Součásti dokumentu 01MAA4
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Divergenční věta}
\begin{remark}
Z této kapitoly Vrána vyžaduje (na A) pouze divergenční větu. Celá kapitola však významně abstrahuje dosavadní poznatky o integrování získané z fyzikálních předmětů a dává jim nutný matematický podklad. Matematičtí fyzici by této kapitole měli věnovat zvláštní pozornost.
\end{remark}
\begin{define}
Neprázdná množina $A\subset\R^n $ se nazývá \emph{$\sigma$-kompaktní}, existuje-li nejvýše spočetný systém
$\left\lbrace A_n\right\rbrace _{n\in I}$ kompaktních podmnožin $\R^n$ takový, že
\[
A = \bigcup_{n\in I}A_n
\]
\end{define}
\begin{define}
Buď $M$ $r$-rozměrná varieta, $g:\R^r\rightarrow M$ regulární zobrazení, $\sigma$-kompaktní množina $D\subset \vn{(\text{img }g)}$,
$f:\R^r\rightarrow \R$ a $D \subset \text{def} f$
definujeme
\[\int_D f\,\d_r=\int_{g^{-1}(D)}f(g(t))\norm{\bigwedge_{i=1}^r g_i(t)}\,\d t,\quad t\in\R^r.\]
$\norm{\bigwedge_{i=1}^r g_i(t)}$ je hodnotově stejné s
$\sqrt{\det\left\langle g_i, g_j\right\rangle }$, tj. odmocninou z~gramiánu, $g_i$ jsou parciální derivace
\end{define}
Plošný integrál I. druhu ($n=3$, $r=2$):
\[
\int_D f\,\d S=\int_{g^{-1}(D)}f(g(u,v))
\norm{\frac{\pd g}{\pd u}\times\frac{\pd g}{\pd v}}
\,\d u\d v,
\]
Norma vektorového součinu vyjde stejně jako ten gramián. \\
Ve speciálním případě, kdy
\\$g(x,y) = (x,y,\phi(x,y))$
\[\int_D f\,\d S = \int_{g^{-1}(D)}f(x,y,\phi(x,y))
\sqrt{1+\left(\frac{\pd\phi}{\pd x}\right)^2+\left(\frac{\pd\phi}{\pd y}\right)^2}\dx\dy.\]
Z~Greenovy věty v~$\R^2$: forma je uzavřená
$\boldsymbol\omega=P\d x+Q\d y$, tedy
\[\frac{\pd P}{\pd y}=\frac{\pd Q}{\pd x}\]
na jednoduše souvislém uzavřeném definičním oboru
\[\int_\phi P\d x+Q\d y=\iint_D \left(-\frac{\pd P}{\pd y}+\frac{\pd Q}{\pd x}\right)\d x\d y = 0,\]
tedy je konzervativní.
\begin{define}Základní vlastnosti vnějšího součinu:
\begin{enumerate}
\item Asociativita
\item Komutativita, resp. antikomutativita, je-li $\omega$ k-forma a $\tau$ l-forma, potom platí
$$ \omega\wedge \tau = (-1)^{kl}\tau\wedge\omega$$
\item Antisymetrie $\vec x\wedge \vec y = -\vec y\wedge \vec x $
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{define}[$r$-rozměrný integrál I. druhu]\
\begin{enumerate}
\item $r=1$ v~$\R^n$
\[\int_g f\,\d s=\int_a^b f(g(t))\abs{g'(t)}\,\d t\]
\item $r=r$ v~$\R^n$ (platí i pro $r=1$)
\[\int_A f\,\d_r=\overbrace{\idotsint_{g^{-1}(A)}}^r
f(g(t))\abs{g_1(t)\wedge g_2(t)\wedge\dots\wedge g_r(t)}\,\d t,\]
\end{enumerate}
kde
\[\abs{g_1(t)\wedge g_2(t)\wedge\dots\wedge g_r(t)}=
\sqrt{\left|
\begin{matrix}
\left\langle g_1,g_1\right\rangle & \hdots & \left\langle g_1,g_r\right\rangle \\
\vdots & & \vdots\\
\left\langle g_r,g_1\right\rangle & \hdots & \left\langle g_r,g_r\right\rangle
\end{matrix}
\right|}.\]
\end{define}
\begin{define}[$r$-rozměrný integrál II. druhu]
\[\int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\boldsymbol\omega(g(t))\bigwedge_{i=1}^r g_i(t)\,\d t\]
kde
\[\boldsymbol\omega=\sum_{\substack{\lambda\\\lambda=(i_1,\dots,i_r)}}
\boldsymbol\omega_\lambda\,
\d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_r}\]
$\lambda$ je soubor rostoucích kombinací. Sčítenců je $\binom{n}{r}$.
