01MAA4:Kapitola36: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Přidání části o původu Cauchy-Riemann podmínek + celková úprava.) |
(Odebrání přebytečných informací nad rámec výkladu.) |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01MAA4} | %\wikiskriptum{01MAA4} | ||
\section{Komplexní derivace} | \section{Komplexní derivace} | ||
− | + | ||
− | + | Studujeme funkce $\C\mapsto\C$. $\C$ je normovaný prostor, izomorfní | |
− | + | s~$\R^2$ ($\C \cong\R^2$) a z~hlediska topologie nerozeznatelný. Nevyužívali jsme však | |
− | + | toho, že $\C$ je těleso (uzavřené na součin prvků). | |
− | + | ||
− | + | Izomorfismus mezi $\R^2\mapsto\C$: | |
− | + | $f(z)=f(x+iy)=f(x,y)$. | |
+ | |||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | + | Buď $f:\C\mapsto\C$, $z_0\in\vn{(\df f)}$. Pak existuje-li limita | |
− | + | \[\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},\] | |
− | + | říkáme, že funkce $f$ má v~$z_0$ (komplexní) derivaci. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | |
− | + | ||
\end{define} | \end{define} | ||
− | + | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
\[ | \[ | ||
\begin{split} | \begin{split} | ||
− | + | \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\alpha&\iff | |
− | + | \lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}} | |
− | + | \frac{\abs{h}}{h}=0\iff\\ | |
+ | &\iff\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}=0, | ||
\end{split} | \end{split} | ||
\] | \] | ||
− | + | to je dále ekvivalentní s~nulovostí dvou reálných limit | |
− | \ | + | \[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_1(z_0+h)-f_1(z_0)- |
− | + | \alpha_1h_1+\alpha_2h_2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\] | |
− | \ | + | a |
− | \ | + | \[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_2(z_0+h)-f_2(z_0)- |
− | + | \alpha_1h_2-\alpha_2h_1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\] | |
− | \ | + | a dále pro $h_1=0$, případně $h_2=0$ s~{\bf Cauchyho-Riemannovými podmínkami}: |
− | + | \[\exists f_1'(x_0,y_0)\wedge\exists f_2'(x_0,y_0)\wedge | |
− | \ | + | \alpha_1=\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y}\wedge |
− | + | \alpha_2=\frac{\pd f_2}{\pd x}=-\frac{\pd f_1}{\pd y}\] | |
− | \ | + | |
− | \ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | |
− | \ | + | |
− | + | ||
− | \ | + | |
\end{remark} | \end{remark} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | \begin{example} | |
− | + | $f(z)=\overline{z}$ už nemá derivaci. | |
− | + | \end{example} | |
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
− | Nechť $f,g$ | + | Nechť $f,g$ mají derivaci v~$z_0$. Pak |
\begin{enumerate}[(i)] | \begin{enumerate}[(i)] | ||
− | \item $( | + | \item $(f+cg)'(z_0)=f'(z_0)+cg'(z_0)$, |
\item $(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$. | \item $(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$. | ||
\item Jestliže $g'(z_0)\not=0$, pak | \item Jestliže $g'(z_0)\not=0$, pak | ||
\[\left(\frac1g\right)'(z_0)=-\frac{1}{g^2(z_0)}g'(z_0).\] | \[\left(\frac1g\right)'(z_0)=-\frac{1}{g^2(z_0)}g'(z_0).\] | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 292: | Řádka 53: | ||
