01MAA4:Kapitola36: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Přidání části o původu Cauchy-Riemann podmínek + celková úprava.)
(Odebrání přebytečných informací nad rámec výkladu.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{01MAA4}
 
%\wikiskriptum{01MAA4}
 
\section{Komplexní derivace}
 
\section{Komplexní derivace}
 
+
Komplexní analýza se jakožto poslední kapitoly výkladu MAA4 obvykle nestíhají a tak je Vrána přednáší poměrně chaoticky. Výhodou budiž, že u zkoušky pak chce jen to, co odpřednášel. Zde je komplexní analýza probraná podrobněji, vybudovaná je však na základech dosavadních znalostí. Přednáška začíná od \ref{dif v C}.\ref{lecture C}.
+
Studujeme funkce $\C\mapsto\C$. $\C$ je normovaný prostor, izomorfní
 
+
s~$\R^2$ ($\C \cong\R^2$) a z~hlediska topologie nerozeznatelný. Nevyužívali jsme však
\begin{remark}
+
toho, že $\C$ je těleso (uzavřené na součin prvků).
Množina komplexních čísel $\C$ je normovaný lineární prostor, jenž je s~$\R^2$ izomorfní ($\C\cong\R^2$), izometrický a z~hlediska topologie nerozeznatelný. Nevyužívali jsme však toho, že $\C$ je těleso (uzavřené na součin prvků, tj. dvousložkových vektorů v $\R^2$). Podobně existují kvaterniony $\mathbb{H}\cong\R^4$ a oktoniony $\mathbb O\cong\R^4$ --- ty však nejsou komutativní ani asociativní.
+
\end{remark}
+
Izomorfismus mezi $\R^2\mapsto\C$:
 
+
$f(z)=f(x+iy)=f(x,y)$.
 +
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Komplexní číslo $z\in\C$ zapisujeme ve tvaru
+
Buď $f:\C\mapsto\C$, $z_0\in\vn{(\df f)}$. Pak existuje-li limita
\[
+
\[\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},\]
z=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=x+\im y \qquad x,y\in\R.
+
říkáme, že funkce $f$ má v~$z_0$ (komplexní) derivaci.
\]
+
Tomuto zápisu říkáme {\bf algebraický tvar} komplexního čísla $z$ a definujeme pro něj
+
\begin{itemize}
+
\item reálnou část $x=\Re z$ ,
+
\item imaginární část $y=\Im z$,
+
\item komplexně sdružené číslo $\z=x-\im y$,
+
\item zobrazení $\abs{\cdot}:\C\mapsto\R$ definované $\abs{z}=\sqrt{x^2+y^2}$, nazveme jej {\bf modul} komplexního čísla $z$.
+
\end{itemize}
+
 
\end{define}
 
\end{define}
 
+
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
 
\item Algebraický tvar komplexního čísla slouží jako izomorfismus $\R^2\leftrightarrow\C$.
 
\item Modul komplexního čísla slouží jako izometrie $\R^2\leftrightarrow\C$: $\norm{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=\abs{z}$.
 
\item $\forall z\in\C$ platí $z\z=\abs{z}^2,\quad \abs{z}=\abs{\z}$
 
\setlength{\itemsep}{6pt}
 
\item $\forall z_1,z_2\in\C$ platí $\abs{z_1\cdot z_2}=\abs{z_1}\cdot\abs{z_2}, \quad \abs{z_1+z_2}\leq\abs{z_1}+\abs{z_2},\quad
 
\abs{z_1-z_2}\geq\abs{\abs{z_1}-\abs{z_2}}$
 
\item $\forall z_1,z_2\in\C$ platí $\displaystyle\frac{z_1}{z_2}\frac{\z_2}{\z_2}=\frac{z_1\z_2}{\abs{z_2}^2},$ kde čitatel $z_1\z_2\in\C$ a jmenovatel $\abs{z_2}^2\in\R$.
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
 
\begin{define}
 
Zavedeme množinu rozšířených komplexních čísel $\C^* = \mathbb{C} \cup \{\infty\}  $ a definujeme:
 
\begin{enumerate}[(I)]
 
\setlength{\itemsep}{6pt}
 
\item $ z \pm \infty = \infty \qquad \forall z \in \C$
 
\item $ z \cdot \infty = \infty \qquad \forall z \in \C^* \sm \{0\}$
 
\item $ \displaystyle\frac{z}{\infty} = 0 \qquad \forall z \in \C$
 
\item $ \displaystyle\frac{z}{0} = \infty \qquad \forall z \in \C^* \sm \{0\}$
 
\end{enumerate}
 
Nedefinujeme tyto neurčité výrazy: $\infty + \infty$, $0 \cdot \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$.
 
\end{define}
 
 
\begin{define}
 
\label{komp.fce}
 
Nechť $u,v:\R^2\mapsto\R$ reálné funkce. {\bf Komplexní funkce} $z\mapsto f(z)$ je zobrazení
 
\[
 
f(z)=f(x+\im y)=f(x,y)=\underbrace{u(x,y)}_{\Re f}+\im \underbrace{v(x,y)}_{\Im f}.
 
