01MAA4:Kapitola20: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Doplnění drobností.)
m (Drobná úprava.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{01MAA4}
 
%\wikiskriptum{01MAA4}
 
\section{Křivkový integrál druhého druhu}
 
\section{Křivkový integrál druhého druhu}
 +
 +
\begin{remark}
 +
Na přednášce se křivkový integrál druhého druhu definuje větou \ref{VSubsKrivII} a vynechává se zde uvedená konstrukce. Takto je to vyžadováno i na zkoušce.
 +
\end{remark}
 
   
 
   
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buďte $g_1,g_2$ dráhy v~$\R^n$, $\df g_\iota=\la a_\iota,b_\iota\ra$.
+
Buďte $g_1,g_2$ dráhy v~$\R^n$, $\df g_\iota=\left[  a_\iota,b_\iota\right] $.
 
\begin{enumerate}[(i)]
 
\begin{enumerate}[(i)]
 
\item Jestliže $g_1(b_1)=g_2(a_2)$, pak
 
\item Jestliže $g_1(b_1)=g_2(a_2)$, pak
 
\[(g_1\dotp g_2)(t)=
 
\[(g_1\dotp g_2)(t)=
 
\begin{cases}
 
\begin{cases}
g_1(t)&\text{na }\la a_1,b_1\ra\\
+
g_1(t)&\text{na }\left[  a_1,b_1\right] \\
g_2(t-b_1+a_2)&\text{na } \la b_1,b_1+b_2-a_2\ra
+
g_2(t-b_1+a_2)&\text{na } \left[  b_1,b_1+b_2-a_2\right]
 
\end{cases}
 
\end{cases}
 
\]
 
\]
 
je {\bf orientovaný součet drah $g_1$ a $g_2$}.
 
je {\bf orientovaný součet drah $g_1$ a $g_2$}.
\item $(\dotm g_1)(t)=g_1(-t)$ $\forall t\in\la -b_1,-a_1\ra$ je {\bf
+
\item $(\dotm g_1)(t)=g_1(-t)$ $\forall t\in\left[  -b_1,-a_1\right] $ je {\bf
 
opačně orientovaná dráha}.
 
opačně orientovaná dráha}.
 
\item $g_1\dotm g_2=g_1\dotp(\dotm g_2)$ je {\bf orientovaný rozdíl drah
 
\item $g_1\dotm g_2=g_1\dotp(\dotm g_2)$ je {\bf orientovaný rozdíl drah
Řádka 28: Řádka 32:
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 
Dráha $g$ {\bf má délku} (je schopna rektifikace), jestliže množina
 
Dráha $g$ {\bf má délku} (je schopna rektifikace), jestliže množina
\[\left\{l(\sigma)\left|
+
\[\left\{l(\sigma)\left |
 
l(\sigma)=\sum_{i=1}^n\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})}
 
l(\sigma)=\sum_{i=1}^n\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})}
 
\right.\right\}\]
 
\right.\right\}\]
Řádka 37: Řádka 41:
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
 
\item Ke každému rozdělení dráhy existuje rozdělení intervalu
 
\item Ke každému rozdělení dráhy existuje rozdělení intervalu
$\la a,b\ra$.
+
$\left[  a,b \right] $.
 
\item Číslo $\norm{\sigma_g}=\sup_i\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})}$ nazýváme
 
\item Číslo $\norm{\sigma_g}=\sup_i\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})}$ nazýváme
 
{\bf norma rozdělení}.
 
{\bf norma rozdělení}.
Řádka 47: Řádka 51:
 
g(t)=
 
g(t)=
 
\begin{cases}
 
\begin{cases}
-t\cos\frac1t&\text{pro }\la -\frac1\pi,0)\\
+
-t\cos\frac1t&\text{pro }\left[-\frac1\pi,0\right)\\
 
0&\text{pro nulu}
 
0&\text{pro nulu}
 
\end{cases}
 
\end{cases}
Řádka 129: Řádka 133:
 
dráze $g$ a existuje integrál
 
dráze $g$ a existuje integrál
 
\[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\omega(g(t))g'(t)\d t.\]
 
\[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\omega(g(t))g'(t)\d t.\]
\begin{remark}
+
Říkáme, že integrál diferenciální formy $\boldsymbol\omega$ je {\bf křivkový integrál druhého druhu} a je závislý na orientaci dráhy $g$.
Vrána touto větou definuje křivkový integrál druhého druhu (neboli integrál z diferenciální formy) a vynechává předešlou konstrukci. Vyžaduje to pak tímto způsobem i na zkoušce.
+
 
