbrace \tag{$ \tau_1 $}\label{t1},\\
\tau_2 &= \lbrace (-\infty, b) \mid b \in \mathbb{R} \rbrace \tag{$ \tau_2 $}\label{t2},\\
\tau_3 &= \lbrace [b, +\infty) \mid b \in \mathbb{R} \rbrace \tag{$ \tau_3 $}\label{t3},\\
\tau_4 &= \lbrace (b, +\infty) \mid b \in \mathbb{R} \rbrace \tag{$ \tau_4 $}\label{t4},\\
\tau_5 &= \lbrace (a, b] \mid a, b \in \mathbb{R} \rbrace \tag{$ \tau_5 $}\label{t5},\\
\tau_6 &= \lbrace A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ je otevřená} \rbrace \tag{$ \tau_6 $}\label{t6}.
\end{align}
Potom $(\forall j \in \hat{6} )(\sigma(\tau_j) = \bb_1)$. Slovy: Systémy $\tau_j$ generují borelovskou $ \sigma $-algebru nad $\mathbb{R}^1 $.
\end{veta}
\begin{proof}
Dokážeme tvrzení jen pro první a šestý systém, protože se nám budou nadále hodit.
Rovnost množin $ \sigma(\tau_j) = \bb_1 $ ukážeme jako obvykle dvěma inkluzemi.
\begin{enumerate}
\item Ptáme se, zda platí $ \sigma(\tau_1) \stackrel{\text{?}}{=} \bb_1 = \sigma(\tau)$, jestliže $ \tau = \lbrace (a,b) \subset \mathbb{R} \mid a,b \in \mathbb{R} \rbrace$ generuje $ \bb_1 $.
\begin{itemize}
\item[($ \subset $)] Abychom ukázali, že každý inteval $ (-\infty, b] \in \tau_1 $ je nutně obsažen v~$ \bb_1 $, musíme ho vyjádřit jako nějaké sjednocení otevřených množin. Je
\begin{equation*}
(-\infty, b] = \comp{(b, +\infty)} = \comp{\Bigl( \bigcup_{n = \lceil b\rceil}^{+\infty} (b, n) \Bigr)} \in \sigma(\tau) = \bb_1.
\end{equation*}
Jednotlivé intevaly jsou obsaženy v~množině $ \tau $, která je ale uzavřená na sjednocení i~komplement. Ukázali jsme tedy, že $ \tau_1 \subset \sigma(\tau) $, což ale znamená $ \sigma(\tau_1) \subset \sigma(\tau) = \bb_1 $.
\item[($ \supset $)] Nyní chceme interval $ (a,b) \in \tau $ vyjádřit pomocí intervalů typu $ (-\infty, b] \in \tau_1 $. Sestrojme posloupnost $ b_n = b - 1/n $. Je tedy $ b_n \nearrow b $. Pak
\begin{equation*}
(a,b) = \bigcup_{ b_n \nearrow b}(a, b_n] = \bigcup_{ b_n \nearrow b} \bigl(\, \underbrace{(-\infty, b_n ]}_{\in \tau_1} \setminus \underbrace{(-\infty, a ]}_{\in \tau_1} \, \bigr) \in \sigma(\tau_1).
\end{equation*}
Opět jsme využili uzavřenosti $ \tau_1 $. Kýžená implikace $ \tau \subset \sigma(\tau_1) \Longrightarrow \sigma(\tau) \subset \sigma(\tau_1) $ ukončuje důkaz prvního bodu.
\end{itemize}
\item Dokažme nyní rovnost $ \sigma(\tau_6) \stackrel{\text{?}}{=} \bb_1 = \sigma(\tau) $.
\begin{itemize}
\item[($ \subset $)] Vezměme otevřenou množinu $ A \in \tau_6 $. Tu lze vyjádřit jako nejvýše spočetné sjednocení $ A = \bigcup_{j=1}^{+\infty}(a_j, b_j) $, kde každý částečný interval je z~$ \tau $, což implikuje $ A \in \sigma(\tau) = \bb_1 $. Stejnou úvahou jako výše dospějeme k inkluzi $ \sigma(\tau_6) \subset \sigma(\tau) = \bb_1 $.
\item[($ \supset $)] Zde je důkaz ještě kratší. O~libovolném intervalu typu $ (a, b) \in \tau $ lze z definice říci, že je to otevřená množina, a tím pádem patří i~do $ \tau_6 $. Tak je dokázáno, že $ \sigma(\tau) \subset \sigma(\tau_6) $.\qedhere
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{defi}
Mějme prostor $ (\Omega, \sa) $, $ A \in \mathcal{P}(\Omega) $. Funkci definovanou pro všechny elemenentární jevy $ \omega \in A $ předpisem
\begin{equation}
I_A(\omega) := \begin{cases}
1 &\text{ pro } \omega \in A\\
0 &\text{ pro } \omega \notin A
\end{cases}
\end{equation}
nazveme \textbf{charakteristickou funkcí} množiny $ A $. Říká se jí též \textbf{indikátor} a lze se setkat i~se značením $ \chi_A $ či $ \bm{1}_A $.
