01MAA4:Kapitola22

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 5. 10. 2013, 00:15, kterou vytvořil Nguyebin (diskuse | příspěvky) (Drobná úprava.)

Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Riemannův integrál jako elementární integrál}
 
\begin{remark}
Tuto kapitolu Vrána zkouší pouze na A, slouží spíše pro shrnutí dosavadních poznatků o Riemannově konstrukci integrálu, na níž budeme následně budovat integrál Lebesgueův.
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $\I$ kompaktní uzavřená množina taková, že
\[\I=\bigx_{i=1}^n\left[  a^i,b^i\right] .\]
Množinu $\I$ nazveme {\bf $n$-rozměrným intervalem}.
\end{define}
 
\begin{define}
{\bf Objemem $n$-rozměrného intervalu $\I$} nazveme číslo
\[V(\I)=\prod_{i=1}^n(b^i-a^i).\]
\end{define}
 
\begin{define}
Buďte $\sigma^i$, $i\in\n$ rozdělení intervalu $\left[  a^i,b^i\right] $. Pak
množinu
\[\sigma=\bigx_{i=1}^n\sigma^i\]
nazveme {\bf kartézským rozdělením $n$-rozměrného intervalu
$\I$}.
\end{define}
 
\begin{define}
Číslo $\norm{\sigma}=\max_{i\in\n}\norm{\sigma^i}$ nazveme {\bf norma
rozdělení $\sigma$}. Rozdělení, pro které platí
$\norm{\sigma}<\delta$, nazveme {\bf $\delta$-rozdělení}. Posloupnost
rozdělení $\posl{\sigma_m}$ nazveme {\bf normální}, právě když
$\norm{\sigma_m}\to 0$.
\end{define}
 
\begin{define}
Buď $\I$ interval v~$\R^n$, $f:\I\mapsto\R$, $\sigma$ rozdělení
$\I$, buďte
\[M_i=\sup_{\I_i}f(x),\quad m_i=\inf_{\I_i}f(x).\]
Pak číslo
\[S(f,\sigma)=\sum_{i=1}^pM_iV(\I_i)\]
nazveme {\bf horním Darbouxovým součtem funkce $f$ na $J$} a číslo
\[s(f,\sigma)=\sum_{i=1}^pm_iV(\I_i)\]
nazveme {\bf dolním Darbouxovým součtem}.
$\sigma^*$ zjemnění $\sigma$: $\sigma_i^*$ je zjemnění $\sigma_i$ pro
každé $i\in\n$.
\end{define}
 
\begin{define}
Buď $\I$ interval v~$\R^n$, $f:\I\mapsto\R$. Pak označíme
\[\underline{\int_\I}f=\sup_{(\sigma)}s(f,\sigma),\quad
\overline{\int_\I}f=\inf_{(\sigma)}S(f,\sigma).\]
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item 
\[mV(\I)\le s(f,\sigma)\le S(f,\sigma)\le MV(\I)\]
\[s(f,\sigma)\le s(f,\sigma^*)\le S(f,\sigma^*)\le S(f,\sigma)\]
\item Pro $\sigma_1,\sigma_2$ existuje zjemnění obou $\sigma^*$, z~čehož vyplývá
\[s(f,\sigma_1)\le s(f,\sigma^*)\le S(f,\sigma^*)\le S(f,\sigma_2).\]
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $f$ omezená na $\I\subset\R^n$. Pak
$(\forall\epsilon)(\exists\delta>0)(\forall\sigma)(\norm{\sigma}<\delta)$
a platí
\[\overline{\int_{\I}}f\le S(f,\sigma)<\overline{\int_{\I}}f+\epsilon\wedge
\underline{\int_{\I}}f\ge s(f,\sigma)>\underline{\int_{\I}}f-\epsilon.\]
\end{theorem}
 
\begin{dusl}
Je-li $\norm{\sigma_m}\to 0$, pak
\[\lim_{m\to\infty}S(f,\sigma_m)=\overline{\int_{\I}}f,\quad
\lim_{m\to\infty}s(f,\sigma_m)=\underline{\int_{\I}}f.\]
\end{dusl}
 
\begin{define}
Buď $f$ omezená na $\I$. Řekneme, že $f$ je {\bf Darbouxovsky
integrabilní}, právě když
\[\underline{\int_\I}f=\overline{\int_\I}f=\mathfrak D\!\int_\I f
\text{ \dots nazýváme {\bf Darbouxův integrál}}\]
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item 
Funkce je darbouxovsky integrabilní, právě když
$(\forall\epsilon)(\exists\delta)(\forall \sigma , \norm{\sigma}<\delta)$
$(\Omega(f,\sigma)=S(f,\sigma)-s(f,\sigma)<\epsilon)$, kde
\[\Omega=\sum_{j=1}^p(M_j-m_j)V(\I_j)\]
je {\bf oscilace funkce}.
\item Funkce spojitá na intervalu je darbouxovsky integrabilní.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Mějme libovolnou reálnou funkci $f$ na kompaktu $\I$.
\[\Xi(f,\sigma)=\sum_{i=1}^p f(\xi_i)V(\I_i),
\quad\xi_i\in\I_i\ \forall i\in\hat p\]
nazveme {\bf Riemannovým integrálním součtem}.
 
