01MAA4cviceni:Kapitola6

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 10:17, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01MAA4cviceni} \section{Funkce komplexní proměnné} \begin{remark} Bude se nám hodit Eulerova formule \index{Formule!Eulerova} \[ e^{iz} = \cos z + i ...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4cviceni

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4cviceniAdmin 1. 8. 201010:18
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:47
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 30. 3. 201214:39 header.tex
Kapitola1 editovatKvadrikyKubuondr 21. 2. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatImplicitní funkceAdmin 1. 8. 201010:16 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatExtrémy na varietáchVybirja2 21. 11. 201713:18 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatZáměna proměnnýchKubuondr 3. 12. 201710:25 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatLebesqueův integrálKubuondr 17. 4. 201720:19 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatFunkce komplexní proměnnéAdmin 1. 8. 201010:17 kapitola6.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Soubor:Vivi01.jpg Vivi01.jpg
Soubor:Krivk1.jpg Krivk1.jpg
Soubor:Kuzel1.jpg Kuzel1.jpg

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4cviceni}
\section{Funkce komplexní proměnné}
 
\begin{remark}
	Bude se nám hodit Eulerova formule \index{Formule!Eulerova}
	\[ e^{iz} = \cos z + i \sin z, \ \forall z \in \C. \]
\end{remark}
 
\begin{remark}
\end{remark}
 
\begin{example}
	Ukázka komplexního logaritmu:
	\[ \ln (\sqrt{3} + i) = \ln_0 (\sqrt{3} + i) = \ln 2 + i \arg_0 (\sqrt{3} + i).  \]
	Snadno nahlédneme, že
	\[ \arg_0 (\sqrt{3} + i) = \arctg \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}. \]
	A
	\[\ln (\sqrt{3} + i) = \ln 2 + i \frac{\pi}{6}. \]
\end{example}
 
\begin{remark} Některé elementární funkce  komplexní proměnné:
	\begin{itemize}
		\item polynomy: $\sum_{i=0}^p x_i z^i$,
		\item exponenciála: $e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$,
		\item sinus: $\sin z = \frac{1}{2i} (e^{iz}-e^{-iz})$,
		\item cosinus: $\cos z = \frac{1}{2} (e^{iz}+e^{-iz})$.
	\end{itemize}
\end{remark}
 
\begin{example}
	Řešte
	\[ \cos z = 2, \]
	v $\C$.
\end{example}
 
\begin{remark}
	O diferencovatelnosti $f(z)$. Problém můžeme formulovat následovně
	\[ f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}, \ z = x + iy, \]
	\[ f(x) = u(x,y) + i v(x,y). \]
	Platí tzv. Riemann-Cauchyho podmínky \index{Podmínky!Riemann-Cauchyho}:
 
	$f'(z_0)$ existuje, právě když platí
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item \[ \parc{u}{x} (x_0, y_0) = \parc{v}{y} (x_0, y_0), \]
		\item \[ \parc{u}{y} (x_0, y_0) =  - \parc{v}{x} (x_0, y_0). \]
	\end{enumerate}
	A dále platí, že
	\[ f'(z_0) = \left( \parc{u}{x} + i \parc{v}{x} \right) (x_0,y_0). \]
\end{remark}
 
\begin{example}
	Má následující funkce derivaci?
	\[ f(z) = y + ix \]
\end{example}
 
\begin{example}
	Má funkce
	\[ f(z) = (x^2 - y^2) + 2xyi \]
	derivaci?
\end{example}
 
\subsection{Křivkový integrál v $\C$}
 
\begin{remark}
	Křivkový integrál 1. druhu (málo používaný)
	\[ \int_C f(z) | \dz | = \int_C u(x,y) \difer l + i \int_C v(x,y) \difer l, \]
	zřejmě
	\[ f(z) = u(x,y) + i v(x,y). \]
 
