01MAA4:Kapitola21: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Doplnění drobností.) |
m (Drobné úpravy.) |
||
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze od stejného uživatele.) | |||
Řádka 7: | Řádka 7: | ||
\[S(f,g,\sigma)= | \[S(f,g,\sigma)= | ||
\sum_{i=1}^p f(g(\xi_i))\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})} | \sum_{i=1}^p f(g(\xi_i))\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})} | ||
− | \text{ pro }\xi_i\in\ | + | \text{ pro }\xi_i\in\left[ t_{i-1},t_i\right] \] |
\end{define} | \end{define} | ||
\begin{define}[křivkový integrál prvního druhu] | \begin{define}[křivkový integrál prvního druhu] | ||
Buď $f$ reálná funkce $\R^n\mapsto\R$, $g$ dráha,% konečné délky, | Buď $f$ reálná funkce $\R^n\mapsto\R$, $g$ dráha,% konečné délky, | ||
− | $[g]\subset\df f$. | + | $[g]\subset\df f$. Nechť pro každou normální posloupnost rozdělení |
− | + | ||
$\posl{\sigma_n}$ existuje vlastní limita | $\posl{\sigma_n}$ existuje vlastní limita | ||
− | \[\lim_{n\to\infty}S(f,g,\sigma_n)=\int_g f\d s | + | \[\lim_{n\to\infty}S(f,g,\sigma_n)\overset{\text{ ozn.}}=\int_g f\d s.\] |
− | + | Pak říkáme, že funkce $f$ je {\bf integrabilní} po dráze $g$ | |
+ | a tuto limitu nazýváme křivkovým {\bf integrálem funkce $f$ po dráze $g$}, resp. {\bf křivkovým integrálem prvního druhu}. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
− | \begin{theorem} | + | \begin{theorem}Má-li alespoň jedna strana rovnosti smysl, platí |
− | + | ||
\begin{enumerate}[(i)] | \begin{enumerate}[(i)] | ||
− | \item | + | \item (aditivita) |
\[\int_g(f+h)\d s=\int_g f\d s+\int_g h\d s,\] | \[\int_g(f+h)\d s=\int_g f\d s+\int_g h\d s,\] | ||
− | \item | + | \item (homogenita) |
− | \[\int_g(\alpha f)\d s=\alpha\int_g f\d s | + | \[\int_g(\alpha f)\d s=\alpha\int_g f\d s.\] |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | |||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
− | \begin{theorem} | + | \begin{theorem}Má-li alespoň jedna strana rovnosti smysl, platí |
− | + | ||
\begin{enumerate}[(i)] | \begin{enumerate}[(i)] | ||
\item | \item | ||
\[\int_{g_1\dotp g_2}f\d s=\int_{g_1}f\d s+\int_{g_2}f\d s,\] | \[\int_{g_1\dotp g_2}f\d s=\int_{g_1}f\d s+\int_{g_2}f\d s,\] | ||
\item | \item | ||
− | \[\int_{\dotm g}f\d s= \int_{g}f\d s,\] %opravdu tam není mínus | + | \[\int_{\dotm g}f\d s= +\int_{g}f\d s,\] %opravdu tam není mínus! |
\item | \item | ||
− | \[\abs{\int_g f\d s}\le K~l(g)\text{ | + | \[\abs{\int_g f\d s}\le K~l(g),\quad \text{kde }K\ge\sup_{\df g}|f(x)|.\] |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | |||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
− | \begin{theorem} | + | \begin{theorem}[výpočet křivkového integrálu prvního druhu] |
− | Buď $f\in\c{0} | + | Buď $f\in\c{0}, g\in\c{1}, [g]\in\df f, \df g=\left[a,b\right].$ Potom funkce $f$ je |
− | integrabilní | + | integrabilní a platí |
− | \[\int_g f\d s=\int_a^b f(g(t))\norm{g'(t)}\d t\ | + | \[\int_g f\d s=\int_a^b f(g(t))\norm{g'(t)}\d t.\] |
− | + | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | + | Obdobný důkazu \ref{VSubsKrivII}, není vyžadován na zkoušce. | |
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 55: | Řádka 51: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item $l(g)=\int_g\d s$. | + | \item Křivkový integrál prvního druhu je {\bf neorientovaný}, je tedy nezávislý na parametrizaci dráhy. |
+ | \item Vzorec na výpočet délky křivky: $l(g)=\int_g\d s$. | ||
\item Buď $\boldsymbol\omega\in\c{0}$, $g\in\c{1}$, | \item Buď $\boldsymbol\omega\in\c{0}$, $g\in\c{1}$, | ||
− | $[g]\subset\df\omega$, $g'(t)\not=\ | + | $[g]\subset\df\omega$, $g'(t)\not=\covec o$ pro každé $t\in\left[ a,b\right] $, tedy $g$ je lokálně prostá. Pro $x\in [g]$ definujme |
− | \[\vec v(x)=\left.\frac{g'(t)}{\norm{g'(t)}}\right|_{x=g(t)}\] | + | \[\vec v(x)=\left.\frac{g'(t)}{\norm{g'(t)}}\right|_{x=g(t)}.\] |
+ | Pak platí (převod křivkového integrálu druhého druhu na první druh) | ||
