01MAA4:Kapitola37: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Drobná úprava.) |
m (Integrál po uzavřené dráze - s kolečkem.) |
||
Řádka 15: | Řádka 15: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
Buď $f:\R\mapsto\C$. Pak | Buď $f:\R\mapsto\C$. Pak | ||
− | \[\int_a^b f(t)\,\d t=\int_a^b\Re f(t)\,\d t+\im\int_a^b\Im f(t)\,\d t.\] | + | \[\int_a^b f(t)\,\d t=\int_a^b\Re{f(t)}\,\d t+\im\int_a^b\Im{f(t)}\,\d t.\] |
\end{define} | \end{define} | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Buď $\phi$ po částech hladká dráha, $f:\C\mapsto\C$ spojitá na $ | + | Buď $\phi$ po částech hladká dráha, $f:\C\mapsto\C$ spojitá na $\la\phi\ra$. |
\[\int_\phi f=\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t, | \[\int_\phi f=\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t, | ||
\text{ kde }\left[ a,b\right] =\df\phi.\] | \text{ kde }\left[ a,b\right] =\df\phi.\] | ||
Řádka 25: | Řádka 25: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | Existuje-li k~$f$ primitivní funkce $F$ na $ | + | Existuje-li k~$f$ primitivní funkce $F$ na $\la\phi\ra$, tj.~$\forall z \in \la\phi\ra$ platí $f(z)=F'(z)$, pak |
\[\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t= | \[\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t= | ||
\int_a^b(F\circ\phi)'(t)\,\d t=F(\phi(b))-F(\phi(a)).\] | \int_a^b(F\circ\phi)'(t)\,\d t=F(\phi(b))-F(\phi(a)).\] | ||
Řádka 38: | Řádka 38: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
Buď $\phi$ po částech hladká, uzavřená dráha, nechť | Buď $\phi$ po částech hladká, uzavřená dráha, nechť | ||
− | $z_0\not\in | + | $z_0\not\in\la\phi\ra$. Definujeme {\bf index bodu $z_0$ vzhledem k~$\phi$}: |
\[\ind_\phi z_0=\frac{1}{2\pi\im}\int_\phi\frac{\d z}{z-z_0}\] | \[\ind_\phi z_0=\frac{1}{2\pi\im}\int_\phi\frac{\d z}{z-z_0}\] | ||
\end{define} | \end{define} | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | $\intd\phi=\{z \in \C\sm | + | $\intd\phi=\{z \in \C\sm\la\phi\ra\,|\ind_\phi z\not=0\}$, |
− | $\extd\phi=\{z \in \C\sm | + | $\extd\phi=\{z \in \C\sm\la\phi\ra\,|\ind_\phi z=0\}$. |
\end{remark} | \end{remark} | ||
\begin{theorem}[Cauchyho integrální] | \begin{theorem}[Cauchyho integrální] | ||
Buď $\phi$ po částech hladká Jordanova dráha a $f$ funkce holomorfní | Buď $\phi$ po částech hladká Jordanova dráha a $f$ funkce holomorfní | ||
− | na $\intd\phi\cup | + | na $\intd\phi\cup\la\phi\ra$. Pak |
− | \[\ | + | \[\oint_\phi f=0.\] |
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Předpokládejme $f\in\c{1}$ --- později vyplyne, že to splňuje každá holomorfní funkce. S užitím Greenovy věty získáme: | Předpokládejme $f\in\c{1}$ --- později vyplyne, že to splňuje každá holomorfní funkce. S užitím Greenovy věty získáme: | ||
\[ | \[ | ||
\begin{split} | \begin{split} | ||
− | \ | + | \oint_\phi f(z)&=\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t= |
\int_a^b(f_1\phi_1'-f_2\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_1\phi_2'+f_2\phi_1')\d t=\\ | \int_a^b(f_1\phi_1'-f_2\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_1\phi_2'+f_2\phi_1')\d t=\\ | ||
