01MAA4cviceni:Kapitola3: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
m |
||
Řádka 233: | Řádka 233: | ||
\begin{dex} 3674. Dokaže \emph{Hadamardovu nerovnost} \index{Nerovnost!Hadamardova} | \begin{dex} 3674. Dokaže \emph{Hadamardovu nerovnost} \index{Nerovnost!Hadamardova} | ||
− | \[ A ^2 \le \prod _{i=1} ^n \Big( \sum _{i=1} ^n a_{ij} ^2 \Big) | + | \[ det(A)^2 \le \prod _{i=1} ^n \Big( \sum _{i=1} ^n a_{ij} ^2 \Big). \] |
− | + | ||
\end{dex} | \end{dex} |
Aktuální verze z 21. 11. 2017, 14:18
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4cviceni
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4cviceni | Admin | 1. 8. 2010 | 11:18 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:47 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 30. 3. 2012 | 15:39 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Kvadriky | Kubuondr | 21. 2. 2017 | 17:45 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Implicitní funkce | Admin | 1. 8. 2010 | 11:16 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Extrémy na varietách | Vybirja2 | 21. 11. 2017 | 14:18 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Záměna proměnných | Kubuondr | 3. 12. 2017 | 11:25 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Lebesqueův integrál | Kubuondr | 17. 4. 2017 | 21:19 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Funkce komplexní proměnné | Admin | 1. 8. 2010 | 11:17 | kapitola6.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Soubor:Vivi01.jpg | Vivi01.jpg |
Soubor:Krivk1.jpg | Krivk1.jpg |
Soubor:Kuzel1.jpg | Kuzel1.jpg |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4cviceni} \section{Extrémy na varietách} \begin{remark} Uvědomme si, že \par \begin{itemize} \item \textbf{Volný extrém} funkce $f: D_f \to \R$ jsme hledali na otevřeném $D_f \subset \Rn$ \item \textbf{Vázaný extrém} funkce $f: D_f \to R$ hledáme na $D_f \subset \Rn$, který je varietou v $\Rn$. \end{itemize} \end{remark} \begin{define} (\textsc{Vázaný extrém}) \index{Definice!Extrém vázaný} Úloha nalézt vázaný extrém funkce $f : M \to \R$ na varietě $M \subset \Rn$ znamená nalézt body z $M$ tak, že funkce $f$ v nich má lokální extrém vzhledem k množine $M$. \end{define} \begin{remark} (Zadání variety) Varietu $M$ zadáme pomocí zobrazení $\Phi: \Rn \to \R ^m$, $m<n$ následovně \[ M \equiv \Phi(x) = 0. \] Dále pokud $\jak \Phi$ je Jakobián zobrazení $\Phi$, určíme dimenzi variety jako \[ \dim M = n - \hod ( \jak \Phi). \] \end{remark} \begin{define} (\textsc{Tečný prostor}) \index{Definice!Tečného prostoru} Tečným prostorem k varietě $M$ v bodě $x_0 \in M$ rozumíme \[ T_M (x_0) = \big[ \jak \Phi (x_0) \big] ^{-1} (\Theta) = \ker (\jak \Phi(x_0)). \] \end{define} \begin{define} (\textsc{Lagrangova funkce}) \index{Definice!Lagrangeovy funkce} Lagrangeova funkce $\Lambda : (\Rn) \to \R$ je definována vztahem \[ \Lambda (x) = f(x) - \sum _{j=1} ^m \lambda_j \Phi ^j (x), \] kde $\Phi \trans (x) = \big( \Phi ^1 (x), \Phi ^2 (x), \ldots , \Phi ^m (x) \big)$ a $\lambda_1 ,\ldots ,\lambda_m$ jsou tzv. Lagrangeovy multiplikátory. \end{define} \begin{theorem} (\textsc{Nutná podmínka}) Nechť funkce $f$ má v bodě $x_0 \in M$ lokální extrém vzhledem k varietě $M$. Pak \begin{enumerate}[(i)] \item $\exists f'(x_0) \ \Rightarrow \ (\exists \lambda_1 , \ldots, \lambda_m \in \R)(x_0 \ \textrm{je stacionárním bodem funkce} \ \Lambda)$, \item $M, f \in C^{(2)} \ \Rightarrow \ \Lambda '' (x_0) \Big| _{T_M (x_0)}$ je semidefinitní. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{theorem} (\textsc{Postačující podmínka}) Nechť $x_0 \in M$, $M,f \in C^{(2)}$ a existují $\lambda_1 , \ldots \lambda_m \in \R$ tak, že \begin{enumerate}[(i)] \item $\Lambda'' (x_0) = \Theta$, \item $\Lambda '' (x_0) \Big| _{T_M (x_0)}$ je PD, resp. ND. \end{enumerate} Pak má $f$ v bodě $x_0$ ostré lokální minimum, resp. maximum, vzhledem k varietě $M$. \end{theorem} Následující příklady byly spočteny na cvičeních, některé jsou z Děmidoviče. \begin{example} Nalezněte extrémy funkce $f(x,y)=xy$ na varietě $M \equiv x + y = 1$. \end{example} \begin{example} Nalezněte extrémy funkce $f(x,y,z)=xyz$ na varietě \begin{align*} M \equiv &x^2 + y^2 + z^2 = 1 \\ &x + y + z = 0 \end{align*} \end{example} \begin{example} Nalezněte extrémy funkce $f(x,y,z)=xy+yz$ na varietě \begin{align*} M \equiv &x^2 + y^2 = 2 \\ &y + z = 2 \end{align*} \end{example} \begin{example} Nalezněte extrémy funkce \[ f(x_1,\ldots ,x_n) = \sum_{i=1} ^n x_i ^p \] na varietě \[ M \equiv \sum _{i=1} ^n x_i = A > 0, \] při $(x_i > 0)(\forall i \in \hat{n})$ a $p>1$. \end{example} \begin{example} Nalezněte extrémy funkce \[ f(x_1,\ldots ,x_n) = \prod_{i=1} ^n x_i ^{\alpha_i}, \] kde $(\alpha_i ,x_i > 0)(\forall i \in \hat{n})$ na varietě \[ M \equiv \sum _{i=1} ^n x_i = A > 0. \] \end{example} % Extremy na kompaktech \medskip \subsection{Extrémy na kompaktech} \begin{remark} Funkce spojitá na kompaktu má globální maximum i minimum. \end{remark} \begin{example} Mějme funkci $f(x,y) = x^2 - xy + y^2$ a hledejme její extrémy vzhledem k varietě $M \equiv \abs{x} + \abs{y} \ge 1$. \end{example} \begin{example} Hledejte extrémy funkce \[ f(x,y,z) = 2x^2++2y^2+z^2-x-y-z-2xy+1, \] na varietě \[ M \equiv <0,1> \times <0,1> \times <0,1>. \] \end{example} \subsection{Příklady - Děmidovič} Následující příklady jsou z Děmidoviče \cite{Demidovic}, konkrétně od 3654 až po 3677 na stranách 339 až 341. Zde je uvádím v plném znění i s výsledky. \par Najděte extrémy následujících funkcí více proměnných \begin{dex} 3654. $z=xy$, když $x+y = 1$. \solution{z_{max}=1/4, \ x=1/2, \ y=1/2} \end{dex} \begin{dex} 3655. $z = \frac{x}{a} + \frac{y}{b}$, když $x^2 + y^2 = 1$. \solution{z_{min} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\abs{ab}}, x_{min} = - \frac{b \epsilon}{\sqrt{a^2+b^2}}, y_{min} = - \frac{a \epsilon}{\sqrt{a^2+b^2}}; z_{max} = -z_{min}, x_{max} = -x_{min}, y_{max} = -y_{min} } \end{dex} \begin{dex} 3656. $z=x^2+y^2$, když $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. \solution{z_{max} = \frac{a^2b^2}{a^2+b^2}, \ x = \frac{a b^2}{a^2+b^2}, \ y = \frac{a^2b}{a^2+b^2}} \end{dex} \begin{dex} 3657. $z = A x^2 + 2Bxy+Cy^2$, když $x^2+y^2= 1$. \solution{z_{min}=\lambda_1, \ z_{max}=\lambda_2, \ \textrm{kde} \ \lambda_1 < \lambda_2 \ \textrm{a platí} \ (A-\lambda_{12})(C-\lambda_{12})-B^2=0} \end{dex} \begin{dex} 3657.1. $z = x^2 + 12 xy+2y^2$, když $4x^2+y^2= 25$. \solution{z_{max}=106 \frac{1}{4}, \ x = \pm 1 \frac{1}{2}, \ y = \pm 4; \ z_{min} = -50, \ x = \pm 2, \ y = \mp 3} \end{dex} \begin{dex} 3658. $z = \cos^2 x + \cos^2 y$, když $x-y = \frac{\pi}{4}$. \solution{\textrm{Extrém v} \ z = 1 + \frac{(-1)^k}{\sqrt{2}}, \ x = \pi/8 + (\pi k)/2, \ y = -\pi/8 + (\pi k)/2, \ k \in \mathbb{Z}, \ k \textrm{sudé max}, \ k \textrm{liché min} } \end{dex} \begin{dex} 3659. $u = x - 2y+2z$, když $x^2 + y^2 + z^2 = 1$. \solution{u_{min}=-3, \ x=-1/3, \ y=2/3, \ z=-2/3; \ u_{max}=3, \ x=1/3, \ y=-2/3, \ z=2/3} \end{dex} \begin{dex} 3660. $u = x^m y^n z^p$, když $x+y+z=a$ a kde $m > 0$, $n > 0$, $p > 0$ a $a > 0$. \solution{u_{max}=\frac{a^{m+n+p}m^mn^np^p}{(m+n+p)^{m+n+p}}, x/m=y/n=z/p=a/(m+n+p)} \end{dex} \begin{dex} 3661. $u = x^2 + y^2 + z^2$, když \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1, \] kde $a>b>c>0$. \solution{u_{min}=c^2, \ x=0, \ y=0, \ z= \pm c; \ u_{max}=a^2, \ x=\pm a, \ y=0, \ z=0 } \end{dex} \begin{dex} 3662. $u = x y^2 z^3$, když $x+2y+3z = a$, kde $x>0$, $y>0$, $z>0$ a $a>0$. \solution{u_{max}=\big( a/6 \big)^6, \ x=y=z=a/6} \end{dex} \begin{dex} 3663. $u = xyz$, když $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ a $x+y+z=0$. \solution{u_{min}=-1/(3 \sqrt{6}), \ x = y = 1/\sqrt{6}, \ z = -2/\sqrt{6} \ \textrm{a} \ x=z=1\sqrt{6}, \ y=-2/\sqrt{6}, \ \textrm{a} \ y=z=1/\sqrt{6}, \ x=-2/\sqrt{6}; \ u_{max} = 1/(3\sqrt{6}), \ x=y=-1/\sqrt{6}, \ z=2/\sqrt{6} \ \textrm{a} \ z = 2/\sqrt{6}, \ x=z=-1/\sqrt{6} \ \textrm{a} y = 2/\sqrt{6}, \ y=z=-1/\sqrt{6} \ \textrm{a} \ x = 2/\sqrt{6} } \end{dex} \begin{dex} 3663.1. $u = xy + yz$, když $x^2 + y^2 = 2$ a $y + z = 2$, kde $x>0$, $y>0$ a $z>0$. \solution{u_{max}=2, \ x=z=y=1} \end{dex} \begin{dex} 3664. $u = \sin x \sin y \sin z$, když $x + y+ z = \frac{\pi}{2}$ a kde $x>0$, $y>0$ a $z>0$. \solution{u_{max}= 1/8, \ x=y=z = \pi/6} \end{dex} \begin{dex} 3665. \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \] když $x^2 + y^2 + z^2 = 1$, $x \cos \alpha + y \cos \beta + z \cos \gamma = 1$, kde $a>b>c>0$ a $\cos ^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$. \solution{u_{min} = \lambda_1, \ u_{max}=\lambda_2, \ \textrm{kde} \ \lambda_{12} - \Big( \frac{\sin^2 \alpha}{a^2} + \frac{\sin^2 \beta}{b^2} + \frac{\sin^2 \gamma}{c^2} \Big) \lambda_{12} + \Big( \frac{\cos^2 \alpha}{b^2c^2} + \frac{\cos^2 \beta}{a^2c^2} + \frac{\cos^2 \gamma}{a^2b^2} \Big), \ \lambda_1 < \lambda_2} \end{dex} \begin{dex} 3666. $u = (x-\xi)^2 + (y - \mu)^2 + (z- \zeta)^2$, když \begin{gather*} Ax + By + Cz = 0, \\ x^2 + y^2 + z^2 = R^2, \\ \frac{\xi}{\cos \alpha} + \frac{\mu}{\cos \beta} + \frac{\zeta}{\cos \gamma}, \end{gather*} kde $\cos ^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$. \solution{u_{min}= \frac{R^2 (A \cos \alpha + B \cos \beta + C \cos \gamma)^2}{A^2 + B^2 + C^2}, \ u_{max}=R^2; \ u_{max}=R^2} \end{dex} \begin{dex} 3667. $u = x_1 ^2 + x_2 ^2 + \ldots + x _n ^2$ když \[ \frac{x_1}{a_1} + \frac{x_2}{a_2} + \ldots \frac{x_n}{a_n} = 1, \] kde $a_i > 0$, $\forall i \in \hat{n}$. \solution{u_{min}=\big( \sum_{j=1}^n \frac{1}{a_j ^2} \big)^{-1}, \ x_i= \frac{1}{a_i} \big( \sum_{j=1}^n \frac{1}{a_j ^2} \big)^{-1}, \ i \in \hat{n}} \end{dex} \begin{dex} 3668. $u = x_1 ^p + x_2 ^p + \ldots + x _n ^p$ když $x_1 + x_2 + \ldots + x_n = a$ a $p>1$, $a>0$. \solution{u_{min}=\frac{a^p}{n^{p-1}, \ x_i = a/n}, \ i \in \hat{n} } \end{dex} \begin{dex} 3669. \[ u = \frac{\alpha_1}{x_1} + \frac{\alpha_2}{x_2} + \ldots + \frac{\alpha_n}{x_n} \] když $\beta _1 x_1 + \beta_2 x_2 + \ldots + \beta_n x_n = 1$ a $\alpha_i > 0$, $\beta_i>0$, $x_i > 0$ $\forall i \in \hat{n}$. \solution{u_{min} = \big( \sum_{j=1}^n \sqrt{\alpha_j \beta_j} \big)^2, \ x_i = \sqrt{\alpha_i / \beta_i}\big( \sum_{j=1}^n \sqrt{\alpha_j \beta_j} \big)^{-1}, \ i\in \hat{n} } \end{dex} \begin{dex} 3670. $u = x_1 ^{\alpha_1} x_2 ^{\alpha_2} \ldots x_n ^{\alpha_n}$ když $x_1 + x_2 + \ldots + x_n = a$, kde $a>0$, $\alpha_i>1$ $\forall i \in \hat{n}$. \solution{u_{max}=\Big( \frac{a}{\alpha_1 + \ldots + \alpha_n} \Big)^{\alpha_1 + \ldots + \alpha_n} \alpha_1 ^{\alpha_1} \ldots \alpha_n ^{\alpha_n}, \ x_i / \alpha_i = x_j / \alpha_j } \end{dex} \begin{dex} 3671. Najděte extrém symetrické ($a_{ij} = a_{ji}$) kvadratické formy \[ u = \sum _{i,j} ^n a_{ij} x_{i} x_{j}, \] na varietě \[ \sum _{i=1} ^n x_i ^2 = 1. \] \end{dex} \begin{dex} 3672. Dokažte nerovnost \[ \frac{x^n + y^n}{2} \ge \Big( \frac{x+y}{2} \Big) ^n, \] jsou-li $n \ge 1$, $x \ge 0$ a $y \ge 0$. \par \textsc{Nápověda:} Zkoumejte minimum funkce $u = 1/2 \cdot (x^n + y^n)$ na varietě $x+y=s$. \end{dex} \begin{dex} 3673. Dokažte \emph{H\"olderovu nerovnost} \index{Nerovnost!H\"olderova} \[ \sum_{i=1} ^n a_i x_i \le \Big( \sum_{i=1} ^{n} a_i ^k \Big) ^{\frac{1}{k}} \Big( \sum_{i=1} ^{n} x_i ^{k'} \Big) ^{\frac{1}{k'}}. \] \par \textsc{Nápověda:} Zkoumejte minimum funkce \[ u = \Big( \sum_{i=1}^n a_i ^k \Big)^{1/k} \Big( \sum_{i=1}^n x_i ^{k'} \Big) ^{1/k'} \] na varietě \[ \sum_{i=1}^n a_i x_i = A. \] \end{dex} \begin{dex} 3674. Dokaže \emph{Hadamardovu nerovnost} \index{Nerovnost!Hadamardova} \[ det(A)^2 \le \prod _{i=1} ^n \Big( \sum _{i=1} ^n a_{ij} ^2 \Big). \] \end{dex}