\end{remark}
+
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
 
Platí, že $\norm{\sigma_g^{(m)}}\to 0$, díky spojitosti můžeme
 
Platí, že $\norm{\sigma_g^{(m)}}\to 0$, díky spojitosti můžeme
Řádka 149: Řádka 152:
 
\[(\forall\delta>0)(\exists m_2)(\forall m>m_2)\left(\norm{\sigma^{(m)}}<\delta\right)\]
 
\[(\forall\delta>0)(\exists m_2)(\forall m>m_2)\left(\norm{\sigma^{(m)}}<\delta\right)\]
 
   
 
   
\[(\forall\epsilon>0)(\exists \delta)(\forall t',t'' \in \la a,b\ra, \forall j \in \n)\left(\abs{t'-t''}<\delta  
+
\[(\forall\epsilon>0)(\exists \delta)(\forall t',t'' \in \left[  a,b\right] , \forall j \in \n)\left(\abs{t'-t''}<\delta  
 
\Rightarrow  \abs{(g^j)'(t')-(g^j)'(t'')}<\frac{\epsilon}{2k(b-a)n}\right)\]
 
\Rightarrow  \abs{(g^j)'(t')-(g^j)'(t'')}<\frac{\epsilon}{2k(b-a)n}\right)\]
 
   
 
   
 
\[\abs{B_m}<\frac\epsilon2\]
 
\[\abs{B_m}<\frac\epsilon2\]
Využijeme kompaktnost $\la a,b\ra$, spojitost $g'$, omezenosti $\omega$, $m>\max(m_1,m_2)$.
+
Využijeme kompaktnost $\left[  a,b\right] $, spojitost $g'$, omezenosti $\omega$, $m>\max(m_1,m_2)$.
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
Řádka 242: Řádka 245:
 
množině, je s~uvedenými tvrzeními ekvivalentní i~(iv)
 
množině, je s~uvedenými tvrzeními ekvivalentní i~(iv)
 
$\boldsymbol\omega$ je uzavřená.
 
$\boldsymbol\omega$ je uzavřená.
\item $\boldsymbol\omega^\#(x)\vec h=\left\langle \vec h,\vec F(\vec r)\right\rangle $;
+
\item Riezsova věta: $\covec\omega(x)\vec h=\la\vec F(\vec r),\vec h\ra $, označme $\omega_i=F^i(\vec r)$ v~eukleidovském standardním skalárním součinu.
$\boldsymbol\omega_i=F^i(\vec r)$ v~eukleidovském standardním skalárním součinu.
+
 
\item Práce po dráze (křivkový integrál druhého druhu):
 
\item Práce po dráze (křivkový integrál druhého druhu):
 
\[A=\int_g\boldsymbol\omega=\int_g\sum_{i=1}^3\boldsymbol\omega_i\,\d x^i=
 
\[A=\int_g\boldsymbol\omega=\int_g\sum_{i=1}^3\boldsymbol\omega_i\,\d x^i=
\int_g\sum_{i=1}^3 F^i\,\d x^i=\int_g\vec F\,\d\vec r.\]
+
\int_g\sum_{i=1}^3 F^i\,\d x^i=\int_g\vec F\cdot\d\vec r.\]
 
\item Pole je konzervativní (a~práce nezávisí na dráze), právě když
 
\item Pole je konzervativní (a~práce nezávisí na dráze), právě když
 
$\boldsymbol\omega$ je konzervativní. $\boldsymbol\omega\in\c{0}$,
 
$\boldsymbol\omega$ je konzervativní. $\boldsymbol\omega\in\c{0}$,
 
$\boldsymbol\omega$ konzervativní, právě když existuje $f$ taková, že
 
$\boldsymbol\omega$ konzervativní, právě když existuje $f$ taková, že
$\boldsymbol\omega^\#=\d f=f'$.
+
$\boldsymbol\omega^\#=\d f=f'$.  
+
\item Pokud je $F$ konzervativní, existuje $\grad f(x)$ tak, že $\grad f(x)=\vec F(\vec r)$. Říkáme, že $F(\vec r)$ má potenciál.
$\grad f(x)=\vec F(\vec r)$ má potenciál.
+
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
 