\]
 
\end{define}
 
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\item \label{baze df} Komplexní funkce lze chápat jako zobrazení $\R^2\cong\C\mapsto\C$. Naším cílem bude zavést derivaci komplexních funkcí, k čemuž užijeme nově nabytého aparátu diferenciálních forem. Ztotožníme-li $f(z),~\z\in\C~$ s $f(x,y)$, kde $x,y\in\R$, pak vnější derivace funkce $f(x,y)$ jakožto 0-formy $f$ je její totální diferenciál $\d f$:
 
\[\d f=\frac{\pd f}{\pd x}\dx + \frac{\pd f}{\pd y}\dy,\] budeme však hledat vyjádření $\d f$ v lepším tvaru.
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
 
\begin{example}
 
Uvažujme komplexní funkci $f(z)=z^2$. Užitím definice získáme
 
\[f(z)=f(x+\im y)=(x+\im y)^2=x^2+2\im xy-y^2=\underbrace{x^2-y^2}_{u(x,y)}+ \im \underbrace{2xy}_{v(x,y)},\]
 
kde funkce $u,v$ jsou definované $\forall \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \in \R^2$, $f$ je tedy definována $\forall z \in \C$. Proveďme vnější derivaci.
 
\[\d f=\d(x^2-y^2)+ \im\,\d(2xy)=\underbrace{2x\dx-2y\dy}_{\d u}+\im\underbrace{2(y\dx+x\dy)}_{\d v}=2x \dx-2y \dy+2y~\im \d x+2x~\im\d y\]
 
Z tohoto výsledku plynou dva fakty:
 
\begin{itemize}
 
\item Výsledek je jistě správný, ale nepříliš elegantní.
 
\item 1-forma $\d f$ je nakombinovaná ze čtyř bázových kovektorů $\dx,\dy,\im\dx,\im\dy$. Zřejmě jsou to generátory prostoru komplexních diferenciálních forem. Jsou však násobeny reálnými funkcemi $x,y$.
 
\end{itemize}
 
Intuitivně předpokládáme, že je-li $f(z)=z^2$, pro její vnější derivaci bude platit $\d f=2z\dz$, tedy v~jazyce funkcí $(z^2)'=2z$. Dosadíme-li $z=x+\im y$ a $\dz=\d x+\im\d y$, následným výpočtem ověříme, že se skutečně dostaneme k výsledku výše. Je však třeba ověřit korektnost tohoto způsobu.
 
\end{example}
 
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\setcounter{enumi}{1}
 
\item \label{dz,dzz} Namísto čtyř generátorů (s reálnými \uv{lineárními kombinacemi}\footnote{Formálně se nejedná o lineární kombinace, je to stále stejný příklad jako \ref{difkform}.}) však stačí používat jen dva jiné vhodně vybrané generátory, jakmile připustíme komplexní \uv{lineární kombinace} (snížením počtu generátorů je třeba rozšířit výběr koeficientů na vygenerování téhož prostoru).
 
 
Vztahy mezi komplexním číslem $z$, sdruženým číslem $\z$, $\Re z$ a $\Im z$ nám vlastně definují dvě sady souřadnicových funkcí na $\C$:
 
\[
 
z=x+\im y,\qquad \z=x-\im y\qquad\text{a}\qquad  x=\frac{z+\z}{2}\qquad y=\frac{z-\z}{2\im}.
 
\]
 
Definujme následující 1-formy na $\R^2$ s hodnotami v $C$ jakožto formální vnější derivace těchto funkcí, tj.
 
\[
 
\dz=\dx+\im\dy,\qquad \dzz=\dx-\im\dy,\qquad \dx=\frac{\dz+\dzz}{2},\qquad \dy=\frac{\dz-\dzz}{2\im}.
 
\]
 
Ač $z$ a $\z$ vzájemně souvisí, $\dz$ a $\dzz$ jsou lineárně nezávislé ve smyslu následujícího lemmatu.
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
 
\begin{lemma}
 
Nechť $g, h:\C\mapsto\C$. Jestliže $g\dz+h\dzz=0$, pak $g=0$ a $h=0$.
 
\begin{proof}
 
Dosazením \ref{komp.fce}.\ref{dz,dzz} do rovnosti získáme
 
\[
 
g(\d x+\im\dy)+h(\d x-\im\dy)=0.
 
\]
 
To je však ekvivalentní \[
 
(g+h)\dx+(\im g-\im h)\dy=0.
 
\]
 
Vzhledem k tomu, že $\dx$ a $\dy$ tvoří bázi prostoru reálných 1-forem na $\R^2$, platí $g+h=0$ a $\im g-\im h=0$. Odsud již nutně $g=0$ a $h=0$.
 
\end{proof}
 
\end{lemma}
 
 
\begin{remark}
 
Kovektor $\d z$ by k vygenerování prostoru komplexních diferenciálních forem nestačil, druhý člen báze $\dzz$ tedy není nadbytečný.
 
\end{remark}
 
 
\begin{theorem}
 
Komplexní diferenciální 1-formu $\boldsymbol\omega$ lze zapsat ve tvaru
 
\[
 
\boldsymbol\omega=g\dz+h\dzz,
 
\]
 
kde $g(z,\z)=u(x,y)+\im v(x,y)$ a $h(z,\z)=\tilde u(x,y)+\im\tilde v(x,y)$ jsou nezávislé komplexní funkce.
 
\begin{proof}
 
Z lemmatu plyne lineární závislost souboru ($\d z,\dzz$). Funkce $g, h$ se dají interpretovat jako funkce v dvourozměrné Gaussově rovině, jejichž přepis do proměnných $z,\z$ (namísto $x,y$) si vyžaduje obecně obě souřadnice. Např. $x^2+y^2=z\z$, takže $g$ i $h$ musí být funkce od proměnných $z,\z$.
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
 
\begin{remark}
 
Tato věta nám umožňuje zapsat totální diferenciál $\d f$ (kde $f$ je komplexní funkce) v~bázi ($\d z,\dzz$) namísto báze ($\d x,\dy$) v~\ref{komp.fce}.\ref{baze df}, což je další krok k tomu dopracovat se k elegantním výsledkům komplexních derivací, např. $\d(z^2)=2z\dz,\quad\d(\z^3)=3\z^2\dzz,\quad\d(z^{-1})=-z^2\dz$, atd.
 
