01MAA4:Kapitola22: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Drobná oprava.) |
m |
||
(Není zobrazeno 7 mezilehlých verzí od 2 dalších uživatelů.) | |||
Řádka 2: | Řádka 2: | ||
\section{Riemannův integrál jako elementární integrál} | \section{Riemannův integrál jako elementární integrál} | ||
− | \begin{remark} | + | %\begin{remark} |
Tuto kapitolu Vrána zkouší pouze na A, slouží spíše pro shrnutí dosavadních poznatků o Riemannově konstrukci integrálu, na níž budeme následně budovat integrál Lebesgueův. | Tuto kapitolu Vrána zkouší pouze na A, slouží spíše pro shrnutí dosavadních poznatků o Riemannově konstrukci integrálu, na níž budeme následně budovat integrál Lebesgueův. | ||
− | \end{remark} | + | %\end{remark} |
\begin{define} | \begin{define} | ||
Buď $\I$ kompaktní uzavřená množina taková, že | Buď $\I$ kompaktní uzavřená množina taková, že | ||
− | \[\I=\bigx_{i=1}^n\ | + | \[\I=\bigx_{i=1}^n\left[ a^i,b^i\right] .\] |
Množinu $\I$ nazveme {\bf $n$-rozměrným intervalem}. | Množinu $\I$ nazveme {\bf $n$-rozměrným intervalem}. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 18: | Řádka 18: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Buďte $\sigma^i$, $i\in\n$ rozdělení intervalu $\ | + | Buďte $\sigma^i$, $i\in\n$ rozdělení intervalu $\left[ a^i,b^i\right] $. Pak |
množinu | množinu | ||
\[\sigma=\bigx_{i=1}^n\sigma^i\] | \[\sigma=\bigx_{i=1}^n\sigma^i\] | ||
Řádka 64: | Řádka 64: | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
Buď $f$ omezená na $\I\subset\R^n$. Pak | Buď $f$ omezená na $\I\subset\R^n$. Pak | ||
− | $(\forall\epsilon)(\exists\delta>0)(\forall\sigma)(\norm{\sigma}<\delta)$ | + | $(\forall\epsilon)(\exists\delta>0)$, že pro všechna $\delta$–rozdělení $\sigma$, tj.~$(\forall\sigma)(\norm{\sigma}<\delta)$, platí |
− | + | \[\overline{\int_{\I}}f\le S(f,\sigma)<\overline{\int_{\I}}f+\epsilon\quad \wedge \quad | |
− | \[\overline{\int_{\I}}f\le S(f,\sigma)<\overline{\int_{\I}}f+\epsilon\wedge | + | |
\underline{\int_{\I}}f\ge s(f,\sigma)>\underline{\int_{\I}}f-\epsilon.\] | \underline{\int_{\I}}f\ge s(f,\sigma)>\underline{\int_{\I}}f-\epsilon.\] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Platnost nerovností plyne z definice suprema, resp. infima za využití zjemnění. Hledání $\delta$ viz Vránova skripta. | ||
+ | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 177: | Řádka 179: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Množina $Z$ je {\bf | + | Množina $Z$ je {\bf Jordanovy míry nula}, právě když pro každé |
$\epsilon>0$ existuje konečný systém $\system{j=1}{r}{\K_j}$ | $\epsilon>0$ existuje konečný systém $\system{j=1}{r}{\K_j}$ | ||
takový, že pokrývá $Z$ ($Z\subset\bigcup_{j=1}^r\vn{\K_j}$) a současně | takový, že pokrývá $Z$ ($Z\subset\bigcup_{j=1}^r\vn{\K_j}$) a současně | ||
Řádka 185: | Řádka 187: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | Konečná množina je | + | Konečná množina je Jordanovy míry nula, množina s~konečným počtem |
− | hromadných bodů je | + | hromadných bodů je Jordanovy míry nula. |
\end{remark} | \end{remark} | ||
Aktuální verze z 10. 8. 2018, 11:01
