Součásti dokumentu 01MAA4cviceni
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4cviceni}
\section{Funkce komplexní proměnné}
\begin{remark}
Bude se nám hodit Eulerova formule \index{Formule!Eulerova}
\[ e^{iz} = \cos z + i \sin z, \ \forall z \in \C. \]
\end{remark}
\begin{remark}
\end{remark}
\begin{example}
Ukázka komplexního logaritmu:
\[ \ln (\sqrt{3} + i) = \ln_0 (\sqrt{3} + i) = \ln 2 + i \arg_0 (\sqrt{3} + i). \]
Snadno nahlédneme, že
\[ \arg_0 (\sqrt{3} + i) = \arctg \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}. \]
A
\[\ln (\sqrt{3} + i) = \ln 2 + i \frac{\pi}{6}. \]
\end{example}
\begin{remark} Některé elementární funkce komplexní proměnné:
\begin{itemize}
\item polynomy: $\sum_{i=0}^p x_i z^i$,
\item exponenciála: $e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$,
\item sinus: $\sin z = \frac{1}{2i} (e^{iz}-e^{-iz})$,
\item cosinus: $\cos z = \frac{1}{2} (e^{iz}+e^{-iz})$.
\end{itemize}
\end{remark}
\begin{example}
Řešte
\[ \cos z = 2, \]
v $\C$.
\end{example}
\begin{remark}
O diferencovatelnosti $f(z)$. Problém můžeme formulovat následovně
\[ f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}, \ z = x + iy, \]
\[ f(x) = u(x,y) + i v(x,y). \]
Platí tzv. Riemann-Cauchyho podmínky \index{Podmínky!Riemann-Cauchyho}:
$f'(z_0)$ existuje, právě když platí
\begin{enumerate}[(i)]
\item \[ \parc{u}{x} (x_0, y_0) = \parc{v}{y} (x_0, y_0), \]
\item \[ \parc{u}{y} (x_0, y_0) = - \parc{v}{x} (x_0, y_0). \]
\end{enumerate}
A dále platí, že
\[ f'(z_0) = \left( \parc{u}{x} + i \parc{v}{x} \right) (x_0,y_0). \]
\end{remark}
\begin{example}
Má následující funkce derivaci?
\[ f(z) = y + ix \]
\end{example}
\begin{example}
Má funkce
\[ f(z) = (x^2 - y^2) + 2xyi \]
derivaci?
\end{example}
\subsection{Křivkový integrál v $\C$}
\begin{remark}
Křivkový integrál 1. druhu (málo používaný)
\[ \int_C f(z) | \dz | = \int_C u(x,y) \difer l + i \int_C v(x,y) \difer l, \]
zřejmě
\[ f(z) = u(x,y) + i v(x,y). \]
Křivkový integrál 2. druhu ($C$ je orientovaná)
\[ \int_v f(z) \dz = \int_C (u(x,y) \dx - v(x,y) \dy) + i \int_C (v(x,y) \dx + u(x,y) \dx). \]
Opět definován pomocí reálného křivkového integrálu 2. druhu.
\end{remark}
\begin{define} (\textsc{Holomorfní funkce}) \index{Definice!Holomorfní funkce}
Funkce $f$ je na $A \subset \C$ holomorfní právě když $(\forall z \in A)(f'(z) \ \mathrm{existuje})$.
\end{define}
\begin{theorem} (\textsc{Cauchyho integrální věta}) \index{Věta!Cauchyho integrální} \label{Cauchy}
$f$ je holomorfní na $A \subset \C$, $A = A \vnitr$, $C \subset A$ křivka se stopou v $A$
právě když integrál
\[ \int_C f(z) \dz \]
nezávisí na cestě integrace.
\end{theorem}
\begin{remark} Je-li $C$ uzavřená a $f$ holomorfní pak $\int_C f(z) \dz = 0$.
\end{remark}
\begin{remark} (\textsc{Newtonova formule}) \index{Formule!Newtonova} \label{New1}
Nechť $f$ je holomrofní na $A$, $z_0, z_1 \in A$ pak
\[ \int_{z_0}^{z_1} f(z) \dz = F(z_1) - F(z_0), \]
kde $F'(z) = f(z)$.
\end{remark}
\begin{example}
Výpočet křivkového integrálu $\int_C z \dz$, kde $C: \ \varphi(t) = t + 2 it$, $t \in <0,1>$.
\end{example}
máme
\[ u(x,y) = x, v(x,y) = -y, \]
\[ \varphi_Re (t) = \svekt{t}{2t}, \ \dot{\varphi_Re}(t) = \svekt{1}{2}. \]
Takže náš integrál
\[ I = \int_0 ^1 \svekt{t}{2t} \cdot \svekt{1}{2} \difer t + i \int_0 ^1 \svekt{-2t}{t} \cdot \svekt{1}{2} \difer t = \]
\[ = \int_0 ^1 5t \difer t + i \int_0 ^1 0 \difer t = \frac{5}{2}. \]
\begin{example}
Spočtěte integrál
\[ \int_C f(z) \dz, \ f(z) = y + 1 - ix, \]
pomocí Newtonovy formule.
\end{example}
Vidíme, že
\[ f(z) = 1 - iz, \]
a primitivní funkce
\[ F(z) = C + z - \frac{i}{2} z^2. \]
Newtonova formule \ref{New1} nám pak dává
\[ I = F(-i) - F(1) = -1. \]
\begin{example}
Spočtěte integrál
\[ \int_C \frac{\dz}{z-a}, \ a \in \C, \]
kde $C$ je uzavřená, kladně orientovaná, po částech hladká křivka a $a \notin [C]$.
\end{example}
Vidíme, že
\[ f(z) = \frac{1}{z-a} \]
je holomorfní na $A \subset \C$, $a \notin A$.
Rozebereme dva případy, které mohou nastat.
\begin{enumerate}[1)]
\item $a \in \Ext C$: Tedy $a$ je vně $C$, pak je $f$ na $A$ holomorfní a \[ \int_C \frac{\dz}{z-a} = 0. \]
\item $a \in \Int C$: Nenajdeme vhodnou $A$, kde bychom mohli použít Cauchyho integrální větu \ref{Cauchy}.
\end{enumerate}
\begin{remark}
Funkce \[ f(z) = \frac{1}{z-a} \] má primitivní funkci \[ \ln_\Theta (z-a) \]
na libovolné množině $A$ takové, že $P_\Theta \mathrm{not} \subset A$ (záporná polopřímka).
\end{remark}
Dále k příkladu...