Verze z 5. 10. 2013, 01:19

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Divergenční věta}
 
\begin{remark}
Z této kapitoly Vrána přednáší pouze divergenční větu, jejíž znění pak může chtít na~zkoušce na A. Celá kapitola však významně abstrahuje dosavadní poznatky o integrování získané z fyzikálních předmětů a dává jim nutný matematický podklad. Matematičtí fyzici by této kapitole měli věnovat zvláštní pozornost.
\end{remark}
 
\begin{define}
Množinu všech $k$-lineárních antisymetrických forem definovaných na $V^n$ budeme značit $\Lambda^k(V^n)$. Říkáme, že $\Lambda^k(V^n)$ je {\bf $k$-tá vnější mocnina prostoru $V^n$}. 
\end{define}
 
\begin{theorem}
$\Lambda^k(V^n)$ tvoří lineární prostor nad $\R$. Speciálně platí $\Lambda^0(V^n)=\R$, $\Lambda^1(V^n)=V^n$. 
\end{theorem}
 
\begin{define}
Buď $k \in \n, n \in \N$. Symbolem $n \nad k$ budeme značit množinu všech uspořádaných $k$-tic \[\lambda = (i_1, \dots,i_k),\] pro něž $(\forall p \in \hat k)(i\in \n)$ a $i_1<\dots <i_k$. 
\end{define}
 
\begin{remark}
Symbol $n \nad k$ pro tuto kapitolu tedy bude znamenat {\bf množinu} rostoucích $k$-tic, nikoli kombinační číslo. Počet prvků této množiny budeme značit $$\abs{n \nad k}=\frac{n!}{k!(n-k!)}$$
\end{remark}
 
\begin{define}
Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec x_{i_1}, \dots,\vec x_{i_k}) \in V^n$. Potom klademe $\vec x_{\lambda}=(\vec x_{i_1}, \dots,\vec x_{i_k})$.
\end{define}
 
\begin{define}
Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$, soubor $(\covec e^{i_1}, \dots,\covec e^{i_k})$ k ní duální báze $V_n$. Potom symbolem $\covec e^{\lambda}$ budeme značit k-lineární antisymetrickou formu definovanou vztahem
\[
\covec e^{\lambda}(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k}) =
\left|
\begin{matrix}
\covec e^{i_1}(\vec x_{i_1})  & \hdots & \covec e^{i_1}(\vec x_{i_1}) \\
\vdots & & \vdots\\
\covec e^{i_k}(\vec x_{i_k})  & \hdots & \covec e^{i_k}(\vec x_{i_k}) 
\end{matrix}
\right|
.\]
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Platí $\covec e^{\lambda}(\vec e_{\lambda})=1$.
\item Označíme-li $S_{\lambda}$ množinu všech permutací $k$-tice $\lambda$, pak lze z definice determinantu psát
\[
\covec e^{\lambda}(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k})=
\sum_{\pi \in S_{\lambda}} \sgn \pi ~ \covec e^{\pi (i_1)}(\vec x_{i_1}) \dots \covec e^{\pi (i_k)}(\vec x_{i_k}).
\]
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Nechť ${n \nad k}=\left\lbrace \lambda_1, \dots, \lambda_p\right\rbrace,$ kde $p=\abs{n \nad k}$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$. Potom soubor forem \[(\covec e^{\lambda_1}, \dots , \covec e^{\lambda_p})\] tvoří bázi $\Lambda^k(V^n)$ a $\dim \Lambda^k(V^n)=\abs{n \nad k}$.
\end{theorem}
 
