01MAA4:Kapitola36

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 10:06, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01MAA4} \section{Elementární funkce} Studujeme funkce $\C\mapsto\C$. $\C$ je normovaný prostor homeomorfní s~$\R^2$ a z~hlediska topologie nerozeznatel...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Elementární funkce}
 
Studujeme funkce $\C\mapsto\C$. $\C$ je normovaný prostor homeomorfní
s~$\R^2$ a z~hlediska topologie nerozeznatelný. Nevyužívali jsme však
toho, že $\C$ je těleso.
 
Jednoznačný vztah mezi $\C\mapsto\C$ a $\R^2\mapsto\C$:
$f(z)=f(x+iy)=f(x,y)$.
 
\begin{define}
Buď $f:\C\mapsto\C$, $z_0\in\vn{(\df f)}$. Pak existuje-li limita
\[\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},\]
říkáme, že funkce $f$ má v~$z_0$ derivaci.
\end{define}
 
\begin{remark}
\[
\begin{split}
\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\alpha&\iff
\lim_{h\to 0}=\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}
\frac{\abs{h}}{h}=0\iff\\
&\iff\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}=0,
\end{split}
\]
to je dále ekvivalentní s~nulovostí dvou reálných limit
\[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_1(z_0+h)-f_1(z_0)-
\alpha_1h_1+\alpha_2h_2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\]
a
\[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_2(z_0+h)-f_2(z_0)-
\alpha_1h_2-\alpha_2h_1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\]
a dále pro $h_1=0$, případně $h_2=0$ s~{\bf Cauchyho-Riemannovými podmínkami}:
\[\exists f_1'(x_0,y_0)\wedge\exists f_2'(x_0,y_0)\wedge
\alpha_1=\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y}\wedge
\alpha_2=\frac{\pd f_2}{\pd x}=-\frac{\pd f_1}{\pd y}\]
\end{remark}
 
\begin{example}
$f(z)=\overline{z}$ už nemá derivaci.
\end{example}
 
\begin{theorem}
Nechť $f,g$ mají derivaci v~$z_0$. Pak
\begin{enumerate}[(i)]
\item $(f+cg)'(z_0)=f'(z_0)+cg'(z_0)$,
\item $(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$.
\item Jestliže $g'(z_0)\not=0$, pak
\[\left(\frac1g\right)'(z_0)=-\frac{1}{g^2(z_0)}g'(z_0).\]
\end{enumerate}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Nechť $\exists f'(g(z_0))$, $\exists g'(z_0)$. Pak
$(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$.
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\[e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}\]
\[e^{\im z}=\cos z+\im\sin z\]
\[\sin z=\frac{e^{\im z}-e^{-\im z}}{2\im},\quad
\cos z=\frac{e^{\im z}+e^{-\im z}}{2}\]
Platí, že $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$:
\[\sum_{n=0}^\infty\frac{z_1^n}{n!}\sum_{n=0}^\infty\frac{z_2^n}{n!}=
\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\sum_{n=0}^\infty n!
\frac{z_1^k z_2^{n-k}}{k!(n-k)!}=
\sum_{n=0}^\infty\frac{(z_1+z_2)^n}{n!}\]
\[
\sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1},\quad
\cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}
\]
\[\sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2\]
\[\cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2\]
\[
\sin(z+2k\pi)=\sin z,\quad
\cos(z+2k\pi)=\cos z,\quad
\sin\left(\frac{\pi}2-z\right)=\cos z
\]
\[\cos^2 z+\sin^2 z= \cos z \cos -z -\sin z \sin -z = \cos(z-z)=1\]
ale $\cos^2 z$ a $\sin^2 z$ už nemusí ležet v intervalu $\left<0,1\right>$
\[\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2},\quad\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\]
\[e^{x+\im y}=e^x e^{\im y}=e^x(\cos y+\im\sin y),\quad
\cos z = \cosh\im z,\quad\sin z=-\im\sinh\im z\]
\[\sin(x+\im y)=\sin x\cos\im y+\sin\im y\cos x=
\sin\cosh y+\im\sinh y\cos x\]
\[\cos(x+\im y)=\cos x\cosh y-\im\sin x\sinh y\]
Nulové body:
\[\sin z=\sin(x+\im y)=0\iff
\sin x\cosh y=0\wedge\sin y\cos x=0\iff
x=k\pi\iff y=0.\]
Derivace:
\[\left(e^z\right)'=e^z,\quad
(\sin z)'=\cos z,\quad
(\cos z)'=-\sin z\]
Prostota $e^z$:
\[e^{z_1}=e^{z_2}\iff e^{z_1-z_2}=1\]
\[e^x(\cos y+\im\sin y)=1\]
\[e^x\sin y=0\implies y=k\pi\]
\[e^x\cos y=1\implies y=2k\pi\]
$e^z$ není prostá, je prostá na množině
\[E_\alpha=\{z\in\C|\Im z=y\in(\alpha-\pi,\alpha+\pi\ra\}\]
\[z\in\C\sm\{0\},\quad z=\abs{z}(\cos\alpha+\im\sin\alpha)\]
\end{remark}
 
\begin{define}
{\bf Argumentem komplexního čísla} $z$ nazýváme množinu
$\{\alpha\in\R|z=\abs{z}e^{\im\alpha}\}=\Arg z$.
\end{define}
 
\begin{define}
Buď $\vartheta\in\R$. Potom
$\Arg z\cap(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\ra\ni\arg_\vartheta z$ je jednoprvková
množina, tím definujeme funkci pro $z$. Zkráceně $\arg=\arg_0$.
\end{define}
 
