01MAA4:Kapitola35: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
(Celkové přepracování kapitoly do matematického formalismu.) |
||
Řádka 3: | Řádka 3: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | Z této kapitoly Vrána | + | Z této kapitoly Vrána přednáší pouze divergenční větu, jejíž znění pak může chtít na~zkoušce na A. Celá kapitola však významně abstrahuje dosavadní poznatky o integrování získané z fyzikálních předmětů a dává jim nutný matematický podklad. Matematičtí fyzici by této kapitole měli věnovat zvláštní pozornost. |
\end{remark} | \end{remark} | ||
− | + | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | + | Množinu všech $k$-lineárních antisymetrických forem definovaných na $V^n$ budeme značit $\Lambda^k(V^n)$. Říkáme, že $\Lambda^k(V^n)$ je {\bf $k$-tá vnější mocnina prostoru $V^n$}. | |
− | $\ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\end{define} | \end{define} | ||
− | + | ||
− | + | \begin{theorem} | |
− | + | $\Lambda^k(V^n)$ tvoří lineární prostor nad $\R$. Speciálně platí $\Lambda^0(V^n)=\R$, $\Lambda^1(V^n)=V^n$. | |
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Buď $ | + | Buď $k \in \n, n \in \N$. Symbolem $n \nad k$ budeme značit množinu všech uspořádaných $k$-tic \[\lambda = (i_1, \dots,i_k),\] pro něž $(\forall p \in \hat k)(i\in \n)$ a $i_1<\dots <i_k$. |
− | $ | + | |
− | + | ||
− | \[\ | + | |
− | + | ||
− | $\ | + | |
\end{define} | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Symbol $n \nad k$ pro tuto kapitolu tedy bude znamenat {\bf množinu} rostoucích $k$-tic, nikoli kombinační číslo. Počet prvků této množiny budeme značit $$\abs{n \nad k}=\frac{n!}{k!(n-k!)}$$ | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec x_{i_1}, \dots,\vec x_{i_k}) \in V^n$. Potom klademe $\vec x_{\lambda}=(\vec x_{i_1}, \dots,\vec x_{i_k})$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$, soubor $(\covec e^{i_1}, \dots,\covec e^{i_k})$ k ní duální báze $V_n$. Potom symbolem $\covec e^{\lambda}$ budeme značit k-lineární antisymetrickou formu definovanou vztahem | ||
+ | \[ | ||
+ | \covec e^{\lambda}(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k}) = | ||
+ | \left| | ||
+ | \begin{matrix} | ||
+ | \covec e^{i_1}(\vec x_{i_1}) & \hdots & \covec e^{i_1}(\vec x_{i_1}) \\ | ||
+ | \vdots & & \vdots\\ | ||
+ | \covec e^{i_k}(\vec x_{i_k}) & \hdots & \covec e^{i_k}(\vec x_{i_k}) | ||
+ | \end{matrix} | ||
+ | \right| | ||
+ | .\] | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Platí $\covec e^{\lambda}(\vec e_{\lambda})=1$. | ||
+ | \item Označíme-li $S_{\lambda}$ množinu všech permutací $k$-tice $\lambda$, pak lze z definice determinantu psát | ||
+ | \[ | ||
+ | \covec e^{\lambda}(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k})= | ||
+ | \sum_{\pi \in S_{\lambda}} \sgn \pi ~ \covec e^{\pi (i_1)}(\vec x_{i_1}) \dots \covec e^{\pi (i_k)}(\vec x_{i_k}). | ||
+ | \] | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Nechť ${n \nad k}=\left\lbrace \lambda_1, \dots, \lambda_p\right\rbrace,$ kde $p=\abs{n \nad k}$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$. Potom soubor forem \[(\covec e^{\lambda_1}, \dots , \covec e^{\lambda_p})\] tvoří bázi $\Lambda^k(V^n)$ a $\dim \Lambda^k(V^n)=\abs{n \nad k}$. | ||
+ | \end{theorem} | ||
− | + | \begin{define} | |
+ | Označme $\Lambda(V^n)$ direktní součet prostorů $\Lambda^0(V^n) \oplus \Lambda^1(V^n) \oplus \dots \oplus \Lambda^n(V^n)$ a definujme zobrazení $\wedge : \Lambda(V^n) \times \Lambda(V^n) \mapsto \Lambda(V^n)$ bodově vztahem | ||
\[ | \[ | ||
− | \ | + | (\sigma \wedge \varrho)(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k+l})=\frac{1}{k!~l!} |
− | \ | + | \sum_{\pi \in S_{k+l}} \sgn \pi ~ |
− | \ | + | \sigma(\vec x_{\pi (1)} \dots \vec x_{\pi (k)}) ~ |
+ | \varrho(\vec x_{\pi (k+1)} \dots \vec x_{\pi (k+l)}) | ||
\] | \] | ||
− | + | pro všechna $\sigma \in \Lambda^k(V^n), \varrho \in \Lambda^l(V^n), (\vec x_1,\dots \vec x_{k+l}) \in V^n$. Potom | |
− | + | \begin{enumerate}[(I)] | |
− | \ | + | \item dvojici $(\Lambda(V^n), \wedge)$ nazýváme {\bf vnější algebra} prostoru $V^n$, |
− | \ | + | \item operaci $\wedge$ nazýváme {\bf vnější násobení}, |
− | \ | + | \item prvek $\sigma \wedge \varrho \in \Lambda(V^n)$ nazýváme {\bf vnější součin} prvků $\sigma, \varrho$. |
− | + | \end{enumerate} | |
− | + | \end{define} | |
− | $\ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | |
− | + | ||
− | \begin{ | + | \begin{remark}Operace vnějšího násobení je bilineární zobrazení s následujícími vlastnostmi: |
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
\item Asociativita | \item Asociativita | ||
− | \item | + | \item Antikomutativita: ($\forall \sigma\in \Lambda^k(V^n), \varrho \in \Lambda^l(V^n))(\sigma\wedge\varrho=(-1)^{kl}\varrho\wedge\sigma)$ |
− | $ | + | \end{enumerate} |
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark}Důležitým důsledkem antikomutativity je antisymetrie. Pro $k=1$, resp. $ l=1$ při označení z předchozí poznámky platí | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $(\forall \vec x, \vec y \in V^n)(\vec x\wedge \vec y = -\vec y\wedge \vec x)$ | ||
+ | \item $(\forall \covec x, \covec y \in V_n)(\covec x\wedge \covec y = -\covec y\wedge \covec x)$ | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | Neboť z poznámky \ref{dx} plyne označení $\covec e^i=\d x^i$, plynou odtud tyto nejčastěji užívané vlastnosti | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $\d x^i \wedge \d x^j=-\d x^j \wedge \d x^i$ | ||
+ | \item $\d x^i \wedge \d x^i=0$ | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | \begin{define} | ||
+ | \label{k-vektor} | ||
+ | Nechť $k\in\N,x^1,\dots,x^k \in \Lambda(V^n),\pi\in S_k$. Potom klademe | ||
+ | \[ | ||
+ | x^{\pi(1)\dots\pi(k)}=x^{\pi(1)}\wedge\dots\wedge x^{\pi(k)}. | ||
+ | \] | ||
+ | \end{define} | ||
+ | \begin{remark} Následující pozorování můžeme učinit na základě předchozích definic. | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec e_{1}, \dots,\vec e_{n})$ báze $V^n$, soubor $(\covec e^{1}, \dots,\covec e^{n})$ k ní duální báze $V_n$. Potom platí $\covec e^{\lambda}=\covec e^{i_1}\wedge\dots\wedge \covec e^{i_k}$. | ||