%\begin{example}
 
%\begin{example}
%$\boldsymbol\omega=\psi(x^2+y^2+z^2)(x\d x+y\d y+z\d z)$ je
+
%$\boldsymbol\omega=\psi(x^2+y^2+z^2)(x\d x+y\d y+z\d z)$ je konzervativní.
%konzervativní.
+
 
%\[f(x)=V(r)=\frac12\int_g\psi(t)\,\d t\]
 
%\[f(x)=V(r)=\frac12\int_g\psi(t)\,\d t\]
%\[\psi(t)=\frac1{t^{\frac32}},\quad
+
%\[\psi(t)=\frac1{t^{\frac32}},\quad\vec F(\vec r)=\frac{\vec r}{\vec r^3},\quadV(\vec r)=-\frac1r+C\]
%\vec F(\vec r)=\frac{\vec r}{\vec r^3},\quad
+
%V(\vec r)=-\frac1r+C\]
+
 
%\end{example}
 
%\end{example}

Verze z 5. 10. 2013, 00:15

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Křivkový integrál druhého druhu}
 
\begin{remark}
Na přednášce se křivkový integrál druhého druhu definuje větou \ref{VSubsKrivII} a vynechává se zde uvedená konstrukce. Takto je to vyžadováno i na zkoušce.
\end{remark}
 
\begin{define}
Buďte $g_1,g_2$ dráhy v~$\R^n$, $\df g_\iota=\left[  a_\iota,b_\iota\right] $.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Jestliže $g_1(b_1)=g_2(a_2)$, pak
\[(g_1\dotp g_2)(t)=
\begin{cases}
g_1(t)&\text{na }\left[  a_1,b_1\right] \\
g_2(t-b_1+a_2)&\text{na } \left[  b_1,b_1+b_2-a_2\right] 
\end{cases}
\]
je {\bf orientovaný součet drah $g_1$ a $g_2$}.
\item $(\dotm g_1)(t)=g_1(-t)$ $\forall t\in\left[  -b_1,-a_1\right] $ je {\bf
opačně orientovaná dráha}.
\item $g_1\dotm g_2=g_1\dotp(\dotm g_2)$ je {\bf orientovaný rozdíl drah
$g_1$ a $g_2$}
\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{define}
Je dána dráha $g$. Jestliže
\[g=\dot{\sum_{i=1}^m}g_i,\]
pak $\sigma=(g_1,\dots,g_m)$ nazveme {\bf rozdělením dráhy} $g$.
\end{define}
 
\begin{define}
Dráha $g$ {\bf má délku} (je schopna rektifikace), jestliže množina
\[\left\{l(\sigma)\left |
l(\sigma)=\sum_{i=1}^n\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})}
\right.\right\}\]
je omezená. Délka je potom $\sup_{\sigma}l(\sigma)$.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Ke každému rozdělení dráhy existuje rozdělení intervalu
$\left[  a,b \right] $.
\item Číslo $\norm{\sigma_g}=\sup_i\norm{g(t_i)-g(t_{i-1})}$ nazýváme
{\bf norma rozdělení}.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{example}
\[
g(t)=
\begin{cases}
-t\cos\frac1t&\text{pro }\left[-\frac1\pi,0\right)\\
0&\text{pro nulu}
\end{cases}
\]
\[\sigma=\left(-\frac1\pi,-\frac1{2\pi},-\frac1{3\pi},\dots,-\frac1{p\pi}\right)\]
\[l(\sigma)\ge\sum_{i=1}^p\abs{g\left(\frac1{(i+1)\pi}\right)-g\left(\frac1{i\pi}\right)-}=
\sum_{i=1}^p\abs{\frac1{(i+1)\pi}+\frac1{i\pi}}\to +\infty\]
\end{example}
 
\begin{define}
Buď $g$ dráha v~$\R^n$, $\sigma$ její rozdělení $(g_0,\dots,g_m)$,
$\boldsymbol\omega$ diferenciální forma taková, že
$[g]\subset\df\boldsymbol\omega$.
\[\S(\omega,g,\sigma)=\sum_{i=1}^m \omega(x_i)(g(t_i)-g(t_{i-1}))
\text{, kde }x_i\in [g_i]\text{ pro }i\in\hat m\] nazveme {\bf{\bf 
integrálním součtem}} diferenciální formy $\boldsymbol\omega$ po dráze
$g$ při rozdělení $\sigma$.
 
