01MAA4:Kapitola38

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Laurentovy řady}
 
\begin{define}
Buď $a_n\in\C$ pro $n\in\Z$. Potom řadu
\[\sum_{-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n\]
nazveme {\bf Laurentovou řadou} a {\bf součet Laurentovy} [Loránovy] {\bf řady} je
\[\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n+
\sum_{n=1}^{+\infty}a_{-n}(z-z_0)^{-n}.\]
\end{define}
 
\begin{remark}
Konvergence na mezikruží $B(z_0,r,R)$: $\abs{z-z_0}<R$ a
$\abs{z-z_0}>r$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Laurent]
Nechť funkce $f$ je holomorfní na mezikruží
\[P(z_0,r,R)=\{z\in\C|r<\abs{z-z_0}<R\}.\]
Pak pro každé $z\in P$ platí
\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n,\]
kde
\[a_n=\frac{\ind_\vartheta z_0}{2\pi\im}
\int_\vartheta\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi,\quad
[\vartheta]\subset P,\ z_0\in\intd\vartheta.\]
 
\begin{figure}[h]
\center
 \includegraphics{01MAA4_lauren.pdf}
\caption{K důkazu Laurentovy věty}
\end{figure} 
 
\begin{proof}
Buď $z\in P$, $r<r_1\le\abs{z-z_0}<r_2<R$,						
 
\[
\begin{split}
f(z)&=\frac{1}{2\pi\im}\int_{\varphi_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi+
\frac{1}{2\pi\im}\int_{\varphi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi=
\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi-
\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi=\\
&=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_2}
\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\right)(z-z_0)^n+
\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_1}
\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}\right)(z-z_0)^{-n}
\end{split}
\]
Využilo se toho, že 
\[
\begin{split}
-\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi&=
\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{z-\xi}\,\d\xi=
\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{z-z_0}
\frac{\d\xi}{1-\frac{\xi-z_0}{z-z_0}}=
\int_{\psi_1}\sum_{n=0}^\infty
\frac{f(\xi)}{z-z_0}\left(\frac{\xi-z_0}{z-z_0}\right)^n\d\xi=\\
&=\sum_{n=1}^\infty\int_{\psi_1}
\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}(z-z_0)^{-n}\,\d\xi
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
$P(z_0,R)$ bude značit $P(z_0,0,R)$.
\end{define}
 
\begin{define}
Bod $z_0$ se nazývá {\bf singulárním bodem funkce $f$}, jestliže $f$
je holomorfní na $P(z_0,R)$ a v~$z_0$ není.
\end{define}
 
\begin{define}
Buď $z_0$ singulární bod funkce $f$.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Řekneme, že singularita je {\bf odstranitelná}, jestliže v~její
Laurentově řadě se středem $z_0$ je $a_n=0$ pro $n<0$.
\item Řekneme, že singularita je {\bf $p$-tého řádu} (pól p-tého stupně), jestliže $a_n=0$
pro $n<-p$.
\item Řekneme, že singularita je {\bf podstatná}, jestliže pro
nekonečně mnoho $a_n$, $n<0$ platí, že $a_n\not=0$.
\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{define}
Buď $z_0$ singulární bod funkce $f$ a
\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n\]
její Laurentova řada. Pak číslo $a_{-1}=\rez_{z_0}f$ nazýváme {\bf
reziduum funkce v~bodě $z_0$}.
\end{define}
 
\begin{theorem}[reziduová]
Nechť $f$ je holomorfní na otevřené množině $G\sm M$, $M\subset G$ je
množina jejích singulárních bodů, nechť $\phi$ je po částech hladká
Jordanova dráha, $\intd\phi\subset G$. Pak
\[\int_\phi f(z)\,\d z=\sum_{a\in M\cap\intd\phi}
2\pi\im\,\rez_a f\,\ind_\phi a.\]
\begin{proof}
Vezmu $a\in M\cap\intd\phi$ a udělám rozvoj
$f(z)=H_a(z)+R_a(z)$. Vytvořím
\[f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\]
a to je holomorfní funkce, z~Cauchyho pak vyplývá, že
\[\int_\phi\left(f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\right)=0.\]\\
Druhá možnost (bez záruky): Předpokládám, že v~$\intd\phi$ leží pouze jeden singulární bod, potom z~Laurentovy věty je
\[a_{-1}=\frac{1}{2\pi \im}\int_{\phi}f(\xi) \d \xi\,. \]
Pro jeden singulární bod tedy věta platí, na další body to mohu natáhnout indukcí. Vždy sestrojím v~$G\sm M$ Jordanovu dráhu $\phi_n \dot{+} \psi$, která obsahuje $n$ singulárních bodů a neobsahuje $n+1$. bod. Kolem tohoto bodu mohu sestrojit dráhu $\phi_{n+1}\dot{-}\psi$, $\psi$ je společná část dráhy. Celkem potom dostanu
\[\int_\phi = \int_{\phi_n \dot{+} \phi_{n+1}}=\int_{\phi_n \dot{+} \psi}+\int_{\phi_{n+1} \dot{-} \psi}=\sum_{k=1}^{n}2\pi\im\,\rez_{a_k} f\,\ind_\phi a_k + 2\pi\im\,\rez_{a_{n+1}} f\,\ind_\phi a_{n+1}  \,. \]\\
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
 Výpočet rezidua ($a_{-1})$ v bodě $z_0$, kde je singularita p-tého řádu (chová se to podobně jako $1/(z-z_0)^p$)\\
 \[    f(z) = \sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n \]
 \[    f(z)(z-z_0)^p = \sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-z_0)^{n+p} \]
 
  \[   \frac{\d^{p-1}}{\d z^{p-1}}\left( f(z)(z-z_0)^p \right)= (p-1)!\sum_{n=-1}^{+\infty}a_n(z-z_0)^{n+1} \]
  \[  a_{-1} =  \lim_{z\to z_0}\frac{1}{(p-1)!}\frac{\d^{p-1}}{\d z^{p-1}}\left( f(z)(z-z_0)^p \right)\]
  Limitu jde dobře vypočítat pomocí l'Hospitalova pravidla. 
 
\end{remark}
\newpage