+ | \item Nechť ${n \nad 1}\cup\dots\cup{n \nad n}=\left\lbrace \lambda_1, \dots, \lambda_p\right\rbrace$, kde $p=\abs{{n \nad 1}\cup\dots\cup{n \nad n}}=2^n-1$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$. Potom soubor prvků \[(1, \covec e^{\lambda_1}, \dots , \covec e^{\lambda_p})\] tvoří bázi $\Lambda(V^n)$ a $\dim \Lambda(V^n)=2^n$. | ||
+ | \item $(\Lambda^k(V^n))^\#=\Lambda^k(V_n)$, obdobně $(\Lambda(V_n))^\#=\Lambda(V^n)$ | ||
+ | \item Pro libovolné $k\in\n_0$ platí $\dim \Lambda^k(V^n)=\dim \Lambda^{n-k}(V^n)$, tedy $\Lambda^k(V^n) \cong \Lambda^{n-k}(V^n)$ (prostory jsou izomorfní). Zkonstruujeme mezi nimi izomorfismus zvaný Hodgeův operátor. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | \label{orientace} | ||
+ | Nechť $(\vec e_1,\dots, \vec e_n)$ báze $V^n$. Libovolnou nenulovou $n$-lineární antisymetrickou formu $\mathcal E$ definovanou na $V^n$ nazýváme {\bf orientací prostoru} $V^n$. Řekneme, báze $V^n$ je | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item {\bf kladně orientovaná} $\iff \mathcal E (\vec e_1,\dots, \vec e_n) > 0$ | ||
+ | \item {\bf záporně orientovaná} $\iff \mathcal E (\vec e_1,\dots, \vec e_n) < 0$ | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{define} | ||
− | \ | + | \begin{define} |
+ | \label{hodge} | ||
+ | Nechť $(\vec e_1,\dots, \vec e_n)$ kladně orientovaná ortonormální báze $V^n$ se skalárním součinem se zvolenou orientací $\mathcal E$. Potom pro každý totálně antisymetrický tenzor $x\in \Lambda^k(V^n)$ definujeme duální tenzor $\star x\in \Lambda^{n-k}(V^n)$ vztahem | ||
+ | \[ | ||
+ | x\wedge y = \la \star x,y \ra \vec e_1 \wedge \dots \wedge \vec e_n | ||
+ | \] pro každé $y\in \Lambda^{n-k}(V^n)$. Izomorfismus $\star : \Lambda^{k}(V^n) \mapsto \Lambda^{n-k}(V^n)$ nazýváme {\bf Hodgeův operátor}. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $(\forall x, y \in \Lambda^{k}(V^n))(\la \star x,\star y \ra=\la x,y \ra)$ | ||
+ | \item $(\forall \vec x, \vec y \in \R^3)(\vec x \times \vec y=\star(\vec x \wedge \vec y))$ | ||
+ | \item Z Riezsovy věty vyplývá, že při zvolené orientaci existuje ke každému antisymetrickému tenzoru právě jeden tenzor duální. Záleží však na orientaci báze! Proto se duální tenzor nazývá {\bf pseudotenzor} (popř. pseudoskalár, pseudovektor) a mění znaménko při změně orientace. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | {\bf Diferenciální $k$-formou} (diferenciální formou stupně $k$) rozumíme každé zobrazení | ||
+ | $\boldsymbol\omega:\R^n\mapsto \Lambda^k(V_n)$. | ||
+ | \[\boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}}\omega_{\lambda}\covec e^{\lambda},\] kde $(\forall \lambda \in {n\nad k})(\omega_{\lambda}:\R^n\mapsto \R)$. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Z \ref{omega} víme, že obecnou diferenciální 1-formu $\boldsymbol\omega$ můžeme zapsat ve tvaru \[\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^n\omega_i\d x^i.\] | ||
+ | \item Obdobně diferenciální $k$-formu $\boldsymbol\omega$ můžeme s užitím poznámky \ref{k-vektor}.1 zapsat ve tvaru | ||
+ | \[\boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda\, | ||
+ | \d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k},\] přičemž $\wedge$ na pravé straně se běžně bohužel vynechává. | ||
+ | \item Hodnota diferenciální $k$-formy $\boldsymbol\omega$ v bodě $x$ se obvykle zapisuje ve tvaru | ||
+ | \[\omega(x)=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda(x)~ | ||
+ | \d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k}.\] | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | {\bf Vnější derivací} diferenciální $k$-formy rozumíme diferenciální formu | ||
+ | \[\d \boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \d\omega_\lambda\, | ||
+ | \d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k}.\] | ||
\end{define} | \end{define} | ||
+ | \begin{define} | ||
+ | Diferenciální $k$-forma $\boldsymbol\omega$ je {\bf třídy $\c{q}$}, právě | ||
+ | když $\omega_\lambda$ jsou třídy $\c{q}$ pro všechna $\lambda\in {n\nad k}$. | ||
+ | \end{define} | ||
− | \begin{define} | + | \begin{define} |
+ | Neprázdná množina $A\subset\R^n $ se nazývá \emph{$\sigma$-kompaktní}, existuje-li nejvýše spočetný systém | ||
+ | $\left\lbrace A_n\right\rbrace _{n\in \I}$ kompaktních podmnožin $\R^n$ takový, že | ||
+ | \[ | ||
+ | A = \bigcup_{n\in\I}A_n. | ||
+ | \] | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Nechť jsou dány: | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item $ | + | \item $k$-rozměrná varieta $M \subset \R^n$, |
− | \ | + | \item regulární zobrazení $g:\R^k\mapsto M$, |
− | \item | + | \item $\sigma$-kompaktní množina $A\subset \vn{(\obr g)}$ |
− | \ | + | |
− | + | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | kde | + | Potom {\bf orientací variety $M$} nazýváme zobrazení $\vec e:\R^k\mapsto \Lambda^{k}(V_n)$ definované $\forall t\in\df g$ |
− | \[\ | + | \[ |
− | \sqrt{\left| | + | \vec e(t) = \frac{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}{\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}} |
+ | \] | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define}[$k$-rozměrný integrál druhého druhu] | ||
+ | \label{kint2druh} | ||
+ | Nechť $\boldsymbol\omega$ diferenciální $k$-forma, $A\subset \df \boldsymbol\omega$ orientovaná dle $\vec e$, $t \in \df g$. Potom při označení z předchozí definice klademe | ||
+ | \[ | ||
+ | \int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\omega(g(t))\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)\,\d t, | ||
+ | \] | ||
+ | kde $g_i$ jsou $i$-té parciální derivace, tj. $g_i=\pd_i g(t)$, a dále | ||
+ | \[ | ||
+ | \bigwedge_{i=1}^k g_i(t)\,\d t= \frac{\pd g}{\pd t^1}(t)\wedge\dots\wedge \frac{\pd g}{\pd t^k}(t). | ||
+ | \] | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Pro $n=3$, $k=2$ nazýváme \ref{kint2druh} {\bf plošný integrál druhého druhu}. Pro každou diferenciální 2-formu $\boldsymbol\omega$ lze jednoznačně najít vektorovou funkci $\vec F:\R^2\mapsto \Lambda^2(V^n)$ vztahem | ||