\[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\boldsymbol\omega(g(t))g'(t)\d t= | \[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\boldsymbol\omega(g(t))g'(t)\d t= | ||
\int_a^b\boldsymbol\omega(g(t))\vec v(g(t))\norm{g'(t)}\d t= | \int_a^b\boldsymbol\omega(g(t))\vec v(g(t))\norm{g'(t)}\d t= | ||
− | \int_g\ | + | \int_g\covec\omega\vec v~\d s= |
\int_g\left\langle \vec F,\vec v\right\rangle \d s.\] | \int_g\left\langle \vec F,\vec v\right\rangle \d s.\] | ||
− | \[(\ | + | %\[(\covec\omega\vec v)(x)=\covec\omega\vec v(x)\] |
− | \[\int_g\vec F\ | + | Práci po dráze (křivkový integrál druhého druhu) můžeme tedy vyjádřit jako křivkový integrál prvního druhu (tečka $\cdot$ značí standardní skalární součin): |
− | \d\vec r=\vec r\d s | + | \[\int_g\vec F\cdot\d\vec r=\int_g\vec F \cdot \vec r~\d s.\] |
+ | Proto se ve fyzice často používá užitečný, ale formálně nesprávný zápis $\d\vec r=\vec r~\d s$. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{remark} | \end{remark} |
Aktuální verze z 24. 1. 2014, 14:55
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Křivkový integrál prvního druhu} \begin{define} Buď $f$ reálná funkce $\R^n\mapsto \R$, $g$ dráha, $[g]\subset\df f$, $\sigma$ rozdělení $g$. Potom klademe \[S(f,g,\sigma)= \sum_{i=1}^p f(g(\xi_i))\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})} \text{ pro }\xi_i\in\left[ t_{i-1},t_i\right] \] \end{define} \begin{define}[křivkový integrál prvního druhu] Buď $f$ reálná funkce $\R^n\mapsto\R$, $g$ dráha,% konečné délky, $[g]\subset\df f$. Nechť pro každou normální posloupnost rozdělení $\posl{\sigma_n}$ existuje vlastní limita \[\lim_{n\to\infty}S(f,g,\sigma_n)\overset{\text{ ozn.}}=\int_g f\d s.\] Pak říkáme, že funkce $f$ je {\bf integrabilní} po dráze $g$ a tuto limitu nazýváme křivkovým {\bf integrálem funkce $f$ po dráze $g$}, resp. {\bf křivkovým integrálem prvního druhu}. \end{define} \begin{theorem}Má-li alespoň jedna strana rovnosti smysl, platí \begin{enumerate}[(i)] \item (aditivita) \[\int_g(f+h)\d s=\int_g f\d s+\int_g h\d s,\] \item (homogenita) \[\int_g(\alpha f)\d s=\alpha\int_g f\d s.\] \end{enumerate} \end{theorem} \begin{theorem}Má-li alespoň jedna strana rovnosti smysl, platí \begin{enumerate}[(i)] \item \[\int_{g_1\dotp g_2}f\d s=\int_{g_1}f\d s+\int_{g_2}f\d s,\] \item \[\int_{\dotm g}f\d s= +\int_{g}f\d s,\] %opravdu tam není mínus! \item \[\abs{\int_g f\d s}\le K~l(g),\quad \text{kde }K\ge\sup_{\df g}|f(x)|.\] \end{enumerate} \end{theorem} \begin{theorem}[výpočet křivkového integrálu prvního druhu] Buď $f\in\c{0}, g\in\c{1}, [g]\in\df f, \df g=\left[a,b\right].$ Potom funkce $f$ je integrabilní a platí \[\int_g f\d s=\int_a^b f(g(t))\norm{g'(t)}\d t.\] \begin{proof} Obdobný důkazu \ref{VSubsKrivII}, není vyžadován na zkoušce. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Křivkový integrál prvního druhu je {\bf neorientovaný}, je tedy nezávislý na parametrizaci dráhy. \item Vzorec na výpočet délky křivky: $l(g)=\int_g\d s$. \item Buď $\boldsymbol\omega\in\c{0}$, $g\in\c{1}$, $[g]\subset\df\omega$, $g'(t)\not=\covec o$ pro každé $t\in\left[ a,b\right] $, tedy $g$ je lokálně prostá. Pro $x\in [g]$ definujme \[\vec v(x)=\left.\frac{g'(t)}{\norm{g'(t)}}\right|_{x=g(t)}.\] Pak platí (převod křivkového integrálu druhého druhu na první druh) \[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\boldsymbol\omega(g(t))g'(t)\d t= \int_a^b\boldsymbol\omega(g(t))\vec v(g(t))\norm{g'(t)}\d t= \int_g\covec\omega\vec v~\d s= \int_g\left\langle \vec F,\vec v\right\rangle \d s.\] %\[(\covec\omega\vec v)(x)=\covec\omega\vec v(x)\] Práci po dráze (křivkový integrál druhého druhu) můžeme tedy vyjádřit jako křivkový integrál prvního druhu (tečka $\cdot$ značí standardní skalární součin): \[\int_g\vec F\cdot\d\vec r=\int_g\vec F \cdot \vec r~\d s.\] Proto se ve fyzice často používá užitečný, ale formálně nesprávný zápis $\d\vec r=\vec r~\d s$. \end{enumerate} \end{remark}