01MAA4:Kapitola20: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Doplnění drobností.) |
m (Drobná úprava.) |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01MAA4} | %\wikiskriptum{01MAA4} | ||
\section{Křivkový integrál druhého druhu} | \section{Křivkový integrál druhého druhu} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Na přednášce se křivkový integrál druhého druhu definuje větou \ref{VSubsKrivII} a vynechává se zde uvedená konstrukce. Takto je to vyžadováno i na zkoušce. | ||
+ | \end{remark} | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Buďte $g_1,g_2$ dráhy v~$\R^n$, $\df g_\iota=\ | + | Buďte $g_1,g_2$ dráhy v~$\R^n$, $\df g_\iota=\left[ a_\iota,b_\iota\right] $. |
\begin{enumerate}[(i)] | \begin{enumerate}[(i)] | ||
\item Jestliže $g_1(b_1)=g_2(a_2)$, pak | \item Jestliže $g_1(b_1)=g_2(a_2)$, pak | ||
\[(g_1\dotp g_2)(t)= | \[(g_1\dotp g_2)(t)= | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
− | g_1(t)&\text{na }\ | + | g_1(t)&\text{na }\left[ a_1,b_1\right] \\ |
− | g_2(t-b_1+a_2)&\text{na } \ | + | g_2(t-b_1+a_2)&\text{na } \left[ b_1,b_1+b_2-a_2\right] |
\end{cases} | \end{cases} | ||
\] | \] | ||
je {\bf orientovaný součet drah $g_1$ a $g_2$}. | je {\bf orientovaný součet drah $g_1$ a $g_2$}. | ||
− | \item $(\dotm g_1)(t)=g_1(-t)$ $\forall t\in\ | + | \item $(\dotm g_1)(t)=g_1(-t)$ $\forall t\in\left[ -b_1,-a_1\right] $ je {\bf |
opačně orientovaná dráha}. | opačně orientovaná dráha}. | ||
\item $g_1\dotm g_2=g_1\dotp(\dotm g_2)$ je {\bf orientovaný rozdíl drah | \item $g_1\dotm g_2=g_1\dotp(\dotm g_2)$ je {\bf orientovaný rozdíl drah | ||
Řádka 28: | Řádka 32: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
Dráha $g$ {\bf má délku} (je schopna rektifikace), jestliže množina | Dráha $g$ {\bf má délku} (je schopna rektifikace), jestliže množina | ||
− | \[\left\{l(\sigma)\left| | + | \[\left\{l(\sigma)\left | |
l(\sigma)=\sum_{i=1}^n\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})} | l(\sigma)=\sum_{i=1}^n\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})} | ||
\right.\right\}\] | \right.\right\}\] | ||
Řádka 37: | Řádka 41: | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
\item Ke každému rozdělení dráhy existuje rozdělení intervalu | \item Ke každému rozdělení dráhy existuje rozdělení intervalu | ||
− | $\ | + | $\left[ a,b \right] $. |
\item Číslo $\norm{\sigma_g}=\sup_i\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})}$ nazýváme | \item Číslo $\norm{\sigma_g}=\sup_i\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})}$ nazýváme | ||
{\bf norma rozdělení}. | {\bf norma rozdělení}. | ||
Řádka 47: | Řádka 51: | ||
g(t)= | g(t)= | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
− | -t\cos\frac1t&\text{pro }\ | + | -t\cos\frac1t&\text{pro }\left[-\frac1\pi,0\right)\\ |
0&\text{pro nulu} | 0&\text{pro nulu} | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
Řádka 129: | Řádka 133: | ||
