Verze z 8. 9. 2015, 00:51

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Holomorfní funkce}
 
\begin{define}
Funkci $f:\C\to\C$ nazveme {\bf holomorfní v~bodě $x$}, když je
diferencovatelná na jeho okolí. Funkce se nazývá {\bf holomorfní na
množině} $M$, jestliže je holomorfní v~každém jejím bodě.
\end{define}
 
\begin{remark}
Funkce $\sin$, $\cos$, $\exp$ jsou holomorfní na $\C$. Mocninné řady jsou
holomorfní uvnitř kruhu konvergence.
\end{remark}
 
V základních výsledcích komplexní analýzy figurují křivkové integrály komplexních funkcí komplexní proměnné. Než budeme pokračovat, musíme tyto integrály definovat. Nejprve se naučíme integrovat reálnou funkci, která zobrazuje do $\C$.
 
\begin{define}
Buď $f:\R\to\C$. Pak definujeme 
\[\int_a^b f(t)\,\d t=\int_a^b\Re{f(t)}\,\d t+\im\int_a^b\Im{f(t)}\,\d t.\]
\end{define}
 
Nyní už můžeme definovat křivkový integrál.
 
\begin{define}
Buď $\phi$ po částech hladká dráha, $f:\C\to\C$ funkce spojitá na $\la\phi\ra$. Pak klademe
\[
\int_\phi f=\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t, \text{ kde }\left[ a,b\right] =\df\phi.
\]
\end{define}
 
\begin{remark}
Existuje-li k~$f$ primitivní funkce $F$ na $\la\phi\ra$, tj.~$\forall z \in \la\phi\ra$ platí $f(z)=F'(z)$, pak
\[\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t=
\int_a^b(F\circ\phi)'(t)\,\d t=F(\phi(b))-F(\phi(a)).\]
\end{remark}
 
\begin{example}
\[\int_\phi\frac{\d z}{z-z_0}=
\int_{-\pi}^\pi\frac{\im}{re^{\im t}}re^{\im t}\,\d t=2\pi\im\]
$\phi=re^{\im t}+z_0$, $t\in\left[ -\pi,\pi\right] $.
\end{example}
 
\begin{define}
Buď $\phi$ po částech hladká uzavřená dráha, nechť
$z_0\not\in\la\phi\ra$. {\bf Index bodu $z_0$ vzhledem k~$\phi$} definujeme vztahem
\[
\ind_\phi z_0=\frac{1}{2\pi\im}\int_\phi\frac{\d z}{z-z_0}.
\]
\end{define}
 
\begin{remark}
$\intd\phi=\{z \in \C\sm\la\phi\ra\,|\ind_\phi z\not=0\}$,
$\extd\phi=\{z \in \C\sm\la\phi\ra\,|\ind_\phi z=0\}$.
\end{remark}
\begin{remark}
Index je tedy definován pro každý bod, který neleží na křivce $\phi$. Nevinně vyhlížející
integrál nás však překvapí svými vlastnostmi: Jeho hodnota je vždy celé číslo! Jeho
význam je velmi geometrický. Udává kolikrát křivka $\phi$ oběhla bod $z_0$ v kladném smyslu.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Cauchyho integrální]
Buď $\phi$ po částech hladká Jordanova dráha a $f$ funkce holomorfní
na $\intd\phi$ a spojitá na $\uz{\intd\phi}$. Pak
\[\oint_\phi f=0.\]
\begin{proof}
Důkaz provedeme pouze za silnějšího předpokladu $f\in\c{1}$. Později sice ukážeme, že tento předpoklad splňuje každá holomorfní funkce (ba co víc, každá holomorfní funkce je dokonce třídy $\c{\infty}$), ale v důkazu použijeme právě Cauchyho integrální větu, takže provedeme důkaz kruhem. Dokázat Cauchyho větu v plném znění dá mnohem víc práce a pan tajemník přiznává, že na to nemá čas.
 
Předpokládáme-li tedy $f\in\c{1}$, pak s užitím Greenovy věty získáme:
\[
\begin{split}
\oint_\phi f(z)&=\int_a^b f(\phi(t))\phi'(t)\,\d t=
\int_a^b(f_1\phi_1'-f_2\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_1\phi_2'+f_2\phi_1')\d t=\\
&=\int_a^b(f_1,-f_2)(\phi_1',\phi_2')\d t+\im\int_a^b(f_2,f_1)(\phi_1',\phi_2')\d t=
\int_\phi\overrightarrow{(f_1,-f_2)}\cdot\d\vec r+
\im\int_\phi\overrightarrow{(f_2,f_1)}\cdot\d\vec r=\\
&=\iint_{\intd\phi}\underbrace{\left(-\frac{\pd f_1}{\pd y}-
\frac{\pd f_2}{\pd x}\right)\d x\d y}_{0}+
\im\iint_{\intd\phi}\underbrace{\left(-\frac{\pd f_2}{\pd y}+
\frac{\pd f_1}{\pd x}\right)\d x\d y}_{0}=0.
\end{split}
\]
\qedhere
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[princip deformace dráhy]
Buďte $\phi_1$, $\phi_2$ stejně orientované po částech hladké
Jordanovy dráhy. Nechť $[\phi_1]\subset\intd\phi_2$.
Buď dále $f$ holomorfní na $\intd\phi_2 \sm \uz{\intd\phi_1}$ a spojitá na $\uz{\intd\phi_2}\sm\intd\phi_1\in G$. Pak
\[\oint_{\phi_2}f=\oint_{\phi_1}f.\]
\begin{proof}
 Dráhy $\phi_1$ a $\phi_2$ se spojí pomocí drah $\psi_1$, $\psi_2$ mezi nimi.
 