\end{remark}
 
 
%\begin{example}
 
%Vyjádříme $\d\abs{z}$ v bázi ($\d z,\dzz$).
 
%\end{example}
 
 
\begin{theorem}
 
\label{complex df}
 
Buď $f(z,\z)$ komplexní funkce a $\d f$ její vnější derivace. Označme
 
\[
 
\frac{\pd}{\pd z}=\frac{1}{2}\left( \frac{\pd }{\pd x}-\im\frac{\pd}{\pd y}\right), \quad
 
\frac{\pd}{\pd\z}=\frac{1}{2}\left( \frac{\pd }{\pd x}+\im\frac{\pd}{\pd y}\right),
 
\]
 
pak lze $\d f$ zapsat ve tvaru
 
\[\d f=\frac{\pd f}{\pd z}\dz + \frac{\pd f}{\pd\z}\dzz.\]
 
\begin{proof}
 
Pomocí posledních dvou rovností v \ref{komp.fce}.\ref{dz,dzz} přepíšeme \ref{komp.fce}.\ref{baze df} následovně:
 
 
\[
 
\[
 
\begin{split}
 
\begin{split}
&\d f=\frac{\pd f}{\pd x}\dx + \frac{\pd f}{\pd y}\dy=
+
\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\alpha&\iff
\frac{\pd f}{\pd x}\underbrace{\frac{1}{2}(\d z+\dzz)}_{\dx}+ \frac{\pd f}{\pd y}\underbrace{\frac{1}{2\im}(\d z-\dzz)}_{\dy}= \\
+
\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}
&=\frac{1}{2}\left(\frac{\pd f}{\pd x}\dz+\frac{\pd f}{\pd x}\dzz\right)-\frac{\im}{2}\left(\frac{\pd f}{\pd y}\dz-\frac{\pd f}{\pd y}\dzz\right)= \underbrace{\frac{1}{2}\left( \frac{\pd f}{\pd x}-\im\frac{\pd f}{\pd y}\right)}_{\displaystyle\frac{\pd f}{\pd z}}\dz +\underbrace{\frac{1}{2}\left( \frac{\pd f}{\pd x}+\im\frac{\pd f}{\pd y}\right)}_{\displaystyle\frac{\pd f}{\pd \z}}\dzz.
+
\frac{\abs{h}}{h}=0\iff\\
 +
&\iff\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}=0,
 
\end{split}
 
\end{split}
 
\]
 
\]
\end{proof}
+
to je dále ekvivalentní s~nulovostí dvou reálných limit
\end{theorem}
+
\[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_1(z_0+h)-f_1(z_0)-
 
+
\alpha_1h_1+\alpha_2h_2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\]
\begin{define}
+
a
\label{wirtinger}
+
\[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_2(z_0+h)-f_2(z_0)-
Parciální diferenciální operátory $\pd_z=\frac{\pd}{\pd z}$ a $\pd_\z =\frac{\pd}{\pd\z}$ nazýváme {\bf Wirtingerovy derivace} nebo též Wirtingerovy operátory.
+
\alpha_1h_2-\alpha_2h_1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\]
\end{define}
+
a dále pro $h_1=0$, případně $h_2=0$ s~{\bf Cauchyho-Riemannovými podmínkami}:
 
+
\[\exists f_1'(x_0,y_0)\wedge\exists f_2'(x_0,y_0)\wedge
\begin{remark}
+
\alpha_1=\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y}\wedge
\begin{enumerate}
+
\alpha_2=\frac{\pd f_2}{\pd x}=-\frac{\pd f_1}{\pd y}\]
\item Často se také v kontextu komplexní analýzy zavádějí {\bf Dolbeaultovy operátory} $\pd=\pd_z\dz$ a $\bar \pd=\pd_\z\dzz$. Vnější derivace má v tomto vyjádření elegantní tvar $\d=\pd +\bar\pd$.
+
\item \label{wirtinger2}Stále však nejsme spokojeni se zavedením totálního diferenciálu komplexních funkcí. Máme-li reálnou funkci $f(x)$, její totální diferenciál je $\d f=f'(x)\dx$. Vzhledem k tomu, že $\C$ je těleso stejně jako $\R$, očekáváme, že totální diferenciál komplexní funkce $\d f=f'(z)\dz$. Porovnáním s~\ref{complex df} zpozorujeme dvě zásadní odlišnosti:
+
\begin{itemize}
+
\item Zcela chybí člen $\displaystyle\bar\pd f=\frac{\pd f}{\pd\z}\dzz$.
+
\item V části $\displaystyle\pd f=\frac{\pd f}{\pd z}\dz$ je funkce $f(z,\z)$ pouze funkcí jedné proměnné $z$, tj. $f(z,\z)=f(z)$.
+
\end{itemize}
+
Ukazuje se, že obě zmíněné odlišnosti jdou zahrnout do jedné podmínky a tou je nezávislost komplexní funkce $f(z,\z)$ na proměnné $\z$. Jakmile je tato podmínka splněna, skutečně platí $\d f=f'(z)\dz$. Funkci $f'$ poté nazveme {\it komplexní derivací} funkce $f$.
+
\end{enumerate}
+
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
\begin{define}
 
\label{CR rce}
 
Parciální diferenciální rovnici $\pd_\z f=0$ nazveme {\bf Cauchyovou-Riemannovou rovnicí} (dále jen CR rovnicí).
 
