01MAA4:Kapitola35: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01MAA4} \section{$r$-rozměrná integrace v~$\R^n$} \begin{define} Neprázdná množina $A\subset\R^n $ se nazývá \emph{$\sigma$-kompaktní}, existuje...) |
m (Doplnění drobností.) |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01MAA4} | %\wikiskriptum{01MAA4} | ||
− | \section{ | + | \section{Divergenční věta} |
+ | \begin{remark} | ||
+ | Z této kapitoly Vrána vyžaduje (na A) pouze divergenční větu. Celá kapitola však významně abstrahuje dosavadní poznatky o integrování získané z fyzikálních předmětů a dává jim nutný matematický podklad. Matematičtí fyzici by této kapitole měli věnovat zvláštní pozornost. | ||
+ | \end{remark} | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
Neprázdná množina $A\subset\R^n $ se nazývá \emph{$\sigma$-kompaktní}, existuje-li nejvýše spočetný systém | Neprázdná množina $A\subset\R^n $ se nazývá \emph{$\sigma$-kompaktní}, existuje-li nejvýše spočetný systém | ||
− | $ | + | $\left\lbrace A_n\right\rbrace _{n\in I}$ kompaktních podmnožin $\R^n$ takový, že |
\[ | \[ | ||
A = \bigcup_{n\in I}A_n | A = \bigcup_{n\in I}A_n | ||
Řádka 17: | Řádka 20: | ||
$f:\R^r\rightarrow \R$ a $D \subset \text{def} f$ | $f:\R^r\rightarrow \R$ a $D \subset \text{def} f$ | ||
definujeme | definujeme | ||
− | \[\int_D f\,\d_r=\int_{g^{-1}(D)}f(g(t))\ | + | \[\int_D f\,\d_r=\int_{g^{-1}(D)}f(g(t))\norm{\bigwedge_{i=1}^r g_i(t)}\,\d t,\quad t\in\R^r.\] |
− | $\ | + | $\norm{\bigwedge_{i=1}^r g_i(t)}$ je hodnotově stejné s |
− | $\sqrt{\det | + | $\sqrt{\det\left\langle g_i, g_j\right\rangle }$, tj. odmocninou z~gramiánu, $g_i$ jsou parciální derivace |
\end{define} | \end{define} | ||
− | + | Plošný integrál I. druhu ($n=3$, $r=2$): | |
\[ | \[ | ||
\int_D f\,\d S=\int_{g^{-1}(D)}f(g(u,v)) | \int_D f\,\d S=\int_{g^{-1}(D)}f(g(u,v)) | ||
− | \ | + | \norm{\frac{\pd g}{\pd u}\times\frac{\pd g}{\pd v}} |
\,\d u\d v, | \,\d u\d v, | ||
\] | \] | ||
− | Norma vektorového součinu vyjde stejně jako ten gramián. Ve speciálním případě kdy | + | Norma vektorového součinu vyjde stejně jako ten gramián. \\ |
+ | Ve speciálním případě, kdy | ||
\\$g(x,y) = (x,y,\phi(x,y))$ | \\$g(x,y) = (x,y,\phi(x,y))$ | ||
\[\int_D f\,\d S = \int_{g^{-1}(D)}f(x,y,\phi(x,y)) | \[\int_D f\,\d S = \int_{g^{-1}(D)}f(x,y,\phi(x,y)) | ||
Řádka 40: | Řádka 44: | ||
tedy je konzervativní. | tedy je konzervativní. | ||
− | Základní vlastnosti vnějšího součinu: | + | \begin{define}Základní vlastnosti vnějšího součinu: |
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | + | \item Asociativita | |
− | \item | + | \item Komutativita, resp. antikomutativita, je-li $\omega$ k-forma a $\tau$ l-forma, potom platí |
$$ \omega\wedge \tau = (-1)^{kl}\tau\wedge\omega$$ | $$ \omega\wedge \tau = (-1)^{kl}\tau\wedge\omega$$ | ||
Řádka 50: | Řádka 54: | ||
\item Antisymetrie $\vec x\wedge \vec y = -\vec y\wedge \vec x $ | \item Antisymetrie $\vec x\wedge \vec y = -\vec y\wedge \vec x $ | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