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Riemannův integrál jako elementární integrál} %\begin{remark} Tuto kapitolu Vrána zkouší pouze na A, slouží spíše pro shrnutí dosavadních poznatků o Riemannově konstrukci integrálu, na níž budeme následně budovat integrál Lebesgueův. %\end{remark} \begin{define} Buď $\I$ kompaktní uzavřená množina taková, že \[\I=\bigx_{i=1}^n\left[ a^i,b^i\right] .\] Množinu $\I$ nazveme {\bf $n$-rozměrným intervalem}. \end{define} \begin{define} {\bf Objemem $n$-rozměrného intervalu $\I$} nazveme číslo \[V(\I)=\prod_{i=1}^n(b^i-a^i).\] \end{define} \begin{define} Buďte $\sigma^i$, $i\in\n$ rozdělení intervalu $\left[ a^i,b^i\right] $. Pak množinu \[\sigma=\bigx_{i=1}^n\sigma^i\] nazveme {\bf kartézským rozdělením $n$-rozměrného intervalu $\I$}. \end{define} \begin{define} Číslo $\norm{\sigma}=\max_{i\in\n}\norm{\sigma^i}$ nazveme {\bf norma rozdělení $\sigma$}. Rozdělení, pro které platí $\norm{\sigma}<\delta$, nazveme {\bf $\delta$-rozdělení}. Posloupnost rozdělení $\posl{\sigma_m}$ nazveme {\bf normální}, právě když $\norm{\sigma_m}\to 0$. \end{define} \begin{define} Buď $\I$ interval v~$\R^n$, $f:\I\mapsto\R$, $\sigma$ rozdělení $\I$, buďte \[M_i=\sup_{\I_i}f(x),\quad m_i=\inf_{\I_i}f(x).\] Pak číslo \[S(f,\sigma)=\sum_{i=1}^pM_iV(\I_i)\] nazveme {\bf horním Darbouxovým součtem funkce $f$ na $J$} a číslo \[s(f,\sigma)=\sum_{i=1}^pm_iV(\I_i)\] nazveme {\bf dolním Darbouxovým součtem}. $\sigma^*$ zjemnění $\sigma$: $\sigma_i^*$ je zjemnění $\sigma_i$ pro každé $i\in\n$. \end{define} \begin{define} Buď $\I$ interval v~$\R^n$, $f:\I\mapsto\R$. Pak označíme \[\underline{\int_\I}f=\sup_{(\sigma)}s(f,\sigma),\quad \overline{\int_\I}f=\inf_{(\sigma)}S(f,\sigma).\] \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item \[mV(\I)\le s(f,\sigma)\le S(f,\sigma)\le MV(\I)\] \[s(f,\sigma)\le s(f,\sigma^*)\le S(f,\sigma^*)\le S(f,\sigma)\] \item Pro $\sigma_1,\sigma_2$ existuje zjemnění obou $\sigma^*$, z~čehož vyplývá \[s(f,\sigma_1)\le s(f,\sigma^*)\le S(f,\sigma^*)\le S(f,\sigma_2).\] \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Buď $f$ omezená na $\I\subset\R^n$. Pak $(\forall\epsilon)(\exists\delta>0)$, že pro všechna $\delta$–rozdělení $\sigma$, tj.~$(\forall\sigma)(\norm{\sigma}<\delta)$, platí \[\overline{\int_{\I}}f\le S(f,\sigma)<\overline{\int_{\I}}f+\epsilon\quad \wedge \quad \underline{\int_{\I}}f\ge s(f,\sigma)>\underline{\int_{\I}}f-\epsilon.\] \begin{proof} Platnost nerovností plyne z definice suprema, resp. infima za využití zjemnění. Hledání $\delta$ viz Vránova skripta. \end{proof} \end{theorem} \begin{dusl} Je-li $\norm{\sigma_m}\to 0$, pak \[\lim_{m\to\infty}S(f,\sigma_m)=\overline{\int_{\I}}f,\quad \lim_{m\to\infty}s(f,\sigma_m)=\underline{\int_{\I}}f.\] \end{dusl} \begin{define} Buď $f$ omezená na $\I$. Řekneme, že $f$ je {\bf Darbouxovsky integrabilní}, právě když \[\underline{\int_\I}f=\overline{\int_\I}f=\mathfrak D\!\int_\I f \text{ \dots nazýváme {\bf Darbouxův integrál}}\] \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Funkce je darbouxovsky integrabilní, právě když $(\forall\epsilon)(\exists\delta)(\forall \sigma , \norm{\sigma}<\delta)$ $(\Omega(f,\sigma)=S(f,\sigma)-s(f,\sigma)<\epsilon)$, kde \[\Omega=\sum_{j=1}^p(M_j-m_j)V(\I_j)\] je {\bf oscilace funkce}. \item Funkce spojitá na intervalu je darbouxovsky integrabilní. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} Mějme libovolnou reálnou funkci $f$ na kompaktu $\I$. \[\Xi(f,\sigma)=\sum_{i=1}^p f(\xi_i)V(\I_i), \quad\xi_i\in\I_i\ \forall i\in\hat p\] nazveme {\bf Riemannovým integrálním součtem}. Funkci nazveme {\bf Riemannovsky integrabilní}, právě když pro každou normální posloupnost $\posl{\sigma_m}$ a pro každý systém $\xi_i$ existuje vlastní limita \[\lim_{m\to\infty}\Xi(f,\sigma_m)=\mathfrak R\!\int_\I f.\] \end{define} \begin{remark} $s(f,\sigma_m)\le\Xi(f,\sigma_m)\le S(f,\sigma)$. Má-li funkce Darbouxův integrál, má i~Riemannův. \end{remark} \begin{theorem} Následující dva výroky jsou ekvivalentní: \begin{enumerate} \item Existuje Darbouxův integrál (a~funkce je tedy omezená) \[\mathfrak D\!\int_\I f\] \item Existuje normální posloupnost $\posl{\sigma_m}$ tak, že pro jakoukoli posloupnost Riemannových integrálních součtů existuje limita \[\lim_{m\to\infty}\Xi(f,\sigma_m)\in\R\] \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[1)] \item $1\implies 2$: Nejenže existuje $\posl{\sigma_m}$, ale dokonce pro každou. \item $2\implies 1$, resp. $\neg 1\implies\neg 2$: $\mathfrak D\!\int f$ neexistuje, tedy posloupnost částečných součtů není omezená (tj. funkce není omezená) nebo $\underline{\int} f\not=\overline{\int} f$. \begin{enumerate}[a)] \item Funkce není omezená: Vezmu libovolnou $\norm{\sigma_m}\to 0$. Pak (alespoň) v~jednom částečném intervalu ($k$-tém) je funkce neomezená. Naleznu $\xi_{k'}$ tak, aby \[\sum_{\substack{k=1\\k\not=k'}}^{p_m} f(\xi_k^m)\V(\I_k^m)+f(\xi_{k'}^m)\V(\I_k^m)>m\] \item $\underline{\int} f\not=\overline{\int} f$: Konstrukce $\xi_k$: \[m_k^{(m)}\le f(\xi_k^{(m)})<m_k^{(m)}+\epsilon\text{ pro $m$ liché}\] \[M_k^{(m)}-\epsilon<f(\xi_k^{(m)})\le M_k^{(m)}\text{ pro $m$ sudé}\] a mám vybrané posloupnosti konvergující k~různým limitám $\underline\int$ a $\overline\int$, takže limita neexistuje. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{dusl} Darbouxův a Riemannův integrál se shodují. Darboux ovšem potřebuje omezenou funkci, Riemann si ji nese v~definici Riemannova integrálního součtu. Darboux se hodí na existenci integrálu, Riemann se hodí na výpočet hodnoty integrálu. Z~Darbouxe například okamžitě plyne integrabilita součtu, násobku a součinu funkcí: \[\Omega(\alpha f+\beta g,\sigma)\le\abs{\alpha}\Omega(f,\sigma)+ \abs{\beta}\Omega(g,\sigma),\] \[\Omega(fg,\sigma)\le K\Omega(f,\sigma)+M\Omega(g,\sigma),\] kde $\abs{f}\le K$, $\abs{g}\le M$. Z~Riemanna zase plyne \[\lim_{m\to\infty}\Xi(\alpha f+\beta g,\sigma)= \alpha\mathfrak R\!\int f+\beta\mathfrak R\!\int g.\] \end{dusl} \begin{theorem} Buď $\I$ kompaktní. Pak $\c{0}(\I)\subset\mathfrak D(\I)=\mathfrak R(\I)$, funkce spojitá na $\I$ je darbouxovsky integrabilní na kompaktu. \begin{proof} Díky stejnoměrné spojitosti $f$ \[\Omega(f,\sigma)=\sum_{i=1}^p(M_i-m_i)V(\I_i)<\epsilon V(\I)\] \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Množina $Z$ je {\bf Jordanovy míry nula}, právě když pro každé $\epsilon>0$ existuje konečný systém $\system{j=1}{r}{\K_j}$ takový, že pokrývá $Z$ ($Z\subset\bigcup_{j=1}^r\vn{\K_j}$) a současně platí \[\sum_{j=1}^r V(\K_j)<\epsilon\] \end{define} \begin{remark} Konečná množina je Jordanovy míry nula, množina s~konečným počtem hromadných bodů je Jordanovy míry nula. \end{remark} \begin{theorem} Má-li množina bodů nespojitosti omezené funkce $f$ na $\I\subset\R^n$ Jordanovu míru nula, pak je funkce $f$ Riemannovsky integrabilní. \end{theorem}