01MAA4:Kapitola29: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
m
 
(Není zobrazena jedna mezilehlá verze od stejného uživatele.)
Řádka 49: Řádka 49:
 
\[\chi_N(x)=\inf_k\chi_{M_k}(x),\]
 
\[\chi_N(x)=\inf_k\chi_{M_k}(x),\]
 
kde $\sup$ a $\inf$ jsou měřitelné funkce podle definice měřitelnosti množiny a z věty \ref{uzavrenost}
 
kde $\sup$ a $\inf$ jsou měřitelné funkce podle definice měřitelnosti množiny a z věty \ref{uzavrenost}
\[\chi_{M_1\sm M_2}=\chi_{M_1}\sm\chi_{M_1\cap M_2}.\]
+
\[\chi_{M_1\sm M_2}=\chi_{M_1}\sm\chi_{M_1\cap M_2},\]
\[\chi_M{M_1\sm M_2}(x) =\max(\chi_{M_1}-\chi_{M_2},0)(x),\]
+
protože
 +
\[\chi_{M_1\sm M_2}(x) =\max(\chi_{M_1}-\chi_{M_2},0)(x).\]
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
Řádka 141: Řádka 142:
 
\[\mu\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)\le\sum_{k=1}^n\mu(M_k),\]
 
\[\mu\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)\le\sum_{k=1}^n\mu(M_k),\]
 
z 1. bodu minulé věty plyne
 
z 1. bodu minulé věty plyne
\[\mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty K_k\right)=
+
\[\mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty M_k\right)=
 
\lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)\le \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\mu(M_k) = \sum_{k=1}^\infty\mu(M_k),\]
 
\lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)\le \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\mu(M_k) = \sum_{k=1}^\infty\mu(M_k),\]
 
neboť
 
neboť

Aktuální verze z 2. 6. 2017, 08:01

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Měřitelné množiny}
 
\begin{define}
Buď $M\subset X$. Položme
\[
\chi_M(x)=
\begin{cases}
1 & x\in M\\
0 & x\in X\sm M
\end{cases}
\]
$\chi_H$ nazveme {\bf charakteristickou funkcí množiny $M$}.
\end{define}
 
\begin{define}
Buď $M\subset X$, $\chi_M(x)$. Pak $M$ je {\bf měřitelná}, právě když
$\chi_M$ je měřitelná.
\end{define}
 