Buď $\posl{\sigma}$ normální posloupnost rozdělení dráhy $g$. Nechť
pro každou takovou posloupnost existuje limita
\[\lim_{m\to\infty}\S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_m)=\int_g\boldsymbol\omega.\]
Pak říkáme, že $\boldsymbol\omega$ je {\bf integrabilní} po dráze $g$
a tuto limitu nazýváme {\bf integrálem} diferenciální formy
$\boldsymbol\omega$ po dráze $g$.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Buďte $\boldsymbol\omega,\boldsymbol\zeta$ integrabilní diferenciální
formy po dráze $g$. Pak
\begin{enumerate}[(i)]
\item \[\int_g(\boldsymbol\omega+\boldsymbol\zeta)=
\int_g\boldsymbol\omega+\int_g\boldsymbol\zeta,\]
\item pro $c\in\R$ \[\int_g(c\boldsymbol\omega)=
c\int_g\boldsymbol\omega.\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
\[\S(\boldsymbol\omega,g,\sigma)=
\sum_{i=1}^p\omega(x_i)(g(t_i)-g(t_{i-1}))\]
Z~linearity $\boldsymbol\omega$ v~této sumě vyplývá linearita integrálu.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $\boldsymbol\omega$ diferenciální forma. Platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \[\int_{g_1\dotp g_2}\boldsymbol\omega=
\int_{g_1}\boldsymbol\omega+\int_{g_2}\boldsymbol\omega,\]
má-li jedna strana smysl,
\item \[\int_{\dotm g}\boldsymbol\omega=
-\int_{g}\boldsymbol\omega,\]
má-li jedna strana smysl,
\item Jestliže $(\forall x\in[g])(\abs{\omega(x)}<K)$, pak
\[\abs{\int_g\boldsymbol\omega}\le Kl(g).\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item 
Nechť existuje $\int_g\boldsymbol\omega$, $g=g_1 \dotplus g_2$. Předpokládejme, že $\int_{g_1}\boldsymbol\omega$ neexistuje. Pak
existují integrální součty $\S_1$ a $\S_2$ takové, že
$\S_1(\mathbb{\boldsymbol\omega},g_1,\sigma_1^{(m)})\to S_1$ a
$\S_2(\boldsymbol\omega,g_1,\tilde\sigma_1^{(m)})\to S_2$,
$S_1\not=S_2$. Vezmu $g_2$, $\sigma_2^{(m)}$, sjednocením získám rozdělení $g$,  
$\sigma=\sigma_1 \cup\sigma_2$, $\tilde\sigma=\tilde\sigma_1 \cup\sigma_2$  a hned vyleze spor s~jednoznačností
limity.
 
Důkaz rovnosti:
\[S(\boldsymbol\omega,g,\sigma^{(m)})=
S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_1^{(m)})+
S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_2^{(m)}).\]
\item
\[\S(\boldsymbol\omega,\dotm g,\sigma^{(m)})=
\sum_{i=1}^p\omega(x_i)(-g(t_i)+g(t_{i-1})).\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
 
\begin{theorem}[křivkový integrál druhého druhu]\label{VSubsKrivII}
Buď $\boldsymbol\omega$ diferenciální forma třídy $\c{0}$ a $g$ dráha
třídy $\c{1}$, $[g]\subset\df\omega$. Pak $\omega$ je integrabilní po
dráze $g$ a existuje integrál
\[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\omega(g(t))g'(t)\d t.\]
Říkáme, že integrál diferenciální formy $\boldsymbol\omega$ je {\bf křivkový integrál druhého druhu} a je závislý na orientaci dráhy $g$.
 
