01MAA4:Kapitola35

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 8. 5. 2017, 16:53, kterou vytvořil Kubuondr (diskuse | příspěvky) (Gramova matice s velkým G – pojmenované po Gramovi.)

Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
 
\section{Vícerozměrná integrace}
 
%\begin{remark}
Z této kapitoly Vrána přednáší pouze plošné integrály a divergenční větu, na zkoušce pak její znění může chtít slyšet na A. Ze znalostí z předchozí kapitoly nyní můžeme shrnout poznatky o integrování získané z fyzikálních předmětů.
%\end{remark}
 
\begin{define}
Neprázdná množina $A\subset\R^n $ se nazývá {\bf$\boldsymbol\sigma$-kompaktní}, existuje-li nejvýše spočetný systém 
$\left\lbrace A_n\right\rbrace _{n\in \I}$ kompaktních podmnožin $\R^n$, který pokrývá $A$, tj.
\[
 A = \bigcup_{n\in\I}A_n.
\]
\end{define}
 
\begin{define}
\label{Morientace}
Nechť jsou dány:
\begin{enumerate}
\item $k$-rozměrná varieta $M \subset \R^n$,
\item regulární zobrazení $g:\R^k\mapsto M$,
\item $\sigma$-kompaktní množina $A\subset \vn{(\obr g)}.$
\end{enumerate}
Potom {\bf orientací variety $M$} nazýváme zobrazení $\vec e:\R^k\mapsto \Lambda^{k}(V_n)$ definované $\forall t\in\df g$
\[
e(t) = \frac{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}{\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}}
\]
\end{define} 
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Orientace variety $M$ má význam jednotkového tečného \uv{vektoru} k varietě $M$.
\item Orientace variety $M$ je daná orientací jejího tečného prostoru ($g_i$ jsou tečné vektory).
\item Varieta je orientovatelná, pokud se dá napsat jako implicitní zobrazení. Pokud ji nelze zadat implicitně, není tedy orientovatelná a můžeme ji zadat např. parametricky.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}[$k$-rozměrný integrál druhého druhu]
\label{kint2druh}
Nechť $\boldsymbol\omega$ diferenciální $k$-forma, $A\subset \df \boldsymbol\omega$ orientovaná dle $ e$, $t \in \df g$. Potom při označení z předchozí definice klademe
\[
\int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\omega(g(t))\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)\,\d t,
\]
kde $g_i$ jsou $i$-té parciální derivace, tj. $g_i=\pd_i g(t)$, a dále
\[
\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)\,\d t= \frac{\pd g}{\pd t^1}(t)\wedge\dots\wedge \frac{\pd g}{\pd t^k}(t).
\]
\end{define}
 
\begin{remark}
Pro $n=3$, $k=2$ nazýváme \ref{kint2druh} {\bf plošný integrál druhého druhu}. 
 
Pro každou diferenciální 2-formu $\boldsymbol\omega$ existuje dle poznámky \ref{findhodge}.2 vektorové pole $\vec F:\R^2\mapsto \Lambda^2(V^n)$.
% dané vztahem 
%\[
%\vec F=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda \vec e_\lambda.
%\]
%Potom, označíme-li $g=g(u,v),$ platí $(\forall (u,v)\in \df g)$ $\la \vec F(g),g_u \wedge g_v \ra =  \omega(g) ~ g_u \wedge g_v$  (poslední výraz není součin, nýbrž akci formy na vnější součin). 
S užitím poznámek pod definicí \ref{hodge} získáme
\[
\begin{split}
 & \int_{g^{-1}(A)} \omega(g(u,v))~g_u(u,v)\wedge g_v(u,v)  \,\d u \d v = \int_{g^{-1}(A)} \la \vec{F}(g(u,v)),g_u(u,v)\wedge g_v(u,v)\ra  \,\d u \d v =\\
&= \int_{g^{-1}(A)} \la \star \vec{F}(g(u,v)),\star g_u(u,v)\wedge g_v(u,v)\ra  \,\d u \d v =
 \int_{g^{-1}(A)} \la \star \vec{F}(g(u,v)),g_u(u,v)\times g_v(u,v)\ra  \,\d u \d v.
\end{split}
\]
 
