Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Elementární funkce}
Studujeme funkce $\C\mapsto\C$. $\C$ je normovaný prostor homeomorfní
s~$\R^2$ a z~hlediska topologie nerozeznatelný. Nevyužívali jsme však
toho, že $\C$ je těleso.
Jednoznačný vztah mezi $\C\mapsto\C$ a $\R^2\mapsto\C$:
$f(z)=f(x+iy)=f(x,y)$.
\begin{define}
Buď $f:\C\mapsto\C$, $z_0\in\vn{(\df f)}$. Pak existuje-li limita
\[\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},\]
říkáme, že funkce $f$ má v~$z_0$ derivaci.
\end{define}
\begin{remark}
\[
\begin{split}
\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\alpha&\iff
\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}
\frac{\abs{h}}{h}=0\iff\\
&\iff\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}=0,
\end{split}
\]
to je dále ekvivalentní s~nulovostí dvou reálných limit
\[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_1(z_0+h)-f_1(z_0)-
\alpha_1h_1+\alpha_2h_2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\]
a
\[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_2(z_0+h)-f_2(z_0)-
\alpha_1h_2-\alpha_2h_1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\]
a dále pro $h_1=0$, případně $h_2=0$ s~{\bf Cauchyho-Riemannovými podmínkami}:
\[\exists f_1'(x_0,y_0)\wedge\exists f_2'(x_0,y_0)\wedge
\alpha_1=\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y}\wedge
\alpha_2=\frac{\pd f_2}{\pd x}=-\frac{\pd f_1}{\pd y}\]
\end{remark}
\begin{example}
$f(z)=\overline{z}$ už nemá derivaci.
\end{example}
\begin{theorem}
Nechť $f,g$ mají derivaci v~$z_0$. Pak
\begin{enumerate}[(i)]
\item $(f+cg)'(z_0)=f'(z_0)+cg'(z_0)$,
\item $(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$.
\item Jestliže $g'(z_0)\not=0$, pak
\[\left(\frac1g\right)'(z_0)=-\frac{1}{g^2(z_0)}g'(z_0).\]
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť $\exists f'(g(z_0))$, $\exists g'(z_0)$. Pak
$(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$.
\end{theorem}
\begin{remark}
\[e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}\]
\[e^{\im z}=\cos z+\im\sin z\]
\[\sin z=\frac{e^{\im z}-e^{-\im z}}{2\im},\quad
\cos z=\frac{e^{\im z}+e^{-\im z}}{2}\]
Platí, že $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$:
\[\sum_{n=0}^\infty\frac{z_1^n}{n!}\sum_{n=0}^\infty\frac{z_2^n}{n!}=
\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\sum_{n=0}^\infty n!
\frac{z_1^k z_2^{n-k}}{k!(n-k)!}=
\sum_{n=0}^\infty\frac{(z_1+z_2)^n}{n!}\]
\[
\sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1},\quad
\cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}
\]
\[\sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2\]
\[\cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2\]
\[
\sin(z+2k\pi)=\sin z,\quad
\cos(z+2k\pi)=\cos z,\quad
\sin\left(\frac{\pi}2-z\right)=\cos z
\]
\[\cos^2 z+\sin^2 z= \cos z \cos -z -\sin z \sin -z = \cos(z-z)=1\]
ale $\cos^2 z$ a $\sin^2 z$ už nemusí ležet v intervalu $\left<0,1\right>$
\[\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2},\quad\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\]
\[e^{x+\im y}=e^x e^{\im y}=e^x(\cos y+\im\sin y),\quad
\cos z = \cosh\im z,\quad\sin z=-\im\sinh\im z\]
\[\sin(x+\im y)=\sin x\cos\im y+\sin\im y\cos x=
\sin\cosh y+\im\sinh y\cos x\]
\[\cos(x+\im y)=\cos x\cosh y-\im\sin x\sinh y\]
Nulové body:
\[\sin z=\sin(x+\im y)=0\iff
\sin x\cosh y=0\wedge\sin y\cos x=0\iff
x=k\pi\iff y=0.\]
Derivace:
\[\left(e^z\right)'=e^z,\quad
(\sin z)'=\cos z,\quad
(\cos z)'=-\sin z\]
Prostota $e^z$:
\[e^{z_1}=e^{z_2}\iff e^{z_1-z_2}=1\]
\[e^x(\cos y+\im\sin y)=1\]
\[e^x\sin y=0\implies y=k\pi\]
\[e^x\cos y=1\implies y=2k\pi\]
$e^z$ není prostá, je prostá na množině
\[E_\alpha=\{z\in\C|\Im z=y\in(\alpha-\pi,\alpha+\pi\ra\}\]
\[z\in\C\sm\{0\},\quad z=\abs{z}(\cos\alpha+\im\sin\alpha)\]
\end{remark}
\begin{define}
{\bf Argumentem komplexního čísla} $z$ nazýváme množinu
$\{\alpha\in\R|z=\abs{z}e^{\im\alpha}\}=\Arg z$.
\end{define}
\begin{define}
Buď $\vartheta\in\R$. Potom
$\Arg z\cap(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\ra\ni\arg_\vartheta z$ je jednoprvková
množina, tím definujeme funkci pro $z$. Zkráceně $\arg=\arg_0$.
\end{define}
\begin{theorem}
$\arg_\vartheta z=\arg(ze^{-\im\vartheta})+\vartheta$.