+ | \[ | ||
+ | \vec F=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda \vec e_\lambda. | ||
+ | \] | ||
+ | Potom, označíme-li $g=g(u,v),$ platí $(\forall (u,v)\in \df g)$ $\la \vec F(g),g_u \wedge g_v \ra = \omega(g) ~ g_u \wedge g_v$ (poslední výraz není součin, nýbrž akci formy na vnější součin). S užitím poznámek pod definicí \ref{hodge} získáme | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | & \int_{g^{-1}(A)} \omega(g(u,v))~g_u(u,v)\wedge g_v(u,v) \,\d u \d v = \int_{g^{-1}(A)} \la \vec{F}(g(u,v)),g_u(u,v)\wedge g_v(u,v)\ra \,\d u \d v =\\ | ||
+ | &= \int_{g^{-1}(A)} \la \star \vec{F}(g(u,v)),\star g_u(u,v)\wedge g_v(u,v)\ra \,\d u \d v = | ||
+ | \int_{g^{-1}(A)} \la \star \vec{F}(g(u,v)),g_u(u,v)\times g_v(u,v)\ra \,\d u \d v. | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | |||
+ | Pro zápis plošných integrálů druhého druhu se proto užívá následující symboliky: | ||
+ | \[ \int_A\la \vec F ,\vec n \ra\d S | ||
+ | =\int_A\vec F\cdot \d\vec S = | ||
+ | \int_A(F_1\,\d y\d z+F_2\,\d z\d x+F_3\,\d x\d y)=\int_{g^{-1}(A)}\vec F(g(t))\left( \frac{\pd g}{\pd t^1}(t)\times \frac{\pd g}{\pd t^2}(t)\right) \d t. | ||
+ | \] | ||
+ | Druhá rovnost plyne z toho, že je-li $\boldsymbol\omega = F_1 \,\d y\wedge\d z+F_2 \,\d x\wedge\d z +F_3 \,\d x\wedge\d y$, potom $\star\vec{F} = (F_1,-F_2,F_3)^T$. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} Při označení z definice \ref{orientace} platí | ||
+ | \[ | ||
+ | \int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\omega(g(t))~\vec e(t)\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}\,\d t. | ||
+ | \] | ||
+ | Je-li $\boldsymbol\omega$ diferenciální 0-forma, tj. (skalární) funkce, která je neorientovaná, můžeme tento poznatek shrnout do následující definice. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{define}[$k$-rozměrný integrál prvního druhu] | ||
+ | \label{kint1druh} | ||
+ | Nechť $f:\R^k\rightarrow \R$ funkce, $A\subset \df f$, $\mu_k(x)$ $k$-rozměrná míra na $\R^k$, $x\in\df f$, $t \in \df g$. Potom při označení z definice klademe | ||
+ | \[ | ||
+ | \int_A f(x)\,\d \mu_k(x)=\int_{g^{-1}(D)}f(g(t))\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}\,\d t, | ||
+ | \] | ||
+ | kde $g_i$ jsou $i$-té parciální derivace, tj. $g_i=\pd_i g(t)$, a dále | ||
+ | \[ | ||
+ | \norm{\bigwedge_{i=1}^r g_i(t)}=\sqrt{\left| | ||
\begin{matrix} | \begin{matrix} | ||
− | \ | + | \la g_1,g_1\ra & \hdots & \la g_1,g_k\ra \\ |
− | \vdots & & \vdots\\ | + | \vdots & & \vdots \\ |
− | \ | + | \la g_k,g_1\ra & \hdots & \la g_k,g_k\ra |
\end{matrix} | \end{matrix} | ||
− | \right|}.\] | + | \right|}. |
+ | \] | ||
\end{define} | \end{define} | ||
− | \begin{define} | + | |
− | \ | + | \begin{define} |
− | + | \label{fundforma} | |
− | + | Maticová funkce $g(t)$ (gramova matice) po složkách $\left[g(t)\right]_{ij}=\la g_i(t), g_j(t)\ra$ se nazývá {\bf metrický tenzor}, její determinant {\bf gramián}. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\end{define} | \end{define} | ||
− | + | ||
− | + | \begin{remark} | |
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Pokud $\df g=\R^2$, nazýváme $g$ {\bf první fundamentální formou} a obvykle píšeme ve tvaru ($g,E,F,G$ jsou funkce $t$) | ||
+ | \[g= | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | E & F \\ | ||
+ | F & G | ||
+ | \end{pmatrix}. | ||
+ | \] | ||
+ | \item $\det g=EG-F^2=\la g_u,g_u\ra \la g_v,g_v\ra-\la g_u,g_v\ra^2 | ||
+ | =\norm{g_u}^2\norm{g_v}^2-\la g_u,g_v\ra^2$ | ||
+ | \item Pro velikost vektorového součinu platí $\norm{\vec a\times \vec c}^2 | ||
+ | =\norm{\vec a}^2\norm{\vec c}^2-\la \vec a,\vec c\ra^2$. Užitím této rovnosti na předchozí vztah získáme užitečný vztah | ||
\[ | \[ | ||
− | + | \sqrt{\det g}=\norm{g_u\times g_v}=\norm{g_u}^2\norm{g_v}^2-\la g_u,g_v\ra^2. | |
− | + | ||
\] | \] | ||
− | + | \end{enumerate} | |
− | + | \end{remark} | |
− | Pro | + | \begin{remark} |
− | + | Pro $k=2$ v $\R^3$ nazýváme \ref{kint1druh} {\bf plošný integrál prvního druhu}. Pro jeho zápis se s~přihlédnutím k~předchozí poznámce užívá následující symboliky: | |
− | \[\int_A | + | \[ |
+ | \int_A f\,\d S=\int_{g^{-1}(A)}f(g(u,v)) | ||
+ | \norm{\frac{\pd g}{\pd u}\times\frac{\pd g}{\pd v}} | ||
+ | \,\d u\d v. | ||
+ | \] | ||
+ | Ve speciálním případě, kdy $g(x,y) = (x,y,\phi(x,y))$, získáme | ||
+ | \[\int_A f\,\d S = \int_{g^{-1}(A)}f(x,y,\phi(x,y)) | ||
+ | \sqrt{1+\left(\frac{\pd\phi}{\pd x}\right)^2+\left(\frac{\pd\phi}{\pd y}\right)^2}\dx\dy.\] | ||
+ | Položíme-li $f(x)=1$, získáme vzorec pro výpočet obsahu plochy $A\subset\R^3$, která je parametricky zadaná zobrazením $\phi(x,y)$. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Pro $k=1$ v $\R^n$ nazýváme \ref{kint1druh} {\bf křivkový integrál prvního druhu}, s nímž jsme se již setkali. Pro $\left[ a,b\right] =\df g$ buď | ||
+ | \[ | ||
+ | \int_g f\d s=\int_a^b f(g(t))\norm{g'(t)}\d t. | ||
+ | \] | ||
+ | Položíme-li $f(x)=1$, získáme vzorec pro výpočet délky křivky $[g]$, která je parametricky zadaná zobrazením $g$. | ||
+ | \end{remark} | ||
\begin{theorem}[divergenční] | \begin{theorem}[divergenční] | ||
− | Buďte $M,D\subset\R^n$, | + | \label{Vdiv} |
+ | Buďte $M,D\subset\R^n$, a nechť jsou dány: | ||
\begin{enumerate}[(I)] | \begin{enumerate}[(I)] | ||
− | \item $ | + | \item $k$-rozměrná varieta $M$, |
− | \item $D$ | + | \item $\pd D$, tj. $(k-1)$-rozměrná varieta (po částech) |
− | \item $\ | + | \item $\sigma$-kompaktní množina $D\subset M$ ležící na jedné straně svého okraje $\pd D$, |
− | + | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | + | Potom pro každou diferenciální $(k-1)$-formu $\boldsymbol\omega\in\c{1}(\uz{D})$ platí | |
− | ( | + | |
\[\int_{\pd D}\boldsymbol\omega=\int_{\vn{D}}\d\boldsymbol\omega.\] | \[\int_{\pd D}\boldsymbol\omega=\int_{\vn{D}}\d\boldsymbol\omega.\] | ||
− | + | \end{theorem} | |
− | + | ||
− | + | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | |||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item | + | \item V předpokladech stačí $\c{1}(\vn{D})$ a $\c{0}(\uz{D})$. |