dráze $g$ a existuje integrál | dráze $g$ a existuje integrál | ||
\[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\omega(g(t))g'(t)\d t.\] | \[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\omega(g(t))g'(t)\d t.\] | ||
− | \ | + | Říkáme, že integrál diferenciální formy $\boldsymbol\omega$ je {\bf křivkový integrál druhého druhu} a je závislý na orientaci dráhy $g$. |
− | + | ||
− | + | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Platí, že $\norm{\sigma_g^{(m)}}\to 0$, díky spojitosti můžeme | Platí, že $\norm{\sigma_g^{(m)}}\to 0$, díky spojitosti můžeme | ||
Řádka 149: | Řádka 152: | ||
\[(\forall\delta>0)(\exists m_2)(\forall m>m_2)\left(\norm{\sigma^{(m)}}<\delta\right)\] | \[(\forall\delta>0)(\exists m_2)(\forall m>m_2)\left(\norm{\sigma^{(m)}}<\delta\right)\] | ||
− | \[(\forall\epsilon>0)(\exists \delta)(\forall t',t'' \in \ | + | \[(\forall\epsilon>0)(\exists \delta)(\forall t',t'' \in \left[ a,b\right] , \forall j \in \n)\left(\abs{t'-t''}<\delta |
\Rightarrow \abs{(g^j)'(t')-(g^j)'(t'')}<\frac{\epsilon}{2k(b-a)n}\right)\] | \Rightarrow \abs{(g^j)'(t')-(g^j)'(t'')}<\frac{\epsilon}{2k(b-a)n}\right)\] | ||
\[\abs{B_m}<\frac\epsilon2\] | \[\abs{B_m}<\frac\epsilon2\] | ||
− | Využijeme kompaktnost $\ | + | Využijeme kompaktnost $\left[ a,b\right] $, spojitost $g'$, omezenosti $\omega$, $m>\max(m_1,m_2)$. |
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 242: | Řádka 245: | ||
množině, je s~uvedenými tvrzeními ekvivalentní i~(iv) | množině, je s~uvedenými tvrzeními ekvivalentní i~(iv) | ||
$\boldsymbol\omega$ je uzavřená. | $\boldsymbol\omega$ je uzavřená. | ||
− | \item $\ | + | \item Riezsova věta: $\covec\omega(x)\vec h=\la\vec F(\vec r),\vec h\ra $, označme $\omega_i=F^i(\vec r)$ v~eukleidovském standardním skalárním součinu. |
− | $ | + | |
\item Práce po dráze (křivkový integrál druhého druhu): | \item Práce po dráze (křivkový integrál druhého druhu): | ||
\[A=\int_g\boldsymbol\omega=\int_g\sum_{i=1}^3\boldsymbol\omega_i\,\d x^i= | \[A=\int_g\boldsymbol\omega=\int_g\sum_{i=1}^3\boldsymbol\omega_i\,\d x^i= | ||
− | \int_g\sum_{i=1}^3 F^i\,\d x^i=\int_g\vec F\ | + | \int_g\sum_{i=1}^3 F^i\,\d x^i=\int_g\vec F\cdot\d\vec r.\] |
\item Pole je konzervativní (a~práce nezávisí na dráze), právě když | \item Pole je konzervativní (a~práce nezávisí na dráze), právě když | ||
$\boldsymbol\omega$ je konzervativní. $\boldsymbol\omega\in\c{0}$, | $\boldsymbol\omega$ je konzervativní. $\boldsymbol\omega\in\c{0}$, | ||
$\boldsymbol\omega$ konzervativní, právě když existuje $f$ taková, že | $\boldsymbol\omega$ konzervativní, právě když existuje $f$ taková, že | ||
− | $\boldsymbol\omega^\#=\d f=f'$. | + | $\boldsymbol\omega^\#=\d f=f'$. |
− | + | \item Pokud je $F$ konzervativní, existuje $\grad f(x)$ tak, že $\grad f(x)=\vec F(\vec r)$. Říkáme, že $F(\vec r)$ má potenciál. | |
− | $\grad f(x)=\vec F(\vec r)$ má potenciál. | + | |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
