01MAA4:Kapitola35: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Celková úprava.) |
m (druhá poznámka za definicí orientace variety.) |
||
Řádka 32: | Řádka 32: | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
\item Orientace variety $M$ má význam jednotkového tečného \uv{vektoru} k varietě $M$. | \item Orientace variety $M$ má význam jednotkového tečného \uv{vektoru} k varietě $M$. | ||
+ | \item Orientace variety $M$ je daná orientací jejího tečného prostoru ($g_i$ jsou tečné vektory). | ||
\item Varieta je orientovatelná, pokud se dá napsat jako implicitní zobrazení. Pokud ji nelze zadat implicitně, není tedy orientovatelná a můžeme ji zadat např. parametricky. | \item Varieta je orientovatelná, pokud se dá napsat jako implicitní zobrazení. Pokud ji nelze zadat implicitně, není tedy orientovatelná a můžeme ji zadat např. parametricky. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} |
Verze z 8. 5. 2017, 17:35
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Vícerozměrná integrace} %\begin{remark} Z této kapitoly Vrána přednáší pouze plošné integrály a divergenční větu, na zkoušce pak její znění může chtít slyšet na A. Ze znalostí z předchozí kapitoly nyní můžeme shrnout poznatky o integrování získané z fyzikálních předmětů. %\end{remark} \begin{define} Neprázdná množina $A\subset\R^n $ se nazývá {\bf$\boldsymbol\sigma$-kompaktní}, existuje-li nejvýše spočetný systém $\left\lbrace A_n\right\rbrace _{n\in \I}$ kompaktních podmnožin $\R^n$, který pokrývá $A$, tj. \[ A = \bigcup_{n\in\I}A_n. \] \end{define} \begin{define} \label{Morientace} Nechť jsou dány: \begin{enumerate} \item $k$-rozměrná varieta $M \subset \R^n$, \item regulární zobrazení $g:\R^k\mapsto M$, \item $\sigma$-kompaktní množina $A\subset \vn{(\obr g)}.$ \end{enumerate} Potom {\bf orientací variety $M$} nazýváme zobrazení $\vec e:\R^k\mapsto \Lambda^{k}(V_n)$ definované $\forall t\in\df g$ \[ e(t) = \frac{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}{\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}} \] \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Orientace variety $M$ má význam jednotkového tečného \uv{vektoru} k varietě $M$. \item Orientace variety $M$ je daná orientací jejího tečného prostoru ($g_i$ jsou tečné vektory). \item Varieta je orientovatelná, pokud se dá napsat jako implicitní zobrazení. Pokud ji nelze zadat implicitně, není tedy orientovatelná a můžeme ji zadat např. parametricky. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define}[$k$-rozměrný integrál druhého druhu] \label{kint2druh} Nechť $\boldsymbol\omega$ diferenciální $k$-forma, $A\subset \df \boldsymbol\omega$ orientovaná dle $ e$, $t \in \df g$. Potom při označení z předchozí definice klademe \[ \int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\omega(g(t))\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)\,\d t, \] kde $g_i$ jsou $i$-té parciální derivace, tj. $g_i=\pd_i g(t)$, a dále \[ \bigwedge_{i=1}^k g_i(t)\,\d t= \frac{\pd g}{\pd t^1}(t)\wedge\dots\wedge \frac{\pd g}{\pd t^k}(t). \] \end{define} \begin{remark} Pro $n=3$, $k=2$ nazýváme \ref{kint2druh} {\bf plošný integrál druhého druhu}. Pro každou diferenciální 2-formu $\boldsymbol\omega$ existuje dle poznámky \ref{findhodge}.2 vektorové pole $\vec F:\R^2\mapsto \Lambda^2(V^n)$. % dané vztahem %\[ %\vec F=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda \vec e_\lambda. %\] %Potom, označíme-li $g=g(u,v),$ platí $(\forall (u,v)\in \df g)$ $\la \vec F(g),g_u \wedge g_v \ra = \omega(g) ~ g_u \wedge g_v$ (poslední výraz není součin, nýbrž akci formy na vnější součin). S užitím poznámek pod definicí \ref{hodge} získáme \[ \begin{split} & \int_{g^{-1}(A)} \omega(g(u,v))~g_u(u,v)\wedge g_v(u,v) \,\d u \d v = \int_{g^{-1}(A)} \la \vec{F}(g(u,v)),g_u(u,v)\wedge g_v(u,v)\ra \,\d u \d v =\\ &= \int_{g^{-1}(A)} \la \star \vec{F}(g(u,v)),\star g_u(u,v)\wedge g_v(u,v)\ra \,\d u \d v = \int_{g^{-1}(A)} \la \star \vec{F}(g(u,v)),g_u(u,v)\times g_v(u,v)\ra \,\d u \d v. \end{split} \] Pro zápis plošných integrálů druhého druhu se proto užívá následující symboliky: \[ \int_A\la \vec F ,\vec n \ra\d S =\int_A\vec F\cdot \d\vec S = \int_A(F_1\,\d y\d z+F_2\,\d z\d x+F_3\,\d x\d y)=\int_{g^{-1}(A)}\vec F(g(t))\cdot\left( \frac{\pd g}{\pd t^1}(t)\times \frac{\pd g}{\pd t^2}(t)\right) \d t. \] Druhá rovnost plyne z toho, že je-li $\boldsymbol\omega = F_1 \,\d y\wedge\d z+F_2 \,\d x\wedge\d z +F_3 \,\d x\wedge\d y$, potom $\star\vec{F} = (F_1,-F_2,F_3)^T$. Integrand v poslední rovnosti je smíšený součin. Užitím poznámky \ref{findhodge}.1(a) můžeme pokračovat v úpravách integrálu (ozn. $\pd_i g^j=\frac{\pd g^j}{\pd t^i}$) \[ =\int_{g^{-1}(A)}\vec F(g(t))\wedge \frac{\pd g}{\pd t^1}(t)\wedge \frac{\pd g}{\pd t^2}(t)~ \d t=\int_{g^{-1}(A)} \left| \begin{matrix} F_1 & F_2 & F_3 \\ \pd_1 g^1 & \pd_1 g^2 & \pd_1 g^3 \\ \pd_2 g^1 & \pd_2 g^2 & \pd_2 g^3 \end{matrix} \right|\!(t) ~\d t. \] \end{remark} \begin{remark} Při označení z definice \ref{Morientace} platí \[ \int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\omega(g(t))~\vec e(t)\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}\,\d t. \] Je-li $\boldsymbol\omega$ 0-forma, tj. (skalární) funkce, můžeme tento poznatek shrnout do následující definice. \end{remark} \begin{define}[$k$-rozměrný integrál prvního druhu] \label{kint1druh} Nechť $f:\R^k\rightarrow \R$ funkce, $A\subset \df f$, $\mu_k(x)$ $k$-rozměrná míra na $\R^k$, $x\in\df f$, $t \in \df g$. Potom při označení z definice klademe \[ \int_A f(x)\,\d \mu_k(x)=\int_{g^{-1}(D)}f(g(t))\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}\,\d t, \] kde $g_i$ jsou $i$-té parciální derivace, tj. $g_i=\pd_i g(t)$, a dále \[ \norm{\bigwedge_{i=1}^r g_i(t)}=\sqrt{\left| \begin{matrix} \la g_1,g_1\ra & \hdots & \la g_1,g_k\ra \\ \vdots & & \vdots \\ \la g_k,g_1\ra & \hdots & \la g_k,g_k\ra \end{matrix} \right|}. \] \end{define} \begin{define} \label{fundforma} Symetrická bilineární forma daná gramovou maticí souboru ($g_i(t)$) definované po složkách $\left[g(t)\right]_{ij}=\la g_i(t), g_j(t)\ra$ se nazývá {\bf metrický tenzor}. Determinant příslušné matice se nazývá {\bf gramián}. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Mezi metrickým tenzorem a Jakobiánem platí vztah $g=\J^T\J$, odsud platí $\det f'(x)=\sqrt{\det g(t)}$. Tímto je dokázána věta \ref{substint}. Metrický tenzor tedy figuruje při přechodu od jedněch souřadnic ke druhým. Zároveň udává geometrii na varietě $M$, neboť na ní indukuje \uv{skalární součin} a tudíž i metriku. Proto se nazývá metrický tenzor. \item Metrický tenzor nemusí být nutně pozitivně definitní, musí však mít prázdný nulprostor. Variety se signaturou metriky $(-1,1,1,1)$ nazýváme {\bf pseudoriemannovské.} \item Metrický tenzor 2-rozměrné variety nazýváme {\bf první fundamentální formou}, značíme \[ \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \qquad \mbox{ ($E,F,G$ jsou funkce $t$)}. \] \item $\det g=EG-F^2=\la g_u,g_u\ra \la g_v,g_v\ra-\la g_u,g_v\ra^2 =\norm{g_u}^2\norm{g_v}^2-\la g_u,g_v\ra^2$ \item Pro velikost vektorového součinu platí $\norm{\vec a\times \vec c}^2 =\norm{\vec a}^2\norm{\vec c}^2-\la \vec a,\vec c\ra^2$. Užitím tohoto vzorce na předchozí rovnost získáme užitečný vztah \[ \sqrt{\det g}=\norm{g_u\times g_v}=\norm{g_u}^2\norm{g_v}^2-\la g_u,g_v\ra^2. \] \end{enumerate} \end{remark} \begin{remark} Pro $k=2$ v $\R^3$ nazýváme \ref{kint1druh} {\bf plošný integrál prvního druhu}. Pro jeho zápis se s~přihlédnutím k~předchozí poznámce užívá následující symboliky: \[ \int_A f\,\d S=\int_{g^{-1}(A)}f(g(u,v)) \norm{\frac{\pd g}{\pd u}\times\frac{\pd g}{\pd v}} \,\d u\d v. \] Ve speciálním případě, kdy $g(x,y) = (x,y,\phi(x,y))$, získáme \[\int_A f\,\d S = \int_{g^{-1}(A)}f(x,y,\phi(x,y)) \sqrt{1+\left(\frac{\pd\phi}{\pd x}\right)^2+\left(\frac{\pd\phi}{\pd y}\right)^2}\dx\dy.\] Položíme-li $f(x)=1$, získáme vzorec pro výpočet obsahu plochy $A\subset\R^3$, která je parametricky zadaná zobrazením $\phi(x,y)$. \end{remark} \begin{remark} Pro $k=1$ v $\R^n$ nazýváme \ref{kint1druh} {\bf křivkový integrál prvního druhu}, s nímž jsme se již setkali. Pro $\left[ a,b\right] =\df g$ buď \[ \int_g f\d s=\int_a^b f(g(t))\norm{g'(t)}\d t. \] Položíme-li $f(x)=1$, získáme vzorec pro výpočet délky křivky $[g]$, která je parametricky zadaná zobrazením $g$. \end{remark} \begin{theorem}[divergenční, zobecněná Stokesova] \label{divergint} Buď $D\subset\R^n$, a nechť jsou dány: \begin{enumerate}[(I)] \item $k$-rozměrná varieta $M$ v $\R^n$, \item $\pd D$, tj. $(k-1)$-rozměrná varieta (po částech $\c{0}$), \item $\sigma$-kompaktní množina $D\subset M$ ležící na jedné straně svého okraje $\pd D$. \end{enumerate} Potom pro každou diferenciální $(k-1)$-formu $\boldsymbol\omega\in\c{1}(\uz{D})$ platí \[\int_{\pd D}\boldsymbol\omega=\int_{\vn{D}}\d\boldsymbol\omega.\] \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item V~předpokladech stačí $\c{1}(\vn{D})$ a $\c{0}(\uz{D})$. %\item Okraj není topologická hranice ($\pd D \not = \hr D$), nýbrž geometrický okraj. Oba pojmy se často (a~mylně) zaměňují, ale např. v \ref{stokes} nemusí mít varieta hranici, a přesto může být \uv{obepnuta} nějakou křivkou. \item Důkaz věty je nad rámec přednášky, dokážeme si však nám již známé důsledky této věty. Následující formule jsou důsledkem divergenční věty pro $n=k$. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem}[Newton, Leibniz ($n=k=1$)] \label{newton} Buď $\d f$ exaktní diferenciální 1-forma třídy $\c{0}, D=\left[a,b\right],\pd D=\{a,b\}$. Potom platí \[f(b)-f(a)=[f(x)]_a^b=\int_a^b\d f=\int_a^b f'.\] \begin{proof} Orientace krajních bodů je opačná, proto jsou funkční hodnoty v krajních bodech (0-forma $f(x)$ vyčíslená přes okraj $\pd D$) vynásobeny příslušnými znaménky. $[f(x)]_a^b=1\cdot f(b)+(-1)\cdot f(a)$ \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Green ($n=k=2$)] \label{green} Buď $D=\vn D\subset R^2$ omežená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená Jordanova dráha po částech třídy $\c{1}$, $P,Q\in\c{1}(D)$, $P,Q\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí \[ \int_{\pd D} (P\d x+Q\d y)=\iint_D\left( \frac{\pd Q}{\pd x}-\frac{\pd P}{\pd y} \right)\d x\wedge\d y. \] \begin{proof} Označme $ \boldsymbol\omega= P\,\d x+ Q\,\d y, $ potom pro vnější derivaci $\boldsymbol\omega$ platí \[ \begin{split} \d\boldsymbol\omega&=\d P\wedge\d x+\d Q\wedge d y= \left(\frac{\pd P}{\pd x}\d x + \frac{\pd P}{\pd y}\d y\right)\wedge\dx+ \left(\frac{\pd Q}{\pd x}\d x + \frac{\pd Q}{\pd y}\d y\right)\wedge\dy=\\ &=\frac{\pd P}{\pd y}\d y\wedge\d x+ \frac{\pd Q}{\pd x}\d x\wedge\d y= \left(\frac{\pd Q}{\pd x} - \frac{\pd P}{\pd y}\right) \d x\wedge\d y. \end{split} \] \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Gauss, Ostrogradskij ($n=k=3$)] \label{gauss} Buď $D=\vn D\subset \R^3$ omežená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená plocha po částech třídy $\c{1}$ prostá na $\vn{(\df\pd D)} $, $F_1,F_2,F_3\in\c{1}(D)$, $F_1,F_2,F_3\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí \[ \iint_{\pd D}(F_3\,\d x\wedge\d y+F_1\,\d y\wedge\d z+ F_2\,\d z\wedge\d x)=\iiint_D\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}+ \frac{\pd F_2}{\pd y}+ \frac{\pd F_3}{\pd z}\right)\d x\wedge\d y\wedge\d z, \] ve fyzikální notaci \[ \oint_{\pd D}\vec F\cdot\d\vec S=\int_D\diverg\vec F~\d V. \] \begin{proof} Označme $ \boldsymbol\omega= F_3\,\d x\wedge\d y+ F_1\, \d y\wedge\d z+ F_2 \,\d z\wedge\d x,$ potom z důkazu \ref{vdiv} plyne pro vnější derivaci vztah $\boldsymbol\omega$ \[ \d\boldsymbol\omega=\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}+ \frac{\pd F_2}{\pd y}+ \frac{\pd F_3}{\pd z}\right)\,\d x\wedge\d y\wedge\d z= \diverg\vec F~\d x\wedge\d y\wedge\d z. \] \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[per partes ($n=k=3$)] \label{perpartes}Buď $D=\vn D\subset \R^3$ omežená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená plocha po částech třídy $\c{1}$ prostá na $\vn{(\df\pd D)} $, $f,g:\R^3\mapsto\R$, $f,g\in\c{1}(D)$, $f,g\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí \[ \iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra =\oint_{\pd D}f\nabla g\cdot\d\vec S- \iiint_{\vn{D}} f\Delta g. \] \begin{proof} Označme $\vec F=f\grad g=f\nabla g$, potom pro $i$-tou složku divergence plyne z