\end{define}
Speciálně pro $r =2$, $n=3$ a $\boldsymbol\omega = F_1 \,\d y\d z+F_2 \,\d x\d z +F_3 \,\d x\d y$ potom
\[
\int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\vec F(g(u,v))\wedge g_u(u,v)\wedge g_v(u,v) \,\d u \d v =
\int_{g^{-1}(A)} \left\langle \star \vec{F}(g(u,v)) \, , \, g_u(u,v)\times g_v(u,v)\right\rangle \,\d u \d v
\]
kde $\star\vec{F} = (F_1,-F_2,F_3)$ (Hodgeův operátor sdružení)
Pro zápis plošných integrálů II. druhu se proto využívá následující symboliky,
je-li
\[\int_A\vec F\,\d\vec S = \int_A(F_1\,\d y\d z+F_2\,\d z\d x+F_3\,\d x\d y)=\int_{g^{-1}(A)}\vec F(g(t))(g_1(t)\times g_2(t)) \d t.\]
\begin{theorem}[divergenční]
Buďte $M,D\subset\R^n$, $M$ je $r$-rozměrná varieta, a nechť dále platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $D\subset M$,
\item $D$ je sigma kompaktní, ležící na jedné straně svého kraje $\pd D$
\item $\pd D$ buď okraj $D$ ($\pd D \not= \hr D$)
\item $\pd D$ buď $(r-1)$-rozměrná varieta (po částech).
\end{enumerate}
Buď dále $\boldsymbol\omega$ $(r-1)$-forma $\in\c{1}$ na $\uz{D}$
(stačí $\c{1}$ na $\vn{D}$ a $\c{0}$ na $\uz{D}$). Potom platí
\[\int_{\pd D}\boldsymbol\omega=\int_{\vn{D}}\d\boldsymbol\omega.\]
$\d\boldsymbol\omega$ --- vnější derivace
\[\d\boldsymbol\omega=
\sum_\lambda\d\boldsymbol\omega_\lambda\wedge\d x^{i_1}\wedge\dots\wedge\d x^{i_{r-1}}.\]
\begin{remark}
Následující formule jsou důsledkem divergenční věty.
\begin{enumerate}
\item Newton, tj. $n=1$, $r=1$: $D=\la a,b\ra$, $\pd D=\{a,b\}$,
\[[f(x)]_a^b=\int_a^b\d f=\int_a^b f',\]
$[f(x)]_a^b=1f(b)+(-1)f(a)$.
\item Green, tj. $n=2$, $r=2$:
\[\int_{\pd D}\boldsymbol\omega=\int_{\vn{D}}\d\boldsymbol\omega,\]
\[
\begin{split}
\d\boldsymbol\omega&=\d P\wedge\d x+\d Q\wedge d y=
\left(\frac{\pd P}{\pd x}\d x + \frac{\pd P}{\pd y}\d y\right)\wedge\dx+
\left(\frac{\pd Q}{\pd x}\d x + \frac{\pd Q}{\pd y}\d y\right)\wedge\dy=\\
&=\frac{\pd P}{\pd y}\d y\wedge\d x+ \frac{\pd Q}{\pd x}\d x\wedge\d y= \left(\frac{\pd Q}{\pd x} - \frac{\pd P}{\pd y}\right) \d x\wedge\d y
\end{split}
\]
\item Gauss, tj. $n=3$, $r=3$:
\[
\begin{split}
\int_{\pd D}(F_3\,\d x\wedge\d y+F_1\,\d y\wedge\d z+
F_2\,\d z\wedge\d x)
&=\int_{\pd D}\vec F\,\d\vec S=\iiint_{\vn{D}}\diverg\vec F\,\d x\d y\d z,
\end{split}
\]
neboť využitím základních vlastností vnějšího součinu a označí-li se
\[ \boldsymbol\omega= F_3\,\d x\wedge\d y+ F_1\, \d y\wedge\d z+ F_2 \,\d z\wedge\d x\\
\]
vyjde
\[
\begin{split}
\d\boldsymbol\omega&=
\d F_3\wedge\d x\wedge\d y+
\d F_1\wedge\d y\wedge\d z+
\d F_2\wedge\d z\wedge\d x=\\
&=\left(
\frac{\pd F_3}{\pd z}\d z\wedge\d x\wedge\d y+
\frac{\pd F_1}{\pd x}\d x\wedge\d y\wedge\d z+
\frac{\pd F_2}{\pd y}\d y\wedge\d z\wedge\d x
\right)=\\
&=\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}+
\frac{\pd F_2}{\pd y}+
\frac{\pd F_3}{\pd z}\right)\,\d x\wedge\d y\wedge\d z=
\diverg\vec F\,\d x\wedge\d y\wedge\d z.
