01MAA4:Kapitola36: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Odebrání přebytečných informací nad rámec výkladu.) |
(Kompletní revize, oprava chyb, doplnění chybějících tvrzení, důkazů a poznámek) |
||
Řádka 2: | Řádka 2: | ||
\section{Komplexní derivace} | \section{Komplexní derivace} | ||
− | + | Komplexní analýzu se Vrána tradičně snaží stihnout v průběhu tří přednášek, což dost dobře není možné. Proto provádí důkazy hodně zrychleně a některá důležitá tvrzení nedokazuje vůbec. Existují velmi pěkně napsaná skripta Komplexní analýza pro učitele od Jiřího Veselého, která jsou mimo jiné i doporučenou učebníci k přednášce Funkce komplexní proměnné od docenta Pošty. Ke zkoušce by ale mělo stačit naučit se to, co Vrána odpřednášel (někdy toho je méně, než kolik obsahují Wikiskripta, jindy zase více -- podle toho, kolik hodin během semestru odpadne). | |
− | + | ||
− | toho, | + | \vspace{2em} |
− | + | ||
− | + | Definice komplexní funkce komplexní proměnné je formálně úplně stejná jako v $\R$. | |
− | + | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Buď $f | + | Buď $f \colon \C\to\C$, $z_0\in\vn{(\df f)}$. Existuje-li konečná limita |
− | \[\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},\] | + | \[ |
− | říkáme, že funkce $f$ | + | \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}, |
+ | \] | ||
+ | říkáme, že funkce $f$ je v~bodě $z_0$ (komplexně) diferencovatelná a příslušnou limitu značíme $f'(z_0)$. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
+ | |||
+ | Topologicky je normovaný prostor $\C$ totožný s $\R^2$. Na zobrazení $\C\to\C$ se tedy lze dívat i jako na zobrazení $\R^2\to\R^2$. Označme reálnou, resp. imaginární část takového zobrazení jako $f_1$ a $f_2$, tj. pišme $f(z) = f(x+\im y) = f_1(x,y) + \im f_2(x,y)$. Pak se můžeme ptát, jaký je vztah mezi komplexní diferencovatelností funkce $f$ a diferencovatelností reálného zobrazení $\vec{f}=(f_1, f_2)$. Na tuto otázku podává odpověď následující věta. | ||
− | \begin{ | + | \begin{theorem} \label{th:komplexnidiferencovatelnost} |
+ | Funkce $f\colon\C\to\C$ je v bodě\footnote{Dodržujeme úmluvu, že když číslo zapíšeme ve tvaru $x+\im y$, jsou $x$ i $y$ reálná čísla. Pokud tomu tak nebude, budeme se snažit na to upozornit.} $z_0 = x_0+\im y_0$ komplexně diferencovatelná právě tehdy, když je diferencovatelné výše definované zobrazení $\vec{f}\colon \R^2\to\R^2$ a zároveň jsou splněny tzv. Cauchyho--Riemannovy podmínky $\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y}$, $\frac{\pd f_2}{\pd x}=-\frac{\pd f_1}{\pd y}$. | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Můžeme psát | ||
\[ | \[ | ||
\begin{split} | \begin{split} | ||
\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\alpha&\iff | \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\alpha&\iff | ||
− | \lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}} | + | \lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}} \frac{\abs{h}}{h}=0\\ |
− | \frac{\abs{h}}{h}=0 | + | &\iff\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}=0. |
− | &\iff\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}=0 | + | |
\end{split} | \end{split} | ||
\] | \] | ||
− | + | (Druhou ekvivalenci lze zdůvodnit tím, že oba výrazy mají v každém bodě stejnou absolutní hodnotu a přitom platí, že libovolný výraz jde k nule právě tehdy, když jde k nule v absolutní hodnotě. Nejspíš existuje i nějaké elegantnější zdůvodnění.) Rozepíšeme-li $\alpha$ jako $\alpha_1+\im\alpha_2$ a $h=h_1+\im h_2$ a roznásobíme-li všechno do mrtě, zjistíme, že poslední výrok je dále ekvivalentní %roztrhneme-li komplexní limitu na dvě reálné, zjistíme, že poslední výrok je dále ekvivalentní s~nulovostí těchto dvou limit prováděných v $\R^2$: | |
− | \[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_1( | + | \[ |
− | \ | + | \lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_1(*)+\im f_2(*)-f_1(x_0, y_0)-\im f_2(x_0, y_0) - [(\alpha_1 h_1 - \alpha_2 h_2) + \im (\alpha_2 h_1 + \alpha_1 h_2)]}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0, |
− | a | + | \] |
− | \[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{ | + | kde $(*)$ pro nedostatek místa značí vyčíslení v bodě $(x_0+h_1, y_0+h_2)$. Upravujme dále. Výraz, jehož limitu počítáme, má za obor hodnot komplexní čísla. Pokud tato čísla interpretujeme jako dvojice reálných čísel, tj. pokud využijeme izomorfismus $\C$ a $\R^2$, můžeme ekvivalentně psát |
− | \ | + | \[ |
− | + | \lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{\vec{f}(x_0+h_1, y_0+h_2)-\vec{f}(x_0, y_0) - \big((\alpha_1 h_1 - \alpha_2 h_2), (\alpha_2 h_1 + \alpha_1 h_2)\big)}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} = \vec{0}. | |
− | \ | + | \] |
− | + | Tuto rovnost lze dále přepsat jako | |
− | \alpha_2 | + | \[ |
− | \end{ | + | \lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{\vec{f}(x_0+h_1, y_0+h_2)-\vec{f}(x_0, y_0) - L\vec{h}}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} = \vec{0}, |
− | + | \] | |
+ | přičemž jako $L$ jsme označili lineární operátor na $\R^2$, který vektoru $(h_1, h_2)$ přiřadí vektor $\big((\alpha_1 h_1 - \alpha_2 h_2), (\alpha_2 h_1 + \alpha_1 h_2)\big)$. Vztah, který jsme získali, ale znamená právě a pouze to, že zobrazení $f\colon\R^2\to\R^2$ má v bodě $(x_0, y_0)$ derivaci $L$. | ||
+ | |||