Nechť $\exists f'(g(z_0))$, $\exists g'(z_0)$. Pak | Nechť $\exists f'(g(z_0))$, $\exists g'(z_0)$. Pak | ||
$(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$. | $(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
Řádka 323: | Řádka 77: | ||
\] | \] | ||
\[\cos^2 z+\sin^2 z= \cos z \cos -z -\sin z \sin -z = \cos(z-z)=1\] | \[\cos^2 z+\sin^2 z= \cos z \cos -z -\sin z \sin -z = \cos(z-z)=1\] | ||
− | ale $\cos^2 z$ a $\sin^2 z$ už nemusí ležet v intervalu $\left | + | ale $\cos^2 z$ a $\sin^2 z$ už nemusí ležet v intervalu $\left<0,1\right>$ |
\[\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2},\quad\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\] | \[\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2},\quad\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\] | ||
\[e^{x+\im y}=e^x e^{\im y}=e^x(\cos y+\im\sin y),\quad | \[e^{x+\im y}=e^x e^{\im y}=e^x(\cos y+\im\sin y),\quad | ||
Řádka 344: | Řádka 98: | ||
\[e^x\cos y=1\implies y=2k\pi\] | \[e^x\cos y=1\implies y=2k\pi\] | ||
$e^z$ není prostá, je prostá na množině | $e^z$ není prostá, je prostá na množině | ||
− | \[E_\alpha=\{z\in\C | + | \[E_\alpha=\{z\in\C|\Im z=y\in(\alpha-\pi,\alpha+\pi\ra\}\] |
\[z\in\C\sm\{0\},\quad z=\abs{z}(\cos\alpha+\im\sin\alpha)\] | \[z\in\C\sm\{0\},\quad z=\abs{z}(\cos\alpha+\im\sin\alpha)\] | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
Řádka 350: | Řádka 104: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
{\bf Argumentem komplexního čísla} $z$ nazýváme množinu | {\bf Argumentem komplexního čísla} $z$ nazýváme množinu | ||
− | $\{\alpha\in\R | + | $\{\alpha\in\R|z=\abs{z}e^{\im\alpha}\}=\Arg z$. |
\end{define} | \end{define} | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
Buď $\vartheta\in\R$. Potom | Buď $\vartheta\in\R$. Potom | ||
− | $\Arg z\cap | + | $\Arg z\cap(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\ra\ni\arg_\vartheta z$ je jednoprvková |
množina, tím definujeme funkci pro $z$. Zkráceně $\arg=\arg_0$. | množina, tím definujeme funkci pro $z$. Zkráceně $\arg=\arg_0$. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 365: | Řádka 119: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
Buď $\vartheta\in\R$, definujeme | Buď $\vartheta\in\R$, definujeme | ||
− | $P_\vartheta=\{z | + | $P_\vartheta=\{z|z=te^{\im\vartheta},\ t>0\}$. |
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 383: | Řádka 137: | ||
přičemž $\epsilon$ volím $-1$, $0$ nebo $1$ tak, abych zůstal v | přičemž $\epsilon$ volím $-1$, $0$ nebo $1$ tak, abych zůstal v | ||
základním intervalu. | základním intervalu. | ||
+ | \item Nechť platí pro funkce $f_1(x,y)$ a $f_2(x,y)$ Cauchy-Riemannovy | ||
+ | podmínky a nechť jsou třídy $\c{2}$. | ||
+ | \[\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y},\quad | ||
+ | \frac{\pd f_1}{\pd y}=-\frac{\pd f_2}{\pd x},\] | ||
+ | zkoumáme | ||
+ | \[\frac{\pd^2 f_1}{\pd x^2}=\frac{\pd^2 f_2}{\pd x\pd y}\] | ||
+ | \[\frac{\pd^2 f_1}{\pd y^2}=-\frac{\pd^2 f_2}{\pd y\pd x}\] | ||
+ | Sečtením dostaneme $\Delta f_1=0$ a analogicky $\Delta f_2=0$ (harmonické funkce). | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
Řádka 391: | Řádka 153: | ||