Pro zápis plošných integrálů druhého druhu se proto užívá následující symboliky:
\[ \int_A\la \vec F ,\vec n \ra\d S
=\int_A\vec F\cdot \d\vec S = 
\int_A(F_1\,\d y\d z+F_2\,\d z\d x+F_3\,\d x\d y)=\int_{g^{-1}(A)}\vec F(g(t))\cdot\left( \frac{\pd g}{\pd t^1}(t)\times \frac{\pd g}{\pd t^2}(t)\right)  \d t.
\]
Druhá rovnost plyne z toho, že je-li $\boldsymbol\omega = F_1 \,\d y\wedge\d z+F_2 \,\d x\wedge\d z +F_3 \,\d x\wedge\d y$, potom $\star\vec{F} = (F_1,-F_2,F_3)^T$.
 
Integrand v poslední rovnosti je smíšený součin. Užitím poznámky \ref{findhodge}.1(a) můžeme pokračovat v úpravách integrálu (ozn. $\pd_i g^j=\frac{\pd g^j}{\pd t^i}$)
\[
=\int_{g^{-1}(A)}\vec F(g(t))\wedge \frac{\pd g}{\pd t^1}(t)\wedge \frac{\pd g}{\pd t^2}(t)~ \d t=\int_{g^{-1}(A)}
\left|
\begin{matrix}
	F_1       & F_2       & F_3       \\
	\pd_1 g^1 & \pd_1 g^2 & \pd_1 g^3 \\
	\pd_2 g^1 & \pd_2 g^2 & \pd_2 g^3
\end{matrix}
\right|\!(t)
~\d t.
\]
\end{remark}
 
\begin{remark} Při označení z definice \ref{Morientace} platí
\[
\int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\omega(g(t))~\vec e(t)\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}\,\d t.
\]
Je-li $\boldsymbol\omega$  0-forma, tj. (skalární) funkce, můžeme tento poznatek shrnout do následující definice.
\end{remark}
 
\begin{define}[$k$-rozměrný integrál prvního druhu]
\label{kint1druh}
Nechť $f:\R^k\rightarrow \R$ funkce, $A\subset \df f$, $\mu_k(x)$ $k$-rozměrná míra na $\R^k$, $x\in\df f$, $t \in \df g$. Potom při označení z definice klademe
\[
\int_A f(x)\,\d \mu_k(x)=\int_{g^{-1}(D)}f(g(t))\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}\,\d t,
\]
kde $g_i$ jsou $i$-té parciální derivace, tj. $g_i=\pd_i g(t)$, a dále
\[
\norm{\bigwedge_{i=1}^r g_i(t)}=\sqrt{\left|
\begin{matrix}
	\la g_1,g_1\ra & \hdots & \la g_1,g_k\ra \\
	\vdots         &        & \vdots         \\
	\la g_k,g_1\ra & \hdots & \la g_k,g_k\ra
\end{matrix}
\right|}.
\]
\end{define}
 