\end{define}
 
 
\begin{dusl}
 
Jakmile komplexní funkce $f(z,\z)$ splňuje CR rovnici, je poté \uv{pravou} komplexní funkcí \emph{jedné komplexní} proměnné, tj. $f(z):\C\mapsto\C$, a nikoli komplexní funkcí \emph{dvou reálných} proměnných, tj. $f(x,y):\R^2\mapsto\C$ (která odpovídá $f(z,\z)$).
 
\end{dusl}
 
 
\begin{define}
 
\label{dif v C}
 
O funkci $f:\C\mapsto\C$ splňující $\pd_\z f(z_0)=0$ říkáme, že je {\bf diferencovatelná} v $z_0$.
 
\end{define}
 
 
\begin{dusl}
 
Pokud je splněna rovnost $\pd_\z f=0$ v bodě $z_0$, vnější derivace $\d f$ splňuje v bodě $z_0$ vztah $\d f=f'(z)\dz$ dle \ref{wirtinger}.\ref{wirtinger2} a podle \ref{extdif} platí $\d f(z_0)=f'(z_0)$. Funkci $f'(z_0)$ pak nazýváme {\bf (komplexní) derivací} funkce $f$ {\bf v bodě} $z_0$.
 
\end{dusl}
 
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\setlength{\itemsep}{6pt}
 
\item Diferencovatelnost v bodě lze intuitivně definovat i takto (zde začíná přednáška):
 
\label{lecture C}
 
Buď $f(x+\im y):=f(z)$ komplexní funkce, $z_0\in\vn{(\df f)}$. Existuje-li limita
 
\[\lim_{\substack{h\to 0\\h\in\C}}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}:=f'(z_0),\]
 
říkáme, že komplexní funkce $f$ je {\bf diferencovatelná} v~$z_0$ a limitu nazveme derivací $f$ v $z_0$.
 
\item Je-li $f$ je diferencovatelná v $z_0$ podle výše uvedené alternativní definice, musí nevyhnutelně splňovat CR rovnici v bodě $z_0$, tj. $\pd_\z(z_0)=0$.
 
\begin{proof}
 
Pokud limita v alternativní definici existuje, musí být nezávislá na způsobu, jímž se s~$h\in\C$ blížíme k nule. Jdeme-li k nule po reálné ose:
 
\[\lim_{\substack{h\to 0\\h\in\R}}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\frac{\pd f}{\pd x}(z_0),\]
 
musíme získat stejný výsledek, jako půjdeme-li po imaginární ose:
 
\[\lim_{\substack{h\to 0\\h\in\R}}\frac{f(z_0+\im h)-f(z_0)}{\im h}=\frac{1}{\im}\frac{\pd f}{\pd y}(z_0)=-\im\frac{\pd f}{\pd y}(z_0).\]
 
Z rovností těchto limit získáváme
 
\[
 
\frac{\pd f}{\pd x}(z_0)+\im\frac{\pd f}{\pd y}(z_0)=0,
 
\]
 
což je CR rovnice v bodě $z_0$.
 
\end{proof}
 
 
\item \label{CR} Funkci $f(x,y)=u(x,y)+\im v(x,y)$ splňuje CR rovnici právě když:
 
\[
 
0=\frac{\pd f}{\pd\z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\pd f}{\pd x}+\im\frac{\pd f}{\pd y}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\pd u}{\pd x}+\im\frac{\pd v}{\pd x}+\im\frac{\pd u}{\pd y}-\frac{\pd v}{\pd y}\right)
 
\quad\iff\quad
 
\frac{\pd u}{\pd x}=\frac{\pd v}{\pd y}
 
\quad\text{a}\quad
 
\frac{\pd v}{\pd x}=-\frac{\pd u}{\pd y}
 
\]
 
Těmto rovnostem se říká Cauchyovy-Riemannovy podmínky (dále jen CR podmínky). Krátce o jejich významu:
 
 
\item Funkce $f$ je diferencovatelná v bodě $z_0$ právě když $u=\Re f$ a $v=\Im f$ splňují CR podmínky (a jejich reálné derivace $\pd_x u,\pd_y u,\pd_x v,\pd_y v$ existují v bodě $z_0$).
 
 
%\begin{proof}
 
%\[
 
%\begin{split}
 
% \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\alpha & \iff
 
%\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}
 
%\frac{\abs{h}}{h}=0\iff \\
 
%                                                 & \iff\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}=0,
 
%\end{split}
 
%\]
 
%to je dále ekvivalentní s~nulovostí dvou reálných limit
 
%\[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_1(z_0+h)-f_1(z_0)-
 
%\alpha_1h_1+\alpha_2h_2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\]
 
%a
 
%\[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_2(z_0+h)-f_2(z_0)-
 
%\alpha_1h_2-\alpha_2h_1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\]
 
%a dále pro $h_1=0$, případně $h_2=0$ s~{\bf Cauchyho-Riemannovými podmínkami}:
 
%\[\exists f_1'(x_0,y_0)\wedge\exists f_2'(x_0,y_0)\wedge
 
%\alpha_1=\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y}\wedge
 
%\alpha_2=\frac{\pd f_2}{\pd x}=-\frac{\pd f_1}{\pd y}\]
 
%\end{proof}
 
 
%\item Uvažujme Jacobiho matici zobrazení $f(x,y)=u(x,y)+\im v(x,y)$ jakožto dvojrozměrné funkce $f(x,y)=\begin{pmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{pmatrix}$ a užijme CR podmínek: $a=\frac{\pd u}{\pd x}=\frac{\pd v}{\pd y}
 
%\quad\text{a}\quad
 
%b=\frac{\pd v}{\pd x}=-\frac{\pd u}{\pd y}$. Pak
 
%\[\displaystyle
 
%\J f(x,y)\sim\begin{pmatrix}
 
%\frac{\pd u}{\pd x} &  \frac{\pd u}{\pd y}\\
 
%\frac{\pd v}{\pd x} &  \frac{\pd v}{\pd y}\\
 
%\end{pmatrix}
 
%\sim
 
%\begin{pmatrix}
 
%a &  -b\\
 
%b &  a\\
 
%\end{pmatrix}.
 