$e^w=e^u e^{\im v}$ | $e^w=e^u e^{\im v}$ | ||
\[\ln_\vartheta z\in\Ln z\wedge | \[\ln_\vartheta z\in\Ln z\wedge | ||
− | \Im | + | \Im\Ln_\vartheta z\in(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\ra\] |
\[\ln_\vartheta z=\ln\abs{z}+\im\arg_\vartheta z\] | \[\ln_\vartheta z=\ln\abs{z}+\im\arg_\vartheta z\] | ||
a definujeme {\bf logaritmus komplexního čísla}: | a definujeme {\bf logaritmus komplexního čísla}: | ||
$\ln z=\ln\abs{z}+\im\arg z$. | $\ln z=\ln\abs{z}+\im\arg z$. | ||
− | \item Má logaritmus derivaci? $\Re | + | \item Má logaritmus derivaci? $\Re\ln z=\ln\sqrt{x^2+y^2}$, $\Im\ln |
− | z | + | z=\arg z$. |
\[\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'=\frac{x}{x^2+y^2}\d x+ | \[\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'=\frac{x}{x^2+y^2}\d x+ | ||
\frac{y}{x^2+y^2}\d y,\] | \frac{y}{x^2+y^2}\d y,\] | ||
Řádka 417: | Řádka 179: | ||
\arcsin z=-\im\ln\left(\im z+\sqrt{1-z^2}\right),\quad | \arcsin z=-\im\ln\left(\im z+\sqrt{1-z^2}\right),\quad | ||
\arccos z=-\im\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)=-\im\ln\left(z+\im\sqrt{1-z^2}\right),\] | \arccos z=-\im\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)=-\im\ln\left(z+\im\sqrt{1-z^2}\right),\] | ||
− | \[\arctg z=\frac{ | + | \[\arctg z=\frac{i}{2}\ln\left(\frac{1-\im z}{1+\im z}\right)\] |
\item Pro $z,\alpha\in\C$ | \item Pro $z,\alpha\in\C$ |
Verze z 6. 2. 2015, 12:19
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Komplexní derivace} Studujeme funkce $\C\mapsto\C$. $\C$ je normovaný prostor, izomorfní s~$\R^2$ ($\C \cong\R^2$) a z~hlediska topologie nerozeznatelný. Nevyužívali jsme však toho, že $\C$ je těleso (uzavřené na součin prvků). Izomorfismus mezi $\R^2\mapsto\C$: $f(z)=f(x+iy)=f(x,y)$. \begin{define} Buď $f:\C\mapsto\C$, $z_0\in\vn{(\df f)}$. Pak existuje-li limita \[\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},\] říkáme, že funkce $f$ má v~$z_0$ (komplexní) derivaci. \end{define} \begin{remark} \[ \begin{split} \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\alpha&\iff \lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}} \frac{\abs{h}}{h}=0\iff\\ &\iff\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}=0, \end{split} \] to je dále ekvivalentní s~nulovostí dvou reálných limit \[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_1(z_0+h)-f_1(z_0)- \alpha_1h_1+\alpha_2h_2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\] a \[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_2(z_0+h)-f_2(z_0)- \alpha_1h_2-\alpha_2h_1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\] a dále pro $h_1=0$, případně $h_2=0$ s~{\bf Cauchyho-Riemannovými podmínkami}: \[\exists f_1'(x_0,y_0)\wedge\exists f_2'(x_0,y_0)\wedge \alpha_1=\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y}\wedge \alpha_2=\frac{\pd f_2}{\pd x}=-\frac{\pd f_1}{\pd y}\] \end{remark} \begin{example} $f(z)=\overline{z}$ už nemá derivaci. \end{example} \begin{theorem} Nechť $f,g$ mají derivaci v~$z_0$. Pak \begin{enumerate}[(i)] \item $(f+cg)'(z_0)=f'(z_0)+cg'(z_0)$, \item $(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$. \item Jestliže $g'(z_0)\not=0$, pak \[\left(\frac1g\right)'(z_0)=-\frac{1}{g^2(z_0)}g'(z_0).