%\begin{example} | %\begin{example} | ||
− | %$\boldsymbol\omega=\psi(x^2+y^2+z^2)(x\d x+y\d y+z\d z)$ je | + | %$\boldsymbol\omega=\psi(x^2+y^2+z^2)(x\d x+y\d y+z\d z)$ je konzervativní. |
− | + | ||
%\[f(x)=V(r)=\frac12\int_g\psi(t)\,\d t\] | %\[f(x)=V(r)=\frac12\int_g\psi(t)\,\d t\] | ||
− | %\[\psi(t)=\frac1{t^{\frac32}},\quad | + | %\[\psi(t)=\frac1{t^{\frac32}},\quad\vec F(\vec r)=\frac{\vec r}{\vec r^3},\quadV(\vec r)=-\frac1r+C\] |
− | + | ||
− | + | ||
%\end{example} | %\end{example} |
Verze z 5. 10. 2013, 01:15
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Křivkový integrál druhého druhu} \begin{remark} Na přednášce se křivkový integrál druhého druhu definuje větou \ref{VSubsKrivII} a vynechává se zde uvedená konstrukce. Takto je to vyžadováno i na zkoušce. \end{remark} \begin{define} Buďte $g_1,g_2$ dráhy v~$\R^n$, $\df g_\iota=\left[ a_\iota,b_\iota\right] $. \begin{enumerate}[(i)] \item Jestliže $g_1(b_1)=g_2(a_2)$, pak \[(g_1\dotp g_2)(t)= \begin{cases} g_1(t)&\text{na }\left[ a_1,b_1\right] \\ g_2(t-b_1+a_2)&\text{na } \left[ b_1,b_1+b_2-a_2\right] \end{cases} \] je {\bf orientovaný součet drah $g_1$ a $g_2$}. \item $(\dotm g_1)(t)=g_1(-t)$ $\forall t\in\left[ -b_1,-a_1\right] $ je {\bf opačně orientovaná dráha}. \item $g_1\dotm g_2=g_1\dotp(\dotm g_2)$ je {\bf orientovaný rozdíl drah $g_1$ a $g_2$} \end{enumerate} \end{define} \begin{define} Je dána dráha $g$. Jestliže \[g=\dot{\sum_{i=1}^m}g_i,\] pak $\sigma=(g_1,\dots,g_m)$ nazveme {\bf rozdělením dráhy} $g$. \end{define} \begin{define} Dráha $g$ {\bf má délku} (je schopna rektifikace), jestliže množina \[\left\{l(\sigma)\left | l(\sigma)=\sum_{i=1}^n\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})} \right.\right\}\] je omezená. Délka je potom $\sup_{\sigma}l(\sigma)$. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Ke každému rozdělení dráhy existuje rozdělení intervalu $\left[ a,b \right] $. \item Číslo $\norm{\sigma_g}=\sup_i\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})}$ nazýváme {\bf norma rozdělení}. \end{enumerate} \end{remark} \begin{example} \[ g(t)= \begin{cases} -t\cos\frac1t&\text{pro }\left[-\frac1\pi,0\right)\\ 0&\text{pro nulu} \end{cases} \] \[\sigma=\left(-\frac1\pi,-\frac1{2\pi},-\frac1{3\pi},\dots,-\frac1{p\pi}\right)\] \[l(\sigma)\ge\sum_{i=1}^p\abs{g\left(\frac1{(i+1)\pi}\right)-g\left(\frac1{i\pi}\right)-}= \sum_{i=1}^p\abs{\frac1{(i+1)\pi}+\frac1{i\pi}}\to +\infty\] \end{example} \begin{define} Buď $g$ dráha v~$\R^n$, $\sigma$ její rozdělení $(g_0,\dots,g_m)$, $\boldsymbol\omega$ diferenciální forma taková, že $[g]\subset\df\boldsymbol\omega$. \[\S(\omega,g,\sigma)=\sum_{i=1}^m \omega(x_i)(g(t_i)-g(t_{i-1})) \text{, kde }x_i\in [g_i]\text{ pro }i\in\hat m\] nazveme {\bf{\bf integrálním součtem}} diferenciální formy $\boldsymbol\omega$ po dráze $g$ při rozdělení $\sigma$. Buď $\posl{\sigma}$ normální posloupnost rozdělení dráhy $g$. Nechť pro každou takovou posloupnost existuje limita \[\lim_{m\to\infty}\S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_m)=\int_g\boldsymbol\omega.