+ | \end{define} | ||
− | \begin{ | + | \begin{define}[$r$-rozměrný integrál I. druhu]\ |
− | + | \begin{enumerate} | |
+ | \item $r=1$ v~$\R^n$ | ||
\[\int_g f\,\d s=\int_a^b f(g(t))\abs{g'(t)}\,\d t\] | \[\int_g f\,\d s=\int_a^b f(g(t))\abs{g'(t)}\,\d t\] | ||
− | $r=r$ v~$\R^n$ (platí i pro $r=1$) | + | \item $r=r$ v~$\R^n$ (platí i pro $r=1$) |
\[\int_A f\,\d_r=\overbrace{\idotsint_{g^{-1}(A)}}^r | \[\int_A f\,\d_r=\overbrace{\idotsint_{g^{-1}(A)}}^r | ||
f(g(t))\abs{g_1(t)\wedge g_2(t)\wedge\dots\wedge g_r(t)}\,\d t,\] | f(g(t))\abs{g_1(t)\wedge g_2(t)\wedge\dots\wedge g_r(t)}\,\d t,\] | ||
− | + | \end{enumerate} | |
kde | kde | ||
\[\abs{g_1(t)\wedge g_2(t)\wedge\dots\wedge g_r(t)}= | \[\abs{g_1(t)\wedge g_2(t)\wedge\dots\wedge g_r(t)}= | ||
\sqrt{\left| | \sqrt{\left| | ||
\begin{matrix} | \begin{matrix} | ||
− | + | \left\langle g_1,g_1\right\rangle & \hdots & \left\langle g_1,g_r\right\rangle \\ | |
\vdots & & \vdots\\ | \vdots & & \vdots\\ | ||
− | + | \left\langle g_r,g_1\right\rangle & \hdots & \left\langle g_r,g_r\right\rangle | |
\end{matrix} | \end{matrix} | ||
\right|}.\] | \right|}.\] | ||
− | \ | + | \end{define} |
+ | \begin{define}[$r$-rozměrný integrál II. druhu] | ||
\[\int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\boldsymbol\omega(g(t))\bigwedge_{i=1}^r g_i(t)\,\d t\] | \[\int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\boldsymbol\omega(g(t))\bigwedge_{i=1}^r g_i(t)\,\d t\] | ||
+ | kde | ||
\[\boldsymbol\omega=\sum_{\substack{\lambda\\\lambda=(i_1,\dots,i_r)}} | \[\boldsymbol\omega=\sum_{\substack{\lambda\\\lambda=(i_1,\dots,i_r)}} | ||
\boldsymbol\omega_\lambda\, | \boldsymbol\omega_\lambda\, | ||
\d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_r}\] | \d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_r}\] | ||
$\lambda$ je soubor rostoucích kombinací. Sčítenců je $\binom{n}{r}$. | $\lambda$ je soubor rostoucích kombinací. Sčítenců je $\binom{n}{r}$. | ||
+ | \end{define} | ||
Speciálně pro $r =2$, $n=3$ a $\boldsymbol\omega = F_1 \,\d y\d z+F_2 \,\d x\d z +F_3 \,\d x\d y$ potom | Speciálně pro $r =2$, $n=3$ a $\boldsymbol\omega = F_1 \,\d y\d z+F_2 \,\d x\d z +F_3 \,\d x\d y$ potom | ||
\[ | \[ | ||
\int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\vec F(g(u,v))\wedge g_u(u,v)\wedge g_v(u,v) \,\d u \d v = | \int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\vec F(g(u,v))\wedge g_u(u,v)\wedge g_v(u,v) \,\d u \d v = | ||
− | \int_{g^{-1}(A)} \vec{F}(g(u,v)) | + | \int_{g^{-1}(A)} \left\langle \star \vec{F}(g(u,v)) \, , \, g_u(u,v)\times g_v(u,v)\right\rangle \,\d u \d v |
\] | \] | ||
− | kde $\vec{F} | + | kde $\star\vec{F} = (F_1,-F_2,F_3)$ (Hodgeův operátor sdružení) |
Pro zápis plošných integrálů II. druhu se proto využívá následující symboliky, | Pro zápis plošných integrálů II. druhu se proto využívá následující symboliky, | ||
je-li | je-li | ||