\begin{remark}
$\chi_M\in\M$, právě když $\chi_M\in\Lambda$ ($\chi$ je nezáporná).
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $M$ měřitelná množina, pak míru množiny $M$ definujeme
$\mu(M)=\II\chi_M$.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $\mu(Z)=0$ $\iff$ $Z$ je nulové míry $\iff$ $\chi_Z\sim 0$
$\iff$ $\chi_Z$ je nulová skoro všude, nenulová na množině nulové míry
$\iff$ $Z$ je množina nenulových bodů.
\item Pomocí axiomu výberu lze zkonstruovat neměřitelnou množinu a tedy i neměřitelnou funkci. (Vrána skripta str. 59)
%\item $\mu(\I)=\V(\I)=\II\chi_\I$, neboť $\chi_\I$ je stupňovitá.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $\posloupnost{k=1}{n,\infty}{M_k}$ nějaký spočetný systém měřitelných množin. Pak platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $M=\bigcup_k M_k$ je měřitelná,
\item $N=\bigcap_k M_k$ je měřitelná,
\item $M_1\sm M_2$ je měřitelná.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\[\chi_M(x)=\sup_k\chi_{M_k}(x),\]
\[\chi_N(x)=\inf_k\chi_{M_k}(x),\]
kde $\sup$ a $\inf$ jsou měřitelné funkce podle definice měřitelnosti množiny a z věty \ref{uzavrenost}
\[\chi_{M_1\sm M_2}=\chi_{M_1}\sm\chi_{M_1\cap M_2},\]
protože
\[\chi_{M_1\sm M_2}(x) =\max(\chi_{M_1}-\chi_{M_2},0)(x).\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item V~$\R^n$ jsou prvky topologie (tj. otevřené množiny) měřitelné.
\begin{proof}
Buď $A=\vn{A}$. Víme, že $\I\in\M$. Ke každému bodu $\in A$ najdu
interval $\I_r$ s~racionálním středem a délkou hrany. Intervaly tvoří
spočetný systém, takže podle předchozí věty je $A$ 
měřitelná. Kompaktní interval je měřitelný a $A=\bigcup\I$.
\end{proof}
\item Uzavřené množiny jsou též měřitelné.
\begin{proof}
Buď $A=\uz{A}$, pak $A=\R^n\sm B$, kde $B=\vn{B}$, takže podle
předchozí věty je $A$ měřitelná.
\end{proof}
\item Množiny typu $G_\delta$ (spočetný průnik otevřených množin) a
$F_\sigma$ (spočetné sjednocení uzavřených množin) jsou
měřitelné. Díky tomu jsou měřitelné i~polouzavřené intervaly.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $\system{k=1}{n,\infty}{M_k}$ systém měřitelných množin,
$M=\bigcup_k M_k$ a nechť $M_j\cap M_i=\emptyset$ pro navzájem různá
$i,j$. Pak
\[\mu(M)=\mu\left(\bigcup_k M_k\right)=
\sum_{i=1}^{n,\infty}\mu(M_i).\]
\begin{proof}
Díky disjunktnosti $M_k$ platí
\[\chi_M=\sum_k\chi_{M_k}.\]
\begin{enumerate}
\item konečný případ: aditivita integrálu
\[\II\chi=\sum_{i=1}^n\II\chi_{M_i}.\]
\item spočetný případ: Leviova věta
\[\II\chi=\sum_{i=1}^\infty\II\chi_{M_i}.\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Lebesgueova míra je $\sigma$-aditivní (spočetně aditivní).
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $\system{k=1}{\infty}{M_k}$ systém měřitelných množin, buďte
\[M=\bigcup_{k=1}^\infty M_k,\quad N=\bigcap_{k=1}^\infty M_k.\]
Pak platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item Je-li $M_k\subset M_{k+1}$, pak $\mu(M)=\lim_{k\to\infty}\mu(M_k)$.
\item Je-li $M_{k+1}\subset M_k$ a $\exists n \in \N$, že  $\mu(M_n)<+\infty$, pak
$\mu(N)=\lim_{k\to\infty}\mu(M_k)$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\[\chi_M=\sup_{k\in\N}\chi_{M_k}=\lim_{m\to\infty}\max_{1\le k\le m}\chi_{M_k}=\lim_{k\to\infty}\chi_{M_k}\]
 
\[\chi_{M_k}\nearrow\chi_M,\quad \II\chi_{M_1}\ge 0>-\infty\]
Z rozšíření Leviovy věty plyne
\[\mu(M)=\II\chi_M=\lim_{k\to\infty}\II\chi_{M_k}\]
\item
\[\chi_M=\inf_{k\in\N}\chi_{M_k}=
\lim_{m\to\infty}\min_{1\le k\le m}\chi_{M_k}=\lim_{k\to\infty}\chi_{M_k}\]
\[\chi_{M_k}\searrow\chi_M,\quad \II\chi_{M_1}<+\infty\]
\[\mu(N)=\II\chi_N=\lim_{k\to\infty}\II\chi_{M_k}\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{example}
$(-\infty,-n)\cup(n,+\infty)=A_n$, $\mu(A_n)=+\infty$,
$\bigcap_{k=1}^\infty A_k=\emptyset$; bez podmínky
$\mu(M_i)\le+\infty$ to nejde.
\end{example}
 
\begin{theorem}
Buď $\system{k=1}{n,\infty}{M_k}$ nejvýše spočetný systém měřitelných množin
$M=\bigcup_k M_k$. Platí
\[
\mu(M)\le\sum_k\mu(M_k).
\]
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Konečný případ: indukcí: $M=M_1\cup M_2=M_1\cup(M_2\sm M_1)$;\\
$\mu(M)=\mu(M_1)+\mu(M_2\sm M_1)\le\mu(M_1)+\mu(M_2)$.
\item Spočetný případ:
\[\mu\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)\le\sum_{k=1}^n\mu(M_k),\]
z 1. bodu minulé věty plyne
\[\mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty M_k\right)=
\lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)\le \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\mu(M_k) = \sum_{k=1}^\infty\mu(M_k),\]
neboť
\[
\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)
\subset\left(\bigcup_{k=1}^{n+1}M_k\right)
\]
množinově \uv{roste}.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Buď $M\subset N$. Pak $\mu(M)\le\mu(N)$ a dokonce
$\mu(M)<+\infty\implies\mu(N)-\mu(M)=\mu(N\sm M)$.
\begin{proof}
$N=M\cup(N\sm M)$, proto $\mu(N)=\mu(M)+\mu(N\sm M)\ge\mu(M)$.
\end{proof}
\end{remark}