\] Pak říkáme, že $\boldsymbol\omega$ je {\bf integrabilní} po dráze $g$ a tuto limitu nazýváme {\bf integrálem} diferenciální formy $\boldsymbol\omega$ po dráze $g$. \end{define} \begin{theorem} Buďte $\boldsymbol\omega,\boldsymbol\zeta$ integrabilní diferenciální formy po dráze $g$. Pak \begin{enumerate}[(i)] \item \[\int_g(\boldsymbol\omega+\boldsymbol\zeta)= \int_g\boldsymbol\omega+\int_g\boldsymbol\zeta,\] \item pro $c\in\R$ \[\int_g(c\boldsymbol\omega)= c\int_g\boldsymbol\omega.\] \end{enumerate} \begin{proof} \[\S(\boldsymbol\omega,g,\sigma)= \sum_{i=1}^p\omega(x_i)(g(t_i)-g(t_{i-1}))\] Z~linearity $\boldsymbol\omega$ v~této sumě vyplývá linearita integrálu. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Buď $\boldsymbol\omega$ diferenciální forma. Platí: \begin{enumerate}[(i)] \item \[\int_{g_1\dotp g_2}\boldsymbol\omega= \int_{g_1}\boldsymbol\omega+\int_{g_2}\boldsymbol\omega,\] má-li jedna strana smysl, \item \[\int_{\dotm g}\boldsymbol\omega= -\int_{g}\boldsymbol\omega,\] má-li jedna strana smysl, \item Jestliže $(\forall x\in[g])(\abs{\omega(x)}<K)$, pak \[\abs{\int_g\boldsymbol\omega}\le Kl(g).\] \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[(i)] \item Nechť existuje $\int_g\boldsymbol\omega$, $g=g_1 \dotplus g_2$. Předpokládejme, že $\int_{g_1}\boldsymbol\omega$ neexistuje. Pak existují integrální součty $\S_1$ a $\S_2$ takové, že $\S_1(\mathbb{\boldsymbol\omega},g_1,\sigma_1^{(m)})\to S_1$ a $\S_2(\boldsymbol\omega,g_1,\tilde\sigma_1^{(m)})\to S_2$, $S_1\not=S_2$. Vezmu $g_2$, $\sigma_2^{(m)}$, sjednocením získám rozdělení $g$, $\sigma=\sigma_1 \cup\sigma_2$, $\tilde\sigma=\tilde\sigma_1 \cup\sigma_2$ a hned vyleze spor s~jednoznačností limity. Důkaz rovnosti: \[S(\boldsymbol\omega,g,\sigma^{(m)})= S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_1^{(m)})+ S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_2^{(m)}).\] \item \[\S(\boldsymbol\omega,\dotm g,\sigma^{(m)})= \sum_{i=1}^p\omega(x_i)(-g(t_i)+g(t_{i-1})).\] \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[křivkový integrál druhého druhu]\label{VSubsKrivII} Buď $\boldsymbol\omega$ diferenciální forma třídy $\c{0}$ a $g$ dráha třídy $\c{1}$, $[g]\subset\df\omega$. Pak $\omega$ je integrabilní po dráze $g$ a existuje integrál \[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\omega(g(t))g'(t)\d t.