01MAA4cviceni:Kapitola1: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(oprava footnote v kapitole 1) |
|||
Řádka 116: | Řádka 116: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | Jestliže matice $\MA \in \Rnn$ je symetrická pak $\ker \MA \oplus \image \MA = \Rn$ \footnote{Zde $\ker \MA = \MA ^{-1}(\Theta)$ a $\image \MA = \MA ( | + | Jestliže matice $\MA \in \Rnn$ je symetrická pak $\ker \MA \oplus \image \MA = \Rn$ \footnote{Zde $\ker \MA = \MA ^{-1}(\Theta)$ a $\image \MA = \MA (\Rn) $.}. |
\end{remark} | \end{remark} | ||
Aktuální verze z 21. 2. 2017, 17:45
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4cviceni
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4cviceni | Admin | 1. 8. 2010 | 11:18 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:47 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 30. 3. 2012 | 15:39 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Kvadriky | Kubuondr | 21. 2. 2017 | 17:45 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Implicitní funkce | Admin | 1. 8. 2010 | 11:16 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Extrémy na varietách | Vybirja2 | 21. 11. 2017 | 14:18 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Záměna proměnných | Kubuondr | 3. 12. 2017 | 11:25 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Lebesqueův integrál | Kubuondr | 17. 4. 2017 | 21:19 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Funkce komplexní proměnné | Admin | 1. 8. 2010 | 11:17 | kapitola6.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Soubor:Vivi01.jpg | Vivi01.jpg |
Soubor:Krivk1.jpg | Krivk1.jpg |
Soubor:Kuzel1.jpg | Kuzel1.jpg |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4cviceni} \section{Kvadriky} \begin{define} (\textsc{Kvadratická funkce}) \index{Definice!Kvadratické funkce} Buďte $A \in \Rnn$ symetrická, $A \ne \Theta$, $b \in \Rn$, $c \in \R$. Pak zobrazení $f: \Rn \to \R:$ \[ f(x) = x \trans A x - 2 b \trans x + c \] se nazývá kvadratická funkce. Množina $\mathcal{Q} = f^{-1}(0) = \{ x \in \Rn \vert f(x) = 0 \}$ se nazývá kvadrika s rovnicí $f(x) = 0$. \end{define} \begin{remark} V této definici jsme použili značení standardního skalárního součinu pomocí sloupcových a řádkových vektorů. Zřejmě platí \[ x \trans A x = (x, Ax) \] \[ b \trans x = (b, x) \] Tohoto zápisu budeme zhusta používat. \end{remark} \begin{define} (\textsc{Souřadná soustava}) \index{Definice!Souřadné soustavy} Nechť $\px$ je báze $\Rn$, $s \in \Rn$. Pak dvojici $(\px, s)$ nazýváme soustavou souřadnic s bází $\px$ a počátkem $s$. \end{define} \begin{remark} $(\forall x \in \Rn)(x = (\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}))$ \[ x = s + \sum_{i=1}^{n} y_{i}x_{i} \] když $\px = (x_{1}, \ldots , x_{n})$ a souřadnice $y = (y_{1}, \ldots , y_{n})$. Pomocí matice přechodu $\mathbb{P}$ zapíšeme výše uvedený vztah jako $x = s + \mathbb{P} y$ \end{remark} \begin{remark} V následujícím textu se tedy budeme snažit zjednodušit výraz pro $f(x)$ přechodem k jiné soustavě souřadné. \end{remark} Máme tedy \[ f(x) = f(s+\sum_{i=1}^{n} y_{i} x_{i}) = f(s+ \pre y) = (s + \pre y) \trans \MA (s + \pre y) - 2 b \trans (s + \pre y) + c = \] \[ = s \trans \MA s + s \trans \MA \pre y + (\pre y) \trans \MA s + (\pre y) \trans \MA \pre y - 2 b \trans s - 2 b \trans \pre y + c = \] \[ = y \trans \pre \trans \MA \pre y + 2 (s \trans \MA - b \trans) \pre y + s\trans \MA s - 2 b \trans s + c = f_{1}(y) \] Odvození je správné, protože členy $s \trans \MA \pre y$ a $(\pre y) \trans \MA s$ se rovnají. (Jsou to vůči sobě transponovaná reálná čísla.) $f_{1}(y)$ je opět kvadratickou funkcí. Z odvozeného zápisu vyplývá několik zajímavých možností: \begin{itemize} \item Určitou záměnou můžeme zrušit konstantu (pokud $f(s) = 0$). \item Pro eliminaci lineárního členu je zapotřebí, aby $s \trans \MA - b \trans = \Theta$. \end{itemize} Pokud $\MA$ je symetrická pak existuje $\pre$ tak, že $\pre \trans \MA \pre$ je diagonální a tedy \[ y \trans \pre \trans \MA \pre y = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} y_{i}^{2}. \] A tedy existuje $s \in \Rn$ tak, že $s \trans \MA - b \trans = \Theta$. Dosáhneme toho, že lineární člen vypadne, tj. $\MA s = b$. \begin{define} (\textsc{Střed kvadriky}) \index{Definice!Středu kvadriky} Bod $s \in \Rn$ se nazývá středem kvadriky $\mathcal{Q}$ právě když $(\forall x \in \Rn)(f(s+x)=f(s-x))$. Existuje-li alespoň jeden střed kvadratické funkce, pak se kvadrika nazývá centrální. Neexistuje-li, nazýváme ji necentrální. Označíme $S_{f}$ množinu všech středů $f$. \end{define} \begin{theorem} Platí následující tvrzení: \begin{enumerate}[(i)] \item $\mathcal{Q} = f^{-1}(0)$ je centrální právě tehdy, když existuje $s \in \Rn$ tak, že $\MA s= b$. \item $S_{f} = \{ s \in \Rn \vert \MA s = b \}$ je varieta. \item $f \vert _{S_{f}} = const.$ (tzv. centrální hodnota) \end{enumerate} \end{theorem} Důkaz: ad (i) a (ii): \[ f(s \pm x) = s \trans \MA s \pm 2 s \trans \MA x + x \trans \MA x - 2 b \trans \mp 2 b \trans x + c = \] \[ = x \trans \MA x \pm 2 (s \trans \MA - b \trans) x + f(s)\] Nyní vidíme, že tvrzení č. 1 a 2 věty platí. \[\text{ad(iii): Nechť} s_1,s_2 \in S=f, s_2=x+s_1, x\neq 0\] \[f(s_2)=f(s_1)= x \trans \MA x + 2 (\MA s_1 - b)\trans x + f(s_1)=f(s_1) \] První člen je nula, protože $\MA x=\MA(s_2-s_1)=\MA(s_2)-\MA(s_1)=0$, druhý člen je nula, protože $s_1 \in S_f$ \bigskip \textbf{Závěr:} Pro centrální kvadriky existuje souřadný systém $(\px, s)$ tak, že (je-li $y$ zápis souřadnic bodu $x$ v systému $(\px, s)$): \[ f(x) = f_{1}(y) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} y_{i}^{2} + f_{0}, f_0=f(s). \] \begin{remark} Některé zápisy \end{remark} \begin{itemize} \item Nechť $f$ je centrální, $\MA \in \Rnn$, $k = \hod (\MA) \leq n$, $s \in S_{f}$, $\px$ je diagonální báze taková, že \[ (\forall j \in \hat{k} )(\lambda_{j} \ne 0)(\forall j = k+1 \ldots ,n)(\lambda_{j} = 0). \] Pak se $(\px, s)$ nazývá tzv. Kanonickou soustavou souřadnic\index{Definice!Kanonické soustavy}. $f$ má v této soustavě tvar \[ f(x) = f_{1}(y) = \sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} y_{i}^{2} + f_{0}. \] \item Nechť $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p} > 0$, $p \geq k$ a $\lambda_{p+1}, \ldots, \lambda_{k} < 0$. Potom podle hodnoty $f_{0}$ můžeme standardní tvar kvadriky $\mathcal{Q} = f^{-1}(0)$ zapsat následujícími způsoby \begin{enumerate} \item Pokud $f_{0} = 0$ pak \[ \sum_{i = 1}^{p} \Big( \frac{y_{i}}{\alpha_{i}} \Big) ^{2} - \sum_{i = p + 1}^{k} \Big( \frac{y_{i}}{\alpha_{i}} \Big) ^{2} = 0, \] kde \begin{align*} \lambda_{i}& = \frac{1}{\alpha_{i}^{2}}, &i \in \hat{p}, \\ \lambda_{i}& = - \frac{1}{\alpha_{i}^{2}}, &i = p+1 ,\ldots,k. \end{align*} \item Pokud $f_{0} \ne 0$ pak \[ \sum_{i = 1}^{p} \Big( \frac{y_{i}}{\alpha_{i}} \Big) ^{2} - \sum_{i = p + 1}^{k} \Big( \frac{y_{i}}{\alpha_{i}} \Big) ^{2} = 1, \] kde \[ \frac{1}{\alpha_{i}^{2}} = \pm \frac{1}{\abs{f_{0}}}\abs{\lambda_{i}}, i \in \hat{k}. \] \end{enumerate} \end{itemize} \begin{define} Reálné osy mají indexy $i \in \hat{p}$, imaginární osy $i \in \{ p+1, \ldots, k \}$. Hodnost $\MA$ je rovna $n$, právě když je to regulární kvadrika. \end{define} % NECENTRALNI KVADRIKY -------------------------- \medskip \subsection{Necentrální kvadriky} \begin{remark} Nyní nelze odstranit lineární člen (rovnice $\MA s = b$ nemá řešení). Zkusíme tedy najít $s$ tak, aby $f(s) = 0$. \end{remark} \begin{remark} Jestliže matice $\MA \in \Rnn$ je symetrická pak $\ker \MA \oplus \image \MA = \Rn$ \footnote{Zde $\ker \MA = \MA ^{-1}(\Theta)$ a $\image \MA = \MA (\Rn) $.