\begin{theorem}
$\arg_\vartheta z=\arg(ze^{-\im\vartheta})+\vartheta$.
\end{theorem}
 
\begin{define}
Buď $\vartheta\in\R$, definujeme
$P_\vartheta=\{z|z=te^{\im\vartheta},\ t>0\}$.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $\arg z$ nemá derivaci, není spojitá na $P_\pi$.
\item
\[
\arg z=\begin{cases}
\arccos\frac{x}{\abs z} & y\ge 0\\
-\arccos\frac{x}{\abs z} & y<0.
\end{cases}
\]
\item \[\arg z_1z_2=\arg z_1+\arg z_2+2\pi\epsilon,\]
\[\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2+2\pi\epsilon,\]
\[\arg\frac{1}{z}=-\arg z+2\pi\epsilon,\]
přičemž $\epsilon$ volím $-1$, $0$ nebo $1$ tak, abych zůstal v
základním intervalu.
\item Nechť platí pro funkce $f_1(x,y)$ a $f_2(x,y)$ Cauchy-Riemannovy
podmínky a nechť jsou třídy $\c{2}$.
\[\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y},\quad
\frac{\pd f_1}{\pd y}=-\frac{\pd f_2}{\pd x},\]
zkoumáme
\[\frac{\pd^2 f_1}{\pd x^2}=\frac{\pd^2 f_2}{\pd x\pd y}\]
\[\frac{\pd^2 f_1}{\pd y^2}=-\frac{\pd^2 f_2}{\pd y\pd x}\]
Sečtením dostaneme $\Delta f_1=0$ a analogicky $\Delta f_2=0$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Zavedeme množinu $\Ln z=\{w\in\C|z=e^w\}$, $w=u+\im v$,
$e^w=e^u e^{\im v}$
\[\ln_\vartheta z\in\Ln z\wedge
\Im\Ln_\vartheta z\in(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\ra\]
\[\ln_\vartheta z=\ln\abs{z}+\im\arg_\vartheta z\]
a definujeme {\bf logaritmus komplexního čísla}:
$\ln z=\ln\abs{z}+\im\arg z$.
\item Má logaritmus derivaci ? $\Re\ln z=\ln\sqrt{x^2+y^2}$, $\Im\ln
z=\arg z$.
\[\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'=\frac{x}{x^2+y^2}\d x+
\frac{y}{x^2+y^2}\d y,\]
\[\left(\arg z\right)'=-\frac{y}{x^2+y^2}\d x+
\frac{x}{x^2+y^2}\d y,\]
takže Cauchyho-Riemannovy podmínky platí a derivace existuje. Můžeme
se proto omezit na nějakou konkrétní podmnožinu.
\[(f(z_0))'=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}=
\frac{\pd f_1}{\pd x}(x_0,y_0)+\im\frac{\pd f_2}{\pd x}(x_0,y_0)\]
\[(\ln z)'=\frac{x}{x^2+y^2}-\im\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{\overline
z}{z\overline z}=\frac1z.\]
\item Analogicky s~reálnými funkcemi definujeme
\[\argsinh z=\ln\left(z+\sqrt{1+z^2}\right),\quad
\argcosh z=\ln\left(z+\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}\right),\quad
\argtgh z=\frac12\ln\frac{1+z}{1-z}.\]
$\sqrt{z-1}\sqrt{z+1} = \sqrt{z^2-1}$ obecně pro komplexní odmocninu neplatí. 
%http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root
\[
\arcsin z=-\im\ln\left(\im z+\sqrt{1-z^2}\right),\quad
\arccos z=-\im\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)=-\im\ln\left(z+\im\sqrt{1-z^2}\right),\]
\[\arctg z=\frac{i}{2}\ln\left(\frac{1-\im z}{1+\im z}\right)\]
 
\item Pro $z,\alpha\in\C$
\[z^\alpha=e^{\alpha\ln z},\]
pokud $z\not=0$, tato definice je jednoznačná. Lepší je 
\[
z^\alpha=e^{\alpha\ln z+\alpha\,2k\pi\im} \quad k\in \Z 
\]
exponenciála je periodická s periodou $2\pi \im$.  To má za následek,
 že pro $\Re\alpha \in \N$ a $\Im\alpha = 0$ je $z^\alpha$ definováno jednoznačně. 
Pro  $\Re\alpha \in \Q \Rightarrow \Re\alpha = \frac{p}{q} $ a $\Im\alpha = 0$ je možných $q$ kořenů. 
A pokud je $\Re\alpha$ iracionální a nebo $\Im\alpha \neq 0$, pak je kořenů dokonce nekonečně mnoho. 
Pro $\Im\alpha = 0$ se kořeny nachází na kružnici, pro $\Re\alpha = 0$ na polopřímce 
a pro $\Re\alpha \neq 0 \wedge \Im\alpha \neq 0$ jsou umístěny kořeny na spirále. 
 
Podobný problém nastává i u dalších funkcí, k jejichž definici se použil logaritmus, tedy arcsin, argsinh, $\ldots$ 
%http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_surface
\begin{example}
\[\im^{\im}=e^{\im\left( \frac\pi2\im +2k\pi\im \right)}=e^{-\frac\pi2 - 2k\pi} \quad k\in \Z \]
\[{x}^{\frac{3}{5}} = e^{\frac{3}{5}\ln x}e^{ \frac{3}{5}\,2k\pi\im}\quad k\in  \hat 5 \]
\[{x}^{\sqrt{2}} = e^{\sqrt{2}\ln x}e^{ \sqrt{2}\,2k\pi\im}\quad k\in \Z \].
\end{example}
 
\end{enumerate}
\end{remark}