\begin{define}
\label{fundforma}
Symetrická bilineární forma daná Gramovou maticí souboru ($g_i(t)$) definované po složkách $\left[g(t)\right]_{ij}=\la g_i(t), g_j(t)\ra$ se nazývá {\bf metrický tenzor}. Determinant příslušné matice se nazývá {\bf gramián}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Mezi metrickým tenzorem a Jakobiánem platí vztah $g=\J^T\J$, odsud  platí
 $\det f'(x)=\sqrt{\det g(t)}$. Tímto je dokázána věta \ref{substint}. Metrický tenzor tedy figuruje při přechodu od jedněch souřadnic ke druhým. Zároveň udává geometrii na varietě $M$, neboť na ní indukuje \uv{skalární součin} a tudíž i metriku. Proto se nazývá metrický tenzor.
\item Metrický tenzor nemusí být nutně pozitivně definitní, musí však mít prázdný nulprostor. Variety se signaturou metriky $(-1,1,1,1)$ nazýváme {\bf pseudoriemannovské.} 
\item Metrický tenzor 2-rozměrné variety nazýváme {\bf první fundamentální formou}, značíme
\[
\begin{pmatrix}
	E & F \\
	F & G 
\end{pmatrix} \qquad \mbox{ ($E,F,G$ jsou funkce $t$)}.
\]
\item $\det g=EG-F^2=\la g_u,g_u\ra \la g_v,g_v\ra-\la g_u,g_v\ra^2
=\norm{g_u}^2\norm{g_v}^2-\la g_u,g_v\ra^2$
\item Pro velikost vektorového součinu platí $\norm{\vec a\times \vec c}^2
=\norm{\vec a}^2\norm{\vec c}^2-\la \vec a,\vec c\ra^2$. Užitím tohoto vzorce na předchozí rovnost získáme užitečný vztah
\[
\sqrt{\det g}=\norm{g_u\times g_v}=\norm{g_u}^2\norm{g_v}^2-\la g_u,g_v\ra^2.
\]
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{remark}
Pro $k=2$ v $\R^3$ nazýváme \ref{kint1druh} {\bf plošný integrál prvního druhu}. Pro jeho zápis se s~přihlédnutím k~předchozí poznámce užívá následující symboliky:
\[
\int_A f\,\d S=\int_{g^{-1}(A)}f(g(u,v))
\norm{\frac{\pd g}{\pd u}\times\frac{\pd g}{\pd v}}
\,\d u\d v.
\]
Ve speciálním případě, kdy $g(x,y) = (x,y,\phi(x,y))$, získáme
\[\int_A f\,\d S = \int_{g^{-1}(A)}f(x,y,\phi(x,y))
\sqrt{1+\left(\frac{\pd\phi}{\pd x}\right)^2+\left(\frac{\pd\phi}{\pd y}\right)^2}\dx\dy.\]
Položíme-li $f(x)=1$, získáme vzorec pro výpočet obsahu plochy $A\subset\R^3$, která je parametricky zadaná zobrazením $\phi(x,y)$.
\end{remark}
 
\begin{remark}
Pro $k=1$ v $\R^n$ nazýváme \ref{kint1druh} {\bf křivkový integrál prvního druhu}, s nímž jsme se již setkali. Pro $\left[  a,b\right] =\df g$ buď
\[
\int_g f\d s=\int_a^b f(g(t))\norm{g'(t)}\d t.
\]
Položíme-li $f(x)=1$, získáme vzorec pro výpočet délky křivky $[g]$, která je parametricky zadaná zobrazením $g$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[divergenční, zobecněná Stokesova]
\label{divergint}
Buď $D\subset\R^n$, a nechť jsou dány:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $k$-rozměrná varieta $M$ v $\R^n$,
\item $\pd D$, tj. $(k-1)$-rozměrná varieta (po částech $\c{0}$), 
\item $\sigma$-kompaktní množina $D\subset M$ ležící na jedné straně svého okraje $\pd D$.
\end{enumerate}
Potom pro každou diferenciální $(k-1)$-formu  $\boldsymbol\omega\in\c{1}(\uz{D})$ platí
\[\int_{\pd D}\boldsymbol\omega=\int_{\vn{D}}\d\boldsymbol\omega.\]
\end{theorem} 
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item V~předpokladech stačí $\c{1}(\vn{D})$ a $\c{0}(\uz{D})$.
%\item Okraj není topologická hranice ($\pd D \not = \hr D$), nýbrž geometrický okraj. Oba pojmy se často (a~mylně) zaměňují, ale např. v \ref{stokes} nemusí mít varieta hranici, a přesto může být \uv{obepnuta} nějakou křivkou.
\item Důkaz věty je nad rámec přednášky, dokážeme si však nám již známé důsledky této věty. Následující formule jsou důsledkem divergenční věty pro $n=k$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Newton, Leibniz ($n=k=1$)]
\label{newton}
Buď $\d f$ exaktní diferenciální 1-forma třídy $\c{0}, D=\left[a,b\right],\pd D=\{a,b\}$. Potom platí
\[f(b)-f(a)=[f(x)]_a^b=\int_a^b\d f=\int_a^b f'.\]
\begin{proof}
Orientace krajních bodů je opačná, proto jsou funkční hodnoty v krajních bodech (0-forma $f(x)$ vyčíslená přes okraj $\pd D$) vynásobeny příslušnými znaménky. $[f(x)]_a^b=1\cdot f(b)+(-1)\cdot f(a)$
\end{proof}
\end{theorem} 
 