+ | Stačí už jen ověřit, že operátor $L$ splňuje Cauchyho--Riemannovy podmínky. Jeho matice je $\left(\begin{smallmatrix}\alpha_1&-\alpha_2 \\ \alpha_2&\alpha_1\end{smallmatrix}\right)$. Matice derivace zobrazení $\vec{f} = (f_1, f_2)$ má přitom vždy tvar $\left(\begin{smallmatrix}\pd_x f_1& \pd_y f_1 \\ \pd_x f_2& \pd_y f_2 \end{smallmatrix}\right)$. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | |||
+ | Komplexní diferencovatelnost $f$ je tedy výrazně silnější vlastnost než reálná diferencovatelnost příslušného zobrazení $\vec{f}$. Následující příklad ukáže, že ani velmi \uv{hezké} funkce nemusejí mít derivaci. | ||
+ | |||
\begin{example} | \begin{example} | ||
− | $f(z)=\overline{z}$ | + | Uvažme funkci $f(z)=\overline{z}$. Pak $f_1(x,y) = x$, $f_2(x,y)=-y$. Spočítáme-li příslušné parciální derivace, dostaneme $\pd_x f_1 = 1$, ale $\pd_y f_2 = -1$. V žádném bodě tedy nejsou splněny Cauchyho--Riemannovy podmínky, a funkce $f$ proto není nikde diferencovatelná. |
\end{example} | \end{example} | ||
+ | |||
+ | Uvědomme si, že funkce $z \mapsto \overline{z}$ je přitom na celém $\C$ spojitá. Sestavit funkci $\R\to\R$, která je všude spojitá, ale nikde diferencovatelná, je sice rovněž možné, ale neúměrně náročnější -- komplexní analýza se od té reálné diametrálně liší. Jak říká Vrána: \uv{Mít komplexní derivaci, to už je síla.} | ||
+ | |||
+ | Na druhé straně mají i mnohé společné. Následující tři tvrzení lze dokázat naprosto stejným způsobem jako v prvním semestru, proto je uvádíme bez důkazu. | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Nechť má funkce $f\colon \C \to \C$ derivaci v bodě $z_0$. Pak je v tomto bodě spojitá. | ||
+ | \end{theorem} | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
Řádka 46: | Řádka 67: | ||
\item $(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$. | \item $(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$. | ||
\item Jestliže $g'(z_0)\not=0$, pak | \item Jestliže $g'(z_0)\not=0$, pak | ||
− | \[\left(\frac1g\right)'(z_0)=-\frac{1}{g^2(z_0)}g'(z_0).\] | + | \[ |
+ | \left(\frac1g\right)'(z_0)=-\frac{1}{g^2(z_0)}g'(z_0). | ||
+ | \] | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 54: | Řádka 77: | ||
$(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$. | $(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$. | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
− | + | ||
− | \ | + | Než se Vrána pustí do ústřední části teorie funkcí komplexní proměnné, tedy do kapitoly o holomorfních funkcích, udělá odbočku a zavede některé elementární funkce na $\C$. Protože to v našem ročníku udělal dost zmateně a místy i chybně, nebudeme formulovat jeho tvrzení do vět a definic, pouze do volného textu. |
− | + | ||
− | + | Komplexní exponenciálu lze definovat vztahem $e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}$. Víme, že jde o mocninnou řadu s~nekonečným poloměrem konvergence, která se na reálné ose rovná reálné exponenciále definované v~prvním ročníku. | |
− | + | ||
− | + | Protože je mocninná řada s nekonečným poloměrem konvergence v každém bodě absolutně konvergentní, lze přímočarým roznásobením dokázat identitu $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$: | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\[ | \[ | ||
− | \ | + | \sum_{m=0}^\infty\frac{z_1^m}{m!}\sum_{n=0}^\infty\frac{z_2^n}{n!} = |
− | \ | + | \sum_{N=0}^\infty\sum_{k=0}^{N}\frac{z_1^k}{k!}\frac{z_2^{N-k}}{(N-k)!} = |
+ | \sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} \sum_{k=0}^{N} \binom{N}{k} z_1^k z_2^{N-k} = | ||
+ | \sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} (z_1+z_2)^N | ||
\] | \] | ||
− | \[\sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2\] | + | |
− | \[\cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2\] | + | Když do mocninné řady definující exponenciálu dosadíme $\im z$ a následně seskupíme sudé a liché členy, získáme rovnost |
+ | \[ | ||
+ | e^{\im z} = \sum_{n=0}^\infty\frac{(\im z)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n} + \im\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}. | ||
+ | \] | ||
+ | |||
+ | Sudou část funkce $e^{\im z}$ označíme $\cos z$ a lichou jako $\im\sin z$. Tím jsme na celé komplexní rovině definovali sinus a kosinus. Předešlou rovnost můžeme přepsat jako $e^{\im z}=\cos z+\im\sin z$ a ze sudosti kosinu a lichosti sinu hned odvodíme i obě dvojice vztahů | ||
+ | \[ | ||
+ | \cos z=\frac{e^{\im z}+e^{-\im z}}{2},\quad | ||
+ | \sin z=\frac{e^{\im z}-e^{-\im z}}{2\im}, | ||
+ | \] | ||
+ | resp. | ||
+ | \[ | ||
+ | \cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n},\quad | ||
+ | \sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}. | ||
+ | \] | ||
+ | Druhá dvojice vztahů přitom ukazuje, že se naše \uv{nové} definice na reálné ose shodují s těmi původními. | ||
+ | |||
+ | Nyní můžeme psát | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | e^{\im(z_1+z_2)} &= e^{\im z_1} e^{\im z_2} \\ | ||
+ | &= (\cos z_1 + \im \sin z_1)(\cos z_2 + \im \sin z_2) \\ | ||
+ | &= (\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2) + \im (\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2), | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | přičemž první závorka obsahuje sudou a druhá lichou funkci, takže platí | ||
+ | \[ | ||
+ | \cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2, | ||
+ | \] | ||
+ | \[ | ||
+ | \sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2. | ||
+ | \] | ||
+ | Z toho snadno zjistíme, že identity | ||
\[ | \[ | ||
