01MAA4:Kapitola21: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01MAA4} \section{Křivkový integrál prvního druhu} \begin{define} Buď $f$ reálná funkce $\R^n\mapsto \R$, $g$ dráha, $[g]\subset\df f$, $\sigma$ roz...)
 
m (Doplnění drobností.)
Řádka 10: Řádka 10:
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
\begin{define}
+
\begin{define}[křivkový integrál prvního druhu]
 
Buď $f$ reálná funkce $\R^n\mapsto\R$, $g$ dráha,% konečné délky,
 
Buď $f$ reálná funkce $\R^n\mapsto\R$, $g$ dráha,% konečné délky,
 
$[g]\subset\df f$. Řekneme, že funkce $f$ je {\bf integrabilní po
 
$[g]\subset\df f$. Řekneme, že funkce $f$ je {\bf integrabilní po
Řádka 16: Řádka 16:
 
$\posl{\sigma_n}$ existuje vlastní limita
 
$\posl{\sigma_n}$ existuje vlastní limita
 
\[\lim_{n\to\infty}S(f,g,\sigma_n)=\int_g f\d s,\]
 
\[\lim_{n\to\infty}S(f,g,\sigma_n)=\int_g f\d s,\]
která se pak nazývá {\bf dráhovým integrálem funkce $f$ po dráze $g$}.
+
která se pak nazývá {\bf křivkový integrálem funkce $f$ po dráze $g$}.
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
Řádka 62: Řádka 62:
 
\int_a^b\boldsymbol\omega(g(t))\vec v(g(t))\norm{g'(t)}\d t=
 
\int_a^b\boldsymbol\omega(g(t))\vec v(g(t))\norm{g'(t)}\d t=
 
\int_g\boldsymbol\omega^\#\vec v\d s=
 
\int_g\boldsymbol\omega^\#\vec v\d s=
\int_g(\vec F,\vec v)\d s.\]
+
\int_g\left\langle \vec F,\vec v\right\rangle \d s.\]
 
\[(\omega^\#\vec v)(x)=\omega^\#\vec v(x)\]
 
\[(\omega^\#\vec v)(x)=\omega^\#\vec v(x)\]
\[\int_g\vec F\,\d\vec r=\int_g(\vec F\vec r)\,\d s,\quad
+
\[\int_g\vec F\,\d\vec r=\int_g\left\langle \vec F,\vec r\right\rangle \,\d s,\quad
 
\d\vec r=\vec r\d s\]
 
\d\vec r=\vec r\d s\]
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}

Verze z 26. 8. 2013, 14:00

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Křivkový integrál prvního druhu}
 
\begin{define}
Buď $f$ reálná funkce $\R^n\mapsto \R$, $g$ dráha, $[g]\subset\df f$,
$\sigma$ rozdělení $g$. Potom klademe
\[S(f,g,\sigma)=
\sum_{i=1}^p f(g(\xi_i))\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})}
\text{ pro }\xi_i\in\la t_{i-1},t_i\ra\]
\end{define}
 
\begin{define}[křivkový integrál prvního druhu]
Buď $f$ reálná funkce $\R^n\mapsto\R$, $g$ dráha,% konečné délky,
$[g]\subset\df f$. Řekneme, že funkce $f$ je {\bf integrabilní po
dráze $g$}, jestliže pro každou normální posloupnost rozdělení
$\posl{\sigma_n}$ existuje vlastní limita
\[\lim_{n\to\infty}S(f,g,\sigma_n)=\int_g f\d s,\]
která se pak nazývá {\bf křivkový integrálem funkce $f$ po dráze $g$}.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item 
\[\int_g(f+h)\d s=\int_g f\d s+\int_g h\d s,\]
\item
\[\int_g(\alpha f)\d s=\alpha\int_g f\d s,\]
\end{enumerate}
má-li alespoň jedna strana rovnosti smysl.
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\[\int_{g_1\dotp g_2}f\d s=\int_{g_1}f\d s+\int_{g_2}f\d s,\]
\item
\[\int_{\dotm g}f\d s= \int_{g}f\d s,\] %opravdu tam není mínus
\item
\[\abs{\int_g f\d s}\le K~l(g)\text{, kde }K\ge\sup_{\df g}\{|f(x)|\},\]
\end{enumerate}
má-li alespoň jedna strana smysl.
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $f\in\c{0}$, $g\in\c{1}$, $[g]\in\df f$. Potom funkce $f$ je
integrabilní (existuje dráhový integrál 1. druhu) a platí
\[\int_g f\d s=\int_a^b f(g(t))\norm{g'(t)}\d t\quad
\la a,b\ra=\df g\]
\begin{proof}
viz \ref{VSubsKrivII}.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $l(g)=\int_g\d s$.
\item Buď $\boldsymbol\omega\in\c{0}$, $g\in\c{1}$,
$[g]\subset\df\omega$, $g'(t)\not=\Theta$ pro každé $t\in\la a,b\ra$, tedy $g$ je lokálně prostá.  Pro $x\in [g]$ definujme
\[\vec v(x)=\left.\frac{g'(t)}{\norm{g'(t)}}\right|_{x=g(t)}\]
\[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\boldsymbol\omega(g(t))g'(t)\d t=
\int_a^b\boldsymbol\omega(g(t))\vec v(g(t))\norm{g'(t)}\d t=
\int_g\boldsymbol\omega^\#\vec v\d s=
\int_g\left\langle \vec F,\vec v\right\rangle \d s.\]
\[(\omega^\#\vec v)(x)=\omega^\#\vec v(x)\]
\[\int_g\vec F\,\d\vec r=\int_g\left\langle \vec F,\vec r\right\rangle \,\d s,\quad
\d\vec r=\vec r\d s\]
\end{enumerate}
\end{remark}