Verze z 1. 8. 2010, 11:06
Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Laurentovy řady}
\begin{define}
Buď $a_n\in\C$ pro $n\in\Z$. Potom řadu
\[\sum_{-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n\]
nazveme {\bf Laurentovou řadou} a {\bf součet Laurentovy} [Loránovy] {\bf řady} je
\[\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n+
\sum_{n=1}^{+\infty}a_{-n}(z-z_0)^{-n}.\]
\end{define}
\begin{remark}
Konvergence na mezikruží $B(z_0,r,R)$: $\abs{z-z_0}<R$ a
$\abs{z-z_0}>r$.
\end{remark}
\begin{theorem}[Laurent]
Nechť funkce $f$ je holomorfní na mezikruží
\[P(z_0,r,R)=\{z\in\C|r<\abs{z-z_0}<R\}.\]
Pak pro každé $z\in P$ platí
\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n,\]
kde
\[a_n=\frac{\ind_\vartheta z_0}{2\pi\im}
\int_\vartheta\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi,\quad
[\vartheta]\subset P,\ z_0\in\intd\vartheta.\]
\begin{figure}[h]
\center
\includegraphics{01MAA4_lauren.pdf}
\caption{K důkazu Laurentovy věty}
\end{figure}
\begin{proof}
Buď $z\in P$, $r<r_1\le\abs{z-z_0}<r_2<R$,
\[
\begin{split}
f(z)&=\frac{1}{2\pi\im}\int_{\varphi_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi+
\frac{1}{2\pi\im}\int_{\varphi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi=
\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi-
\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi=\\
&=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_2}
\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\right)(z-z_0)^n+
\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_1}
\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}\right)(z-z_0)^{-n}
\end{split}
\]
Využilo se toho, že
\[
\begin{split}
-\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi&=
\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{z-\xi}\,\d\xi=
\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{z-z_0}
\frac{\d\xi}{1-\frac{\xi-z_0}{z-z_0}}=
\int_{\psi_1}\sum_{n=0}^\infty
\frac{f(\xi)}{z-z_0}\left(\frac{\xi-z_0}{z-z_0}\right)^n\d\xi=\\
&=\sum_{n=1}^\infty\int_{\psi_1}
\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}(z-z_0)^{-n}\,\d\xi
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
$P(z_0,R)$ bude značit $P(z_0,0,R)$.
\end{define}
\begin{define}
Bod $z_0$ se nazývá {\bf singulárním bodem funkce $f$}, jestliže $f$
je holomorfní na $P(z_0,R)$ a v~$z_0$ není.
\end{define}
\begin{define}
Buď $z_0$ singulární bod funkce $f$.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Řekneme, že singularita je {\bf odstranitelná}, jestliže v~její
Laurentově řadě se středem $z_0$ je $a_n=0$ pro $n<0$.
\item Řekneme, že singularita je {\bf $p$-tého řádu} (pól p-tého stupně), jestliže $a_n=0$
pro $n<-p$.
\item Řekneme, že singularita je {\bf podstatná}, jestliže pro
nekonečně mnoho $a_n$, $n<0$ platí, že $a_n\not=0$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{define}
Buď $z_0$ singulární bod funkce $f$ a
\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n\]
její Laurentova řada. Pak číslo $a_{-1}=\rez_{z_0}f$ nazýváme {\bf
reziduum funkce v~bodě $z_0$}.
\end{define}
\begin{theorem}[reziduová]
Nechť $f$ je holomorfní na otevřené množině $G\sm M$, $M\subset G$ je
množina jejích singulárních bodů, nechť $\phi$ je po částech hladká
Jordanova dráha, $\intd\phi\subset G$. Pak
\[\int_\phi f(z)\,\d z=\sum_{a\in M\cap\intd\phi}
2\pi\im\,\rez_a f\,\ind_\phi a.\]
\begin{proof}
Vezmu $a\in M\cap\intd\phi$ a udělám rozvoj
$f(z)=H_a(z)+R_a(z)$. Vytvořím
\[f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\]
a to je holomorfní funkce, z~Cauchyho pak vyplývá, že
\[\int_\phi\left(f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\right)=0.\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Výpočet rezidua ($a_{-1})$ v bodě $z_0$, kde je singularita p-tého řádu (chová se to podobně jako $1/(z-z_0)^p$)\\
\[ f(z) = \sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n \]
\[ f(z)(z-z_0)^p = \sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-z_0)^{n+p} \]
\[ \frac{\d^{p-1}}{\d z^{p-1}}\left( f(z)(z-z_0)^p \right)= (p-1)!\sum_{n=-1}^{+\infty}a_n(z-z_0)^{n+1} \]
\[ a_{-1} = \lim_{z\to z_0}\frac{1}{(p-1)!}\frac{\d^{p-1}}{\d z^{p-1}}\left( f(z)(z-z_0)^p \right)\]
Limitu jde dobře vypočítat pomocí l'Hospitalova pravidla.
\end{remark}
\newpage