%\]
 
%Matice tohoto typu odpovídají tzv. maticové reprezentaci komplexního čísla $a+\im b$. Dále se však jedná o přeškálovanou matici rotace. Matice tohoto typu nezachovávají velikosti, ale zachovávají úhly. Říká se jim {\bf konformní}.
 
 
%\item Buď $\vec F=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}$ reálné vektorové pole takové, že $u,v\in\c{1}$ splňují CR podmínky. Pak plyne
 
%\begin{itemize}
 
%\item z první CR podmínky: $\frac{\pd u}{\pd x}+\frac{\pd (-v)}{\pd y}=0,$ tj. pole je solenoidální $(\diverg \vec F=0)$,
 
%\item z druhé CR podmínky: $\frac{\pd v}{\pd x}=-\frac{\pd u}{\pd y},$ tj. pole je nevírové ($\rot\vec F=\vec 0$).
 
%\end{itemize}
 
%Toto pole je z \ref{green} konzervativní a jeho celkový tok je roven nule. Pole tohoto typu modelují statická magnetická pole na oblasti bez elektrického pole, resp. statická elektrická pole na oblasti bez elektrického náboje.
 
 
\item Nechť pro funkce $f_1(x,y)\in\c{2}$ a $f_2(x,y)\in\c{2}$ platí Cauchy-Riemannovy podmínky.
 
\[\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y},\quad
 
\frac{\pd f_1}{\pd y}=-\frac{\pd f_2}{\pd x},\]
 
zkoumáme
 
\[\frac{\pd^2 f_1}{\pd x^2}=\frac{\pd^2 f_2}{\pd x\pd y}\]
 
\[\frac{\pd^2 f_1}{\pd y^2}=-\frac{\pd^2 f_2}{\pd y\pd x}\]
 
Sečtením dostaneme $\Delta f_1=0$ a analogicky $\Delta f_2=0$ (harmonické funkce).
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
 
   
 
   
%\begin{example}
+
\begin{example}
%$f(z)=\overline{z}$ už nemá derivaci.
+
$f(z)=\overline{z}$ už nemá derivaci.
%\end{example}
+
\end{example}
 
   
 
   
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Nechť $f,g$ jsou diferencovatelné v~$z_0$. Pak
+
Nechť $f,g$ mají derivaci v~$z_0$. Pak
 
\begin{enumerate}[(i)]
 
\begin{enumerate}[(i)]
\item $(\alpha f+g)'(z_0)=\alpha f'(z_0)+g'(z_0)$,
+
\item $(f+cg)'(z_0)=f'(z_0)+cg'(z_0)$,
 
\item $(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$.
 
\item $(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$.
 
\item Jestliže $g'(z_0)\not=0$, pak
 
\item Jestliže $g'(z_0)\not=0$, pak
 
\[\left(\frac1g\right)'(z_0)=-\frac{1}{g^2(z_0)}g'(z_0).\]
 
\[\left(\frac1g\right)'(z_0)=-\frac{1}{g^2(z_0)}g'(z_0).\]
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
\begin{proof}
 
Plyne z \ref{wirtinger}.\ref{wirtinger2}.
 
%Z vlastnosti vnější derivace víme, že $\d(fg)=f\d g+g\d f$.
 
\end{proof}
 
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
 
   
 
   
Řádka 292: Řádka 53:
 
Nechť $\exists f'(g(z_0))$, $\exists g'(z_0)$. Pak
 
Nechť $\exists f'(g(z_0))$, $\exists g'(z_0)$. Pak
 
$(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$.
 
$(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$.
%\begin{proof}
 
%Plyne z \ref{wirtinger}.\ref{wirtinger2}.
 
%\end{proof}
 
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
 
%\begin{remark}
 
%Nyní bychom chtěli definovat elementární funkce v komplexním oboru. Začneme paradoxně od $\log z$ a to pomocí derivace.
 
%\end{remark}
 
 
   
 
   
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Řádka 323: Řádka 77:
 
\]
 
\]
 
\[\cos^2 z+\sin^2 z= \cos z \cos -z -\sin z \sin -z = \cos(z-z)=1\]
 
\[\cos^2 z+\sin^2 z= \cos z \cos -z -\sin z \sin -z = \cos(z-z)=1\]
ale $\cos^2 z$ a $\sin^2 z$ už nemusí ležet v intervalu $\left[0,1\right] $!
+
ale $\cos^2 z$ a $\sin^2 z$ už nemusí ležet v intervalu $\left<0,1\right>$
 
\[\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2},\quad\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\]
 
\[\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2},\quad\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\]
 
\[e^{x+\im y}=e^x e^{\im y}=e^x(\cos y+\im\sin y),\quad
 
\[e^{x+\im y}=e^x e^{\im y}=e^x(\cos y+\im\sin y),\quad
Řádka 344: Řádka 98:
 
\[e^x\cos y=1\implies y=2k\pi\]
 
\[e^x\cos y=1\implies y=2k\pi\]
 