\sin(z+2k\pi)=\sin z,\quad | \sin(z+2k\pi)=\sin z,\quad | ||
Řádka 76: | Řádka 128: | ||
\sin\left(\frac{\pi}2-z\right)=\cos z | \sin\left(\frac{\pi}2-z\right)=\cos z | ||
\] | \] | ||
− | \[\cos^2 z+\sin^2 z= \cos z \cos -z -\sin z \sin -z = \cos(z-z)=1\] | + | platí pro každé komplexní $z$. |
− | ale $\cos^2 z$ a $\sin^2 z$ | + | |
− | \[\ | + | Taktéž můžeme díky sudosti kosinu a lichosti sinu odvodit důležitou identitu |
− | \[e^{x+\im y}=e^x e^{\im y}=e^x(\cos y+\im\sin y) | + | \[ |
− | + | \cos^2 z+\sin^2 z= \cos z \cos (-z) -\sin z \sin (-z) = \cos(z-z)=1, | |
− | \[\sin(x+\im y)=\sin x\cos\im y+\sin\im y\cos x= | + | \] |
− | \sin x \cosh y+\im\sinh y\cos x\] | + | ale \textbf{pozor}! Neplyne z ní, že $\cos^2 z$ a $\sin^2 z$ leží v intervalu $[0,1]$, protože v komplexním oboru lze odmocnit i záporné číslo. Funkce sinus a kosinus nejsou v $\C$ omezené! |
− | \[\cos(x+\im y)=\cos x\cosh y-\im\sin x\sinh y\] | + | |
− | + | Definujme dále jako obvykle | |
− | \[\sin z=\sin(x+\im y)=0\iff | + | \[ |
− | \sin x\cosh y=0\wedge\ | + | \cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2},\quad |
− | x=k\pi\ | + | \sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2} |
− | Derivace: | + | \] |
− | \[\left(e^z\right)'=e^z,\quad | + | a učiňme snadné pozorování |
+ | \[ | ||
+ | \cos z = \cosh\im z,\quad | ||
+ | \sin z=-\im\sinh\im z. | ||
+ | \] | ||
+ | |||
+ | Nyní už jsme připraveni vyjádřit reálnou a imaginární část exponenciály, sinu a kosinu. Následující vztahy sice platí obecně, ale zdaleka nejzajímavější jsou pro nás v případě, že $x$ a $y$ jsou reálná čísla. | ||
+ | |||
+ | \[ | ||
+ | e^{x+\im y} = e^x e^{\im y} = e^x(\cos y+\im\sin y); | ||
+ | \] | ||
+ | \[ | ||
+ | \sin(x+\im y) = \sin x\cos\im y+\sin\im y\cos x = \sin x \cosh y+\im\sinh y\cos x; | ||
+ | \] | ||
+ | \[ | ||
+ | \cos(x+\im y) = \cos x\cosh y-\im\sin x\sinh y. | ||
+ | \] | ||
+ | |||
+ | Protože chování reálných funkcí máme dobře prozkoumané, jsme schopni pomocí předešlého vyjádření určit nulové body sinu v komplexním oboru: | ||
+ | \[ | ||
+ | \sin z = \sin(x+\im y) = 0 \iff | ||
+ | \sin x\cosh y = 0 \wedge \sinh y \cos x = 0 \iff | ||
+ | x=k\pi \wedge y=0. | ||
+ | \] | ||
+ | |||
+ | Derivace je možné snadno spočítat třeba pomocí pravidla o derivování mocninné řady člen po členu: | ||
+ | \[ | ||
+ | \left(e^z\right)'=e^z,\quad | ||
(\sin z)'=\cos z,\quad | (\sin z)'=\cos z,\quad | ||
− | (\cos z)'=-\sin z\] | + | (\cos z)'=-\sin z. |
− | + | \] | |
− | + | ||
− | \[e^x(\cos y+\im\sin y)=1\] | + | Prozkoumejme na závěr, zda je exponenciála prostá. Nejprve snadno zjistíme, že $e^{z_1}=e^{z_2}$ právě tehdy, když $e^{z_1-z_2}=1$. Potřebujeme tedy zjistit, pro která $z$ je $e^z=1$. K tomu opět využijeme rozklad na reálnou a imaginární část. Podmínka |
− | + | \[ | |
− | + | e^x(\cos y+\im\sin y)=1 | |
− | + | \] | |
− | \[E_\alpha=\{z\in\C | + | je splněna právě tehdy, když $e^x\sin y=0$ a zároveň $e^x\cos y=1$, což je ekvivalentní tomu, že $x$ lze zvolit libovolně a $y = 2k\pi$. Ukázali jsme tedy, že exponenciála není prostá -- naopak, je periodická s periodou $\im2\pi$. Pro účely definování inverzní funkce, logaritmu, ji budeme muset zúžit na nějaký pás, na němž je exponenciála prostá. Takový pás má pro libovolné $\alpha \in \R$ tvar |
− | \ | + | \[ |
− | + | E_\alpha=\{z\in\C \mid \Im z \in (\alpha-\pi,\alpha+\pi]\}. | |
+ | \] | ||
+ | |||
+ | Na každém takovém pásu představuje exponenciála bijekci $E_\alpha \to \C \sm \{0\}$, protože každé nenulové komplexní číslo $z$ lze zapsat ve tvaru $e^x(\cos y+\im\sin y)$; stačí totiž za $e^x$ dosadit $|z|$ a dostaneme známý goniometrický tvar komplexního čísla. Tohoto pozorování zanedlouho využijeme při zavedení logaritmu; nejdřív ale definujeme tzv. argument, což je úhel, který dané číslo svírá s reálnou osou. | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
{\bf Argumentem komplexního čísla} $z$ nazýváme množinu | {\bf Argumentem komplexního čísla} $z$ nazýváme množinu | ||
− | $\{\alpha\in\R | + | $\Arg z = \{\alpha\in\R \mid z=\abs{z}e^{\im\alpha}\}$. |
\end{define} | \end{define} | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Buď $\vartheta\in\R$. Potom | + | Buď $\vartheta\in\R$. Potom je pro $z\neq 0$ množina $\Arg z \cap (\vartheta-\pi,\vartheta+\pi]$ jednoprvková. Její jediný prvek označíme jako $\arg_\vartheta z$, čímž definujeme funkci $\arg_\vartheta \colon \C \sm \{0\} \to (\vartheta-\pi,\vartheta+\pi]$. Funkci $\arg_0$ značíme zkráceně $\arg$. |
− | $\Arg z\cap(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi | + | |
− | + | ||
\end{define} | \end{define} | ||
− | \begin{ | + | \begin{remark} |
− | $\arg_\vartheta z=\arg(ze^{-\im\vartheta})+\vartheta$. | + | Snadno ověříme, že platí rovnost $\arg_\vartheta z=\arg(ze^{-\im\vartheta})+\vartheta$. |
− | \end{ | + | \end{remark} |
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | + | Pro libovolné $\vartheta\in\R$ definujeme polopřímku $P_\vartheta=\{te^{\im\vartheta} \mid t\in\R^+\}$. | |
− | $P_\vartheta=\{ | + | |
\end{define} | \end{define} | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item $\arg z$ | + | \item Funkce $\arg z$ není spojitá na $P_\pi$ a nikde nemá derivaci. (K důkazu toho, že nemá derivaci, lze využít vyjádření z následujícího bodu; pro dokázání mírně slabšího tvrzení stačí využít větu \ref{th:realnaholomorfni}.) |
− | \item | + | \item Pro $z = x + \im y$ lze argument vyjádřit explicitně třeba takto: |