}. \end{remark} \begin{theorem} Nechť $f$ je necentrální, $b = b_{1} + b_{2}$, kde $b_{1} \in \image \MA$ a $b_{2} \in \ker \MA$. Pak existuje $s \in \Rn$ tak, že $\MA s = b_{1}$. \end{theorem} \begin{define} (\textsc{Vrchol}) \index{Definice!Vrcholu} Vektor $s \in \Rn$ takový, že $f(s) = 0$ se nazývá vrchol $f$. Množina vrcholů se označuje $V_{f}$. \end{define} \begin{remark} (\textsc{Kanonický tvar}) \index{Tvar!Kanonický} Pokud $\MA$ je diagonalizovatelná pomocí báze $\px$ (kanonická báze), $\hod ( \MA) = k$, $s \in V_f$ a označíme-li souřadnice v $(\px , s)$ $y$, kde \[ x_{k+1} = \frac{1}{\norm{b_2}} b_2, \] pak kanonický tvar $\MA$ \[ \sum _{i=1} ^n \lambda_i (y_i)^2 - 2 \norm{b_2} y_{k+1} = \mathcal{Q}. \] \end{remark} \begin{remark} (\textsc{Standardní tvar} \index{Tvar!Standardní}) \end{remark} % KVADRIKY v R2 -------------------------- \medskip \subsection{Kvadriky v $\R ^{2}$ a $\R^3$ - kuželosečky} Následují příklady některých často se vyskytujících kvadrik, tyto naleznete v Tabulce č. \ref{Kvad2}. \begin{table}[ht] \begin{center} \begin{tabular}{l|l} \hline Rovnice kvadriky & Označení \\ \hline \\ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ & elipsa \\ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = -1$ & prázdná množina \\ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 0$ & bod \\ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ & hyperbola \\ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ & dvě přímky \\ $\frac{x^2}{a^2} = 1$ & dvě přímky \\ $\frac{x^2}{a^2} = 1$ & prázdná množina \\ $\frac{x^2}{a^2} = 0$ & přímka \\ $\frac{x^2}{a^2} = 2y$ & parabola \end{tabular} \\ \label{Kvad2} \caption{Kvadriky v $R^2$} \end{center} \end{table} Dále uvedeme některé kvadriky v $R^3$, v této tabulce nechť $a,b,c >0$. Ty jsou v Tabulce č. \ref{Kvad3}. \begin{table}[ht] \begin{center} \begin{tabular}{l|l} \hline Rovnice kvadriky & Označení \\ \hline \\ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ & elipsoid \\ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = -1$ & prázdná množina \\ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ & jednodílný hyperboloid \\ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ & dvoudílný hyperboloid \\ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 0$ & střed (bod) \\ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ & kužel \\ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ & eliptický válec \\ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = -1$ & prázdná množina \\ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ & hyperbolický válec \\ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 0$ & přímka \\ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ & dvojice rovin \\ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z$ & eliptický paraboloid \\ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z$ & hyperbolický paraboloid \\ $\frac{x^2}{a^2} = 1$ & dvojice rovin \\ $\frac{x^2}{a^2} = -1$ & prázdná množina \\ $\frac{x^2}{a^2} = 0$ & rovina \\ $\frac{x^2}{a^2} = 2y$ ¶bolický válec \end{tabular} \\ \caption{Kvadriky v $R^3$} \label{Kvad3} \end{center} \end{table} \subsection{Kvadriky v $\R ^{3}$} \subsection{Příklady} V následujícím textu se budeme zabývat kvadrikami v $\R ^{2}$. \begin{example} Máme kvadriku o rovnici \[ 5x^{2} + 4xy+8y^{2}-32x-56y+80 = 0. \] \end{example} Porovnáním s obecným tvare v $\R ^{2}$ \[ f \svekt{x}{y} = (x,y) \MA \svekt{x}{y} - 2 b \trans \svekt{x}{y} + c \] dostaneme \[ \MA = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 8 \end{pmatrix}, \medspace b = \begin{pmatrix} 16 \\ 28 \end{pmatrix}, \medspace c = 80. \] Matice $\MA$ je regulární a proto existuje právě jedno $s$ tak, že $\MA s = b$. Řešme proto \[ s \] \begin{example} Máme kvadriku o rovnici \[ 2x^2+y^2+2z^2-2xy+2yz+4x-2y=0. \] \end{example} \begin{example} Máme kvadriku o rovnici \[ 2x^2+y^2+2z^2-2xy+2yz+4x+2y+2z-2=0. \] \end{example}