\begin{theorem}[Green ($n=k=2$)]
\label{green}
Buď $D=\vn D\subset R^2$ omezená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená Jordanova dráha po částech třídy $\c{1}$, $P,Q\in\c{1}(D)$, $P,Q\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí
\[
\int_{\pd D} (P\d x+Q\d y)=\iint_D\left(
\frac{\pd Q}{\pd x}-\frac{\pd P}{\pd y}
\right)\d x\wedge\d y.
\]
\begin{proof}
Označme 
$ \boldsymbol\omega= P\,\d x+ Q\,\d y,
$
potom pro vnější derivaci $\boldsymbol\omega$ platí 
\[
\begin{split}
\d\boldsymbol\omega&=\d P\wedge\d x+\d Q\wedge d y=
\left(\frac{\pd P}{\pd x}\d x + \frac{\pd P}{\pd y}\d y\right)\wedge\dx+
\left(\frac{\pd Q}{\pd x}\d x + \frac{\pd Q}{\pd y}\d y\right)\wedge\dy=\\
&=\frac{\pd P}{\pd y}\d y\wedge\d x+ \frac{\pd Q}{\pd x}\d x\wedge\d y=  \left(\frac{\pd Q}{\pd x} - \frac{\pd P}{\pd y}\right) \d x\wedge\d y.
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem} 
 
\begin{theorem}[Gauss, Ostrogradskij ($n=k=3$)]
\label{gauss}
Buď $D=\vn D\subset \R^3$ omežená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená plocha po částech třídy $\c{1}$ prostá na $\vn{(\df\pd D)} $, $F_1,F_2,F_3\in\c{1}(D)$, $F_1,F_2,F_3\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí
\[
\iint_{\pd D}(F_3\,\d x\wedge\d y+F_1\,\d y\wedge\d z+
F_2\,\d z\wedge\d x)=\iiint_D\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}+
\frac{\pd F_2}{\pd y}+
\frac{\pd F_3}{\pd z}\right)\d x\wedge\d y\wedge\d z,
\]
ve fyzikální notaci
\[
\oint_{\pd D}\vec F\cdot\d\vec S=\int_D\diverg\vec F~\d V.
\]
\begin{proof}
Označme
$ \boldsymbol\omega= F_3\,\d x\wedge\d y+ F_1\, \d y\wedge\d z+ F_2 \,\d z\wedge\d x,$ potom z důkazu \ref{vdiv} plyne pro vnější derivaci vztah $\boldsymbol\omega$  
\[
\d\boldsymbol\omega=\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}+
\frac{\pd F_2}{\pd y}+
\frac{\pd F_3}{\pd z}\right)\,\d x\wedge\d y\wedge\d z=
\diverg\vec F~\d x\wedge\d y\wedge\d z.
\]
\end{proof}
\end{theorem} 
 