+ | \item Okraj není topologická hranice ($\pd D \not = \hr D$), nýbrž geometrický okraj. Oba pojmy se často (a mylně) zaměňují, ale v \ref{stokes} nemusí mít varieta hranici, a přesto může být \uv{obepnuta} nějakou křivkou. | ||
+ | \item Důkaz věty je nad rámec přednášky, dokážeme si však nám již (z fyziky) známé důsledky této věty --- a to pouze užitím definice vnější derivace a vlastností vnějšího součinu. \\ Následující formule jsou důsledkem divergenční věty pro $n=k$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Newton, Leibniz ($n=k=1$)]Buď $\d f$ exaktní diferenciální 1-forma třídy $\c{0}, D=\left[a,b\right],\pd D=\{a,b\}$. Potom platí. | ||
\[[f(x)]_a^b=\int_a^b\d f=\int_a^b f',\] | \[[f(x)]_a^b=\int_a^b\d f=\int_a^b f',\] | ||
− | $[f(x)]_a^b= | + | kde $[f(x)]_a^b=1\cdot f(b)+(-1)\cdot f(a)$. |
− | \ | + | \end{theorem} |
− | \[\int_{\pd D}\ | + | |
+ | \begin{theorem}[Green ($n=k=2$)]Buď $D=\vn D\subset R^2$ omežená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená Jordanova dráha po částech třídy $\c{1}$, $P,Q\in\c{1}(D)$, $P,Q\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí | ||
+ | \[ | ||
+ | \int_{\pd D} (P\d x+Q\d y)=\iint_D\left( | ||
+ | \frac{\pd Q}{\pd x}-\frac{\pd P}{\pd y} | ||
+ | \right)\d x\d y. | ||
+ | \] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Označme | ||
+ | $ \boldsymbol\omega= P\,\d x+ Q\,\d y, | ||
+ | $ | ||
+ | pak pro vnější derivaci $\boldsymbol\omega$ platí | ||
\[ | \[ | ||
\begin{split} | \begin{split} | ||
Řádka 123: | Řádka 327: | ||
\left(\frac{\pd P}{\pd x}\d x + \frac{\pd P}{\pd y}\d y\right)\wedge\dx+ | \left(\frac{\pd P}{\pd x}\d x + \frac{\pd P}{\pd y}\d y\right)\wedge\dx+ | ||
\left(\frac{\pd Q}{\pd x}\d x + \frac{\pd Q}{\pd y}\d y\right)\wedge\dy=\\ | \left(\frac{\pd Q}{\pd x}\d x + \frac{\pd Q}{\pd y}\d y\right)\wedge\dy=\\ | ||
− | &=\frac{\pd P}{\pd y}\d y\wedge\d x+ \frac{\pd Q}{\pd x}\d x\wedge\d y= \left(\frac{\pd Q}{\pd x} - \frac{\pd P}{\pd y}\right) \d x\wedge\d y | + | &=\frac{\pd P}{\pd y}\d y\wedge\d x+ \frac{\pd Q}{\pd x}\d x\wedge\d y= \left(\frac{\pd Q}{\pd x} - \frac{\pd P}{\pd y}\right) \d x\wedge\d y. |
\end{split} | \end{split} | ||
\] | \] | ||
− | \ | + | \end{proof} |
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Gauss, Ostrogradskij ($n=k=3$)]Buď $D=\vn D\subset R^3$ omežená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená plocha po částech třídy $\c{1}$ prostá na $\vn{(\df\pd D)} $, $F_1,F_2,F_3\in\c{1}(D)$, $F_1,F_2,F_3\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí | ||
\[ | \[ | ||
− | |||
\int_{\pd D}(F_3\,\d x\wedge\d y+F_1\,\d y\wedge\d z+ | \int_{\pd D}(F_3\,\d x\wedge\d y+F_1\,\d y\wedge\d z+ | ||
− | F_2\,\d z\wedge\d x) | + | F_2\,\d z\wedge\d x)=\iiint_D\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}+ |
− | + | \frac{\pd F_2}{\pd y}+ | |
− | + | \frac{\pd F_3}{\pd z}\right)\d x\wedge\d y\wedge\d z, | |
\] | \] | ||
− | + | ve fyzikální notaci | |
− | + | \[ | |
− | \[ \ | + | \int_{\pd D}\vec F\cdot\d\vec S=\int_D\diverg\vec F \d V. |
\] | \] | ||
− | + | \begin{proof} | |
+ | Označme | ||
+ | $ \boldsymbol\omega= F_3\,\d x\wedge\d y+ F_1\, \d y\wedge\d z+ F_2 \,\d z\wedge\d x, | ||
+ | $ | ||
+ | pak pro vnější derivaci $\boldsymbol\omega$ platí | ||
+ | |||
\[ | \[ | ||
\begin{split} | \begin{split} | ||
Řádka 156: | Řádka 368: | ||
\end{split} | \end{split} | ||
\] | \] | ||
− | \ | + | \end{proof} |
− | \[\frac{\pd F^i}{\pd x^i} = \frac{\pd}{\pd x^i}\left(f\frac{\pd g}{\pd x^i}\right)= | + | \end{theorem} |
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[per partes ($n=k=3$)]Buď $D=\vn D\subset R^3$ omežená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená plocha po částech třídy $\c{1}$ prostá na $\vn{(\df\pd D)} $, $f,g:\R^3\mapsto\R$, $f,g\in\c{1}(D)$, $f,g\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí | ||
+ | \[ | ||
+ | \iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra =\int_{\pd D}f\nabla g\cdot\d\vec S- | ||
+ | \iiint_{\vn{D}} f\Delta g. | ||
+ | \] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Označíme-li $\vec F=f\grad g=f\nabla g$, potom pro $i$-tou složku divergence platí | ||
+ | \[ | ||
+ | (\diverg \vec F)^i=\frac{\pd F^i}{\pd x^i} = \frac{\pd}{\pd x^i}\left(f\frac{\pd g}{\pd x^i}\right)= | ||
\frac{\pd f}{\pd x^i}\frac{\pd g}{\pd x^i}+ | \frac{\pd f}{\pd x^i}\frac{\pd g}{\pd x^i}+ | ||
− | f\frac{\pd^2 g}{\pd {x^i}^2},\] | + | f\frac{\pd^2 g}{\pd {x^i}^2}, |
− | kde $\diverg\vec F=\ | + | \] |
− | + | kde $\diverg\vec F=\la \nabla f,\nabla g\ra +f\Delta g$. | |
− | \ | + | Tvrzení věty pak plyne z Gaussovy věty. |
− | \ | + | \end{proof} |
− | \ | + | \end{theorem} |
− | + | ||
− | + | \begin{theorem}[druhá Greenova formule ($n=k=3$)] Za předpokladů předchozí věty platí | |
− | + | ||
− | + | ||
\[ | \[ | ||
\int_{\pd D}\left| | \int_{\pd D}\left| | ||
\begin{matrix} | \begin{matrix} | ||
− | \frac{\pd f}{\pd \vec n} & \frac{\pd g}{\pd\vec n}\\ | + | \frac{\pd f}{\pd \vec n} & \frac{\pd g}{\pd\vec n} \\ |
− | f & g | + | f & g |
\end{matrix} | \end{matrix} | ||
\right|\,\d S= | \right|\,\d S= | ||
\iiint_{\vn{D}}\left| | \iiint_{\vn{D}}\left| | ||
\begin{matrix} | \begin{matrix} | ||
− | \Delta f & \Delta g\\ | + | \Delta f & \Delta g \\ |
− | f & g | + | f & g |
\end{matrix} | \end{matrix} | ||
\right|. | \right|. | ||
\] | \] | ||
− | + | ||
− | \[\iiint_{\vn{D}}\ | + | \begin{proof}Z předchozí věty vyjádříme prostřední člen |
− | \iiint_{\vn{D}} f\ | + | \[ |
− | + | \int_{\pd D}f\nabla g\cdot\d\vec S=\int_{\pd D}f\frac{\pd g}{\pd \vec n}\d S= | |
− | \ | + | \iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra+\iiint_{\vn{D}} f\Delta g. |
− | \[\ | + | \] |
− | \[\ | + | Podobně získáme |
− | $\boldsymbol\omega | + | \[ |
+ | \int_{\pd D}g\nabla f\cdot\d\vec S=\int_{\pd D}g\frac{\pd f}{\pd \vec n}\d S= | ||
+ | \iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra+\iiint_{\vn{D}} g\Delta f. | ||
+ | \] | ||