\[\int_A\vec F\,\d\vec S = \int_A(F_1\,\d y\d z+F_2\,\d z\d x+F_3\,\d x\d y)=\int_{g^{-1}(A)}\vec F(g(t))(g_1(t)\times g_2(t)) \d t.\] | \[\int_A\vec F\,\d\vec S = \int_A(F_1\,\d y\d z+F_2\,\d z\d x+F_3\,\d x\d y)=\int_{g^{-1}(A)}\vec F(g(t))(g_1(t)\times g_2(t)) \d t.\] | ||
+ | |||
− | + | \begin{theorem}[divergenční] | |
− | + | ||
− | \begin{theorem} | + | |
Buďte $M,D\subset\R^n$, $M$ je $r$-rozměrná varieta, a nechť dále platí: | Buďte $M,D\subset\R^n$, $M$ je $r$-rozměrná varieta, a nechť dále platí: | ||
\begin{enumerate}[(I)] | \begin{enumerate}[(I)] | ||
\item $D\subset M$, | \item $D\subset M$, | ||
\item $D$ je sigma kompaktní, ležící na jedné straně svého kraje $\pd D$ | \item $D$ je sigma kompaktní, ležící na jedné straně svého kraje $\pd D$ | ||
− | \item $\pd D$ buď okraj $D$ | + | \item $\pd D$ buď okraj $D$ ($\pd D \not= \hr D$) |
\item $\pd D$ buď $(r-1)$-rozměrná varieta (po částech). | \item $\pd D$ buď $(r-1)$-rozměrná varieta (po částech). | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | Buď dále $\boldsymbol\omega | + | Buď dále $\boldsymbol\omega$ $(r-1)$-forma $\in\c{1}$ na $\uz{D}$ |
(stačí $\c{1}$ na $\vn{D}$ a $\c{0}$ na $\uz{D}$). Potom platí | (stačí $\c{1}$ na $\vn{D}$ a $\c{0}$ na $\uz{D}$). Potom platí | ||
\[\int_{\pd D}\boldsymbol\omega=\int_{\vn{D}}\d\boldsymbol\omega.\] | \[\int_{\pd D}\boldsymbol\omega=\int_{\vn{D}}\d\boldsymbol\omega.\] | ||
− | $\d\boldsymbol\omega$ --- vnější | + | $\d\boldsymbol\omega$ --- vnější derivace |
\[\d\boldsymbol\omega= | \[\d\boldsymbol\omega= | ||
\sum_\lambda\d\boldsymbol\omega_\lambda\wedge\d x^{i_1}\wedge\dots\wedge\d x^{i_{r-1}}.\] | \sum_\lambda\d\boldsymbol\omega_\lambda\wedge\d x^{i_1}\wedge\dots\wedge\d x^{i_{r-1}}.\] | ||
− | \begin{ | + | \begin{remark} |
− | + | Následující formule jsou důsledkem divergenční věty. | |
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
\item Newton, tj. $n=1$, $r=1$: $D=\la a,b\ra$, $\pd D=\{a,b\}$, | \item Newton, tj. $n=1$, $r=1$: $D=\la a,b\ra$, $\pd D=\{a,b\}$, | ||
Řádka 204: | Řádka 212: | ||
\] | \] | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | \end{ | + | \end{remark} |
\end{theorem} | \end{theorem} |
Verze z 26. 8. 2013, 14:07
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 21:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 08:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 08:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 10:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 21:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 10:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 15:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 10:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 08:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 09:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 20:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 08:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 08:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 10:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 08:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 12:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 00:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 20:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 08:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 08:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 12:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 10:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Divergenční věta} \begin{remark} Z této kapitoly Vrána vyžaduje (na A) pouze divergenční větu. Celá kapitola však významně abstrahuje dosavadní poznatky o integrování získané z fyzikálních předmětů a dává jim nutný matematický podklad. Matematičtí fyzici by této kapitole měli věnovat zvláštní pozornost. \end{remark} \begin{define} Neprázdná množina $A\subset\R^n $ se nazývá \emph{$\sigma$-kompaktní}, existuje-li nejvýše spočetný systém $\left\lbrace A_n\right\rbrace _{n\in I}$ kompaktních podmnožin $\R^n$ takový, že \[ A = \bigcup_{n\in I}A_n \] \end{define} \begin{define} Buď $M$ $r$-rozměrná varieta, $g:\R^r\rightarrow M$ regulární zobrazení, $\sigma$-kompaktní množina $D\subset \vn{(\text{img }g)}$, $f:\R^r\rightarrow \R$ a $D \subset \text{def} f$ definujeme \[\int_D f\,\d_r=\int_{g^{-1}(D)}f(g(t))\norm{\bigwedge_{i=1}^r g_i(t)}\,\d t,\quad t\in\R^r.\] $\norm{\bigwedge_{i=1}^r g_i(t)}$ je hodnotově stejné s $\sqrt{\det\left\langle g_i, g_j\right\rangle }$, tj. odmocninou z~gramiánu, $g_i$ jsou parciální derivace \end{define} Plošný integrál I. druhu ($n=3$, $r=2$): \[ \int_D f\,\d S=\int_{g^{-1}(D)}f(g(u,v)) \norm{\frac{\pd g}{\pd u}\times\frac{\pd g}{\pd v}} \,\d u\d v, \] Norma vektorového součinu vyjde stejně jako ten gramián. \\ Ve speciálním případě, kdy \\$g(x,y) = (x,y,\phi(x,y))$ \[\int_D f\,\d S = \int_{g^{-1}(D)}f(x,y,\phi(x,y)) \sqrt{1+\left(\frac{\pd\phi}{\pd x}\right)^2+\left(\frac{\pd\phi}{\pd y}\right)^2}\dx\dy.\] Z~Greenovy věty v~$\R^2$: forma je uzavřená $\boldsymbol\omega=P\d x+Q\d y$, tedy \[\frac{\pd P}{\pd y}=\frac{\pd Q}{\pd x}\] na jednoduše souvislém uzavřeném definičním oboru \[\int_\phi P\d x+Q\d y=\iint_D \left(-\frac{\pd P}{\pd y}+\frac{\pd Q}{\pd x}\right)\d x\d y = 0,\] tedy je konzervativní. \begin{define}Základní vlastnosti vnějšího součinu: \begin{enumerate} \item Asociativita \item Komutativita, resp. antikomutativita, je-li $\omega$ k-forma a $\tau$ l-forma, potom platí $$ \omega\wedge \tau = (-1)^{kl}\tau\wedge\omega$$ \item Antisymetrie $\vec x\wedge \vec y = -\vec y\wedge \vec x $ \end{enumerate} \end{define} \begin{define}[$r$-rozměrný integrál I. druhu]\ \begin{enumerate} \item $r=1$ v~$\R^n$ \[\int_g f\,\d s=\int_a^b f(g(t))\abs{g'(t)}\,\d t\] \item $r=r$ v~$\R^n$ (platí i pro $r=1$) \[\int_A f\,\d_r=\overbrace{\idotsint_{g^{-1}(A)}}^r f(g(t))\abs{g_1(t)\wedge g_2(t)\wedge\dots\wedge g_r(t)}\,\d t,\] \end{enumerate} kde \[\abs{g_1(t)\wedge g_2(t)\wedge\dots\wedge g_r(t)}= \sqrt{\left| \begin{matrix} \left\langle g_1,g_1\right\rangle & \hdots & \left\langle g_1,g_r\right\rangle \\ \vdots & & \vdots\\ \left\langle g_r,g_1\right\rangle & \hdots & \left\langle g_r,g_r\right\rangle \end{matrix} \right|}.