\begin{define}
Označme $\Lambda(V^n)$ direktní součet prostorů $\Lambda^0(V^n) \oplus \Lambda^1(V^n) \oplus \dots \oplus \Lambda^n(V^n)$ a definujme zobrazení $\wedge : \Lambda(V^n) \times \Lambda(V^n) \mapsto \Lambda(V^n)$ bodově vztahem
\[
(\sigma \wedge \varrho)(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k+l})=\frac{1}{k!~l!}
\sum_{\pi \in S_{k+l}} \sgn \pi ~
\sigma(\vec x_{\pi (1)} \dots \vec x_{\pi (k)}) ~
\varrho(\vec x_{\pi (k+1)} \dots \vec x_{\pi (k+l)})
\]
pro všechna $\sigma \in \Lambda^k(V^n), \varrho \in \Lambda^l(V^n), (\vec x_1,\dots \vec x_{k+l}) \in V^n$. Potom 
\begin{enumerate}[(I)]
\item dvojici $(\Lambda(V^n), \wedge)$ nazýváme {\bf vnější algebra} prostoru $V^n$,
\item operaci $\wedge$ nazýváme {\bf vnější násobení},
\item prvek $\sigma \wedge \varrho \in \Lambda(V^n)$ nazýváme {\bf vnější součin} prvků $\sigma, \varrho$.
\end{enumerate}
\end{define} 
 
\begin{remark}Operace vnějšího násobení je bilineární zobrazení s následujícími vlastnostmi:
\begin{enumerate}
\item Asociativita
\item Antikomutativita: ($\forall \sigma\in \Lambda^k(V^n), \varrho \in \Lambda^l(V^n))(\sigma\wedge\varrho=(-1)^{kl}\varrho\wedge\sigma)$
\end{enumerate}
\end{remark} 
 
\begin{remark}Důležitým důsledkem antikomutativity je antisymetrie. Pro $k=1$, resp. $ l=1$ při označení z předchozí poznámky platí
\begin{enumerate}
\item $(\forall \vec x, \vec y \in V^n)(\vec x\wedge \vec y = -\vec y\wedge \vec x)$
\item $(\forall \covec x, \covec y \in V_n)(\covec x\wedge \covec y = -\covec y\wedge \covec x)$
\end{enumerate}
Neboť z poznámky \ref{dx} plyne označení $\covec e^i=\d x^i$, plynou odtud tyto nejčastěji užívané vlastnosti
\begin{enumerate}
\item $\d x^i \wedge \d x^j=-\d x^j \wedge \d x^i$
\item $\d x^i \wedge \d x^i=0$
\end{enumerate}
\end{remark} 
 
\begin{define}
\label{k-vektor}
Nechť $k\in\N,x^1,\dots,x^k \in \Lambda(V^n),\pi\in S_k$. Potom klademe 
\[
x^{\pi(1)\dots\pi(k)}=x^{\pi(1)}\wedge\dots\wedge x^{\pi(k)}.
\]
\end{define} 
 
\begin{remark} Následující pozorování můžeme učinit na základě předchozích definic.
\begin{enumerate}
\item Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec e_{1}, \dots,\vec e_{n})$ báze $V^n$, soubor $(\covec e^{1}, \dots,\covec e^{n})$ k ní duální báze $V_n$. Potom platí $\covec e^{\lambda}=\covec e^{i_1}\wedge\dots\wedge \covec e^{i_k}$.
\item Nechť ${n \nad 1}\cup\dots\cup{n \nad n}=\left\lbrace \lambda_1, \dots, \lambda_p\right\rbrace$, kde $p=\abs{{n \nad 1}\cup\dots\cup{n \nad n}}=2^n-1$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$. Potom soubor prvků \[(1, \covec e^{\lambda_1}, \dots , \covec e^{\lambda_p})\] tvoří bázi $\Lambda(V^n)$ a $\dim \Lambda(V^n)=2^n$.
\item $(\Lambda^k(V^n))^\#=\Lambda^k(V_n)$, obdobně $(\Lambda(V_n))^\#=\Lambda(V^n)$
\item Pro libovolné $k\in\n_0$ platí $\dim \Lambda^k(V^n)=\dim \Lambda^{n-k}(V^n)$, tedy $\Lambda^k(V^n) \cong \Lambda^{n-k}(V^n)$ (prostory jsou izomorfní). Zkonstruujeme mezi nimi izomorfismus zvaný Hodgeův operátor.
\end{enumerate}
\end{remark}  
 
\begin{define}
\label{orientace}
Nechť $(\vec e_1,\dots, \vec e_n)$ báze $V^n$. Libovolnou nenulovou $n$-lineární antisymetrickou formu $\mathcal E$ definovanou na $V^n$ nazýváme {\bf orientací prostoru} $V^n$. Řekneme, báze $V^n$ je
\begin{enumerate}
\item {\bf kladně orientovaná} $\iff \mathcal E (\vec e_1,\dots, \vec e_n) > 0$
\item {\bf záporně orientovaná} $\iff \mathcal E (\vec e_1,\dots, \vec e_n) < 0$
\end{enumerate}
\end{define} 
 