\[ | \[ | ||
\arg z=\begin{cases} | \arg z=\begin{cases} | ||
− | \arccos\frac{x}{\abs z} & y\ge 0\\ | + | \arccos\frac{x}{\abs z} & \text{pro } y\ge 0,\\ |
− | -\arccos\frac{x}{\abs z} & y<0. | + | -\arccos\frac{x}{\abs z} & \text{pro } y<0. |
\end{cases} | \end{cases} | ||
\] | \] | ||
− | \item \[\arg z_1z_2=\arg z_1+\arg z_2+2\pi\epsilon,\] | + | Je možné využít i vyjádření pomocí $\arcsin$ nebo $\arctg$. |
− | \[\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2+2\pi\epsilon,\] | + | \item Jsme také schopni spočítat argument součinu, resp. podílu: |
− | \[\arg\frac{1}{z}=-\arg z+2\pi\epsilon,\] | + | %\[\arg z_1z_2=\arg z_1+\arg z_2+2\pi\epsilon,\] |
− | přičemž $\epsilon$ | + | %\[\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2+2\pi\epsilon,\] |
− | základním intervalu. | + | %\[\arg\frac{1}{z}=-\arg z+2\pi\epsilon,\] |
− | \item Nechť | + | \[ |
− | podmínky | + | \begin{split} |
+ | \arg z_1z_2 &=\arg z_1+\arg z_2+2\pi\epsilon,\\ | ||
+ | \arg\frac{z_1}{z_2} &=\arg z_1-\arg z_2+2\pi\epsilon,\\ | ||
+ | \arg\frac{1}{z} &=-\arg z+2\pi\epsilon, | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | přičemž $\epsilon$ volíme $-1$, $0$ nebo $1$ tak, abychom zůstali v~základním intervalu. Kdybychom místo funkcí $\arg$ pracovali s~množinami $\Arg$, nebyli bychom nuceni přičítat $2\pi\epsilon$. | ||
+ | \item Nechť funkce $f_1(x,y)$ a $f_2(x,y)$ splňují Cauchyho--Riemannovy | ||
+ | podmínky | ||
\[\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y},\quad | \[\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y},\quad | ||
− | \frac{\pd f_1}{\pd y}=-\frac{\pd f_2}{\pd x} | + | \frac{\pd f_1}{\pd y}=-\frac{\pd f_2}{\pd x}\] |
− | + | a nechť jsou navíc třídy $\c{2}$. Zderivováním první podmínky podle $x$ a druhé podle $y$ získáme | |
− | \[\frac{\pd^2 f_1}{\pd x^2}=\frac{\pd^2 f_2}{\pd x\pd y}\ | + | \[ |
− | + | \begin{split} | |
− | + | \frac{\pd^2 f_1}{\pd x^2} &=\frac{\pd^2 f_2}{\pd x\pd y},\\ | |
+ | \frac{\pd^2 f_1}{\pd y^2} &=-\frac{\pd^2 f_2}{\pd y\pd x}. | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | Když obě rovnosti sečteme a využijeme záměnnosti parciálních derivací, dostaneme $\Delta f_1=0$. Analogickým postupem bychom odvodili i $\Delta f_2=0$. Obě funkce $f_1$, $f_2$ jsou tedy harmonické, čehož se využívá například při modelování profilů letadel. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
+ | Nyní se pustíme do zkoumání logaritmu, tj. inverzní funkce k exponenciále. | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Zaveďme množinu $\Ln z=\{w\in\C \mid z=e^w\}$. Pokud chceme, aby byl logaritmus funkce, musíme se zúžit na některý z pásů $E_\vartheta$. Definujme tedy pro $z \neq 0$ hodnotu $\ln_\vartheta z$ dvojicí podmínek | ||
+ | \[ | ||
+ | \ln_\vartheta z\in\Ln z \wedge \Im\Ln_\vartheta z\in (\vartheta-\pi,\vartheta+\pi]. | ||
+ | \] | ||
+ | Speciálně označme $\ln = \ln_0$ a nazvěme tuto funkci {\bf logaritmus komplexního čísla}. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item | + | \item Když hledáme logaritmus komplexního čísla $z$, rozepišme ho na reálnou a imaginární část: $\ln_\vartheta z=u+\im v$. Dostáváme podmínku |
− | $ | + | $z = e^u e^{\im v} = e^u (\cos v + \im\sin v)$. Zjevně $\abs z = e^u$ a $v = \arg_\vartheta z$, tj. |
− | \ | + | \[ |
− | + | \ln_\vartheta z=\ln\abs{z}+\im\arg_\vartheta z. | |
− | \[\ln_\vartheta z=\ln\abs{z}+\im\arg_\vartheta z\] | + | \] |
− | + | Speciálně platí $\ln z=\ln\abs{z}+\im\arg z$. | |
− | $\ln z=\ln\abs{z}+\im\arg z$. | + | \item Spočítejme, zda má logaritmus derivaci v bodě $z \neq 0$. Víme, že $\Re{\ln z}=\ln\sqrt{x^2+y^2}$, $\Im{\ln |
− | \item | + | z}=\arg z$. Určeme nejprve derivaci reálné a imaginární části. |
− | z=\arg z$. | + | \[ |
− | \[\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'=\frac{x}{x^2+y^2}\d x+ | + | \begin{split} |
− | \frac{y}{x^2+y^2}\d y,\ | + | \left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)' &= \frac{x}{x^2+y^2}\d x+ \frac{y}{x^2+y^2}\d y,\\ |
− | + | \left(\arg z\right)' &= -\frac{y}{x^2+y^2}\d x+ \frac{x}{x^2+y^2}\d y,\\ | |
− | \frac{x}{x^2+y^2}\d y,\] | + | \end{split} |
− | + | \] | |
− | + | ale pouze mimo polopřímku $P_\pi$, na níž je argument nespojitá funkce, a nemůže tedy mít derivaci. Obě funkce $f_1$, $f_2$ mají totální derivaci (parciální derivace jsou totiž spojité) a zároveň zjevně platí Cauchyho--Riemannovy podmínky. Podle věty \ref{th:komplexnidiferencovatelnost} proto komplexní derivace existuje. Můžeme ji tedy spočítat limitou přes některou konkrétní podmnožinu, třeba přes reálnou přímku. Obecně v případě existence derivace platí | |
\[(f(z_0))'=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}= | \[(f(z_0))'=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}= | ||
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}= | \lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}= | ||
− | \frac{\pd f_1}{\pd x}(x_0,y_0)+\im\frac{\pd f_2}{\pd x}(x_0,y_0)\] | + | \frac{\pd f_1}{\pd x}(x_0,y_0)+\im\frac{\pd f_2}{\pd x}(x_0,y_0);\] |
+ | v případě logaritmu tedy dostáváme | ||
\[(\ln z)'=\frac{x}{x^2+y^2}-\im\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{\overline | \[(\ln z)'=\frac{x}{x^2+y^2}-\im\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{\overline | ||
z}{z\overline z}=\frac1z.\] | z}{z\overline z}=\frac1z.\] | ||