\end{split}
\]
\item Greenova formule: $f,g\in\c{2}$, $\vec F=f\grad g=f\nabla g$.
\[\frac{\pd F^i}{\pd x^i} = \frac{\pd}{\pd x^i}\left(f\frac{\pd g}{\pd x^i}\right)=
\frac{\pd f}{\pd x^i}\frac{\pd g}{\pd x^i}+
f\frac{\pd^2 g}{\pd {x^i}^2},\]
kde $\diverg\vec F=\left\langle \nabla f,\nabla g\right\rangle +f\Delta g$. První Greenova
formule:
\[\int_{\pd D}f\nabla g\,\d\vec S=
\int_{\pd D}f\frac{\pd g}{\pd \vec n}\,\d S=
\iiint_{\vn{D}}\left\langle \nabla f,\nabla g\right\rangle +\iiint_{\vn{D}} f\Delta g\]
\[\int_{\pd D}g\nabla f\,\d\vec S=
\int_{\pd D}g\frac{\pd f}{\pd \vec n}\,\d S=
\iiint_{\vn{D}}\left\langle \nabla f,\nabla g\right\rangle +\iiint_{\vn{D}} g\Delta f\]
Odečtením předchozích dvou dostaneme druhou Greenovu formuli
\[
\int_{\pd D}\left|
\begin{matrix}
\frac{\pd f}{\pd \vec n} & \frac{\pd g}{\pd\vec n}\\
f & g
\end{matrix}
\right|\,\d S=
\iiint_{\vn{D}}\left|
\begin{matrix}
\Delta f & \Delta g\\
f & g
\end{matrix}
\right|.
\]
Per partes:
\[\iiint_{\vn{D}}\left\langle \nabla f,\nabla g\right\rangle =\int_{\pd D}f\nabla g\,\d\vec S-
\iiint_{\vn{D}} f\Delta g . \]
\item Stokesova formule: $n=3$, $r=2$
\[\int_{\pd D}\boldsymbol\omega=\int_{\vn{D}}\d\boldsymbol\omega\]
\[\int_g\boldsymbol\omega=\int_g F\,\d\vec r\]
$\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ a $[g] = \pd D $
\[
\begin{split}
\int_{\vn{D}}\,\d\boldsymbol\omega&=
\int_{\vn{D}}(\d F_1\wedge\d x+\d F_2\wedge\d y+\d F_3\wedge\d z)=
\int_{\vn{D}}\left[\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_1}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z+\right)\wedge\d x+\right.\\
&\left.\quad +\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_2}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_2}{\pd z}\d z+\right)\wedge\d y
+\left(\frac{\pd F_3}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_3}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_3}{\pd z}\d z+\right)\wedge\d z\right]=\\
&=\int_{\vn{D}}\left(-\frac{\pd F_1}{\pd y}\d x\wedge\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z\wedge\d x+\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x\wedge\d y-\frac{\pd F_2}{\pd z}\d y\wedge\d z+\right.\\
&\quad-
\left.\frac{\pd F_3}{\pd x}\d z\wedge\d x+
\frac{\pd F_3}{\pd y}\d y\wedge\d z
\right)=
\iint_{\vn{D}}\left[
\left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\d z+
\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\d x+\right.\\
&\quad\left.+\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d x\d y
\right]=
\iint_{\vn{D}}\rot\vec F\,\d\vec S=\int_g F\,\d\vec r.
\end{split}
\]
\end{enumerate}
\end{remark}
\end{theorem}