$e^z$ není prostá, je prostá na množině
 
$e^z$ není prostá, je prostá na množině
\[E_\alpha=\{z\in\C~|~\Im z=y\in\left(\alpha-\pi,\alpha+\pi\right] \}\]
+
\[E_\alpha=\{z\in\C|\Im z=y\in(\alpha-\pi,\alpha+\pi\ra\}\]
 
\[z\in\C\sm\{0\},\quad z=\abs{z}(\cos\alpha+\im\sin\alpha)\]
 
\[z\in\C\sm\{0\},\quad z=\abs{z}(\cos\alpha+\im\sin\alpha)\]
 
\end{remark}
 
\end{remark}
Řádka 350: Řádka 104:
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 
{\bf Argumentem komplexního čísla} $z$ nazýváme množinu
 
{\bf Argumentem komplexního čísla} $z$ nazýváme množinu
$\{\alpha\in\R~|~z=\abs{z}e^{\im\alpha}\}=\Arg z$.
+
$\{\alpha\in\R|z=\abs{z}e^{\im\alpha}\}=\Arg z$.
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 
Buď $\vartheta\in\R$. Potom
 
Buď $\vartheta\in\R$. Potom
$\Arg z\cap\left(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\right]\ni\arg_\vartheta z$ je jednoprvková
+
$\Arg z\cap(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\ra\ni\arg_\vartheta z$ je jednoprvková
 
množina, tím definujeme funkci pro $z$. Zkráceně $\arg=\arg_0$.
 
množina, tím definujeme funkci pro $z$. Zkráceně $\arg=\arg_0$.
 
\end{define}
 
\end{define}
Řádka 365: Řádka 119:
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 
Buď $\vartheta\in\R$, definujeme
 
Buď $\vartheta\in\R$, definujeme
$P_\vartheta=\{z~|~z=te^{\im\vartheta},\ t>0\}$.
+
$P_\vartheta=\{z|z=te^{\im\vartheta},\ t>0\}$.
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
Řádka 383: Řádka 137:
 
přičemž $\epsilon$ volím $-1$, $0$ nebo $1$ tak, abych zůstal v
 
přičemž $\epsilon$ volím $-1$, $0$ nebo $1$ tak, abych zůstal v
 
základním intervalu.
 
základním intervalu.
 +
\item Nechť platí pro funkce $f_1(x,y)$ a $f_2(x,y)$ Cauchy-Riemannovy
 +
podmínky a nechť jsou třídy $\c{2}$.
 +
\[\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y},\quad
 +
\frac{\pd f_1}{\pd y}=-\frac{\pd f_2}{\pd x},\]
 +
zkoumáme
 +
\[\frac{\pd^2 f_1}{\pd x^2}=\frac{\pd^2 f_2}{\pd x\pd y}\]
 +
\[\frac{\pd^2 f_1}{\pd y^2}=-\frac{\pd^2 f_2}{\pd y\pd x}\]
 +
Sečtením dostaneme $\Delta f_1=0$ a analogicky $\Delta f_2=0$ (harmonické funkce).
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
Řádka 391: Řádka 153:
 
$e^w=e^u e^{\im v}$
 
$e^w=e^u e^{\im v}$
 
\[\ln_\vartheta z\in\Ln z\wedge
 
\[\ln_\vartheta z\in\Ln z\wedge
\Im{\Ln_\vartheta z}\in\left(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\right]\]
+
\Im\Ln_\vartheta z\in(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\ra\]
 
\[\ln_\vartheta z=\ln\abs{z}+\im\arg_\vartheta z\]
 
\[\ln_\vartheta z=\ln\abs{z}+\im\arg_\vartheta z\]
 
a definujeme {\bf logaritmus komplexního čísla}:
 
a definujeme {\bf logaritmus komplexního čísla}:
 
$\ln z=\ln\abs{z}+\im\arg z$.
 
$\ln z=\ln\abs{z}+\im\arg z$.
\item Má logaritmus derivaci? $\Re{\ln z}=\ln\sqrt{x^2+y^2}$, $\Im{\ln
+
\item Má logaritmus derivaci? $\Re\ln z=\ln\sqrt{x^2+y^2}$, $\Im\ln
z}=\arg z$.
+
z=\arg z$.
 
\[\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'=\frac{x}{x^2+y^2}\d x+
 
\[\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'=\frac{x}{x^2+y^2}\d x+
 
\frac{y}{x^2+y^2}\d y,\]
 
\frac{y}{x^2+y^2}\d y,\]
Řádka 417: Řádka 179:
 
\arcsin z=-\im\ln\left(\im z+\sqrt{1-z^2}\right),\quad
 
\arcsin z=-\im\ln\left(\im z+\sqrt{1-z^2}\right),\quad
 
\arccos z=-\im\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)=-\im\ln\left(z+\im\sqrt{1-z^2}\right),\]
 
\arccos z=-\im\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)=-\im\ln\left(z+\im\sqrt{1-z^2}\right),\]
\[\arctg z=\frac{\im}{2}\ln\left(\frac{1-\im z}{1+\im z}\right)\]
+
\[\arctg z=\frac{i}{2}\ln\left(\frac{1-\im z}{1+\im z}\right)\]
 
   
 
   
 
\item Pro $z,\alpha\in\C$
 
\item Pro $z,\alpha\in\C$

Verze z 6. 2. 2015, 11:19

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Komplexní derivace}
 
Studujeme funkce $\C\mapsto\C$. $\C$ je normovaný prostor, izomorfní
s~$\R^2$ ($\C \cong\R^2$) a z~hlediska topologie nerozeznatelný. Nevyužívali jsme však
toho, že $\C$ je těleso (uzavřené na součin prvků).
 