\begin{proof}
Platí, že $\norm{\sigma_g^{(m)}}\to 0$, díky spojitosti můžeme
zajistit, že $\abs{\sigma^{(m)}}\to 0$.
\[
\begin{split}
\S(\boldsymbol\omega,g,\sigma_g^{(m)})&=\sum_{i=1}^{p_m}\omega(g(\xi_i^{(m)}))(g(t_i^{(m)})-g(t_{i-1}^{(m)}))=
\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{p_m}\omega_j(g(\xi_i^{(m)})) {g^j}'(\eta_{ij}^{(m)})(t_i^{(m)}-t_{i-1}^{(m)})=\\
&=\underbrace{\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{p_m}\omega_j(g(\xi_i^{(m)}))(g^j)'(\xi_i^{(m)})(t_i^{(m)}-t_{i-1}^{(m)})}_{A_m}+\\
&\quad + \underbrace{\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^{p_m}\omega_j(g(\xi_i^{(m)}))
((g^j)'(\eta_{ij}^{(m)})-(g^j)'(\xi_i^{(m)}))(t_i^{(m)}-t_{i-1}^{(m)})}_{B_m}
\end{split}
\]
\[(\forall\epsilon>0)(\exists m_1)(\forall m>m_1)
\left(\abs{\int_a^b\omega(g(t))g'(t)\d t-A_m}<\frac\epsilon2\right)\]
 
\[(\forall\delta>0)(\exists m_2)(\forall m>m_2)\left(\norm{\sigma^{(m)}}<\delta\right)\]
 
\[(\forall\epsilon>0)(\exists \delta)(\forall t',t'' \in \left[  a,b\right] , \forall j \in \n)\left(\abs{t'-t''}<\delta 
\Rightarrow  \abs{(g^j)'(t')-(g^j)'(t'')}<\frac{\epsilon}{2k(b-a)n}\right)\]
 
\[\abs{B_m}<\frac\epsilon2\]
Využijeme kompaktnost $\left[  a,b\right] $, spojitost $g'$, omezenosti $\omega$, $m>\max(m_1,m_2)$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Buď $\boldsymbol\omega=\d f$, pak
\[\int_g\boldsymbol\omega=\int_a^b\d f(g(t))g'(t)\,\d t=
\int_a^b f'(g(t))g'(t)\,\d t=
\int_a^b (f\circ g)'(t)\,\d t=f(g(b))-f(g(a)),\]
tj. integrál exaktní diferenciální formy nezávisí na průběhu dráhy.
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $\boldsymbol\omega\in\c{0}$, $\phi$ po částech $\in\c{1}$,
taková, že
\[\phi=\dot{\sum_{i=1}^m}\phi_i,\quad\phi_i\in\c{1}\]
pak
\[\int_\phi\boldsymbol\omega=
\sum_{i=1}^m\int_{\phi_i}\boldsymbol\omega\]
\end{define}
 
\begin{define}
Buď $\boldsymbol\omega$ diferenciální forma třídy $\c{0}$. Řekneme, že
$\boldsymbol\omega$ je {\bf konzervativní}, právě když pro každé dvě
dráhy $g_1,g_2$ po částech $\c{1}$ splňující podmínku
$[g_1]\cup[g_2]\subset\df\boldsymbol\omega$, $g_1(a_1)=g_2(a_2)$,
$g_1(b_1)=g_2(b_2)$ platí
\[\int_{g_1}\boldsymbol\omega=\int_{g_2}\boldsymbol\omega.\]
\end{define}
 