− | \item Analogicky s~reálnými funkcemi definujeme | + | \item\footnote{Této části moc nerozumím a v našem ročníku ji Vrána neprobíral. Mazat se mi ji nechtělo, ale berte ji s~ještě větší rezervou než zbytek textu.} Analogicky s~reálnými funkcemi definujeme |
\[\argsinh z=\ln\left(z+\sqrt{1+z^2}\right),\quad | \[\argsinh z=\ln\left(z+\sqrt{1+z^2}\right),\quad | ||
\argcosh z=\ln\left(z+\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}\right),\quad | \argcosh z=\ln\left(z+\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}\right),\quad | ||
\argtgh z=\frac12\ln\frac{1+z}{1-z}.\] | \argtgh z=\frac12\ln\frac{1+z}{1-z}.\] | ||
− | $\sqrt{z-1}\sqrt{z+1} = \sqrt{z^2-1}$ obecně pro komplexní odmocninu neplatí. | + | (Definice $\argcosh$ se může zdát podivná, ale rovnost $\sqrt{z-1}\sqrt{z+1} = \sqrt{z^2-1}$ obecně pro komplexní odmocninu neplatí.) |
%http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root | %http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root | ||
\[ | \[ | ||
\arcsin z=-\im\ln\left(\im z+\sqrt{1-z^2}\right),\quad | \arcsin z=-\im\ln\left(\im z+\sqrt{1-z^2}\right),\quad | ||
\arccos z=-\im\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)=-\im\ln\left(z+\im\sqrt{1-z^2}\right),\] | \arccos z=-\im\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)=-\im\ln\left(z+\im\sqrt{1-z^2}\right),\] | ||
− | \[\arctg z=\frac{ | + | \[\arctg z=\frac{\im}{2}\ln\left(\frac{1-\im z}{1+\im z}\right)\] |
− | \item Pro $z,\alpha\in\C$ | + | \item Pro $z \neq 0, \alpha\in\C$ můžeme definovat $z^\alpha=e^{\alpha\ln z}$; tato definice je jednoznačná. Lepší\footnote{Citation needed.} je definovat obecnou mocninu jako \uv{víceznačnou funkci}, tj. jako množinu (obdobně jako $\Ln$ a $\Arg$): |
− | + | ||
− | + | ||
\[ | \[ | ||
− | z^\alpha=e^{\alpha\ln z+\alpha\,2k\pi\im} \ | + | z^\alpha = e^{\Ln z} = \{ e^{\alpha\ln z+\alpha\,2k\pi\im} \mid k\in \Z \}. |
\] | \] | ||
− | exponenciála je periodická s periodou $2\pi \im$. | + | Mohlo by se zdát, že má množina $z^\alpha$ vždy nekonečně mnoho prvků. Tak tomu ale není, neboť exponenciála je periodická s periodou $2\pi \im$. To má za následek, že pro $\Re\alpha \in \Z$ a $\Im\alpha = 0$ je $z^\alpha$ definováno jednoznačně. |
− | + | Pro $\Re\alpha \in \Q$ a $\Im\alpha = 0$ má množina $q$ prvků, kde $q$ je jmenovatel $\Re\alpha$ ve zkráceném tvaru. (V komplexních číslech tedy například existuje pět pátých odmocnin.) A pokud je $\Re\alpha$ iracionální nebo $\Im\alpha \neq 0$, pak je prvků skutečně nekonečně mnoho. Pro $\Im\alpha = 0$ se kořeny nacházejí na kružnici, pro $\Re\alpha = 0$ na polopřímce | |
− | Pro $\Re\alpha \in \Q | + | a pro $\Re\alpha \neq 0 \wedge \Im\alpha \neq 0$ jsou umístěny na spirále. |
− | A pokud je $\Re\alpha$ iracionální | + | |
− | Pro $\Im\alpha = 0$ se kořeny | + | |
− | a pro $\Re\alpha \neq 0 \wedge \Im\alpha \neq 0$ jsou umístěny | + | |
− | + | Například | |
− | + | \[ | |
− | \begin{ | + | \begin{split} |
− | + | \im^{\im} &= \{e^{\im\left( \frac\pi2\im +2k\pi\im \right)} \mid k\in\Z\} = \{e^{-\frac\pi2 - 2k\pi} \mid k\in \Z\} \subset \R; \\ | |
− | \ | + | {x}^{\frac{3}{5}} &= \{ e^{\frac{3}{5}\ln x}e^{ \frac{3}{5}\,2k\pi\im} \mid k\in \hat 5 \};\\ |
− | \ | + | {x}^{\sqrt{2}} &= \{e^{\sqrt{2}\ln x}e^{ \sqrt{2}\,2k\pi\im} \mid k\in \Z\}. |
− | \end{ | + | \end{split} |
+ | \] | ||
+ | Podobný problém s nejednoznačností nastává i u dalších funkcí, k jejichž definici se použil logaritmus, tedy $\arcsin$, $\argsinh$, $\ldots$ | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{remark} | \end{remark} |
Verze z 19. 9. 2015, 01:42
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Komplexní derivace} Komplexní analýzu se Vrána tradičně snaží stihnout v průběhu tří přednášek, což dost dobře není možné. Proto provádí důkazy hodně zrychleně a některá důležitá tvrzení nedokazuje vůbec. Existují velmi pěkně napsaná skripta Komplexní analýza pro učitele od Jiřího Veselého, která jsou mimo jiné i doporučenou učebníci k přednášce Funkce komplexní proměnné od docenta Pošty. Ke zkoušce by ale mělo stačit naučit se to, co Vrána odpřednášel (někdy toho je méně, než kolik obsahují Wikiskripta, jindy zase více -- podle toho, kolik hodin během semestru odpadne). \vspace{2em} Definice komplexní funkce komplexní proměnné je formálně úplně stejná jako v $\R$. \begin{define} Buď $f \colon \C\to\C$, $z_0\in\vn{(\df f)}$. Existuje-li konečná limita \[ \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}, \] říkáme, že funkce $f$ je v~bodě $z_0$ (komplexně) diferencovatelná a příslušnou limitu značíme $f'(z_0)$. \end{define} Topologicky je normovaný prostor $\C$ totožný s $\R^2$. Na zobrazení $\C\to\C$ se tedy lze dívat i jako na zobrazení $\R^2\to\R^2$. Označme reálnou, resp. imaginární část takového zobrazení jako $f_1$ a $f_2$, tj. pišme $f(z) = f(x+\im y) = f_1(x,y) + \im f_2(x,y)$. Pak se můžeme ptát, jaký je vztah mezi komplexní diferencovatelností funkce $f$ a diferencovatelností reálného zobrazení $\vec{f}=(f_1, f_2)$. Na tuto otázku podává odpověď následující věta. \begin{theorem} \label{th:komplexnidiferencovatelnost} Funkce $f\colon\C\to\C$ je v bodě\footnote{Dodržujeme úmluvu, že když číslo zapíšeme ve tvaru $x+\im y$, jsou $x$ i $y$ reálná čísla. Pokud tomu tak nebude, budeme se snažit na to upozornit.