 
\begin{theorem}[per partes ($n=k=3$)]
\label{perpartes}Buď $D=\vn D\subset \R^3$ omežená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená plocha po částech třídy $\c{1}$ prostá na $\vn{(\df\pd D)} $, $f,g:\R^3\mapsto\R$, $f,g\in\c{1}(D)$, $f,g\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí
\[
\iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra =\oint_{\pd D}f\nabla g\cdot\d\vec S-
\iiint_{\vn{D}} f\Delta g.
\]
\begin{proof}
Označme $\vec F=f\grad g=f\nabla g$, potom pro $i$-tou složku divergence plyne z alternativní definice \ref{vdiv} vztah
\[
(\diverg \vec F)^i=\frac{\pd F^i}{\pd x^i} = \frac{\pd}{\pd x^i}\left(f\frac{\pd g}{\pd x^i}\right)=
\frac{\pd f}{\pd x^i}\frac{\pd g}{\pd x^i}+
f\frac{\pd^2 g}{\pd {x^i}^2}.
\]
Ve vektorovém tvaru jsme tedy  užitím \ref{vdiv} a \ref{vlaplace} získali vztah  $\diverg\vec F=\la \nabla f,\nabla g\ra +f\Delta g$. 
Dosazením $\diverg \vec F$ do Gaussovy věty \ref{gauss} získáme tvrzení věty.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[druhá Greenova formule ($n=k=3$)]
\label{green2}
 Za předpokladů předchozí věty platí
\[
\oint_{\pd D}\left|
\begin{matrix}
	\frac{\pd f}{\pd \vec n} & \frac{\pd g}{\pd\vec  n} \\
	f                        & g
\end{matrix}
\right|\,\d S=
\iiint_{\vn{D}}\left|
\begin{matrix}
	\Delta f & \Delta g \\
	f        & g
\end{matrix}
\right|.
\]
 
\begin{proof}Z předchozí věty vyjádříme prostřední člen
\[
\oint_{\pd D}f\nabla g\cdot\d\vec S=\oint_{\pd D}f\frac{\pd g}{\pd \vec n}\d S=
\iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra+\iiint_{\vn{D}} f\Delta g.
\]
Obdobně získáme
\[
\oint_{\pd D}g\nabla f\cdot\d\vec S=\oint_{\pd D}g\frac{\pd f}{\pd \vec n}\d S=
\iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra+\iiint_{\vn{D}} g\Delta f.
\]
Odečtením předchozích dvou rovností dostaneme tvrzení věty.
\end{proof}
 
\end{theorem} 
 
 
\begin{remark}
Následující formule je důsledkem divergenční věty pro $k\leq n$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Kelvin, Stokes ($n=3$, $k=2$)]
\label{stokes} Buď $D=\vn D\subset \R^3$ omežená oblast, její okraj $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená Jordanova dráha po částech třídy $\c{1}$, $F_1,F_2,F_3\in\c{1}(D)$, $F_1,F_2,F_3\in\c{0}(\uz D)$. Označme $\boldsymbol\omega= F_1\wedge\d x+F_2\wedge\d y+F_3\wedge\d z.$ Potom platí 
\[
\int_{\pd D} \boldsymbol\omega=\iint_D\left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\wedge\d z+\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\wedge\d x+\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d x\wedge\d y,
\]
ve fyzikální notaci
\[
\oint_{\pd D}\vec F\cdot\d\vec r=\iint_D\rot\vec F\cdot\d\vec S.
\]
\begin{proof}
Označme $\boldsymbol\omega$ stejně jako v tvrzení, potom z důkazu \ref{vrot} plyne pro vnější derivaci $\boldsymbol\omega$ vztah
\[
\begin{split}
	\d\boldsymbol\omega = \left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\wedge\d z+\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\wedge\d x+\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d x\wedge\d y=
\rot\vec F\cdot\d\vec S.
\end{split}
\]
 
\end{proof}
\end{theorem}
 
 
\begin{remark}
Položíme-li v důkazu předchozí věty $\boldsymbol\omega= P\,\d x+ Q\,\d y+O\,\d z,$ kde $O$ je nulová funkce, potom ze Stokesovy věty \ref{stokes} vyplývá Greenova věta \ref{green} jakožto poslední sčítanec na obou stranách (zbylé jsou nulové kvůli nové funkci $O$).
\end{remark}
 
%\begin{theorem}[Poincaré-Hopf]
%Let M be a compact orientable differentiable manifold. Let v be a vector field on M with isolated zeroes. If M has boundary, then we insist that v be pointing in the outward normal direction along the boundary. 
%\end{theorem}