+ | Odečtením předchozích dvou rovností dostaneme tvrzení věty. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | |||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Následující formule je důsledkem divergenční věty pro $k\leq n$. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[Kelvin, Stokes ($n=3$, $k=2$)] | ||
+ | \label{stokes} Buď $D=\vn D\subset R^3$ omežená oblast, její okraj $\pd D$ je kladně orientovaná Jordanova dráha po částech třídy $\c{1}$, $F_1,F_2,F_3\in\c{1}(D)$, $F_1,F_2,F_3\in\c{0}(\uz D)$. Označme $\boldsymbol\omega= F_1\wedge\d x+F_2\wedge\d y+F_3\wedge\d z.$ Potom platí | ||
+ | \[ | ||
+ | \oint_{\pd D} \boldsymbol\omega=\iint_D\left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\wedge\d z\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\wedge\d x+\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d x\wedge\d y, | ||
+ | \] | ||
+ | ve fyzikální notaci | ||
+ | \[ | ||
+ | \oint_{\pd D}\vec F\cdot\d\vec r=\iint_D\rot\vec F\cdot\d\vec S. | ||
+ | \] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Označme $\boldsymbol\omega$ z definice, pak pro vnější derivaci $\boldsymbol\omega$ platí | ||
+ | |||
\[ | \[ | ||
\begin{split} | \begin{split} | ||
− | + | \d\boldsymbol\omega & = | |
− | + | \d F_1\wedge\d x+\d F_2\wedge\d y+\d F_3\wedge\d z = \\ | |
− | \ | + | & = |
− | + | \left(\frac{\pd F_1}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_1}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z\right)\wedge\d x + | |
− | +\left(\frac{\pd F_3}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_3}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_3}{\pd z}\d z | + | \left(\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_2}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_2}{\pd z}\d z\right)\wedge\d y |
− | &= | + | + \\ |
− | + | & + \left(\frac{\pd F_3}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_3}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_3}{\pd z}\d z\right)\wedge\d z= \\ | |
− | + | & =-\frac{\pd F_1}{\pd y}\d x\wedge\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z\wedge\d x+\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x\wedge\d y-\frac{\pd F_2}{\pd z}\d y\wedge\d z -\frac{\pd F_3}{\pd x}\d z\wedge\d x+ | |
− | \frac{\pd F_3}{\pd y}\d y\wedge\d z | + | \frac{\pd F_3}{\pd y}\d y\wedge\d z \\ |
− | \ | + | & = \left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\wedge\d z\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\wedge\d x+\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d x\wedge\d y= |
− | \ | + | \rot\vec F\cdot\d\vec S. |
− | \left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\d z | + | |
− | \left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\d x | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\end{split} | \end{split} | ||
\] | \] | ||
− | + | ||
− | \end{ | + | \end{proof} |
\end{theorem} | \end{theorem} |
Verze z 5. 10. 2013, 01:19
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Divergenční věta} \begin{remark} Z této kapitoly Vrána přednáší pouze divergenční větu, jejíž znění pak může chtít na~zkoušce na A. Celá kapitola však významně abstrahuje dosavadní poznatky o integrování získané z fyzikálních předmětů a dává jim nutný matematický podklad. Matematičtí fyzici by této kapitole měli věnovat zvláštní pozornost. \end{remark} \begin{define} Množinu všech $k$-lineárních antisymetrických forem definovaných na $V^n$ budeme značit $\Lambda^k(V^n)$. Říkáme, že $\Lambda^k(V^n)$ je {\bf $k$-tá vnější mocnina prostoru $V^n$}. \end{define} \begin{theorem} $\Lambda^k(V^n)$ tvoří lineární prostor nad $\R$. Speciálně platí $\Lambda^0(V^n)=\R$, $\Lambda^1(V^n)=V^n$. \end{theorem} \begin{define} Buď $k \in \n, n \in \N$. Symbolem $n \nad k$ budeme značit množinu všech uspořádaných $k$-tic \[\lambda = (i_1, \dots,i_k),\] pro něž $(\forall p \in \hat k)(i\in \n)$ a $i_1<\dots <i_k$. \end{define} \begin{remark} Symbol $n \nad k$ pro tuto kapitolu tedy bude znamenat {\bf množinu} rostoucích $k$-tic, nikoli kombinační číslo. Počet prvků této množiny budeme značit $$\abs{n \nad k}=\frac{n!}{k!(n-k!)}$$ \end{remark} \begin{define} Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec x_{i_1}, \dots,\vec x_{i_k}) \in V^n$. Potom klademe $\vec x_{\lambda}=(\vec x_{i_1}, \dots,\vec x_{i_k})$. \end{define} \begin{define} Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$, soubor $(\covec e^{i_1}, \dots,\covec e^{i_k})$ k ní duální báze $V_n$. Potom symbolem $\covec e^{\lambda}$ budeme značit k-lineární antisymetrickou formu definovanou vztahem \[ \covec e^{\lambda}(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k}) = \left| \begin{matrix} \covec e^{i_1}(\vec x_{i_1}) & \hdots & \covec e^{i_1}(\vec x_{i_1}) \\ \vdots & & \vdots\\ \covec e^{i_k}(\vec x_{i_k}) & \hdots & \covec e^{i_k}(\vec x_{i_k}) \end{matrix} \right| .\] \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Platí $\covec e^{\lambda}(\vec e_{\lambda})=1$. \item Označíme-li $S_{\lambda}$ množinu všech permutací $k$-tice $\lambda$, pak lze z definice determinantu psát \[ \covec e^{\lambda}(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k})= \sum_{\pi \in S_{\lambda}} \sgn \pi ~ \covec e^{\pi (i_1)}(\vec x_{i_1}) \dots \covec e^{\pi (i_k)}(\vec x_{i_k}). \] \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Nechť ${n \nad k}=\left\lbrace \lambda_1, \dots, \lambda_p\right\rbrace,$ kde $p=\abs{n \nad k}$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$. Potom soubor forem \[(\covec e^{\lambda_1}, \dots , \covec e^{\lambda_p})\] tvoří bázi $\Lambda^k(V^n)$ a $\dim \Lambda^k(V^n)=\abs{n \nad k}$. \end{theorem} \begin{define} Označme $\Lambda(V^n)$ direktní součet prostorů $\Lambda^0(V^n) \oplus \Lambda^1(V^n) \oplus \dots \oplus \Lambda^n(V^n)$ a definujme zobrazení $\wedge : \Lambda(V^n) \times \Lambda(V^n) \mapsto \Lambda(V^n)$ bodově vztahem \[ (\sigma \wedge \varrho)(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k+l})=\frac{1}{k!~l!