\begin{define}
\label{hodge}
Nechť $(\vec e_1,\dots, \vec e_n)$ kladně orientovaná ortonormální báze $V^n$ se skalárním součinem se zvolenou orientací $\mathcal E$. Potom pro každý totálně antisymetrický tenzor $x\in \Lambda^k(V^n)$ definujeme duální tenzor $\star x\in \Lambda^{n-k}(V^n)$ vztahem
\[
x\wedge y = \la \star x,y \ra \vec e_1 \wedge \dots \wedge \vec e_n
\] pro každé $y\in \Lambda^{n-k}(V^n)$. Izomorfismus $\star : \Lambda^{k}(V^n) \mapsto \Lambda^{n-k}(V^n)$ nazýváme {\bf Hodgeův operátor}.
\end{define} 
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $(\forall x, y \in \Lambda^{k}(V^n))(\la \star x,\star y \ra=\la x,y \ra)$
\item $(\forall \vec x, \vec y \in \R^3)(\vec x \times \vec y=\star(\vec x \wedge \vec y))$
\item Z Riezsovy věty vyplývá, že při zvolené orientaci existuje ke každému antisymetrickému tenzoru právě jeden tenzor duální. Záleží však na orientaci báze! Proto se duální tenzor nazývá {\bf pseudotenzor} (popř. pseudoskalár, pseudovektor) a mění znaménko při změně orientace.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
{\bf Diferenciální $k$-formou} (diferenciální formou stupně $k$) rozumíme každé zobrazení
$\boldsymbol\omega:\R^n\mapsto \Lambda^k(V_n)$.
\[\boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}}\omega_{\lambda}\covec e^{\lambda},\] kde $(\forall \lambda \in {n\nad k})(\omega_{\lambda}:\R^n\mapsto \R)$.
\end{define} 
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Z \ref{omega} víme, že obecnou diferenciální 1-formu $\boldsymbol\omega$ můžeme zapsat ve tvaru \[\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^n\omega_i\d x^i.\]
\item Obdobně diferenciální $k$-formu $\boldsymbol\omega$ můžeme s užitím poznámky  \ref{k-vektor}.1 zapsat ve tvaru
\[\boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda\,
\d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k},\] přičemž $\wedge$ na pravé straně se běžně bohužel vynechává.
\item Hodnota diferenciální $k$-formy $\boldsymbol\omega$ v bodě $x$ se obvykle zapisuje ve tvaru
\[\omega(x)=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda(x)~
\d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k}.\]
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
{\bf Vnější derivací} diferenciální $k$-formy rozumíme diferenciální formu 
\[\d \boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \d\omega_\lambda\,
\d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k}.\]
\end{define}
 
\begin{define}
Diferenciální $k$-forma $\boldsymbol\omega$ je {\bf třídy $\c{q}$}, právě
když $\omega_\lambda$ jsou třídy $\c{q}$ pro všechna $\lambda\in {n\nad k}$.
\end{define}
 
\begin{define}
Neprázdná množina $A\subset\R^n $ se nazývá \emph{$\sigma$-kompaktní}, existuje-li nejvýše spočetný systém 
$\left\lbrace A_n\right\rbrace _{n\in \I}$ kompaktních podmnožin $\R^n$ takový, že 
\[
 A = \bigcup_{n\in\I}A_n.
\]
\end{define}
 
\begin{define}
Nechť jsou dány:
\begin{enumerate}
\item $k$-rozměrná varieta $M \subset \R^n$,
\item regulární zobrazení $g:\R^k\mapsto M$,
\item $\sigma$-kompaktní množina $A\subset \vn{(\obr g)}$
\end{enumerate}
Potom {\bf orientací variety $M$} nazýváme zobrazení $\vec e:\R^k\mapsto \Lambda^{k}(V_n)$ definované $\forall t\in\df g$
\[
\vec e(t) = \frac{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}{\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}}
\]
\end{define} 
 