alternativní definice \ref{vdiv} vztah \[ (\diverg \vec F)^i=\frac{\pd F^i}{\pd x^i} = \frac{\pd}{\pd x^i}\left(f\frac{\pd g}{\pd x^i}\right)= \frac{\pd f}{\pd x^i}\frac{\pd g}{\pd x^i}+ f\frac{\pd^2 g}{\pd {x^i}^2}. \] Ve vektorovém tvaru jsme tedy užitím \ref{vdiv} a \ref{vlaplace} získali vztah $\diverg\vec F=\la \nabla f,\nabla g\ra +f\Delta g$. Dosazením $\diverg \vec F$ do Gaussovy věty \ref{gauss} získáme tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[druhá Greenova formule ($n=k=3$)] \label{green2} Za předpokladů předchozí věty platí \[ \oint_{\pd D}\left| \begin{matrix} \frac{\pd f}{\pd \vec n} & \frac{\pd g}{\pd\vec n} \\ f & g \end{matrix} \right|\,\d S= \iiint_{\vn{D}}\left| \begin{matrix} \Delta f & \Delta g \\ f & g \end{matrix} \right|. \] \begin{proof}Z předchozí věty vyjádříme prostřední člen \[ \oint_{\pd D}f\nabla g\cdot\d\vec S=\oint_{\pd D}f\frac{\pd g}{\pd \vec n}\d S= \iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra+\iiint_{\vn{D}} f\Delta g. \] Obdobně získáme \[ \oint_{\pd D}g\nabla f\cdot\d\vec S=\oint_{\pd D}g\frac{\pd f}{\pd \vec n}\d S= \iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra+\iiint_{\vn{D}} g\Delta f. \] Odečtením předchozích dvou rovností dostaneme tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Následující formule je důsledkem divergenční věty pro $k\leq n$. \end{remark} \begin{theorem}[Kelvin, Stokes ($n=3$, $k=2$)] \label{stokes} Buď $D=\vn D\subset \R^3$ omežená oblast, její okraj $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená Jordanova dráha po částech třídy $\c{1}$, $F_1,F_2,F_3\in\c{1}(D)$, $F_1,F_2,F_3\in\c{0}(\uz D)$. Označme $\boldsymbol\omega= F_1\wedge\d x+F_2\wedge\d y+F_3\wedge\d z.$ Potom platí \[ \int_{\pd D} \boldsymbol\omega=\iint_D\left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\wedge\d z+\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\wedge\d x+\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d x\wedge\d y, \] ve fyzikální notaci \[ \oint_{\pd D}\vec F\cdot\d\vec r=\iint_D\rot\vec F\cdot\d\vec S. \] \begin{proof} Označme $\boldsymbol\omega$ stejně jako v tvrzení, potom z důkazu \ref{vrot} plyne pro vnější derivaci $\boldsymbol\omega$ vztah \[ \begin{split} \d\boldsymbol\omega = \left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\wedge\d z+\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\wedge\d x+\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d x\wedge\d y= \rot\vec F\cdot\d\vec S. \end{split} \] \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Položíme-li v důkazu předchozí věty $\boldsymbol\omega= P\,\d x+ Q\,\d y+O\,\d z,$ kde $O$ je nulová funkce, potom ze Stokesovy věty \ref{stokes} vyplývá Greenova věta \ref{green} jakožto poslední sčítanec na obou stranách (zbylé jsou nulové kvůli nové funkci $O$). \end{remark} %\begin{theorem}[Poincaré-Hopf] %Let M be a compact orientable differentiable manifold. Let v be a vector field on M with isolated zeroes. If M has boundary, then we insist that v be pointing in the outward normal direction along the boundary. %\end{theorem}