&=\int_a^b(f_1,-f_2)(\phi_1',\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_2,f_1)(\phi_1',\phi_2')\d t= | &=\int_a^b(f_1,-f_2)(\phi_1',\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_2,f_1)(\phi_1',\phi_2')\d t= | ||
Řádka 74: | Řádka 74: | ||
$\extd\phi_1\cap\intd\phi_2\subset\df f$. Buď dále $f$ holomorfní na | $\extd\phi_1\cap\intd\phi_2\subset\df f$. Buď dále $f$ holomorfní na | ||
$\uz{\intd\phi_2}\sm\intd\phi_1\in G$. Pak | $\uz{\intd\phi_2}\sm\intd\phi_1\in G$. Pak | ||
− | \[\ | + | \[\oint_{\phi_2}f=\oint_{\phi_1}f.\] |
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Dráhy $\phi_1$ a $\phi_2$ se spojí pomocí drah $\psi_1$, $\psi_2$ mezi nimi. | Dráhy $\phi_1$ a $\phi_2$ se spojí pomocí drah $\psi_1$, $\psi_2$ mezi nimi. | ||
Řádka 86: | Řádka 86: | ||
Integrál přes obě je podle Cauchyho integrální věty nulový. | Integrál přes obě je podle Cauchyho integrální věty nulový. | ||
$\psi_1$,~$\psi_2$ se projdou tam a zpět, takže se odečtou, $\phi_1$ byla integrována proti směru, proto vyjde záporně. | $\psi_1$,~$\psi_2$ se projdou tam a zpět, takže se odečtou, $\phi_1$ byla integrována proti směru, proto vyjde záporně. | ||
− | \[\ | + | \[\oint_{\phi_2}f-\oint_{\phi_1}f = 0\] |
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 100: | Řádka 100: | ||
$z\in\intd\phi$ platí | $z\in\intd\phi$ platí | ||
\[f(z)=\frac{\ind_\phi | \[f(z)=\frac{\ind_\phi | ||
− | z}{2\pi\im}\ | + | z}{2\pi\im}\oint_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi.\] |
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
$\psi(t)=z+re^{\im t}$, $[\psi]\in \intd\phi$ | $\psi(t)=z+re^{\im t}$, $[\psi]\in \intd\phi$ | ||
Řádka 117: | Řádka 117: | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
\item | \item | ||
− | \[\ | + | \[\oint_\phi=0,\quad \im,-\im\in\extd\phi\] |
\item | \item | ||
− | \[\ | + | \[\oint_\phi=\frac{1}{2\im}\oint_\phi\left(\frac{\sin z}{z-\im}- |
− | \frac{\sin z}{z+\im}\right)=\pi\sin\im,\ -\im\not\in | + | \frac{\sin z}{z+\im}\right)=\pi\sin\im,\ -\im\not\in\la\phi\ra\] |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{example} | \end{example} | ||
Řádka 130: | Řádka 130: | ||
kde | kde | ||
\[a_n=\frac{\ind_\phi z_0}{2\pi\im} | \[a_n=\frac{\ind_\phi z_0}{2\pi\im} | ||
− | \ | + | \oint_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi,\quad |
− | + | \la\phi\ra\in B,\ z_0\in\intd\phi.\] | |
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Buď $z\in B(z_0,R)$, | Buď $z\in B(z_0,R)$, | ||
Řádka 158: | Řádka 158: | ||
Za splnění předpokladů předchozí věty platí: | Za splnění předpokladů předchozí věty platí: | ||
\[f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi\im}\ind_\phi(z_0) | \[f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi\im}\ind_\phi(z_0) | ||
− | \ | + | \oint_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi.\] |
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Verze z 29. 1. 2014, 12:02