\begin{define}[$k$-rozměrný integrál druhého druhu]
\label{kint2druh}
Nechť $\boldsymbol\omega$ diferenciální $k$-forma, $A\subset \df \boldsymbol\omega$ orientovaná dle $\vec e$, $t \in \df g$. Potom při označení z předchozí definice klademe
\[
\int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\omega(g(t))\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)\,\d t,
\]
kde $g_i$ jsou $i$-té parciální derivace, tj. $g_i=\pd_i g(t)$, a dále
\[
\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)\,\d t= \frac{\pd g}{\pd t^1}(t)\wedge\dots\wedge \frac{\pd g}{\pd t^k}(t).
\]
\end{define}
 
\begin{remark}
Pro $n=3$, $k=2$ nazýváme \ref{kint2druh} {\bf plošný integrál druhého druhu}. Pro každou diferenciální 2-formu $\boldsymbol\omega$ lze jednoznačně najít vektorovou funkci $\vec F:\R^2\mapsto \Lambda^2(V^n)$ vztahem 
\[
\vec F=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda \vec e_\lambda.
\]
Potom, označíme-li $g=g(u,v),$ platí $(\forall (u,v)\in \df g)$ $\la \vec F(g),g_u \wedge g_v \ra =  \omega(g) ~ g_u \wedge g_v$  (poslední výraz není součin, nýbrž akci formy na vnější součin). S užitím poznámek pod definicí \ref{hodge} získáme
\[
\begin{split}
 & \int_{g^{-1}(A)} \omega(g(u,v))~g_u(u,v)\wedge g_v(u,v)  \,\d u \d v = \int_{g^{-1}(A)} \la \vec{F}(g(u,v)),g_u(u,v)\wedge g_v(u,v)\ra  \,\d u \d v =\\
&= \int_{g^{-1}(A)} \la \star \vec{F}(g(u,v)),\star g_u(u,v)\wedge g_v(u,v)\ra  \,\d u \d v =
 \int_{g^{-1}(A)} \la \star \vec{F}(g(u,v)),g_u(u,v)\times g_v(u,v)\ra  \,\d u \d v.
\end{split}
\]
 
Pro zápis plošných integrálů druhého druhu se proto užívá následující symboliky:
\[ \int_A\la \vec F ,\vec n \ra\d S
=\int_A\vec F\cdot \d\vec S = 
\int_A(F_1\,\d y\d z+F_2\,\d z\d x+F_3\,\d x\d y)=\int_{g^{-1}(A)}\vec F(g(t))\left( \frac{\pd g}{\pd t^1}(t)\times \frac{\pd g}{\pd t^2}(t)\right)  \d t.
\]
Druhá rovnost plyne z toho, že je-li $\boldsymbol\omega = F_1 \,\d y\wedge\d z+F_2 \,\d x\wedge\d z +F_3 \,\d x\wedge\d y$, potom $\star\vec{F} = (F_1,-F_2,F_3)^T$.
\end{remark}
 
\begin{remark} Při označení z definice \ref{orientace} platí
\[
\int_{\vn{A}}\boldsymbol\omega=\int_{g^{-1}(A)}\omega(g(t))~\vec e(t)\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}\,\d t.
\]
Je-li $\boldsymbol\omega$ diferenciální 0-forma, tj. (skalární) funkce, která je neorientovaná, můžeme tento poznatek shrnout do následující definice.
\end{remark}
 
\begin{define}[$k$-rozměrný integrál prvního druhu]
\label{kint1druh}
Nechť $f:\R^k\rightarrow \R$ funkce, $A\subset \df f$, $\mu_k(x)$ $k$-rozměrná míra na $\R^k$, $x\in\df f$, $t \in \df g$. Potom při označení z definice klademe
\[
\int_A f(x)\,\d \mu_k(x)=\int_{g^{-1}(D)}f(g(t))\norm{\bigwedge_{i=1}^k g_i(t)}\,\d t,
\]
kde $g_i$ jsou $i$-té parciální derivace, tj. $g_i=\pd_i g(t)$, a dále
\[
\norm{\bigwedge_{i=1}^r g_i(t)}=\sqrt{\left|
\begin{matrix}
	\la g_1,g_1\ra & \hdots & \la g_1,g_k\ra \\
	\vdots         &        & \vdots         \\
	\la g_k,g_1\ra & \hdots & \la g_k,g_k\ra
\end{matrix}
\right|}.
\]
\end{define}
 