\end{theorem}
\begin{define}
Buď $\vartheta\in\R$, definujeme
$P_\vartheta=\{z|z=te^{\im\vartheta},\ t>0\}$.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $\arg z$ nemá derivaci, není spojitá na $P_\pi$.
\item
\[
\arg z=\begin{cases}
\arccos\frac{x}{\abs z} & y\ge 0\\
-\arccos\frac{x}{\abs z} & y<0.
\end{cases}
\]
\item \[\arg z_1z_2=\arg z_1+\arg z_2+2\pi\epsilon,\]
\[\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2+2\pi\epsilon,\]
\[\arg\frac{1}{z}=-\arg z+2\pi\epsilon,\]
přičemž $\epsilon$ volím $-1$, $0$ nebo $1$ tak, abych zůstal v
základním intervalu.
\item Nechť platí pro funkce $f_1(x,y)$ a $f_2(x,y)$ Cauchy-Riemannovy
podmínky a nechť jsou třídy $\c{2}$.
\[\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y},\quad
\frac{\pd f_1}{\pd y}=-\frac{\pd f_2}{\pd x},\]
zkoumáme
\[\frac{\pd^2 f_1}{\pd x^2}=\frac{\pd^2 f_2}{\pd x\pd y}\]
\[\frac{\pd^2 f_1}{\pd y^2}=-\frac{\pd^2 f_2}{\pd y\pd x}\]
Sečtením dostaneme $\Delta f_1=0$ a analogicky $\Delta f_2=0$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Zavedeme množinu $\Ln z=\{w\in\C|z=e^w\}$, $w=u+\im v$,
$e^w=e^u e^{\im v}$
\[\ln_\vartheta z\in\Ln z\wedge
\Im\Ln_\vartheta z\in(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\ra\]
\[\ln_\vartheta z=\ln\abs{z}+\im\arg_\vartheta z\]
a definujeme {\bf logaritmus komplexního čísla}:
$\ln z=\ln\abs{z}+\im\arg z$.
\item Má logaritmus derivaci ? $\Re\ln z=\ln\sqrt{x^2+y^2}$, $\Im\ln
z=\arg z$.
\[\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'=\frac{x}{x^2+y^2}\d x+
\frac{y}{x^2+y^2}\d y,\]
\[\left(\arg z\right)'=-\frac{y}{x^2+y^2}\d x+
\frac{x}{x^2+y^2}\d y,\]
takže Cauchyho-Riemannovy podmínky platí a derivace existuje. Můžeme
se proto omezit na nějakou konkrétní podmnožinu.
\[(f(z_0))'=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}=
\frac{\pd f_1}{\pd x}(x_0,y_0)+\im\frac{\pd f_2}{\pd x}(x_0,y_0)\]
\[(\ln z)'=\frac{x}{x^2+y^2}-\im\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{\overline
z}{z\overline z}=\frac1z.\]
\item Analogicky s~reálnými funkcemi definujeme
\[\argsinh z=\ln\left(z+\sqrt{1+z^2}\right),\quad
\argcosh z=\ln\left(z+\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}\right),\quad
\argtgh z=\frac12\ln\frac{1+z}{1-z}.\]
$\sqrt{z-1}\sqrt{z+1} = \sqrt{z^2-1}$ obecně pro komplexní odmocninu neplatí.
%http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root
\[
\arcsin z=-\im\ln\left(\im z+\sqrt{1-z^2}\right),\quad
\arccos z=-\im\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)=-\im\ln\left(z+\im\sqrt{1-z^2}\right),\]
\[\arctg z=\frac{i}{2}\ln\left(\frac{1-\im z}{1+\im z}\right)\]
\item Pro $z,\alpha\in\C$
\[z^\alpha=e^{\alpha\ln z},\]
pokud $z\not=0$, tato definice je jednoznačná. Lepší je
\[
z^\alpha=e^{\alpha\ln z+\alpha\,2k\pi\im} \quad k\in \Z
\]
exponenciála je periodická s periodou $2\pi \im$. To má za následek,
že pro $\Re\alpha \in \N$ a $\Im\alpha = 0$ je $z^\alpha$ definováno jednoznačně.
Pro $\Re\alpha \in \Q \Rightarrow \Re\alpha = \frac{p}{q} $ a $\Im\alpha = 0$ je možných $q$ kořenů.
A pokud je $\Re\alpha$ iracionální a nebo $\Im\alpha \neq 0$, pak je kořenů dokonce nekonečně mnoho.
Pro $\Im\alpha = 0$ se kořeny nachází na kružnici, pro $\Re\alpha = 0$ na polopřímce
a pro $\Re\alpha \neq 0 \wedge \Im\alpha \neq 0$ jsou umístěny kořeny na spirále.
Podobný problém nastává i u dalších funkcí, k jejichž definici se použil logaritmus, tedy arcsin, argsinh, $\ldots$
%http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_surface
\begin{example}
\[\im^{\im}=e^{\im\left( \frac\pi2\im +2k\pi\im \right)}=e^{-\frac\pi2 - 2k\pi} \quad k\in \Z \]
\[{x}^{\frac{3}{5}} = e^{\frac{3}{5}\ln x}e^{ \frac{3}{5}\,2k\pi\im}\quad k\in \hat 5 \]
\[{x}^{\sqrt{2}} = e^{\sqrt{2}\ln x}e^{ \sqrt{2}\,2k\pi\im}\quad k\in \Z \].
\end{example}
\end{enumerate}
\end{remark}