} $z_0 = x_0+\im y_0$ komplexně diferencovatelná právě tehdy, když je diferencovatelné výše definované zobrazení $\vec{f}\colon \R^2\to\R^2$ a zároveň jsou splněny tzv. Cauchyho--Riemannovy podmínky $\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y}$, $\frac{\pd f_2}{\pd x}=-\frac{\pd f_1}{\pd y}$. \end{theorem} \begin{proof} Můžeme psát \[ \begin{split} \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\alpha&\iff \lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}} \frac{\abs{h}}{h}=0\\ &\iff\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}=0. \end{split} \] (Druhou ekvivalenci lze zdůvodnit tím, že oba výrazy mají v každém bodě stejnou absolutní hodnotu a přitom platí, že libovolný výraz jde k nule právě tehdy, když jde k nule v absolutní hodnotě. Nejspíš existuje i nějaké elegantnější zdůvodnění.) Rozepíšeme-li $\alpha$ jako $\alpha_1+\im\alpha_2$ a $h=h_1+\im h_2$ a roznásobíme-li všechno do mrtě, zjistíme, že poslední výrok je dále ekvivalentní %roztrhneme-li komplexní limitu na dvě reálné, zjistíme, že poslední výrok je dále ekvivalentní s~nulovostí těchto dvou limit prováděných v $\R^2$: \[ \lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_1(*)+\im f_2(*)-f_1(x_0, y_0)-\im f_2(x_0, y_0) - [(\alpha_1 h_1 - \alpha_2 h_2) + \im (\alpha_2 h_1 + \alpha_1 h_2)]}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0, \] kde $(*)$ pro nedostatek místa značí vyčíslení v bodě $(x_0+h_1, y_0+h_2)$. Upravujme dále. Výraz, jehož limitu počítáme, má za obor hodnot komplexní čísla. Pokud tato čísla interpretujeme jako dvojice reálných čísel, tj. pokud využijeme izomorfismus $\C$ a $\R^2$, můžeme ekvivalentně psát \[ \lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{\vec{f}(x_0+h_1, y_0+h_2)-\vec{f}(x_0, y_0) - \big((\alpha_1 h_1 - \alpha_2 h_2), (\alpha_2 h_1 + \alpha_1 h_2)\big)}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} = \vec{0}. \] Tuto rovnost lze dále přepsat jako \[ \lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{\vec{f}(x_0+h_1, y_0+h_2)-\vec{f}(x_0, y_0) - L\vec{h}}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}} = \vec{0}, \] přičemž jako $L$ jsme označili lineární operátor na $\R^2$, který vektoru $(h_1, h_2)$ přiřadí vektor $\big((\alpha_1 h_1 - \alpha_2 h_2), (\alpha_2 h_1 + \alpha_1 h_2)\big)$. Vztah, který jsme získali, ale znamená právě a pouze to, že zobrazení $f\colon\R^2\to\R^2$ má v bodě $(x_0, y_0)$ derivaci $L$. Stačí už jen ověřit, že operátor $L$ splňuje Cauchyho--Riemannovy podmínky. Jeho matice je $\left(\begin{smallmatrix}\alpha_1&-\alpha_2 \\ \alpha_2&\alpha_1\end{smallmatrix}\right)$. Matice derivace zobrazení $\vec{f} = (f_1, f_2)$ má přitom vždy tvar $\left(\begin{smallmatrix}\pd_x f_1& \pd_y f_1 \\ \pd_x f_2& \pd_y f_2 \end{smallmatrix}\right)$. \end{proof} Komplexní diferencovatelnost $f$ je tedy výrazně silnější vlastnost než reálná diferencovatelnost příslušného zobrazení $\vec{f}$. Následující příklad ukáže, že ani velmi \uv{hezké} funkce nemusejí mít derivaci. \begin{example} Uvažme funkci $f(z)=\overline{z}$. Pak $f_1(x,y) = x$, $f_2(x,y)=-y$. Spočítáme-li příslušné parciální derivace, dostaneme $\pd_x f_1 = 1$, ale $\pd_y f_2 = -1$. V žádném bodě tedy nejsou splněny Cauchyho--Riemannovy podmínky, a funkce $f$ proto není nikde diferencovatelná. \end{example} Uvědomme si, že funkce $z \mapsto \overline{z}$ je přitom na celém $\C$ spojitá. Sestavit funkci $\R\to\R$, která je všude spojitá, ale nikde diferencovatelná, je sice rovněž možné, ale neúměrně náročnější -- komplexní analýza se od té reálné diametrálně liší. Jak říká Vrána: \uv{Mít komplexní derivaci, to už je síla.} Na druhé straně mají i mnohé společné. Následující tři tvrzení lze dokázat naprosto stejným způsobem jako v prvním semestru, proto je uvádíme bez důkazu. \begin{theorem} Nechť má funkce $f\colon \C \to \C$ derivaci v bodě $z_0$. Pak je v tomto bodě spojitá. \end{theorem} \begin{theorem} Nechť $f,g$ mají derivaci v~$z_0$. Pak \begin{enumerate}[(i)] \item $(f+cg)'(z_0)=f'(z_0)+cg'(z_0)$, \item $(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$. \item Jestliže $g'(z_0)\not=0$, pak \[ \left(\frac1g\right)'(z_0)=-\frac{1}{g^2(z_0)}g'(z_0). \] \end{enumerate} \end{theorem} \begin{theorem} Nechť $\exists f'(g(z_0))$, $\exists g'(z_0)$. Pak $(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$. \end{theorem} Než se Vrána pustí do ústřední části teorie funkcí komplexní proměnné, tedy do kapitoly o holomorfních funkcích, udělá odbočku a zavede některé elementární funkce na $\C$. Protože to v našem ročníku udělal dost zmateně a místy i chybně, nebudeme formulovat jeho tvrzení do vět a definic, pouze do volného textu. Komplexní exponenciálu lze definovat vztahem $e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}$. Víme, že jde o mocninnou řadu s~nekonečným poloměrem konvergence, která se na reálné ose rovná reálné exponenciále definované v~prvním ročníku. Protože je mocninná řada s nekonečným poloměrem konvergence v každém bodě absolutně konvergentní, lze přímočarým roznásobením dokázat identitu $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$: \[ \sum_{m=0}^\infty\frac{z_1^m}{m!}\sum_{n=0}^\infty\frac{z_2^n}{n!} = \sum_{N=0}^\infty\sum_{k=0}^{N}\frac{z_1^k}{k!}\frac{z_2^{N-k}}{(N-k)!