\end{defi}
\begin{veta}
Buď $ (\Omega, \sa) $ prostor vybavený $ \sigma $-algebrou, $ A \in \mathcal{P}(\Omega) $. Charakteristická funkce $ I_A $ je náhodnou veličinou právě tehdy, když $ A $ je \emph{jev} z~$ \sa $. V~kladném případě jí říkáme \textbf{indikátor jevu~$ A $}.
\end{veta}
\begin{proof}
Dokažme platnost podmínky v definici \ref{nahodna-vel}. Ptáme se tedy, zda platí $ (\forall B \in \bb_n)(I_A^{-1}(B)~\in~\sa) $. Alternativní definice \ref{alt-def-nah-vel} náhodné veličiny nám nyní umožní tuto podmínku ověřit pro libovolný systém $ \tau \neq \emptyset $ generující borelovskou $ \sigma $-algebru. Věta \ref{v-o-tau} nám ukázala, že takovým systémem je například \eqref{t1}. Studujme tedy množinu
\begin{equation*}
I^{-1}_A\bigl((-\infty, b ]\bigr) = \lbrace \omega \in \Omega \mid (\forall b \in \mathbb{R})(I_A(\omega) \leq b) \rbrace \stackrel{?}{\in} \sa
\end{equation*}
a vytyčme kritické hodnoty $ b $.
\begin{itemize}
\item Je-li $ b < 0 $, pak $ \lbrace \omega \mid I_A(\omega) \leq b < 0 \rbrace = \emptyset$, neboť indikátor vrací pouze nezáporná čísla. O~prázdné množině však víme, že je v $ \sa $ obsažena.
\item Pro $ 0 \leq b < 1 $ je $ \lbrace \omega \mid 0 \leq I_A(\omega) \leq b < 1 \rbrace = \lbrace \omega \mid \omega \notin A \rbrace = \comp{A}$, protože indikátor nabývá pouze dvou hodnot, a to nuly či jedné. Pokud se jedné nikdy nerovná, nemohou to být elementární jevy z~$ A $. Jak známo, komplement bude též v~$ \sa $.
\item Jakmile je $ b \geq 1 $, není jiná možnost, než aby $ \lbrace \omega \mid I_A(\omega) \leq 1 \rbrace = \Omega$. Z~definice je $ \Omega \in \sa $. Tímto je důkaz dokončen.\qedhere
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{veta}
Buďte $ \xx \! \colon (\Omega, \sa) \rightarrow (\mathbb{R}^n, \bb_n)$ náhodná veličina, $ g\colon (\mathbb{R}^n, \bb_n) \rightarrow (\mathbb{R}, \bb_1) $ borelovsky měřitelná funkce. Potom $ g \circ \xx $ je též náhodnou veličinou na $ \Omega $.
\end{veta}
\begin{pozn}
Složení $ g \circ \xx $ budeme v dalším textu značit $ g(\xx) $. Je důležité mít na paměti, že v~tomto kontextu se nejedná o "funkční hodnotu $ g $ v bodě $ \xx $"!
\end{pozn}
\begin{proof}
Dle definice zkoumejme pro všechny množiny $ B \in \bb_1 $ vzor $ (g(\xx))^{-1}(B) $. Je
\begin{align*}
(g(\xx))^{-1}(B) &= (g \circ \xx)^{-1}(B)\\
&= \xx^{-1}\bigl(\underbrace{g^{-1}(B)}_{:= \tilde{B}}\bigr).
\end{align*}
Z~předpokladu borelovské měřitelnosti $ g $ je $ \tilde{B} \in \bb_n$. Navíc víme, že $ \xx $ je náhodná veličina, a tedy $ \xx^{-1}(\tilde{B}) \in \sa$, což bylo dokázati.
\end{proof}
\begin{dusl}
Nechť $ \xx,\bm{Y} $ jsou dvě náhodné veličiny na $ (\Omega, \sa) $. Pak jsou i funkce
\begin{equation*}
\xx+\bm{Y},\ \alpha \xx,\ \xx\bm{Y},\ \xx/\bm{Y},\ \max(\xx,\bm{Y}),\ \min(\xx,\bm{Y})
\end{equation*}
náhodné veličiny, je-li $ \alpha \in \mathbb{R} $ a v~případě podílu $ \bm{Y} \neq 0 $. Lze dokonce vyslovit silnější tvrzení: Libovolná \emph{spojitá} funkce $ g(\xx, \bm{Y}) $ (ve smyslu složení) je náhodnou veličinou.