Křivkový integrál 2. druhu ($C$ je orientovaná)
	\[ \int_v f(z) \dz = \int_C (u(x,y) \dx - v(x,y) \dy) + i \int_C (v(x,y) \dx + u(x,y) \dx).  \]
	Opět definován pomocí reálného křivkového integrálu 2. druhu.
\end{remark}
 
\begin{define} (\textsc{Holomorfní funkce}) \index{Definice!Holomorfní funkce}
	Funkce $f$ je na $A \subset \C$ holomorfní právě když $(\forall z \in A)(f'(z) \ \mathrm{existuje})$.
\end{define}
 
\begin{theorem} (\textsc{Cauchyho integrální věta}) \index{Věta!Cauchyho integrální} \label{Cauchy}
	$f$ je holomorfní na $A \subset \C$, $A = A \vnitr$, $C \subset A$ křivka se stopou v $A$
	právě když integrál
	\[ \int_C f(z) \dz  \]
	nezávisí na cestě integrace.
\end{theorem}
 
\begin{remark} Je-li $C$ uzavřená a $f$ holomorfní pak $\int_C f(z) \dz = 0$.
\end{remark}
 
\begin{remark} (\textsc{Newtonova formule}) \index{Formule!Newtonova} \label{New1}
	Nechť $f$ je holomrofní na $A$, $z_0, z_1 \in A$ pak
	\[ \int_{z_0}^{z_1} f(z) \dz = F(z_1) - F(z_0), \]
	kde $F'(z) = f(z)$.
\end{remark}
 
\begin{example}
	Výpočet křivkového integrálu $\int_C z \dz$, kde $C: \ \varphi(t) = t + 2 it$, $t \in <0,1>$.
\end{example}
máme
\[ u(x,y) = x, v(x,y) = -y, \]
\[ \varphi_Re (t) = \svekt{t}{2t}, \ \dot{\varphi_Re}(t) = \svekt{1}{2}. \]
Takže náš integrál
\[ I = \int_0 ^1 \svekt{t}{2t} \cdot \svekt{1}{2} \difer t + i \int_0 ^1 \svekt{-2t}{t} \cdot \svekt{1}{2} \difer t =  \]
\[ = \int_0 ^1 5t \difer t + i \int_0 ^1 0 \difer t = \frac{5}{2}. \]
 
\begin{example}
	Spočtěte integrál
	\[ \int_C f(z) \dz, \ f(z) = y + 1 - ix, \]
	pomocí Newtonovy formule.
\end{example}
Vidíme, že
\[ f(z) = 1 - iz, \]
a primitivní funkce
\[ F(z) = C + z - \frac{i}{2} z^2. \]
Newtonova formule \ref{New1} nám pak dává
\[ I = F(-i) - F(1) = -1. \]
 
\begin{example}
	Spočtěte integrál
	\[ \int_C \frac{\dz}{z-a}, \ a \in \C, \]
	kde $C$ je uzavřená, kladně orientovaná, po částech hladká křivka a $a \notin [C]$.
\end{example}
 
Vidíme, že
\[ f(z) = \frac{1}{z-a} \]
je holomorfní na $A \subset \C$, $a \notin A$.
 
Rozebereme dva případy, které mohou nastat.
\begin{enumerate}[1)]
	\item $a \in \Ext C$: Tedy $a$ je vně $C$, pak je $f$ na $A$ holomorfní a \[ \int_C \frac{\dz}{z-a} = 0. \]
	\item $a \in \Int C$: Nenajdeme vhodnou $A$, kde bychom mohli použít Cauchyho integrální větu \ref{Cauchy}.
\end{enumerate}
 
\begin{remark}
	Funkce \[ f(z) = \frac{1}{z-a} \] má primitivní funkci \[ \ln_\Theta (z-a) \]
	na libovolné množině $A$ takové, že $P_\Theta \mathrm{not} \subset A$ (záporná polopřímka).
\end{remark}
 
Dále k příkladu...