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Holomorfní funkce} \begin{define} Funkce $f:\C\mapsto\C$ se nazývá {\bf holomorfní v~bodě}, když je diferencovatelná na jeho okolí. Funkce se nazývá {\bf holomorfní na množině} $G$, jestliže je holomorfní v~každém jejím bodě. \end{define} \begin{remark} Funkce $\sin$, $\cos$, $e$ jsou holomorfní na $\C$. Mocninné řady jsou holomorfní uvnitř kruhu konvergence. \end{remark} \begin{define} Buď $f:\R\mapsto\C$. Pak \[\int_a^b f(t)\,\d t=\int_a^b\Re{f(t)}\,\d t+\im\int_a^b\Im{f(t)}\,\d t.\] \end{define} \begin{define} Buď $\phi$ po částech hladká dráha, $f:\C\mapsto\C$ spojitá na $\la\phi\ra$. \[\int_\phi f=\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t, \text{ kde }\left[ a,b\right] =\df\phi.\] \end{define} \begin{remark} Existuje-li k~$f$ primitivní funkce $F$ na $\la\phi\ra$, tj.~$\forall z \in \la\phi\ra$ platí $f(z)=F'(z)$, pak \[\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t= \int_a^b(F\circ\phi)'(t)\,\d t=F(\phi(b))-F(\phi(a)).\] \end{remark} \begin{example} \[\int_\phi\frac{\d z}{z-z_0}= \int_{-\pi}^\pi\frac{\im}{re^{\im t}}re^{\im t}\,\d t=2\pi\im\] $\phi=re^{\im t}+z_0$, $t\in\left[ -\pi,\pi\right] $. \end{example} \begin{define} Buď $\phi$ po částech hladká, uzavřená dráha, nechť $z_0\not\in\la\phi\ra$. Definujeme {\bf index bodu $z_0$ vzhledem k~$\phi$}: \[\ind_\phi z_0=\frac{1}{2\pi\im}\int_\phi\frac{\d z}{z-z_0}\] \end{define} \begin{remark} $\intd\phi=\{z \in \C\sm\la\phi\ra\,|\ind_\phi z\not=0\}$, $\extd\phi=\{z \in \C\sm\la\phi\ra\,|\ind_\phi z=0\}$. \end{remark} \begin{theorem}[Cauchyho integrální] Buď $\phi$ po částech hladká Jordanova dráha a $f$ funkce holomorfní na $\intd\phi\cup\la\phi\ra$. Pak \[\oint_\phi f=0.\] \begin{proof} Předpokládejme $f\in\c{1}$ --- později vyplyne, že to splňuje každá holomorfní funkce. S užitím Greenovy věty získáme: \[ \begin{split} \oint_\phi f(z)&=\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t= \int_a^b(f_1\phi_1'-f_2\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_1\phi_2'+f_2\phi_1')\d t=\\ &=\int_a^b(f_1,-f_2)(\phi_1',\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_2,f_1)(\phi_1',\phi_2')\d t= \int_\phi\overrightarrow{(f_1,-f_2)}\cdot\d\vec r+ \im\int_\phi\overrightarrow{(f_2,f_1)}\cdot\d\vec r=\\ &=\iint_{\intd\phi}\underbrace{\left(-\frac{\pd f_1}{\pd y}- \frac{\pd f_2}{\pd x}\right)\d x\d y}_{0}+ \im\iint_{\intd\phi}\underbrace{\left(-\frac{\pd f_2}{\pd y}+ \frac{\pd f_1}{\pd x}\right)\d x\d y}_{0}=0. \end{split} \] \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[princip deformace dráhy] Buďte $\phi_1$, $\phi_2$ stejně orientované po částech hladké Jordanovy dráhy. Buď $[\phi_1]\subset\intd\phi_2$, $\extd\phi_1\cap\intd\phi_2\subset\df f$. Buď dále $f$ holomorfní na $\uz{\intd\phi_2}\sm\intd\phi_1\in G$. Pak \[\oint_{\phi_2}f=\oint_{\phi_1}f.