\begin{define}
\label{fundforma}
Maticová funkce $g(t)$ (gramova matice) po složkách $\left[g(t)\right]_{ij}=\la g_i(t), g_j(t)\ra$ se nazývá {\bf metrický tenzor}, její determinant {\bf gramián}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Pokud $\df g=\R^2$, nazýváme $g$ {\bf první fundamentální formou} a obvykle píšeme ve tvaru ($g,E,F,G$ jsou funkce $t$)
\[g=
\begin{pmatrix}
	E & F \\
	F & G 
\end{pmatrix}.
\]
\item $\det g=EG-F^2=\la g_u,g_u\ra \la g_v,g_v\ra-\la g_u,g_v\ra^2
=\norm{g_u}^2\norm{g_v}^2-\la g_u,g_v\ra^2$
\item Pro velikost vektorového součinu platí $\norm{\vec a\times \vec c}^2
=\norm{\vec a}^2\norm{\vec c}^2-\la \vec a,\vec c\ra^2$. Užitím této rovnosti na předchozí vztah získáme užitečný vztah
\[
\sqrt{\det g}=\norm{g_u\times g_v}=\norm{g_u}^2\norm{g_v}^2-\la g_u,g_v\ra^2.
\]
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{remark}
Pro $k=2$ v $\R^3$ nazýváme \ref{kint1druh} {\bf plošný integrál prvního druhu}. Pro jeho zápis se s~přihlédnutím k~předchozí poznámce užívá následující symboliky:
\[
\int_A f\,\d S=\int_{g^{-1}(A)}f(g(u,v))
\norm{\frac{\pd g}{\pd u}\times\frac{\pd g}{\pd v}}
\,\d u\d v.
\]
Ve speciálním případě, kdy $g(x,y) = (x,y,\phi(x,y))$, získáme
\[\int_A f\,\d S = \int_{g^{-1}(A)}f(x,y,\phi(x,y))
\sqrt{1+\left(\frac{\pd\phi}{\pd x}\right)^2+\left(\frac{\pd\phi}{\pd y}\right)^2}\dx\dy.\]
Položíme-li $f(x)=1$, získáme vzorec pro výpočet obsahu plochy $A\subset\R^3$, která je parametricky zadaná zobrazením $\phi(x,y)$.
\end{remark}
 
\begin{remark}
Pro $k=1$ v $\R^n$ nazýváme \ref{kint1druh} {\bf křivkový integrál prvního druhu}, s nímž jsme se již setkali. Pro $\left[  a,b\right] =\df g$ buď
\[
\int_g f\d s=\int_a^b f(g(t))\norm{g'(t)}\d t.
\]
Položíme-li $f(x)=1$, získáme vzorec pro výpočet délky křivky $[g]$, která je parametricky zadaná zobrazením $g$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[divergenční]
\label{Vdiv}
Buďte $M,D\subset\R^n$, a nechť jsou dány:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $k$-rozměrná varieta $M$,
\item $\pd D$, tj. $(k-1)$-rozměrná varieta (po částech) 
\item $\sigma$-kompaktní množina $D\subset M$ ležící na jedné straně svého okraje $\pd D$,
\end{enumerate}
Potom pro každou diferenciální $(k-1)$-formu  $\boldsymbol\omega\in\c{1}(\uz{D})$ platí
\[\int_{\pd D}\boldsymbol\omega=\int_{\vn{D}}\d\boldsymbol\omega.\]
\end{theorem} 
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item V předpokladech stačí $\c{1}(\vn{D})$ a $\c{0}(\uz{D})$.
\item Okraj není topologická hranice ($\pd D \not = \hr D$), nýbrž geometrický okraj. Oba pojmy se často (a mylně) zaměňují, ale v \ref{stokes} nemusí mít varieta hranici, a přesto může být \uv{obepnuta} nějakou křivkou.
\item Důkaz věty je nad rámec přednášky, dokážeme si však nám již (z fyziky) známé důsledky této věty --- a to pouze užitím definice vnější derivace a vlastností vnějšího součinu. \\ Následující formule jsou důsledkem divergenční věty pro $n=k$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
 