\] Říkáme, že integrál diferenciální formy $\boldsymbol\omega$ je {\bf křivkový integrál druhého druhu} a je závislý na orientaci dráhy $g$. \begin{proof} Platí, že $\norm{\sigma_g^{(m)}}\to 0$, díky spojitosti můžeme zajistit, že $\abs{\sigma^{(m)}}\to 0$. \[ \begin{split} \S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_g^{(m)})&=\sum_{i=1}^{p_m}\omega(g(\xi_i^{(m)}))(g(t_i^{(m)})-g(t_{i-1}^{(m)}))= \sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{p_m}\omega_j(g(\xi_i^{(m)})) {g^j}'(\eta_{ij}^{(m)})(t_i^{(m)}-t_{i-1}^{(m)})=\\ &=\underbrace{\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{p_m}\omega_j(g(\xi_i^{(m)}))(g^j)'(\xi_i^{(m)})(t_i^{(m)}-t_{i-1}^{(m)})}_{A_m}+\\ &\quad + \underbrace{\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{p_m}\omega_j(g(\xi_i^{(m)})) ((g^j)'(\eta_{ij}^{(m)})-(g^j)'(\xi_i^{(m)}))(t_i^{(m)}-t_{i-1}^{(m)})}_{B_m} \end{split} \] \[(\forall\epsilon>0)(\exists m_1)(\forall m>m_1) \left(\abs{\int_a^b\omega(g(t))g'(t)\d t-A_m}<\frac\epsilon2\right)\] \[(\forall\delta>0)(\exists m_2)(\forall m>m_2)\left(\norm{\sigma^{(m)}}<\delta\right)\] \[(\forall\epsilon>0)(\exists \delta)(\forall t',t'' \in \left[ a,b\right] , \forall j \in \n)\left(\abs{t'-t''}<\delta \Rightarrow \abs{(g^j)'(t')-(g^j)'(t'')}<\frac{\epsilon}{2k(b-a)n}\right)\] \[\abs{B_m}<\frac\epsilon2\] Využijeme kompaktnost $\left[ a,b\right] $, spojitost $g'$, omezenosti $\omega$, $m>\max(m_1,m_2)$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Buď $\boldsymbol\omega=\d f$, pak \[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\d f(g(t))g'(t)\,\d t= \int_a^b f'(g(t))g'(t)\,\d t= \int_a^b (f\circ g)'(t)\,\d t=f(g(b))-f(g(a)),\] tj. integrál exaktní diferenciální formy nezávisí na průběhu dráhy. \end{remark} \begin{define} Buď $\boldsymbol\omega\in\c{0}$, $\phi$ po částech $\in\c{1}$, taková, že \[\phi=\dot{\sum_{i=1}^m}\phi_i,\quad\phi_i\in\c{1}\] pak \[\int_\phi\boldsymbol\omega= \sum_{i=1}^m\int_{\phi_i}\boldsymbol\omega\] \end{define} \begin{define} Buď $\boldsymbol\omega$ diferenciální forma třídy $\c{0}$. Řekneme, že $\boldsymbol\omega$ je {\bf konzervativní}, právě když pro každé dvě dráhy $g_1,g_2$ po částech $\c{1}$ splňující podmínku $[g_1]\cup[g_2]\subset\df\boldsymbol\omega$, $g_1(a_1)=g_2(a_2)$, $g_1(b_1)=g_2(b_2)$ platí \[\int_{g_1}\boldsymbol\omega=\int_{g_2}\boldsymbol\omega.\] \end{define} \begin{theorem} Buď $\boldsymbol\omega\in\c{0}$. Potom následující výroky jsou ekvivalentní: \begin{enumerate}[(i)] \item $\boldsymbol\omega$ je exaktní. \item pro libovolnou dráhu $g$ uzavřenou a po částech $\c{1}$, $[g]\subset\df\boldsymbol\omega$ platí $\int_g\boldsymbol\omega=0$, \item $\boldsymbol\omega$ je konzervativní, \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[1)] \item $1\implies 2$: Buď $\omega=\d f$, \[g=\sum_{i=1}^p g_i\] libovolná dráha po částech $\c{1}$, $g_i\in\c{1}$. \[\int_g\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^p\int_{g_i}\boldsymbol\omega= \sum_{i=1}^p(f(x_i)-f(x_{i-1}))=f(x_p)-f(x_0).\] Platí \[x_p=x_0\implies\int_g\boldsymbol\omega=0.\] \item $2\implies 3$: Buďte $g_1,g_2$ libovolné po částech $\c{1}$, stejnými počátečními a koncovými body, definujme $g=g_1\dotm g_2$. Pak \[0=\int_g\boldsymbol\omega= \int_{g_1}\boldsymbol\omega-\int_{g_2}\boldsymbol\omega.