Izomorfismus mezi $\R^2\mapsto\C$:
$f(z)=f(x+iy)=f(x,y)$.
 
\begin{define}
Buď $f:\C\mapsto\C$, $z_0\in\vn{(\df f)}$. Pak existuje-li limita
\[\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0},\]
říkáme, že funkce $f$ má v~$z_0$ (komplexní) derivaci.
\end{define}
 
\begin{remark}
\[
\begin{split}
\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\alpha&\iff
\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}
\frac{\abs{h}}{h}=0\iff\\
&\iff\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)-\alpha h}{\abs{h}}=0,
\end{split}
\]
to je dále ekvivalentní s~nulovostí dvou reálných limit
\[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_1(z_0+h)-f_1(z_0)-
\alpha_1h_1+\alpha_2h_2}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\]
a
\[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)}\frac{f_2(z_0+h)-f_2(z_0)-
\alpha_1h_2-\alpha_2h_1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2}}=0\]
a dále pro $h_1=0$, případně $h_2=0$ s~{\bf Cauchyho-Riemannovými podmínkami}:
\[\exists f_1'(x_0,y_0)\wedge\exists f_2'(x_0,y_0)\wedge
\alpha_1=\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y}\wedge
\alpha_2=\frac{\pd f_2}{\pd x}=-\frac{\pd f_1}{\pd y}\]
\end{remark}
 
\begin{example}
$f(z)=\overline{z}$ už nemá derivaci.
\end{example}
 
\begin{theorem}
Nechť $f,g$ mají derivaci v~$z_0$. Pak
\begin{enumerate}[(i)]
\item $(f+cg)'(z_0)=f'(z_0)+cg'(z_0)$,
\item $(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)$.
\item Jestliže $g'(z_0)\not=0$, pak
\[\left(\frac1g\right)'(z_0)=-\frac{1}{g^2(z_0)}g'(z_0).\]
\end{enumerate}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Nechť $\exists f'(g(z_0))$, $\exists g'(z_0)$. Pak
$(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$.
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\[e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}\]
\[e^{\im z}=\cos z+\im\sin z\]
\[\sin z=\frac{e^{\im z}-e^{-\im z}}{2\im},\quad
\cos z=\frac{e^{\im z}+e^{-\im z}}{2}\]
Platí, že $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$:
\[\sum_{n=0}^\infty\frac{z_1^n}{n!}\sum_{n=0}^\infty\frac{z_2^n}{n!}=
\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\sum_{n=0}^\infty n!
\frac{z_1^k z_2^{n-k}}{k!(n-k)!}=
\sum_{n=0}^\infty\frac{(z_1+z_2)^n}{n!}\]
\[
\sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1},\quad
\cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}
\]
\[\sin(z_1+z_2)=\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2\]
\[\cos(z_1+z_2)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2\]
\[
\sin(z+2k\pi)=\sin z,\quad
\cos(z+2k\pi)=\cos z,\quad
\sin\left(\frac{\pi}2-z\right)=\cos z
\]
\[\cos^2 z+\sin^2 z= \cos z \cos -z -\sin z \sin -z = \cos(z-z)=1\]
ale $\cos^2 z$ a $\sin^2 z$ už nemusí ležet v intervalu $\left<0,1\right>$
\[\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2},\quad\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}\]
\[e^{x+\im y}=e^x e^{\im y}=e^x(\cos y+\im\sin y),\quad
\cos z = \cosh\im z,\quad\sin z=-\im\sinh\im z\]
\[\sin(x+\im y)=\sin x\cos\im y+\sin\im y\cos x=
\sin x \cosh y+\im\sinh y\cos x\]
\[\cos(x+\im y)=\cos x\cosh y-\im\sin x\sinh y\]
Nulové body:
\[\sin z=\sin(x+\im y)=0\iff
\sin x\cosh y=0\wedge\sin y\cos x=0\iff
x=k\pi\iff y=0.\]
Derivace:
\[\left(e^z\right)'=e^z,\quad
(\sin z)'=\cos z,\quad
(\cos z)'=-\sin z\]
Prostota $e^z$:
\[e^{z_1}=e^{z_2}\iff e^{z_1-z_2}=1\]
\[e^x(\cos y+\im\sin y)=1\]
\[e^x\sin y=0\implies y=k\pi\]
\[e^x\cos y=1\implies y=2k\pi\]
$e^z$ není prostá, je prostá na množině
\[E_\alpha=\{z\in\C|\Im z=y\in(\alpha-\pi,\alpha+\pi\ra\}\]
\[z\in\C\sm\{0\},\quad z=\abs{z}(\cos\alpha+\im\sin\alpha)\]
\end{remark}
 
\begin{define}
{\bf Argumentem komplexního čísla} $z$ nazýváme množinu
$\{\alpha\in\R|z=\abs{z}e^{\im\alpha}\}=\Arg z$.
\end{define}
 
\begin{define}
Buď $\vartheta\in\R$. Potom
$\Arg z\cap(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\ra\ni\arg_\vartheta z$ je jednoprvková
množina, tím definujeme funkci pro $z$. Zkráceně $\arg=\arg_0$.
\end{define}
 
\begin{theorem}
$\arg_\vartheta z=\arg(ze^{-\im\vartheta})+\vartheta$.
\end{theorem}
 