\end{dusl}
\begin{proof}
Ukážeme, že spojitá funkce $ g\colon (\mathbb{R}^2, \bb_2) \rightarrow (\mathbb{R}, \bb_1) $ je borelovsky měřitelná. Využijeme bodu \eqref{t6} věty \ref{v-o-tau} a předpokladu spojitosti: vzor každé otevřené množiny při spojitém zobrazení je otevřená množina.
\end{proof}
\begin{veta}
Nechť $ (\xx_n)_1^{+\infty} $ je systém náhodných jevů na $ (\Omega, \sa) $. Potom jsou následující objekty náhodnými veličinami:
\begin{enumerate}
\item $ \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \xx_n $,
\item $ \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} \xx_n $,
\item $ \limsup\limits_{n \rightarrow +\infty} \xx_n $,
\item $ \liminf\limits_{n \rightarrow +\infty} \xx_n $,
\item $ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \!\!\! \xx_n \text{, existuje-li.}$
\end{enumerate}
\end{veta}
\begin{proof}
$ $
\begin{enumerate}
\item Dokažme tento bod pro jednorozměrné veličiny $ X_n\!\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R} $. K~tomu, abychom ukázali, že $ \sup_{n \in \mathbb{N}} X_n $ je náhodná veličina, použijeme systém \eqref{t4}. Přitom mějme stále na paměti, že jedná o posloupnost \emph{funkcí}. Zkoumejme, jak vypadá množina $ \lbrace \omega \in \Omega \mid (\sup_{n \in \mathbb{N}}X_n)(\omega) >~b \rbrace = \linebreak = (\sup_{n \in \mathbb{N}}X_n)^{-1}\bigl((b, +\infty)\bigr) $. Potřebujeme ukázat, že je elementem $ \sigma $-algebry~$ \sa $. Doporučujeme čtenáři, aby si do obrázku nakreslil průběhy několika funkcí a na svislou osu vynesl hodnotu $ b $.\footnote{Jinými slovy: Vezmi pevné $ \omega $ a podívej se, jestli největší funkce vyčíslená v~tomto bodě překročí $ b $. Pokud ano, zařaď $ \omega $ do této množiny.} Není těžké zjistit, že suprema tvoří jakousi obálku vytvořenou ze všech funkčních hodnot ostře větších než $ b $. Výše uvedená množina je tedy rovna $ \bigcup_{n=1}^{+\infty}\lbrace \omega \mid X_n(\omega) >~b \rbrace =\linebreak = \bigcup_{n=1}^{+\infty} X_n^{-1}\bigl((b, +\infty)) $. Dle předpokladu je~$ X $ náhodná veličina, takže sjednocujeme spočetně mnoho prvků $ \sigma $-algebry~$ \sa $, a tudíž je výsledná množina též z~$ \sa $. V~případě vektorových veličin $ \xx_n\colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}^s$ bychom analogicky ověřovali, zda $ (\sup_{n \in \mathbb{N}}\xx_n)^{-1}\left(\bigtimes_{j=1}^s (b_j, +\infty)\right) \in \sa $.
\item V~druhém bodě proběhne stejný argument, ale použijeme systém \eqref{t2}.
\item Limes superior jakožto největší hromadná hodnota posloupnosti je definován takto:
\begin{equation*}
\limsup_{n \rightarrow +\infty} \xx_n \stackrel{\text{def}}{=} \adjustlimits{\inf\!\!\!}_{n \geq 1}{(\sup}_{k \geq n} \xx_n),
\end{equation*}
ale jak supremum, tak infimum naší posloupnosti zůstává podle prvního a druhého bodu v~$ \sa $.
\item Limes inferior je naopak nejmenší hromadnou hodnotou posloupnosti a platí
\begin{equation*}
\liminf_{n \rightarrow +\infty} \xx_n \stackrel{\text{def}}{=} \adjustlimits{\sup\!}_{n \geq 1}{(\inf}_{k \geq n} \xx_n) \in \sa.
\end{equation*}
\item Limitní funkce existuje, právě když se rovnají limes superior a inferior, u~nichž už jsme dokázali, že jsou náhodnými veličinami. Proto
\begin{equation*}
\limsup_{n \rightarrow +\infty} \xx_n = \liminf_{n \rightarrow +\infty} \xx_n = \lim_{\vphantom{\limsup} n \rightarrow +\infty}\!\!\! \xx_n = \xx
\end{equation*}
je náhodná veličina.\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}