\begin{theorem}[Newton, Leibniz ($n=k=1$)]Buď $\d f$ exaktní diferenciální 1-forma třídy $\c{0}, D=\left[a,b\right],\pd D=\{a,b\}$. Potom platí.
\[[f(x)]_a^b=\int_a^b\d f=\int_a^b f',\]
kde $[f(x)]_a^b=1\cdot f(b)+(-1)\cdot f(a)$.
\end{theorem} 
 
\begin{theorem}[Green ($n=k=2$)]Buď $D=\vn D\subset R^2$ omežená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená Jordanova dráha po částech třídy $\c{1}$, $P,Q\in\c{1}(D)$, $P,Q\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí
\[
\int_{\pd D} (P\d x+Q\d y)=\iint_D\left(
\frac{\pd Q}{\pd x}-\frac{\pd P}{\pd y}
\right)\d x\d y.
\]
\begin{proof}
Označme 
$ \boldsymbol\omega= P\,\d x+ Q\,\d y,
$
pak pro vnější derivaci $\boldsymbol\omega$ platí 
\[
\begin{split}
\d\boldsymbol\omega&=\d P\wedge\d x+\d Q\wedge d y=
\left(\frac{\pd P}{\pd x}\d x + \frac{\pd P}{\pd y}\d y\right)\wedge\dx+
\left(\frac{\pd Q}{\pd x}\d x + \frac{\pd Q}{\pd y}\d y\right)\wedge\dy=\\
&=\frac{\pd P}{\pd y}\d y\wedge\d x+ \frac{\pd Q}{\pd x}\d x\wedge\d y=  \left(\frac{\pd Q}{\pd x} - \frac{\pd P}{\pd y}\right) \d x\wedge\d y.
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem} 
 
 
\begin{theorem}[Gauss, Ostrogradskij ($n=k=3$)]Buď $D=\vn D\subset R^3$ omežená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená plocha po částech třídy $\c{1}$ prostá na $\vn{(\df\pd D)} $, $F_1,F_2,F_3\in\c{1}(D)$, $F_1,F_2,F_3\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí
\[
\int_{\pd D}(F_3\,\d x\wedge\d y+F_1\,\d y\wedge\d z+
F_2\,\d z\wedge\d x)=\iiint_D\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}+
\frac{\pd F_2}{\pd y}+
\frac{\pd F_3}{\pd z}\right)\d x\wedge\d y\wedge\d z,
\]
ve fyzikální notaci
\[
\int_{\pd D}\vec F\cdot\d\vec S=\int_D\diverg\vec F \d V.
\]
\begin{proof}
Označme
$ \boldsymbol\omega= F_3\,\d x\wedge\d y+ F_1\, \d y\wedge\d z+ F_2 \,\d z\wedge\d x,
$
pak pro vnější derivaci $\boldsymbol\omega$ platí 
 
\[
\begin{split}
\d\boldsymbol\omega&=
\d F_3\wedge\d x\wedge\d y+
\d F_1\wedge\d y\wedge\d z+
\d F_2\wedge\d z\wedge\d x=\\
&=\left(
\frac{\pd F_3}{\pd z}\d z\wedge\d x\wedge\d y+
\frac{\pd F_1}{\pd x}\d x\wedge\d y\wedge\d z+
\frac{\pd F_2}{\pd y}\d y\wedge\d z\wedge\d x
\right)=\\
&=\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}+
\frac{\pd F_2}{\pd y}+
\frac{\pd F_3}{\pd z}\right)\,\d x\wedge\d y\wedge\d z=
\diverg\vec F\,\d x\wedge\d y\wedge\d z.
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem} 
 