\] \end{enumerate} \end{theorem} \begin{theorem} Nechť $\exists f'(g(z_0))$, $\exists g'(z_0)$. Pak $(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$. \end{theorem} \begin{remark} \[e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}\] \[e^{\im z}=\cos z+\im\sin z\] \[\sin z=\frac{e^{\im z}-e^{-\im z}}{2\im},\quad \cos z=\frac{e^{\im z}+e^{-\im z}}{2}\] Platí, že $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$: \[\sum_{n=0}^\infty\frac{z_1^n}{n!}\sum_{n=0}^\infty\frac{z_2^n}{n!}= \sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\sum_{n=0}^\infty n! \frac{z_1^k z_2^{n-k}}{k!(n-k)!}= \sum_{n=0}^\infty\frac{(z_1+z_2)^n}{n!}\] \[ \sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1},\quad \cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n} \] \[\sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2\] \[\cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2\] \[ \sin(z+2k\pi)=\sin z,\quad \cos(z+2k\pi)=\cos z,\quad \sin\left(\frac{\pi}2-z\right)=\cos z \] \[\cos^2 z+\sin^2 z= \cos z \cos -z -\sin z \sin -z = \cos(z-z)=1\] ale $\cos^2 z$ a $\sin^2 z$ už nemusí ležet v intervalu $\left<0,1\right>$ \[\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2},\quad\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\] \[e^{x+\im y}=e^x e^{\im y}=e^x(\cos y+\im\sin y),\quad \cos z = \cosh\im z,\quad\sin z=-\im\sinh\im z\] \[\sin(x+\im y)=\sin x\cos\im y+\sin\im y\cos x= \sin x \cosh y+\im\sinh y\cos x\] \[\cos(x+\im y)=\cos x\cosh y-\im\sin x\sinh y\] Nulové body: \[\sin z=\sin(x+\im y)=0\iff \sin x\cosh y=0\wedge\sin y\cos x=0\iff x=k\pi\iff y=0.\] Derivace: \[\left(e^z\right)'=e^z,\quad (\sin z)'=\cos z,\quad (\cos z)'=-\sin z\] Prostota $e^z$: \[e^{z_1}=e^{z_2}\iff e^{z_1-z_2}=1\] \[e^x(\cos y+\im\sin y)=1\] \[e^x\sin y=0\implies y=k\pi\] \[e^x\cos y=1\implies y=2k\pi\] $e^z$ není prostá, je prostá na množině \[E_\alpha=\{z\in\C|\Im z=y\in(\alpha-\pi,\alpha+\pi\ra\}\] \[z\in\C\sm\{0\},\quad z=\abs{z}(\cos\alpha+\im\sin\alpha)\] \end{remark} \begin{define} {\bf Argumentem komplexního čísla} $z$ nazýváme množinu $\{\alpha\in\R|z=\abs{z}e^{\im\alpha}\}=\Arg z$. \end{define} \begin{define} Buď $\vartheta\in\R$. Potom $\Arg z\cap(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\ra\ni\arg_\vartheta z$ je jednoprvková množina, tím definujeme funkci pro $z$. Zkráceně $\arg=\arg_0$. \end{define} \begin{theorem} $\arg_\vartheta z=\arg(ze^{-\im\vartheta})+\vartheta$. \end{theorem} \begin{define} Buď $\vartheta\in\R$, definujeme $P_\vartheta=\{z|z=te^{\im\vartheta},\ t>0\}$. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item $\arg z$ nemá derivaci, není spojitá na $P_\pi$. \item \[ \arg z=\begin{cases} \arccos\frac{x}{\abs z} & y\ge 0\\ -\arccos\frac{x}{\abs z} & y<0. \end{cases} \] \item \[\arg z_1z_2=\arg z_1+\arg z_2+2\pi\epsilon,\] \[\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2+2\pi\epsilon,\] \[\arg\frac{1}{z}=-\arg z+2\pi\epsilon,\] přičemž $\epsilon$ volím $-1$, $0$ nebo $1$ tak, abych zůstal v základním intervalu. \item Nechť platí pro funkce $f_1(x,y)$ a $f_2(x,y)$ Cauchy-Riemannovy podmínky a nechť jsou třídy $\c{2}$. \[\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y},\quad \frac{\pd f_1}{\pd y}=-\frac{\pd f_2}{\pd x},\] zkoumáme \[\frac{\pd^2 f_1}{\pd x^2}=\frac{\pd^2 f_2}{\pd x\pd y}\] \[\frac{\pd^2 f_1}{\pd y^2}=-\frac{\pd^2 f_2}{\pd y\pd x}\] Sečtením dostaneme $\Delta f_1=0$ a analogicky $\Delta f_2=0$ (harmonické funkce). \end{enumerate} \end{remark} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Zavedeme množinu $\Ln z=\{w\in\C|z=e^w\}$, $w=u+\im v$, $e^w=e^u e^{\im v}$ \[\ln_\vartheta z\in\Ln z\wedge \Im\Ln_\vartheta z\in(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\ra\] \[\ln_\vartheta z=\ln\abs{z}+\im\arg_\vartheta z\] a definujeme {\bf logaritmus komplexního čísla}: $\ln z=\ln\abs{z}+\im\arg z$. \item Má logaritmus derivaci? $\Re\ln z=\ln\sqrt{x^2+y^2}$, $\Im\ln z=\arg z$. \[\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'=\frac{x}{x^2+y^2}\d x+ \frac{y}{x^2+y^2}\d y,\] \[\left(\arg z\right)'=-\frac{y}{x^2+y^2}\d x+ \frac{x}{x^2+y^2}\d y,\] takže Cauchyho-Riemannovy podmínky platí a derivace existuje. Můžeme se proto omezit na nějakou konkrétní podmnožinu. \[(f(z_0))'=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}= \lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}= \frac{\pd f_1}{\pd x}(x_0,y_0)+\im\frac{\pd f_2}{\pd x}(x_0,y_0)\] \[(\ln z)'=\frac{x}{x^2+y^2}-\im\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{\overline z}{z\overline z}=\frac1z.\] \item Analogicky s~reálnými funkcemi definujeme \[\argsinh z=\ln\left(z+\sqrt{1+z^2}\right),\quad \argcosh z=\ln\left(z+\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}\right),\quad \argtgh z=\frac12\ln\frac{1+z}{1-z}.\] $\sqrt{z-1}\sqrt{z+1} = \sqrt{z^2-1}$ obecně pro komplexní odmocninu neplatí. %http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root \[ \arcsin z=-\im\ln\left(\im z+\sqrt{1-z^2}\right),\quad \arccos z=-\im\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)=-\im\ln\left(z+\im\sqrt{1-z^2}\right),\] \[\arctg z=\frac{i}{2}\ln\left(\frac{1-\im z}{1+\im z}\right)\] \item Pro $z,\alpha\in\C$ \[z^\alpha=e^{\alpha\ln z},\] pokud $z\not=0$, tato definice je jednoznačná. Lepší je \[ z^\alpha=e^{\alpha\ln z+\alpha\,2k\pi\im} \quad k\in \Z \] exponenciála je periodická s periodou $2\pi \im$. To má za následek, že pro $\Re\alpha \in \N$ a $\Im\alpha = 0$ je $z^\alpha$ definováno jednoznačně. Pro $\Re\alpha \in \Q \Rightarrow \Re\alpha = \frac{p}{q} $ a $\Im\alpha = 0$ je možných $q$ kořenů. A pokud je $\Re\alpha$ iracionální a nebo $\Im\alpha \neq 0$, pak je kořenů dokonce nekonečně mnoho. Pro $\Im\alpha = 0$ se kořeny nachází na kružnici, pro $\Re\alpha = 0$ na polopřímce a pro $\Re\alpha \neq 0 \wedge \Im\alpha \neq 0$ jsou umístěny kořeny na spirále. Podobný problém nastává i u dalších funkcí, k jejichž definici se použil logaritmus, tedy arcsin, argsinh, $\ldots$ %http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_surface \begin{example} \[\im^{\im}=e^{\im\left( \frac\pi2\im +2k\pi\im \right)}=e^{-\frac\pi2 - 2k\pi} \quad k\in \Z \] \[{x}^{\frac{3}{5}} = e^{\frac{3}{5}\ln x}e^{ \frac{3}{5}\,2k\pi\im}\quad k\in \hat 5 \] \[{x}^{\sqrt{2}} = e^{\sqrt{2}\ln x}e^{ \sqrt{2}\,2k\pi\im}\quad k\in \Z \]. \end{example} \end{enumerate} \end{remark}