Funkci nazveme {\bf Riemannovsky integrabilní}, právě když
pro každou normální posloupnost $\posl{\sigma_m}$ a pro každý systém
$\xi_i$ existuje vlastní limita
\[\lim_{m\to\infty}\Xi(f,\sigma_m)=\mathfrak R\!\int_\I f.\]
\end{define}
 
\begin{remark}
$s(f,\sigma_m)\le\Xi(f,\sigma_m)\le S(f,\sigma)$. Má-li funkce
Darbouxův integrál, má i~Riemannův.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Následující dva výroky jsou ekvivalentní:
\begin{enumerate}
\item Existuje Darbouxův integrál (a~funkce je tedy omezená)
\[\mathfrak D\!\int_\I f\]
\item Existuje normální posloupnost $\posl{\sigma_m}$ tak, že pro
jakoukoli posloupnost Riemannových integrálních součtů existuje limita
\[\lim_{m\to\infty}\Xi(f,\sigma_m)\in\R\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[1)]
\item $1\implies 2$: Nejenže existuje $\posl{\sigma_m}$, ale dokonce
pro každou.
\item $2\implies 1$, resp. $\neg 1\implies\neg 2$: $\mathfrak D\!\int f$
neexistuje, tedy posloupnost částečných součtů není omezená
(tj. funkce není omezená) nebo $\underline{\int} f\not=\overline{\int}
f$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Funkce není omezená:
 
Vezmu libovolnou $\norm{\sigma_m}\to 0$. Pak (alespoň) v~jednom
částečném intervalu ($k$-tém) je funkce neomezená. Naleznu $\xi_{k'}$
tak, aby
\[\sum_{\substack{k=1\\k\not=k'}}^{p_m}
f(\xi_k^m)\V(\I_k^m)+f(\xi_{k'}^m)\V(\I_k^m)>m\]
\item $\underline{\int} f\not=\overline{\int} f$:
Konstrukce $\xi_k$:
\[m_k^{(m)}\le f(\xi_k^{(m)})<m_k^{(m)}+\epsilon\text{ pro $m$ liché}\]
\[M_k^{(m)}-\epsilon<f(\xi_k^{(m)})\le M_k^{(m)}\text{ pro $m$ sudé}\]
a mám vybrané posloupnosti konvergující k~různým limitám
$\underline\int$ a $\overline\int$, takže limita
neexistuje.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{dusl}
Darbouxův a Riemannův integrál se shodují. Darboux ovšem potřebuje
omezenou funkci, Riemann si ji nese v~definici Riemannova integrálního
součtu. Darboux se hodí na existenci integrálu, Riemann se hodí na
výpočet hodnoty integrálu.
 
Z~Darbouxe například okamžitě plyne integrabilita součtu, násobku a
součinu funkcí:
\[\Omega(\alpha f+\beta g,\sigma)\le\abs{\alpha}\Omega(f,\sigma)+
\abs{\beta}\Omega(g,\sigma),\]
\[\Omega(fg,\sigma)\le K\Omega(f,\sigma)+M\Omega(g,\sigma),\]
kde $\abs{f}\le K$, $\abs{g}\le M$.
Z~Riemanna zase plyne
\[\lim_{m\to\infty}\Xi(\alpha f+\beta g,\sigma)=
\alpha\mathfrak R\!\int f+\beta\mathfrak R\!\int g.\]
\end{dusl}
 
\begin{theorem}
Buď $\I$ kompaktní. Pak $\c{0}(\I)\subset\mathfrak D(\I)=\mathfrak
R(\I)$, funkce spojitá na $\I$ je darbouxovsky integrabilní na
kompaktu.
\begin{proof}
Díky stejnoměrné spojitosti $f$
\[\Omega(f,\sigma)=\sum_{i=1}^p(M_i-m_i)V(\I_i)<\epsilon V(\I)\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
Množina $Z$ je {\bf Jordanovy míry nula}, právě když pro každé
$\epsilon>0$ existuje konečný systém $\system{j=1}{r}{\K_j}$
takový, že pokrývá $Z$ ($Z\subset\bigcup_{j=1}^r\vn{\K_j}$) a současně
platí
\[\sum_{j=1}^r V(\K_j)<\epsilon\]
\end{define}
 
\begin{remark}
Konečná množina je Jordanovy míry nula, množina s~konečným počtem
hromadných bodů je Jordanovy míry nula.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Má-li množina bodů nespojitosti omezené funkce $f$ na $\I\subset\R^n$
Jordanovu míru nula, pak je funkce $f$ Riemannovsky integrabilní.
\end{theorem}