 
\begin{theorem}[per partes ($n=k=3$)]Buď $D=\vn D\subset R^3$ omežená oblast, její hranice $\pd D$ je kladně orientovaná uzavřená plocha po částech třídy $\c{1}$ prostá na $\vn{(\df\pd D)} $, $f,g:\R^3\mapsto\R$, $f,g\in\c{1}(D)$, $f,g\in\c{0}(\uz D)$. Potom platí
\[
\iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra =\int_{\pd D}f\nabla g\cdot\d\vec S-
\iiint_{\vn{D}} f\Delta g.
\]
\begin{proof}
Označíme-li $\vec F=f\grad g=f\nabla g$, potom pro $i$-tou složku divergence platí
\[
(\diverg \vec F)^i=\frac{\pd F^i}{\pd x^i} = \frac{\pd}{\pd x^i}\left(f\frac{\pd g}{\pd x^i}\right)=
\frac{\pd f}{\pd x^i}\frac{\pd g}{\pd x^i}+
f\frac{\pd^2 g}{\pd {x^i}^2},
\]
kde $\diverg\vec F=\la \nabla f,\nabla g\ra +f\Delta g$. 
Tvrzení věty pak plyne z Gaussovy věty.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[druhá Greenova formule ($n=k=3$)] Za předpokladů předchozí věty platí
\[
\int_{\pd D}\left|
\begin{matrix}
	\frac{\pd f}{\pd \vec n} & \frac{\pd g}{\pd\vec  n} \\
	f                        & g
\end{matrix}
\right|\,\d S=
\iiint_{\vn{D}}\left|
\begin{matrix}
	\Delta f & \Delta g \\
	f        & g
\end{matrix}
\right|.
\]
 
\begin{proof}Z předchozí věty vyjádříme prostřední člen
\[
\int_{\pd D}f\nabla g\cdot\d\vec S=\int_{\pd D}f\frac{\pd g}{\pd \vec n}\d S=
\iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra+\iiint_{\vn{D}} f\Delta g.
\]
Podobně získáme
\[
\int_{\pd D}g\nabla f\cdot\d\vec S=\int_{\pd D}g\frac{\pd f}{\pd \vec n}\d S=
\iiint_{\vn{D}}\la \nabla f,\nabla g\ra+\iiint_{\vn{D}} g\Delta f.
\]
Odečtením předchozích dvou rovností dostaneme tvrzení věty.
\end{proof}
 
\end{theorem} 
 
 
\begin{remark}
Následující formule je důsledkem divergenční věty pro $k\leq n$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Kelvin, Stokes ($n=3$, $k=2$)]
\label{stokes} Buď $D=\vn D\subset R^3$ omežená oblast, její okraj $\pd D$ je kladně orientovaná Jordanova dráha po částech třídy $\c{1}$, $F_1,F_2,F_3\in\c{1}(D)$, $F_1,F_2,F_3\in\c{0}(\uz D)$. Označme $\boldsymbol\omega= F_1\wedge\d x+F_2\wedge\d y+F_3\wedge\d z.$ Potom platí 
\[
\oint_{\pd D} \boldsymbol\omega=\iint_D\left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\wedge\d z\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\wedge\d x+\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d x\wedge\d y,
\]
ve fyzikální notaci
\[
\oint_{\pd D}\vec F\cdot\d\vec r=\iint_D\rot\vec F\cdot\d\vec S.
\]
\begin{proof}
Označme $\boldsymbol\omega$ z definice, pak pro vnější derivaci $\boldsymbol\omega$ platí 
 
\[
\begin{split}
	\d\boldsymbol\omega & =
\d F_1\wedge\d x+\d F_2\wedge\d y+\d F_3\wedge\d z  =                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   \\
	                    & =
\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_1}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z\right)\wedge\d x  +
\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_2}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_2}{\pd z}\d z\right)\wedge\d y
+                                                                                                                                                                                          \\
	                    & + \left(\frac{\pd F_3}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_3}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_3}{\pd z}\d z\right)\wedge\d z=                                                                                                                                                                                                                                                                                                   \\
	                    & =-\frac{\pd F_1}{\pd y}\d x\wedge\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z\wedge\d x+\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x\wedge\d y-\frac{\pd F_2}{\pd z}\d y\wedge\d z                                                                                                                                                                               -\frac{\pd F_3}{\pd x}\d z\wedge\d x+
\frac{\pd F_3}{\pd y}\d y\wedge\d z \\
	                    & = \left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\wedge\d z\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\wedge\d x+\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d x\wedge\d y=
\rot\vec F\cdot\d\vec S.
\end{split}
\]
 
\end{proof}
\end{theorem}