} \sum_{\pi \in S_{k+l}} \sgn \pi ~ \sigma(\vec x_{\pi (1)} \dots \vec x_{\pi (k)}) ~ \varrho(\vec x_{\pi (k+1)} \dots \vec x_{\pi (k+l)}) \] pro všechna $\sigma \in \Lambda^k(V^n), \varrho \in \Lambda^l(V^n), (\vec x_1,\dots \vec x_{k+l}) \in V^n$. Potom \begin{enumerate}[(I)] \item dvojici $(\Lambda(V^n), \wedge)$ nazýváme {\bf vnější algebra} prostoru $V^n$, \item operaci $\wedge$ nazýváme {\bf vnější násobení}, \item prvek $\sigma \wedge \varrho \in \Lambda(V^n)$ nazýváme {\bf vnější součin} prvků $\sigma, \varrho$. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark}Operace vnějšího násobení je bilineární zobrazení s následujícími vlastnostmi: \begin{enumerate} \item Asociativita \item Antikomutativita: ($\forall \sigma\in \Lambda^k(V^n), \varrho \in \Lambda^l(V^n))(\sigma\wedge\varrho=(-1)^{kl}\varrho\wedge\sigma)$ \end{enumerate} \end{remark} \begin{remark}Důležitým důsledkem antikomutativity je antisymetrie. Pro $k=1$, resp. $ l=1$ při označení z předchozí poznámky platí \begin{enumerate} \item $(\forall \vec x, \vec y \in V^n)(\vec x\wedge \vec y = -\vec y\wedge \vec x)$ \item $(\forall \covec x, \covec y \in V_n)(\covec x\wedge \covec y = -\covec y\wedge \covec x)$ \end{enumerate} Neboť z poznámky \ref{dx} plyne označení $\covec e^i=\d x^i$, plynou odtud tyto nejčastěji užívané vlastnosti \begin{enumerate} \item $\d x^i \wedge \d x^j=-\d x^j \wedge \d x^i$ \item $\d x^i \wedge \d x^i=0$ \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} \label{k-vektor} Nechť $k\in\N,x^1,\dots,x^k \in \Lambda(V^n),\pi\in S_k$. Potom klademe \[ x^{\pi(1)\dots\pi(k)}=x^{\pi(1)}\wedge\dots\wedge x^{\pi(k)}. \] \end{define} \begin{remark} Následující pozorování můžeme učinit na základě předchozích definic. \begin{enumerate} \item Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec e_{1}, \dots,\vec e_{n})$ báze $V^n$, soubor $(\covec e^{1}, \dots,\covec e^{n})$ k ní duální báze $V_n$. Potom platí $\covec e^{\lambda}=\covec e^{i_1}\wedge\dots\wedge \covec e^{i_k}$. \item Nechť ${n \nad 1}\cup\dots\cup{n \nad n}=\left\lbrace \lambda_1, \dots, \lambda_p\right\rbrace$, kde $p=\abs{{n \nad 1}\cup\dots\cup{n \nad n}}=2^n-1$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$. Potom soubor prvků \[(1, \covec e^{\lambda_1}, \dots , \covec e^{\lambda_p})\] tvoří bázi $\Lambda(V^n)$ a $\dim \Lambda(V^n)=2^n$. \item $(\Lambda^k(V^n))^\#=\Lambda^k(V_n)$, obdobně $(\Lambda(V_n))^\#=\Lambda(V^n)$ \item Pro libovolné $k\in\n_0$ platí $\dim \Lambda^k(V^n)=\dim \Lambda^{n-k}(V^n)$, tedy $\Lambda^k(V^n) \cong \Lambda^{n-k}(V^n)$ (prostory jsou izomorfní). Zkonstruujeme mezi nimi izomorfismus zvaný Hodgeův operátor. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} \label{orientace} Nechť $(\vec e_1,\dots, \vec e_n)$ báze $V^n$. Libovolnou nenulovou $n$-lineární antisymetrickou formu $\mathcal E$ definovanou na $V^n$ nazýváme {\bf orientací prostoru} $V^n$. Řekneme, báze $V^n$ je \begin{enumerate} \item {\bf kladně orientovaná} $\iff \mathcal E (\vec e_1,\dots, \vec e_n) > 0$ \item {\bf záporně orientovaná} $\iff \mathcal E (\vec e_1,\dots, \vec e_n) < 0$ \end{enumerate} \end{define} \begin{define} \label{hodge} Nechť $(\vec e_1,\dots, \vec e_n)$ kladně orientovaná ortonormální báze $V^n$ se skalárním součinem se zvolenou orientací $\mathcal E$. Potom pro každý totálně antisymetrický tenzor $x\in \Lambda^k(V^n)$ definujeme duální tenzor $\star x\in \Lambda^{n-k}(V^n)$ vztahem \[ x\wedge y = \la \star x,y \ra \vec e_1 \wedge \dots \wedge \vec e_n \] pro každé $y\in \Lambda^{n-k}(V^n)$. Izomorfismus $\star : \Lambda^{k}(V^n) \mapsto \Lambda^{n-k}(V^n)$ nazýváme {\bf Hodgeův operátor}. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item $(\forall x, y \in \Lambda^{k}(V^n))(\la \star x,\star y \ra=\la x,y \ra)$ \item $(\forall \vec x, \vec y \in \R^3)(\vec x \times \vec y=\star(\vec x \wedge \vec y))$ \item Z Riezsovy věty vyplývá, že při zvolené orientaci existuje ke každému antisymetrickému tenzoru právě jeden tenzor duální. Záleží však na orientaci báze! Proto se duální tenzor nazývá {\bf pseudotenzor} (popř. pseudoskalár, pseudovektor) a mění znaménko při změně orientace. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} {\bf Diferenciální $k$-formou} (diferenciální formou stupně $k$) rozumíme každé zobrazení $\boldsymbol\omega:\R^n\mapsto \Lambda^k(V_n)$. \[\boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}}\omega_{\lambda}\covec e^{\lambda},\] kde $(\forall \lambda \in {n\nad k})(\omega_{\lambda}:\R^n\mapsto \R)$. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Z \ref{omega} víme, že obecnou diferenciální 1-formu $\boldsymbol\omega$ můžeme zapsat ve tvaru \[\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^n\omega_i\d x^i.\] \item Obdobně diferenciální $k$-formu $\boldsymbol\omega$ můžeme s užitím poznámky \ref{k-vektor}.1 zapsat ve tvaru \[\boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda\, \d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k},\] přičemž $\wedge$ na pravé straně se běžně bohužel vynechává. \item Hodnota diferenciální $k$-formy $\boldsymbol\omega$ v bodě $x$ se obvykle zapisuje ve tvaru \[\omega(x)=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda(x)~ \d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k}.\] \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} {\bf Vnější derivací} diferenciální $k$-formy rozumíme diferenciální formu \[\d \boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \d\omega_\lambda\, \d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k}.