} = \sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} \sum_{k=0}^{N} \binom{N}{k} z_1^k z_2^{N-k} = \sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} (z_1+z_2)^N \] Když do mocninné řady definující exponenciálu dosadíme $\im z$ a následně seskupíme sudé a liché členy, získáme rovnost \[ e^{\im z} = \sum_{n=0}^\infty\frac{(\im z)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n} + \im\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}. \] Sudou část funkce $e^{\im z}$ označíme $\cos z$ a lichou jako $\im\sin z$. Tím jsme na celé komplexní rovině definovali sinus a kosinus. Předešlou rovnost můžeme přepsat jako $e^{\im z}=\cos z+\im\sin z$ a ze sudosti kosinu a lichosti sinu hned odvodíme i obě dvojice vztahů \[ \cos z=\frac{e^{\im z}+e^{-\im z}}{2},\quad \sin z=\frac{e^{\im z}-e^{-\im z}}{2\im}, \] resp. \[ \cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n},\quad \sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}. \] Druhá dvojice vztahů přitom ukazuje, že se naše \uv{nové} definice na reálné ose shodují s těmi původními. Nyní můžeme psát \[ \begin{split} e^{\im(z_1+z_2)} &= e^{\im z_1} e^{\im z_2} \\ &= (\cos z_1 + \im \sin z_1)(\cos z_2 + \im \sin z_2) \\ &= (\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2) + \im (\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2), \end{split} \] přičemž první závorka obsahuje sudou a druhá lichou funkci, takže platí \[ \cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2, \] \[ \sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2. \] Z toho snadno zjistíme, že identity \[ \sin(z+2k\pi)=\sin z,\quad \cos(z+2k\pi)=\cos z,\quad \sin\left(\frac{\pi}2-z\right)=\cos z \] platí pro každé komplexní $z$. Taktéž můžeme díky sudosti kosinu a lichosti sinu odvodit důležitou identitu \[ \cos^2 z+\sin^2 z= \cos z \cos (-z) -\sin z \sin (-z) = \cos(z-z)=1, \] ale \textbf{pozor}! Neplyne z ní, že $\cos^2 z$ a $\sin^2 z$ leží v intervalu $[0,1]$, protože v komplexním oboru lze odmocnit i záporné číslo. Funkce sinus a kosinus nejsou v $\C$ omezené! Definujme dále jako obvykle \[ \cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2},\quad \sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2} \] a učiňme snadné pozorování \[ \cos z = \cosh\im z,\quad \sin z=-\im\sinh\im z. \] Nyní už jsme připraveni vyjádřit reálnou a imaginární část exponenciály, sinu a kosinu. Následující vztahy sice platí obecně, ale zdaleka nejzajímavější jsou pro nás v případě, že $x$ a $y$ jsou reálná čísla. \[ e^{x+\im y} = e^x e^{\im y} = e^x(\cos y+\im\sin y); \] \[ \sin(x+\im y) = \sin x\cos\im y+\sin\im y\cos x = \sin x \cosh y+\im\sinh y\cos x; \] \[ \cos(x+\im y) = \cos x\cosh y-\im\sin x\sinh y. \] Protože chování reálných funkcí máme dobře prozkoumané, jsme schopni pomocí předešlého vyjádření určit nulové body sinu v komplexním oboru: \[ \sin z = \sin(x+\im y) = 0 \iff \sin x\cosh y = 0 \wedge \sinh y \cos x = 0 \iff x=k\pi \wedge y=0. \] Derivace je možné snadno spočítat třeba pomocí pravidla o derivování mocninné řady člen po členu: \[ \left(e^z\right)'=e^z,\quad (\sin z)'=\cos z,\quad (\cos z)'=-\sin z. \] Prozkoumejme na závěr, zda je exponenciála prostá. Nejprve snadno zjistíme, že $e^{z_1}=e^{z_2}$ právě tehdy, když $e^{z_1-z_2}=1$. Potřebujeme tedy zjistit, pro která $z$ je $e^z=1$. K tomu opět využijeme rozklad na reálnou a imaginární část. Podmínka \[ e^x(\cos y+\im\sin y)=1 \] je splněna právě tehdy, když $e^x\sin y=0$ a zároveň $e^x\cos y=1$, což je ekvivalentní tomu, že $x$ lze zvolit libovolně a $y = 2k\pi$. Ukázali jsme tedy, že exponenciála není prostá -- naopak, je periodická s periodou $\im2\pi$. Pro účely definování inverzní funkce, logaritmu, ji budeme muset zúžit na nějaký pás, na němž je exponenciála prostá. Takový pás má pro libovolné $\alpha \in \R$ tvar \[ E_\alpha=\{z\in\C \mid \Im z \in (\alpha-\pi,\alpha+\pi]\}. \] Na každém takovém pásu představuje exponenciála bijekci $E_\alpha \to \C \sm \{0\}$, protože každé nenulové komplexní číslo $z$ lze zapsat ve tvaru $e^x(\cos y+\im\sin y)$; stačí totiž za $e^x$ dosadit $|z|$ a dostaneme známý goniometrický tvar komplexního čísla. Tohoto pozorování zanedlouho využijeme při zavedení logaritmu; nejdřív ale definujeme tzv. argument, což je úhel, který dané číslo svírá s reálnou osou. \begin{define} {\bf Argumentem komplexního čísla} $z$ nazýváme množinu $\Arg z = \{\alpha\in\R \mid z=\abs{z}e^{\im\alpha}\}$. \end{define} \begin{define} Buď $\vartheta\in\R$. Potom je pro $z\neq 0$ množina $\Arg z \cap (\vartheta-\pi,\vartheta+\pi]$ jednoprvková. Její jediný prvek označíme jako $\arg_\vartheta z$, čímž definujeme funkci $\arg_\vartheta \colon \C \sm \{0\} \to (\vartheta-\pi,\vartheta+\pi]$. Funkci $\arg_0$ značíme zkráceně $\arg$. \end{define} \begin{remark} Snadno ověříme, že platí rovnost $\arg_\vartheta z=\arg(ze^{-\im\vartheta})+\vartheta$. \end{remark} \begin{define} Pro libovolné $\vartheta\in\R$ definujeme polopřímku $P_\vartheta=\{te^{\im\vartheta} \mid t\in\R^+\}$. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Funkce $\arg z$ není spojitá na $P_\pi$ a nikde nemá derivaci. (K důkazu toho, že nemá derivaci, lze využít vyjádření z následujícího bodu; pro dokázání mírně slabšího tvrzení stačí využít větu \ref{th:realnaholomorfni}.) \item Pro $z = x + \im y$ lze argument vyjádřit explicitně třeba takto: \[ \arg z=\begin{cases} \arccos\frac{x}{\abs z} & \text{pro } y\ge 0,\\ -\arccos\frac{x}{\abs z} & \text{pro } y<0. \end{cases} \] Je možné využít i vyjádření pomocí $\arcsin$ nebo $\arctg$. \item Jsme také schopni spočítat argument součinu, resp. podílu: %\[\arg z_1z_2=\arg z_1+\arg z_2+2\pi\epsilon,\] %\[\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2+2\pi\epsilon,\] %\[\arg\frac{1}{z}=-\arg z+2\pi\epsilon,\] \[ \begin{split} \arg z_1z_2 &=\arg z_1+\arg z_2+2\pi\epsilon,\\ \arg\frac{z_1}{z_2} &=\arg