\] \item $3\implies 1$: Definiční obor nemusí být souvislý a proto se rozdělí na jednotlivé komponenty souvislosti a pro každou se definuje funkce $f$ zvlášť. Buď $A$ souvislá podmnožina $\df\boldsymbol\omega$, zvolím pevně $x_0\in A$. Když si zvolím jiný bod, výsledná funkce se liší o konstantu (křivkový integrál z $\boldsymbol\omega$ mezi původním a novým bodem). V~$\R^n$ (lineární prostor) je každá oblast lokálně lineárně souvislá a lze v ní každé dva body spojit lomenou čarou: $x\in A$; $[g_x]\subset A$. \\ \\ Definujme $f(x)=\int_{g_x}\boldsymbol\omega$ (definice je jednoznačná, neboť $\boldsymbol\omega$ je konzervativní). $f$ je reálná funkce na $A$, dokážeme, že $f'(x)=\omega(x)$: \[ \begin{split} f_i(x)&=\lim_{t\to 0}\frac{f(x+t\vec{e_i})-f(x)}{t}= \lim_{t\to 0}\frac1t\left(\,\int_{g_{(x+t\vec{e_i})}}\boldsymbol\omega-\int_{g_x}\boldsymbol\omega\right)= %\lim_{t\to 0}\frac1t\left(\,\int_{g_x\dotp g_i}\boldsymbol\omega-\int_{g_x}\boldsymbol\omega\right)=\\ \lim_{t\to 0}\frac1t\left(\,\underbrace{\int_{g_{(x+t\vec{e_i})}}\boldsymbol\omega-\int_{g_x}\boldsymbol\omega -\int_{g_i}\boldsymbol\omega}_{\text{uzavřená dráha}}+\int_{g_i}\boldsymbol\omega\right)=\\ &=\lim_{t\to 0}\frac1t\int_{g_i}\boldsymbol\omega= \lim_{t\to 0}\frac1t\int_0^t\omega(x+\tau\vec{e_i})\vec{e_i}\,\d\tau= \lim_{t\to 0}\frac1t\int_0^t\underbrace{\omega_i(x+\tau\vec{e_i})}_{\text{spojité}}\,\d\tau= \omega_i(x) \end{split} \] $g_{(x+t\vec{e_i})}$ je libovolná křivka z bodu $x_0$ do $x+t\vec{e_i}$, nemusí se s $g_x$ shodovat v jediném bodě. Poslední krok plyne z věty o střední hodnotě. $\omega_i(x)$ je spojité a $f$ má tedy spojité parciální derivace s proto je diferencovatelná, takže $\omega_i(x)=f_i(x)$, $\boldsymbol\omega=\d f$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item V~případě, že $\boldsymbol\omega\in\c{1}$ na jednoduše souvislé množině, je s~uvedenými tvrzeními ekvivalentní i~(iv) $\boldsymbol\omega$ je uzavřená. \item Riezsova věta: $\covec\omega(x)\vec h=\la\vec F(\vec r),\vec h\ra $, označme $\omega_i=F^i(\vec r)$ v~eukleidovském standardním skalárním součinu. \item Práce po dráze (křivkový integrál druhého druhu): \[A=\int_g\boldsymbol\omega=\int_g\sum_{i=1}^3\boldsymbol\omega_i\,\d x^i= \int_g\sum_{i=1}^3 F^i\,\d x^i=\int_g\vec F\cdot\d\vec r.\] \item Pole je konzervativní (a~práce nezávisí na dráze), právě když $\boldsymbol\omega$ je konzervativní. $\boldsymbol\omega\in\c{0}$, $\boldsymbol\omega$ konzervativní, právě když existuje $f$ taková, že $\boldsymbol\omega^\#=\d f=f'$. \item Pokud je $F$ konzervativní, existuje $\grad f(x)$ tak, že $\grad f(x)=\vec F(\vec r)$. Říkáme, že $F(\vec r)$ má potenciál. \end{enumerate} \end{remark} %\begin{example} %$\boldsymbol\omega=\psi(x^2+y^2+z^2)(x\d x+y\d y+z\d z)$ je konzervativní. %\[f(x)=V(r)=\frac12\int_g\psi(t)\,\d t\] %\[\psi(t)=\frac1{t^{\frac32}},\quad\vec F(\vec r)=\frac{\vec r}{\vec r^3},\quadV(\vec r)=-\frac1r+C\] %\end{example}