 \begin{figure}
\includegraphics{01MAA4_draha.pdf}
\caption{Princip deformace dráhy}
\end{figure}
 
Napřed se udělá integrál přes levou část (viz obrázek), potom přes pravou. 
Integrál přes obě je podle Cauchyho integrální věty nulový. Křivky $\psi_1$,~$\psi_2$ se projdou tam a zpět, takže se jejich příspěvky odečtou, $\phi_1$ byla integrována proti směru, proto vyjde záporně.
\[\oint_{\phi_2}f-\oint_{\phi_1}f = 0\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
Buď $\phi$ uzavřená Jordanova dráha, nechť $z_0\in\intd\phi$.  Říkáme,
že dráha $\phi$ je {\bf orientována kladně}, právě když 
$\ind_\phi z_0>0$. (proti směru hodinových ručiček)
\end{define}
 
\begin{theorem}[Cauchyho integrální vzorec]
Buď $\varphi$ po částech hladká Jordanova dráha a nechť $f$ je holomorfní na $\intd \phi$ a spojitá na $\uz{\intd \phi}$. Pak pro každé
$z\in\intd\phi$ platí
\[f(z)=\frac{\ind_\phi
z}{2\pi\im}\oint_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi.\]
\begin{proof}
$\psi(t)=z+re^{\im t}$, $[\psi]\in \intd\phi$
\[\int_\phi\frac{f(\xi)}{\xi-z}=\ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(\xi)}{\xi-z}=
\ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}\,\d\xi+
\ind_\phi (z)\int_\psi\frac{f(z)}{\xi-z}\,\d\xi=
f(z)\cdot2\pi\im\cdot\ind_\phi(z).\]
 
\[\lim_{\xi\to z}\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}=f'(z).\]
\[\abs{\int_\psi\frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}}\le M2\pi r.\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{example}
\[\int_\phi\frac{\sin z}{z^2+1}\,\d z\]
\begin{enumerate}
 \item 
\[\oint_\phi=0,\quad \im,-\im\in\extd\phi\]
\item
\[\oint_\phi=\frac{1}{2\im}\oint_\phi\left(\frac{\sin z}{z-\im}-
\frac{\sin z}{z+\im}\right)=\pi\sin\im,\ -\im\not\in\la\phi\ra\]
\end{enumerate}
\end{example}
 
\begin{theorem}
Buď funkce $f$ holomorfní na kruhu $B(z_0,R)$. Pak pro každé $z\in B$
platí
\[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n,\]
kde
\[a_n=\frac{\ind_\phi z_0}{2\pi\im}
\oint_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi\]
pro libovolnou Jorndanovu dráhu $\phi$ takovou, že $\la\phi\ra\in B$ a $z_0\in\intd\phi$.
\begin{proof}
Buď $z\in B(z_0,R)$,
\[
\begin{split}
f(z)&=\frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi=
\frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}
\frac{1}{1-\frac{z-z_0}{\xi-z_0}}\,\d\xi=
\frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\sum_{n=0}^\infty\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}
\left(\frac{z-z_0}{\xi-z_0}\right)^n\,\d\xi=\\
&=\sum_{n=0}^\infty\left(
\frac{1}{2\pi\im}\int_\psi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi
\right)(z-z_0)^n.
\end{split}
\]
% Platí, že
% \[
% \abs{\frac{f(\xi)}{\xi-z_0}\frac{(z-z_0)^n}{(\xi-z_0)^n}}\le		%to neplatí
% \frac{M}{r^{n+1}}\abs{z-z_0}^n,
% \]
Ještě se musí ověřit korektnost záměny sumy a integrálu. To lze provést pomocí Weierstrassovy věty.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Za splnění předpokladů předchozí věty platí:
\[f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi\im}\ind_\phi(z_0)
\oint_\phi\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi.\]
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $n$-tou derivaci holomorfní funkce lze tedy vyjádřit jako křivkový integrál.
 \item Určení poloměru konvergence: vzdálenost středu od nejbližšího bodu, ve kterém
funkce není holomorfní.
\item Holomorfní funkce na $B(z_0,R)$ je dokonce třídy $\c\infty$ na $B(z_0,R)$
\end{enumerate}
 
 
\end{remark}