z_1-\arg z_2+2\pi\epsilon,\\ \arg\frac{1}{z} &=-\arg z+2\pi\epsilon, \end{split} \] přičemž $\epsilon$ volíme $-1$, $0$ nebo $1$ tak, abychom zůstali v~základním intervalu. Kdybychom místo funkcí $\arg$ pracovali s~množinami $\Arg$, nebyli bychom nuceni přičítat $2\pi\epsilon$. \item Nechť funkce $f_1(x,y)$ a $f_2(x,y)$ splňují Cauchyho--Riemannovy podmínky \[\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y},\quad \frac{\pd f_1}{\pd y}=-\frac{\pd f_2}{\pd x}\] a nechť jsou navíc třídy $\c{2}$. Zderivováním první podmínky podle $x$ a druhé podle $y$ získáme \[ \begin{split} \frac{\pd^2 f_1}{\pd x^2} &=\frac{\pd^2 f_2}{\pd x\pd y},\\ \frac{\pd^2 f_1}{\pd y^2} &=-\frac{\pd^2 f_2}{\pd y\pd x}. \end{split} \] Když obě rovnosti sečteme a využijeme záměnnosti parciálních derivací, dostaneme $\Delta f_1=0$. Analogickým postupem bychom odvodili i $\Delta f_2=0$. Obě funkce $f_1$, $f_2$ jsou tedy harmonické, čehož se využívá například při modelování profilů letadel. \end{enumerate} \end{remark} Nyní se pustíme do zkoumání logaritmu, tj. inverzní funkce k exponenciále. \begin{define} Zaveďme množinu $\Ln z=\{w\in\C \mid z=e^w\}$. Pokud chceme, aby byl logaritmus funkce, musíme se zúžit na některý z pásů $E_\vartheta$. Definujme tedy pro $z \neq 0$ hodnotu $\ln_\vartheta z$ dvojicí podmínek \[ \ln_\vartheta z\in\Ln z \wedge \Im\Ln_\vartheta z\in (\vartheta-\pi,\vartheta+\pi]. \] Speciálně označme $\ln = \ln_0$ a nazvěme tuto funkci {\bf logaritmus komplexního čísla}. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Když hledáme logaritmus komplexního čísla $z$, rozepišme ho na reálnou a imaginární část: $\ln_\vartheta z=u+\im v$. Dostáváme podmínku $z = e^u e^{\im v} = e^u (\cos v + \im\sin v)$. Zjevně $\abs z = e^u$ a $v = \arg_\vartheta z$, tj. \[ \ln_\vartheta z=\ln\abs{z}+\im\arg_\vartheta z. \] Speciálně platí $\ln z=\ln\abs{z}+\im\arg z$. \item Spočítejme, zda má logaritmus derivaci v bodě $z \neq 0$. Víme, že $\Re{\ln z}=\ln\sqrt{x^2+y^2}$, $\Im{\ln z}=\arg z$. Určeme nejprve derivaci reálné a imaginární části. \[ \begin{split} \left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)' &= \frac{x}{x^2+y^2}\d x+ \frac{y}{x^2+y^2}\d y,\\ \left(\arg z\right)' &= -\frac{y}{x^2+y^2}\d x+ \frac{x}{x^2+y^2}\d y,\\ \end{split} \] ale pouze mimo polopřímku $P_\pi$, na níž je argument nespojitá funkce, a nemůže tedy mít derivaci. Obě funkce $f_1$, $f_2$ mají totální derivaci (parciální derivace jsou totiž spojité) a zároveň zjevně platí Cauchyho--Riemannovy podmínky. Podle věty \ref{th:komplexnidiferencovatelnost} proto komplexní derivace existuje. Můžeme ji tedy spočítat limitou přes některou konkrétní podmnožinu, třeba přes reálnou přímku. Obecně v případě existence derivace platí \[(f(z_0))'=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}= \lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}= \frac{\pd f_1}{\pd x}(x_0,y_0)+\im\frac{\pd f_2}{\pd x}(x_0,y_0);\] v případě logaritmu tedy dostáváme \[(\ln z)'=\frac{x}{x^2+y^2}-\im\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{\overline z}{z\overline z}=\frac1z.\] \item\footnote{Této části moc nerozumím a v našem ročníku ji Vrána neprobíral. Mazat se mi ji nechtělo, ale berte ji s~ještě větší rezervou než zbytek textu.} Analogicky s~reálnými funkcemi definujeme \[\argsinh z=\ln\left(z+\sqrt{1+z^2}\right),\quad \argcosh z=\ln\left(z+\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}\right),\quad \argtgh z=\frac12\ln\frac{1+z}{1-z}.\] (Definice $\argcosh$ se může zdát podivná, ale rovnost $\sqrt{z-1}\sqrt{z+1} = \sqrt{z^2-1}$ obecně pro komplexní odmocninu neplatí.) %http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root \[ \arcsin z=-\im\ln\left(\im z+\sqrt{1-z^2}\right),\quad \arccos z=-\im\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)=-\im\ln\left(z+\im\sqrt{1-z^2}\right),\] \[\arctg z=\frac{\im}{2}\ln\left(\frac{1-\im z}{1+\im z}\right)\] \item Pro $z \neq 0, \alpha\in\C$ můžeme definovat $z^\alpha=e^{\alpha\ln z}$; tato definice je jednoznačná. Lepší\footnote{Citation needed.} je definovat obecnou mocninu jako \uv{víceznačnou funkci}, tj. jako množinu (obdobně jako $\Ln$ a $\Arg$): \[ z^\alpha = e^{\Ln z} = \{ e^{\alpha\ln z+\alpha\,2k\pi\im} \mid k\in \Z \}. \] Mohlo by se zdát, že má množina $z^\alpha$ vždy nekonečně mnoho prvků. Tak tomu ale není, neboť exponenciála je periodická s periodou $2\pi \im$. To má za následek, že pro $\Re\alpha \in \Z$ a $\Im\alpha = 0$ je $z^\alpha$ definováno jednoznačně. Pro $\Re\alpha \in \Q$ a $\Im\alpha = 0$ má množina $q$ prvků, kde $q$ je jmenovatel $\Re\alpha$ ve zkráceném tvaru. (V komplexních číslech tedy například existuje pět pátých odmocnin.) A pokud je $\Re\alpha$ iracionální nebo $\Im\alpha \neq 0$, pak je prvků skutečně nekonečně mnoho. Pro $\Im\alpha = 0$ se kořeny nacházejí na kružnici, pro $\Re\alpha = 0$ na polopřímce a pro $\Re\alpha \neq 0 \wedge \Im\alpha \neq 0$ jsou umístěny na spirále. Například \[ \begin{split} \im^{\im} &= \{e^{\im\left( \frac\pi2\im +2k\pi\im \right)} \mid k\in\Z\} = \{e^{-\frac\pi2 - 2k\pi} \mid k\in \Z\} \subset \R; \\ {x}^{\frac{3}{5}} &= \{ e^{\frac{3}{5}\ln x}e^{ \frac{3}{5}\,2k\pi\im} \mid k\in \hat 5 \};\\ {x}^{\sqrt{2}} &= \{e^{\sqrt{2}\ln x}e^{ \sqrt{2}\,2k\pi\im} \mid k\in \Z\}. \end{split} \] Podobný problém s nejednoznačností nastává i u dalších funkcí, k jejichž definici se použil logaritmus, tedy $\arcsin$, $\argsinh$, $\ldots$ \end{enumerate} \end{remark}