\begin{define}
Buď $\vartheta\in\R$, definujeme
$P_\vartheta=\{z|z=te^{\im\vartheta},\ t>0\}$.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $\arg z$ nemá derivaci, není spojitá na $P_\pi$.
\item
\[
\arg z=\begin{cases}
\arccos\frac{x}{\abs z} & y\ge 0\\
-\arccos\frac{x}{\abs z} & y<0.
\end{cases}
\]
\item \[\arg z_1z_2=\arg z_1+\arg z_2+2\pi\epsilon,\]
\[\arg\frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2+2\pi\epsilon,\]
\[\arg\frac{1}{z}=-\arg z+2\pi\epsilon,\]
přičemž $\epsilon$ volím $-1$, $0$ nebo $1$ tak, abych zůstal v
základním intervalu.
\item Nechť platí pro funkce $f_1(x,y)$ a $f_2(x,y)$ Cauchy-Riemannovy
podmínky a nechť jsou třídy $\c{2}$.
\[\frac{\pd f_1}{\pd x}=\frac{\pd f_2}{\pd y},\quad
\frac{\pd f_1}{\pd y}=-\frac{\pd f_2}{\pd x},\]
zkoumáme
\[\frac{\pd^2 f_1}{\pd x^2}=\frac{\pd^2 f_2}{\pd x\pd y}\]
\[\frac{\pd^2 f_1}{\pd y^2}=-\frac{\pd^2 f_2}{\pd y\pd x}\]
Sečtením dostaneme $\Delta f_1=0$ a analogicky $\Delta f_2=0$ (harmonické funkce).
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Zavedeme množinu $\Ln z=\{w\in\C|z=e^w\}$, $w=u+\im v$,
$e^w=e^u e^{\im v}$
\[\ln_\vartheta z\in\Ln z\wedge
\Im\Ln_\vartheta z\in(\vartheta-\pi,\vartheta+\pi\ra\]
\[\ln_\vartheta z=\ln\abs{z}+\im\arg_\vartheta z\]
a definujeme {\bf logaritmus komplexního čísla}:
$\ln z=\ln\abs{z}+\im\arg z$.
\item Má logaritmus derivaci? $\Re\ln z=\ln\sqrt{x^2+y^2}$, $\Im\ln
z=\arg z$.
\[\left(\ln\sqrt{x^2+y^2}\right)'=\frac{x}{x^2+y^2}\d x+
\frac{y}{x^2+y^2}\d y,\]
\[\left(\arg z\right)'=-\frac{y}{x^2+y^2}\d x+
\frac{x}{x^2+y^2}\d y,\]
takže Cauchyho-Riemannovy podmínky platí a derivace existuje. Můžeme
se proto omezit na nějakou konkrétní podmnožinu.
\[(f(z_0))'=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}=
\frac{\pd f_1}{\pd x}(x_0,y_0)+\im\frac{\pd f_2}{\pd x}(x_0,y_0)\]
\[(\ln z)'=\frac{x}{x^2+y^2}-\im\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{\overline
z}{z\overline z}=\frac1z.\]
\item Analogicky s~reálnými funkcemi definujeme
\[\argsinh z=\ln\left(z+\sqrt{1+z^2}\right),\quad
\argcosh z=\ln\left(z+\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}\right),\quad
\argtgh z=\frac12\ln\frac{1+z}{1-z}.\]
$\sqrt{z-1}\sqrt{z+1} = \sqrt{z^2-1}$ obecně pro komplexní odmocninu neplatí. 
%http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root
\[
\arcsin z=-\im\ln\left(\im z+\sqrt{1-z^2}\right),\quad
\arccos z=-\im\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)=-\im\ln\left(z+\im\sqrt{1-z^2}\right),\]
\[\arctg z=\frac{i}{2}\ln\left(\frac{1-\im z}{1+\im z}\right)\]
 
\item Pro $z,\alpha\in\C$
\[z^\alpha=e^{\alpha\ln z},\]
pokud $z\not=0$, tato definice je jednoznačná. Lepší je 
\[
z^\alpha=e^{\alpha\ln z+\alpha\,2k\pi\im} \quad k\in \Z 
\]
exponenciála je periodická s periodou $2\pi \im$.  To má za následek,
 že pro $\Re\alpha \in \N$ a $\Im\alpha = 0$ je $z^\alpha$ definováno jednoznačně. 
Pro  $\Re\alpha \in \Q \Rightarrow \Re\alpha = \frac{p}{q} $ a $\Im\alpha = 0$ je možných $q$ kořenů. 
A pokud je $\Re\alpha$ iracionální a nebo $\Im\alpha \neq 0$, pak je kořenů dokonce nekonečně mnoho. 
Pro $\Im\alpha = 0$ se kořeny nachází na kružnici, pro $\Re\alpha = 0$ na polopřímce 
a pro $\Re\alpha \neq 0 \wedge \Im\alpha \neq 0$ jsou umístěny kořeny na spirále. 
 
Podobný problém nastává i u dalších funkcí, k jejichž definici se použil logaritmus, tedy arcsin, argsinh, $\ldots$ 
%http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_surface
\begin{example}
\[\im^{\im}=e^{\im\left( \frac\pi2\im +2k\pi\im \right)}=e^{-\frac\pi2 - 2k\pi} \quad k\in \Z \]
\[{x}^{\frac{3}{5}} = e^{\frac{3}{5}\ln x}e^{ \frac{3}{5}\,2k\pi\im}\quad k\in  \hat 5 \]
\[{x}^{\sqrt{2}} = e^{\sqrt{2}\ln x}e^{ \sqrt{2}\,2k\pi\im}\quad k\in \Z \].
\end{example}
 
\end{enumerate}
\end{remark}