01MAA4:Kapitola31: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Drobná úprava.)
(opravena reference v kapitole 34.)
 
Řádka 45: Řádka 45:
  
 
\begin{theorem}[o substituci]
 
\begin{theorem}[o substituci]
 +
\label{substint}
 
Buď $\varphi$ prosté a regulární zobrazení $\R^n\mapsto\R^n$
 
Buď $\varphi$ prosté a regulární zobrazení $\R^n\mapsto\R^n$
 
(difeomorfismus), $A\subset\obr\phi$. Pak platí:
 
(difeomorfismus), $A\subset\obr\phi$. Pak platí:

Aktuální verze z 8. 4. 2017, 08:03

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Výpočet integrálu}
 
\begin{remark}
Důkazy k následujícím větám jsou ve skriptech, Vrána je nezkouší.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Fubini]
Buď $A\subset\R^n$, $B\subset\R^m$, $A,B$ měřitelné,
$f\in\Lambda(A\times B)$. Potom platí
\begin{enumerate}[(i)]
\item Pro skoro všechna $x\in A$ je $f(x,\ )\in\Lambda(B)$;
\item
\[\int_B f(\ ,y)\,\d y\in\Lambda(A);\]
\item
\[\int_{A\times B}f=\int_A\left(\int_B f(\ ,y)\,\d y\right)(x)\d x.\]
\end{enumerate}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Buď $A\subset\R^{n+m}$, $A$ měřitelná. Pak pro skoro všechna je
$x\in\R^n$ je $A_x=\{y\in\R^m|(x,y)\in A\}$ měřitelná v~$R^m$ a
$A_y=\{x\in\R^n|(x,y)\in A\}$ měřitelná v~$R^n$ pro skoro všechna
$y\in\R^m$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $A\subset\R^{n+m}$, $f\in\Lambda(A)$. Pak
\[\int_A f=\int_{R^n}\left(\int_{A_x} f(x,y)\,\d y\right)\d x=
\int_{R^m}\left(\int_{A_y} f(x,y)\,\d x\right)\d y.\]
\end{theorem}
 
\begin{example}
\[\int_0^1\d x\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\d y=
\int_0^1\d x\int_0^1\frac{\pd}{\pd y}
\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)\d y=
\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\d x=\frac{\pi}{4},\]
\[\int_0^1\d y\int_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\d x=
\int_0^1\d y\int_0^1-\frac{\pd}{\pd x}
\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)\d y=
-\int_0^1\frac{1}{1+y^2}\d y=-\frac{\pi}{4}.\]
Integrály obecně nelze zaměnit. Tady je to způsobeno tím, že $\int
f^+$ i $\int f^-=+\infty$, takže integrál neexistuje.
\end{example}
 
\begin{theorem}[o substituci]
\label{substint}
Buď $\varphi$ prosté a regulární zobrazení $\R^n\mapsto\R^n$
(difeomorfismus), $A\subset\obr\phi$. Pak platí:
\[\int_A f(x)\,\d x=\int_{\phi^{-1}(A)}f(\phi(t))\abs{\phi'(t)}\,\d t\]
má-li jedna strana smysl. ($\abs{\phi'(t)}$ je absolutní hodnota z Jakobiánu)
\begin{proof}
Plyne z \ref{kint1druh}.
\end{proof}
\end{theorem}