\] \begin{proof} Dráhy $\phi_1$ a $\phi_2$ se spojí pomocí drah $\psi_1$, $\psi_2$ mezi nimi. \begin{figure} \includegraphics{01MAA4_draha.pdf} \caption{Princip deformace dráhy} \end{figure} Napřed se udělá integrál přes levou část (viz obrázek), potom přes pravou. Integrál přes obě je podle Cauchyho integrální věty nulový. $\psi_1$,~$\psi_2$ se projdou tam a zpět, takže se odečtou, $\phi_1$ byla integrována proti směru, proto vyjde záporně. \[\oint_{\phi_2}f-\oint_{\phi_1}f = 0\] \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Buď $\phi$ uzavřená Jordanova dráha, nechť $z_0\in\intd\phi$. Říkáme, že dráha $\phi$ je {\bf orientována kladně}, právě když $\ind_\phi z_0>0$. (proti směru hodinových ručiček) \end{define} \begin{theorem}[Cauchyho integrální vzorec] buď $\varphi$ po částech hladká Jordanova dráha a nechť $f$ je holomorfní na $\intd \phi$ a spojitá na $\uz{\intd \phi}$ Pak pro každé $z\in\intd\phi$ platí \[f(z)=\frac{\ind_\phi z}{2\pi\im}\oint_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi.\] \begin{proof} $\psi(t)=z+re^{\im t}$, $[\psi]\in \intd\phi$ \[\int_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z}=\ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(\xi)}{\xi-z}= \ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}\,\d\xi+ \ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(z)}{\xi-z}\,\d\xi= f(z)\cdot2\pi\im\cdot\ind_\phi(z).\] \[\lim_{\xi\to z}\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}=f'(z).\] \[\abs{\int_\psi\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}}\le M2\pi r.\] \end{proof} \end{theorem} \begin{example} \[\int_\phi\frac{\sin z}{z^2+1}\,\d z\] \begin{enumerate} \item \[\oint_\phi=0,\quad \im,-\im\in\extd\phi\] \item \[\oint_\phi=\frac{1}{2\im}\oint_\phi\left(\frac{\sin z}{z-\im}- \frac{\sin z}{z+\im}\right)=\pi\sin\im,\ -\im\not\in\la\phi\ra\] \end{enumerate} \end{example} \begin{theorem} Buď funkce $f$ holomorfní na kruhu $B(z_0,R)$. Pak pro každé $z\in B$ platí \[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n,\] kde \[a_n=\frac{\ind_\phi z_0}{2\pi\im} \oint_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi,\quad \la\phi\ra\in B,\ z_0\in\intd\phi.\] \begin{proof} Buď $z\in B(z_0,R)$, \[ \begin{split} f(z)&=\frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi= \frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\frac{f(\xi)}{\xi-z_0} \frac{1}{1-\frac{z-z_0}{\xi-z_0}}\,\d\xi= \frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\sum_{n=0}^\infty\frac{f(\xi)}{\xi-z_0} \left(\frac{z-z_0}{\xi-z_0}\right)^n\,\d\xi=\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left( \frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi \right)(z-z_0)^n. \end{split} \] % Platí, že % \[ % \abs{\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}\frac{(z-z_0)^n}{(\xi-z_0)^n}}\le %to neplatí % \frac{M}{r^{n+1}}\abs{z-z_0}^n, % \] Ještě se musí ověřit korektnost záměny sumy a integrálu. To lze provést pomocí Weierstrasse. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Za splnění předpokladů předchozí věty platí: \[f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi\im}\ind_\phi(z_0) \oint_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi.\] \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item $n$-tou derivaci holomorfní funkce lze tedy vyjádřit jako křivkový integrál. \item Určení poloměru konvergence: vzdálenost středu od bodu, ve kterém funkce není holomorfní. \item Holomorfní funkce na $B(z_0,R)$ je dokonce třídy $\c\infty$ na $B(z_0,R)$ \end{enumerate} \end{remark}