\] \end{define} \begin{define}[$r$-rozměrný integrál II. druhu] \[\int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\boldsymbol\omega(g(t))\bigwedge_{i=1}^r g_i(t)\,\d t\] kde \[\boldsymbol\omega=\sum_{\substack{\lambda\\\lambda=(i_1,\dots,i_r)}} \boldsymbol\omega_\lambda\, \d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_r}\] $\lambda$ je soubor rostoucích kombinací. Sčítenců je $\binom{n}{r}$. \end{define} Speciálně pro $r =2$, $n=3$ a $\boldsymbol\omega = F_1 \,\d y\d z+F_2 \,\d x\d z +F_3 \,\d x\d y$ potom \[ \int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\vec F(g(u,v))\wedge g_u(u,v)\wedge g_v(u,v) \,\d u \d v = \int_{g^{-1}(A)} \left\langle \star \vec{F}(g(u,v)) \, , \, g_u(u,v)\times g_v(u,v)\right\rangle \,\d u \d v \] kde $\star\vec{F} = (F_1,-F_2,F_3)$ (Hodgeův operátor sdružení) Pro zápis plošných integrálů II. druhu se proto využívá následující symboliky, je-li \[\int_A\vec F\,\d\vec S = \int_A(F_1\,\d y\d z+F_2\,\d z\d x+F_3\,\d x\d y)=\int_{g^{-1}(A)}\vec F(g(t))(g_1(t)\times g_2(t)) \d t.\] \begin{theorem}[divergenční] Buďte $M,D\subset\R^n$, $M$ je $r$-rozměrná varieta, a nechť dále platí: \begin{enumerate}[(I)] \item $D\subset M$, \item $D$ je sigma kompaktní, ležící na jedné straně svého kraje $\pd D$ \item $\pd D$ buď okraj $D$ ($\pd D \not= \hr D$) \item $\pd D$ buď $(r-1)$-rozměrná varieta (po částech). \end{enumerate} Buď dále $\boldsymbol\omega$ $(r-1)$-forma $\in\c{1}$ na $\uz{D}$ (stačí $\c{1}$ na $\vn{D}$ a $\c{0}$ na $\uz{D}$). Potom platí \[\int_{\pd D}\boldsymbol\omega=\int_{\vn{D}}\d\boldsymbol\omega.\] $\d\boldsymbol\omega$ --- vnější derivace \[\d\boldsymbol\omega= \sum_\lambda\d\boldsymbol\omega_\lambda\wedge\d x^{i_1}\wedge\dots\wedge\d x^{i_{r-1}}.\] \begin{remark} Následující formule jsou důsledkem divergenční věty. \begin{enumerate} \item Newton, tj. $n=1$, $r=1$: $D=\la a,b\ra$, $\pd D=\{a,b\}$, \[[f(x)]_a^b=\int_a^b\d f=\int_a^b f',\] $[f(x)]_a^b=1f(b)+(-1)f(a)$. \item Green, tj. $n=2$, $r=2$: \[\int_{\pd D}\boldsymbol\omega=\int_{\vn{D}}\d\boldsymbol\omega,\] \[ \begin{split} \d\boldsymbol\omega&=\d P\wedge\d x+\d Q\wedge d y= \left(\frac{\pd P}{\pd x}\d x + \frac{\pd P}{\pd y}\d y\right)\wedge\dx+ \left(\frac{\pd Q}{\pd x}\d x + \frac{\pd Q}{\pd y}\d y\right)\wedge\dy=\\ &=\frac{\pd P}{\pd y}\d y\wedge\d x+ \frac{\pd Q}{\pd x}\d x\wedge\d y= \left(\frac{\pd Q}{\pd x} - \frac{\pd P}{\pd y}\right) \d x\wedge\d y \end{split} \] \item Gauss, tj. $n=3$, $r=3$: \[ \begin{split} \int_{\pd D}(F_3\,\d x\wedge\d y+F_1\,\d y\wedge\d z+ F_2\,\d z\wedge\d x) &=\int_{\pd D}\vec F\,\d\vec S=\iiint_{\vn{D}}\diverg\vec F\,\d x\d y\d z, \end{split} \] neboť využitím základních vlastností vnějšího součinu a označí-li se \[ \boldsymbol\omega= F_3\,\d x\wedge\d y+ F_1\, \d y\wedge\d z+ F_2 \,\d z\wedge\d x\\ \] vyjde \[ \begin{split} \d\boldsymbol\omega&= \d F_3\wedge\d x\wedge\d y+ \d F_1\wedge\d y\wedge\d z+ \d F_2\wedge\d z\wedge\d x=\\ &=\left( \frac{\pd F_3}{\pd z}\d z\wedge\d x\wedge\d y+ \frac{\pd F_1}{\pd x}\d x\wedge\d y\wedge\d z+ \frac{\pd F_2}{\pd y}\d y\wedge\d z\wedge\d x \right)=\\ &=\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}+ \frac{\pd F_2}{\pd y}+ \frac{\pd F_3}{\pd z}\right)\,\d x\wedge\d y\wedge\d z= \diverg\vec F\,\d x\wedge\d y\wedge\d z. \end{split} \] \item Greenova formule: $f,g\in\c{2}$, $\vec F=f\grad g=f\nabla g$. \[\frac{\pd F^i}{\pd x^i} = \frac{\pd}{\pd x^i}\left(f\frac{\pd g}{\pd x^i}\right)= \frac{\pd f}{\pd x^i}\frac{\pd g}{\pd x^i}+ f\frac{\pd^2 g}{\pd {x^i}^2},\] kde $\diverg\vec F=(\nabla f,\nabla g)+f\Delta g$. První Greenova formule: \[\int_{\pd D}f\nabla g\,\d\vec S= \int_{\pd D}f\frac{\pd g}{\pd \vec n}\,\d S= \iiint_{\vn{D}}(\nabla f,\nabla g)+\iiint_{\vn{D}} f\Delta g\] \[\int_{\pd D}g\nabla f\,\d\vec S= \int_{\pd D}g\frac{\pd f}{\pd \vec n}\,\d S= \iiint_{\vn{D}}(\nabla f,\nabla g)+\iiint_{\vn{D}} g\Delta f\] Odečtením předchozích dvou dostaneme druhou Greenovu formuli \[ \int_{\pd D}\left| \begin{matrix} \frac{\pd f}{\pd \vec n} & \frac{\pd g}{\pd\vec n}\\ f & g \end{matrix} \right|\,\d S= \iiint_{\vn{D}}\left| \begin{matrix} \Delta f & \Delta g\\ f & g \end{matrix} \right|. \] Per partes: \[\iiint_{\vn{D}}(\nabla f,\nabla g)=\int_{\pd D}f\nabla g\,\d\vec S- \iiint_{\vn{D}} f\Delta g . \] \item Stokesova formule: $n=3$, $r=2$ \[\int_{\pd D}\boldsymbol\omega=\int_{\vn{D}}\d\boldsymbol\omega\] \[\int_g\boldsymbol\omega=\int_g F\,\d\vec r\] $\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ a $[g] = \pd D $ \[ \begin{split} \int_{\vn{D}}\,\d\boldsymbol\omega&= \int_{\vn{D}}(\d F_1\wedge\d x+\d F_2\wedge\d y+\d F_3\wedge\d z)= \int_{\vn{D}}\left[\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_1}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z+\right)\wedge\d x+\right.\\ &\left.\quad +\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_2}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_2}{\pd z}\d z+\right)\wedge\d y +\left(\frac{\pd F_3}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_3}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_3}{\pd z}\d z+\right)\wedge\d z\right]=\\ &=\int_{\vn{D}}\left(-\frac{\pd F_1}{\pd y}\d x\wedge\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z\wedge\d x+\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x\wedge\d y-\frac{\pd F_2}{\pd z}\d y\wedge\d z+\right.\\ &\quad- \left.\frac{\pd F_3}{\pd x}\d z\wedge\d x+ \frac{\pd F_3}{\pd y}\d y\wedge\d z \right)= \iint_{\vn{D}}\left[ \left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\d z+ \left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\d x+\right.\\ &\quad\left.+\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d x\d y \right]= \iint_{\vn{D}}\rot\vec F\,\d\vec S=\int_g F\,\d\vec r. \end{split} \] \end{enumerate} \end{remark} \end{theorem}