\] \end{define} \begin{define} Diferenciální $k$-forma $\boldsymbol\omega$ je {\bf třídy $\c{q}$}, právě když $\omega_\lambda$ jsou třídy $\c{q}$ pro všechna $\lambda\in {n\nad k}$. \end{define} \begin{define} Neprázdná množina $A\subset\R^n $ se nazývá \emph{$\sigma$-kompaktní}, existuje-li nejvýše spočetný systém $\left\lbrace A_n\right\rbrace _{n\in \I}$ kompaktních podmnožin $\R^n$ takový, že \[ A = \bigcup_{n\in\I}A_n. \] \end{define} \begin{define} Nechť jsou dány: \begin{enumerate} \item $k$-rozměrná varieta $M \subset \R^n$, \item regulární zobrazení $g:\R^k\mapsto M$, \item $\sigma$-kompaktní množina $A\subset \vn{(\obr g)}$ \end{enumerate} Potom {\bf orientací variety $M$} nazýváme zobrazení $\vec e:\R^k\mapsto \Lambda^{k}(V_n)$ definované $\forall t\in\df g$ \[ \vec e(t) = \frac{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}{\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}} \] \end{define} \begin{define}[$k$-rozměrný integrál druhého druhu] \label{kint2druh} Nechť $\boldsymbol\omega$ diferenciální $k$-forma, $A\subset \df \boldsymbol\omega$ orientovaná dle $\vec e$, $t \in \df g$. Potom při označení z předchozí definice klademe \[ \int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\omega(g(t))\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)\,\d t, \] kde $g_i$ jsou $i$-té parciální derivace, tj. $g_i=\pd_i g(t)$, a dále \[ \bigwedge_{i=1}^k g_i(t)\,\d t= \frac{\pd g}{\pd t^1}(t)\wedge\dots\wedge \frac{\pd g}{\pd t^k}(t). \] \end{define} \begin{remark} Pro $n=3$, $k=2$ nazýváme \ref{kint2druh} {\bf plošný integrál druhého druhu}. Pro každou diferenciální 2-formu $\boldsymbol\omega$ lze jednoznačně najít vektorovou funkci $\vec F:\R^2\mapsto \Lambda^2(V^n)$ vztahem \[ \vec F=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda \vec e_\lambda. \] Potom, označíme-li $g=g(u,v),$ platí $(\forall (u,v)\in \df g)$ $\la \vec F(g),g_u \wedge g_v \ra = \omega(g) ~ g_u \wedge g_v$ (poslední výraz není součin, nýbrž akci formy na vnější součin). S užitím poznámek pod definicí \ref{hodge} získáme \[ \begin{split} & \int_{g^{-1}(A)} \omega(g(u,v))~g_u(u,v)\wedge g_v(u,v) \,\d u \d v = \int_{g^{-1}(A)} \la \vec{F}(g(u,v)),g_u(u,v)\wedge g_v(u,v)\ra \,\d u \d v =\\ &= \int_{g^{-1}(A)} \la \star \vec{F}(g(u,v)),\star g_u(u,v)\wedge g_v(u,v)\ra \,\d u \d v = \int_{g^{-1}(A)} \la \star \vec{F}(g(u,v)),g_u(u,v)\times g_v(u,v)\ra \,\d u \d v. \end{split} \] Pro zápis plošných integrálů druhého druhu se proto užívá následující symboliky: \[ \int_A\la \vec F ,\vec n \ra\d S =\int_A\vec F\cdot \d\vec S = \int_A(F_1\,\d y\d z+F_2\,\d z\d x+F_3\,\d x\d y)=\int_{g^{-1}(A)}\vec F(g(t))\left( \frac{\pd g}{\pd t^1}(t)\times \frac{\pd g}{\pd t^2}(t)\right) \d t. \] Druhá rovnost plyne z toho, že je-li $\boldsymbol\omega = F_1 \,\d y\wedge\d z+F_2 \,\d x\wedge\d z +F_3 \,\d x\wedge\d y$, potom $\star\vec{F} = (F_1,-F_2,F_3)^T$. \end{remark} \begin{remark} Při označení z definice \ref{orientace} platí \[ \int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\omega(g(t))~\vec e(t)\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}\,\d t. \] Je-li $\boldsymbol\omega$ diferenciální 0-forma, tj. (skalární) funkce, která je neorientovaná, můžeme tento poznatek shrnout do následující definice. \end{remark} \begin{define}[$k$-rozměrný integrál prvního druhu] \label{kint1druh} Nechť $f:\R^k\rightarrow \R$ funkce, $A\subset \df f$, $\mu_k(x)$ $k$-rozměrná míra na $\R^k$, $x\in\df f$, $t \in \df g$. Potom při označení z definice klademe \[ \int_A f(x)\,\d \mu_k(x)=\int_{g^{-1}(D)}f(g(t))\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}\,\d t, \] kde $g_i$ jsou $i$-té parciální derivace, tj. $g_i=\pd_i g(t)$, a dále \[ \norm{\bigwedge_{i=1}^r g_i(t)}=\sqrt{\left| \begin{matrix} \la g_1,g_1\ra & \hdots & \la g_1,g_k\ra \\ \vdots & & \vdots \\ \la g_k,g_1\ra & \hdots & \la g_k,g_k\ra \end{matrix} \right|}. \] \end{define} \begin{define} \label{fundforma} Maticová funkce $g(t)$ (gramova matice) po složkách $\left[g(t)\right]_{ij}=\la g_i(t), g_j(t)\ra$ se nazývá {\bf metrický tenzor}, její determinant {\bf gramián}. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Pokud $\df g=\R^2$, nazýváme $g$ {\bf první fundamentální formou} a obvykle píšeme ve tvaru ($g,E,F,G$ jsou funkce $t$) \[g= \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}. \] \item $\det g=EG-F^2=\la g_u,g_u\ra \la g_v,g_v\ra-\la g_u,g_v\ra^2 =\norm{g_u}^2\norm{g_v}^2-\la g_u,g_v\ra^2$ \item Pro velikost vektorového součinu platí $\norm{\vec a\times \vec c}^2 =\norm{\vec a}^2\norm{\vec c}^2-\la \vec a,\vec c\ra^2$. Užitím této rovnosti na předchozí vztah získáme užitečný vztah \[ \sqrt{\det g}=\norm{g_u\times g_v}=\norm{g_u}^2\norm{g_v}^2-\la g_u,g_v\ra^2. \] \end{enumerate} \end{remark} \begin{remark} Pro $k=2$ v $\R^3$ nazýváme \ref{kint1druh} {\bf plošný integrál prvního druhu}. Pro jeho zápis se s~přihlédnutím k~předchozí poznámce užívá následující symboliky: \[ \int_A f\,\d S=\int_{g^{-1}(A)}f(g(u,v)) \norm{\frac{\pd g}{\pd u}\times\frac{\pd g}{\pd v}} \,\d u\d v. \] Ve speciálním případě, kdy $g(x,y) = (x,y,\phi(x,y))$, získáme \[\int_A f\,\d S = \int_{g^{-1}(A)}f(x,y,\phi(x,y)) \sqrt{1+\left(\frac{\pd\phi}{\pd x}\right)^2+\left(\frac{\pd\phi}{\pd y}\right)^2}\dx\dy.\] Položíme-li $f(x)=1$, získáme vzorec pro výpočet obsahu plochy $A\subset\R^3$, která je parametricky zadaná zobrazením $\phi(x,y)$. \end{remark} \begin{remark} Pro $k=1$ v $\R^n$ nazýváme \ref{kint1druh} {\bf křivkový integrál prvního druhu}, s nímž jsme se již setkali. Pro $\left[ a,b\right] =\df g$ buď \[ \int_g f\d s=\int_a^b f(g(t))\norm{g'(t)}\d t. \] Položíme-li $f(x)=1$, získáme vzorec pro výpočet délky křivky $[g]$, která je parametricky zadaná zobrazením $g$. \end{remark} \begin{theorem}[divergenční] \label{Vdiv} Buďte $M,D\subset\R^n$, a nechť jsou dány: \begin{enumerate}[(I)] \item $k$-rozměrná varieta $M$, \item $\pd D$, tj. $(k-1)$-rozměrná varieta (po částech) \item $\sigma$-kompaktní množina $D\subset M$ ležící na jedné straně svého okraje $\pd D$, \end{enumerate} Potom pro každou diferenciální $(k-1)$-formu $\boldsymbol\omega\in\c{1}(\uz{D})$ platí \[\int_{\pd D}\boldsymbol\omega=\int_{\vn{D}}\d\boldsymbol\omega.\] \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item V předpokladech stačí $\c{1}(\vn{D})$ a $\c{0}(\uz{D})$. \item Okraj není topologická hranice ($\pd D \not = \hr D$), nýbrž geometrický okraj. Oba pojmy se často (a mylně) zaměňují, ale v \ref{stokes} nemusí mít varieta hranici, a přesto může být \uv{obepnuta} nějakou křivkou. \item Důkaz věty je nad rámec přednášky, dokážeme si však nám již (z fyziky) známé důsledky této věty --- a to pouze užitím definice vnější derivace a vlastností vnějšího součinu. \\ Následující formule jsou důsledkem divergenční věty pro $n=k$. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem}[Newton, Leibniz ($n=k=1$)]Buď $\d f$ exaktní diferenciální 1-forma třídy $\c{0}, D=\left[a,b\right],\pd D=\{a,b\}$. Potom platí. \[[f(x)]_a^b=\int_a^b\d f=\int_a^b f',\] kde $[f(x)]_a^b=1\cdot f(b)+(-1)\cdot f(a)$. \end{theorem} \begin{theorem}[Green ($n=k=2$)]Buď $D=\vn D\subset R^2$ omežená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená Jordanova dráha po částech třídy $\c{1}$, $P,Q\in\c{1}(D)$, $P,Q\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí \[ \int_{\pd D} (P\d x+Q\d y)=\iint_D\left( \frac{\pd Q}{\pd x}-\frac{\pd P}{\pd y} \right)\d x\d y. \] \begin{proof} Označme $ \boldsymbol\omega= P\,\d x+ Q\,\d y, $ pak pro vnější derivaci $\boldsymbol\omega$ platí \[ \begin{split} \d\boldsymbol\omega&=\d P\wedge\d x+\d Q\wedge d y= \left(\frac{\pd P}{\pd x}\d x + \frac{\pd P}{\pd y}\d y\right)\wedge\dx+ \left(\frac{\pd Q}{\pd x}\d x + \frac{\pd Q}{\pd y}\d y\right)\wedge\dy=\\ &=\frac{\pd P}{\pd y}\d y\wedge\d x+ \frac{\pd Q}{\pd x}\d x\wedge\d y= \left(\frac{\pd Q}{\pd x} - \frac{\pd P}{\pd y}\right) \d x\wedge\d y. \end{split} \] \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Gauss, Ostrogradskij ($n=k=3$)]Buď $D=\vn D\subset R^3$ omežená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená plocha po částech třídy $\c{1}$ prostá na $\vn{(\df\pd D)} $, $F_1,F_2,F_3\in\c{1}(D)$, $F_1,F_2,F_3\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí \[ \int_{\pd D}(F_3\,\d x\wedge\d y+F_1\,\d y\wedge\d z+ F_2\,\d z\wedge\d x)=\iiint_D\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}+ \frac{\pd F_2}{\pd y}+ \frac{\pd F_3}{\pd z}\right)\d x\wedge\d y\wedge\d z, \] ve fyzikální notaci \[ \int_{\pd D}\vec F\cdot\d\vec S=\int_D\diverg\vec F \d V. \] \begin{proof} Označme $ \boldsymbol\omega= F_3\,\d x\wedge\d y+ F_1\, \d y\wedge\d z+ F_2 \,\d z\wedge\d x, $ pak pro vnější derivaci $\boldsymbol\omega$ platí \[ \begin{split} \d\boldsymbol\omega&= \d F_3\wedge\d x\wedge\d y+ \d F_1\wedge\d y\wedge\d z+ \d F_2\wedge\d z\wedge\d x=\\ &=\left( \frac{\pd F_3}{\pd z}\d z\wedge\d x\wedge\d y+ \frac{\pd F_1}{\pd x}\d x\wedge\d y\wedge\d z+ \frac{\pd F_2}{\pd y}\d y\wedge\d z\wedge\d x \right)=\\ &=\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}+ \frac{\pd F_2}{\pd y}+ \frac{\pd F_3}{\pd z}\right)\,\d x\wedge\d y\wedge\d z= \diverg\vec F\,\d x\wedge\d y\wedge\d z. \end{split} \] \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[per partes ($n=k=3$)]Buď $D=\vn D\subset R^3$ omežená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená plocha po částech třídy $\c{1}$ prostá na $\vn{(\df\pd D)} $, $f,g:\R^3\mapsto\R$, $f,g\in\c{1}(D)$, $f,g\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí \[ \iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra =\int_{\pd D}f\nabla g\cdot\d\vec S- \iiint_{\vn{D}} f\Delta g. \] \begin{proof} Označíme-li $\vec F=f\grad g=f\nabla g$, potom pro $i$-tou složku divergence platí \[ (\diverg \vec F)^i=\frac{\pd F^i}{\pd x^i} = \frac{\pd}{\pd x^i}\left(f\frac{\pd g}{\pd x^i}\right)= \frac{\pd f}{\pd x^i}\frac{\pd g}{\pd x^i}+ f\frac{\pd^2 g}{\pd {x^i}^2}, \] kde $\diverg\vec F=\la \nabla f,\nabla g\ra +f\Delta g$. Tvrzení věty pak plyne z Gaussovy věty. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[druhá Greenova formule ($n=k=3$)] Za předpokladů předchozí věty platí \[ \int_{\pd D}\left| \begin{matrix} \frac{\pd f}{\pd \vec n} & \frac{\pd g}{\pd\vec n} \\ f & g \end{matrix} \right|\,\d S= \iiint_{\vn{D}}\left| \begin{matrix} \Delta f & \Delta g \\ f & g \end{matrix} \right|. \] \begin{proof}Z předchozí věty vyjádříme prostřední člen \[ \int_{\pd D}f\nabla g\cdot\d\vec S=\int_{\pd D}f\frac{\pd g}{\pd \vec n}\d S= \iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra+\iiint_{\vn{D}} f\Delta g. \] Podobně získáme \[ \int_{\pd D}g\nabla f\cdot\d\vec S=\int_{\pd D}g\frac{\pd f}{\pd \vec n}\d S= \iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra+\iiint_{\vn{D}} g\Delta f. \] Odečtením předchozích dvou rovností dostaneme tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Následující formule je důsledkem divergenční věty pro $k\leq n$. \end{remark} \begin{theorem}[Kelvin, Stokes ($n=3$, $k=2$)] \label{stokes} Buď $D=\vn D\subset R^3$ omežená oblast, její okraj $\pd D$ je kladně orientovaná Jordanova dráha po částech třídy $\c{1}$, $F_1,F_2,F_3\in\c{1}(D)$, $F_1,F_2,F_3\in\c{0}(\uz D)$. Označme $\boldsymbol\omega= F_1\wedge\d x+F_2\wedge\d y+F_3\wedge\d z.$ Potom platí \[ \oint_{\pd D} \boldsymbol\omega=\iint_D\left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\wedge\d z\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\wedge\d x+\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d x\wedge\d y, \] ve fyzikální notaci \[ \oint_{\pd D}\vec F\cdot\d\vec r=\iint_D\rot\vec F\cdot\d\vec S. \] \begin{proof} Označme $\boldsymbol\omega$ z definice, pak pro vnější derivaci $\boldsymbol\omega$ platí \[ \begin{split} \d\boldsymbol\omega & = \d F_1\wedge\d x+\d F_2\wedge\d y+\d F_3\wedge\d z = \\ & = \left(\frac{\pd F_1}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_1}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z\right)\wedge\d x + \left(\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_2}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_2}{\pd z}\d z\right)\wedge\d y + \\ & + \left(\frac{\pd F_3}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_3}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_3}{\pd z}\d z\right)\wedge\d z= \\ & =-\frac{\pd F_1}{\pd y}\d x\wedge\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z\wedge\d x+\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x\wedge\d y-\frac{\pd F_2}{\pd z}\d y\wedge\d z -\frac{\pd F_3}{\pd x}\d z\wedge\d x+ \frac{\pd F_3}{\pd y}\d y\wedge\d z \\ & = \left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\wedge\d z\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\wedge\d x+\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d x\wedge\d y= \rot\vec F\cdot\d\vec S. \end{split} \] \end{proof} \end{theorem}