\begin{theorem}
Buď $\boldsymbol\omega\in\c{0}$. Potom následující výroky jsou
ekvivalentní:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\boldsymbol\omega$ je exaktní.
\item pro libovolnou dráhu $g$ uzavřenou a po částech $\c{1}$,
$[g]\subset\df\boldsymbol\omega$ platí $\int_g\boldsymbol\omega=0$,
\item $\boldsymbol\omega$ je konzervativní,
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[1)]
\item $1\implies 2$:
Buď $\omega=\d f$,
\[g=\sum_{i=1}^p g_i\]
libovolná dráha po částech $\c{1}$, $g_i\in\c{1}$.
\[\int_g\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^p\int_{g_i}\boldsymbol\omega=
\sum_{i=1}^p(f(x_i)-f(x_{i-1}))=f(x_p)-f(x_0).\]
Platí
\[x_p=x_0\implies\int_g\boldsymbol\omega=0.\]
\item $2\implies 3$:
Buďte $g_1,g_2$ libovolné po částech $\c{1}$, stejnými počátečními
a koncovými body, definujme $g=g_1\dotm g_2$. Pak
\[0=\int_g\boldsymbol\omega=
\int_{g_1}\boldsymbol\omega-\int_{g_2}\boldsymbol\omega.\]
\item $3\implies 1$:
Definiční obor nemusí být souvislý a proto se rozdělí na jednotlivé komponenty souvislosti 
a pro každou se definuje funkce $f$ zvlášť. 
Buď $A$ souvislá podmnožina $\df\boldsymbol\omega$, zvolím pevně
$x_0\in A$. Když si zvolím jiný bod, výsledná funkce se liší o konstantu (křivkový integrál z $\boldsymbol\omega$ mezi původním a novým bodem). V~$\R^n$ (lineární prostor) je každá oblast lokálně lineárně souvislá a lze v ní každé dva body spojit lomenou čarou:
$x\in A$; $[g_x]\subset A$. 
\\
\\
Definujme $f(x)=\int_{g_x}\boldsymbol\omega$
(definice je jednoznačná, neboť $\boldsymbol\omega$ je konzervativní). $f$ je reálná funkce na $A$, dokážeme, že $f'(x)=\omega(x)$:
\[
\begin{split}
f_i(x)&=\lim_{t\to 0}\frac{f(x+t\vec{e_i})-f(x)}{t}=
\lim_{t\to 0}\frac1t\left(\,\int_{g_{(x+t\vec{e_i})}}\boldsymbol\omega-\int_{g_x}\boldsymbol\omega\right)=
%\lim_{t\to 0}\frac1t\left(\,\int_{g_x\dotp g_i}\boldsymbol\omega-\int_{g_x}\boldsymbol\omega\right)=\\
\lim_{t\to 0}\frac1t\left(\,\underbrace{\int_{g_{(x+t\vec{e_i})}}\boldsymbol\omega-\int_{g_x}\boldsymbol\omega
-\int_{g_i}\boldsymbol\omega}_{\text{uzavřená dráha}}+\int_{g_i}\boldsymbol\omega\right)=\\
&=\lim_{t\to 0}\frac1t\int_{g_i}\boldsymbol\omega=
\lim_{t\to 0}\frac1t\int_0^t\omega(x+\tau\vec{e_i})\vec{e_i}\,\d\tau=
\lim_{t\to 0}\frac1t\int_0^t\underbrace{\omega_i(x+\tau\vec{e_i})}_{\text{spojité}}\,\d\tau=
\omega_i(x)
\end{split}
\]
$g_{(x+t\vec{e_i})}$ je libovolná křivka z bodu $x_0$ do $x+t\vec{e_i}$, nemusí se s $g_x$ shodovat v jediném bodě. 
Poslední krok plyne z věty o střední hodnotě. $\omega_i(x)$ je spojité a $f$ má tedy spojité parciální derivace s proto je diferencovatelná,
takže $\omega_i(x)=f_i(x)$, $\boldsymbol\omega=\d f$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item V~případě, že $\boldsymbol\omega\in\c{1}$ na jednoduše souvislé
množině, je s~uvedenými tvrzeními ekvivalentní i~(iv)
$\boldsymbol\omega$ je uzavřená.
\item Riezsova věta: $\covec\omega(x)\vec h=\la\vec F(\vec r),\vec h\ra $, označme $\omega_i=F^i(\vec r)$ v~eukleidovském standardním skalárním součinu.
\item Práce po dráze (křivkový integrál druhého druhu):
\[A=\int_g\boldsymbol\omega=\int_g\sum_{i=1}^3\boldsymbol\omega_i\,\d x^i=
\int_g\sum_{i=1}^3 F^i\,\d x^i=\int_g\vec F\cdot\d\vec r.\]
\item Pole je konzervativní (a~práce nezávisí na dráze), právě když
$\boldsymbol\omega$ je konzervativní. $\boldsymbol\omega\in\c{0}$,
$\boldsymbol\omega$ konzervativní, právě když existuje $f$ taková, že
$\boldsymbol\omega^\#=\d f=f'$. 
\item Pokud je $F$ konzervativní, existuje $\grad f(x)$ tak, že $\grad f(x)=\vec F(\vec r)$. Říkáme, že $F(\vec r)$ má potenciál.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
%\begin{example}
%$\boldsymbol\omega=\psi(x^2+y^2+z^2)(x\d x+y\d y+z\d z)$ je konzervativní.
%\[f(x)=V(r)=\frac12\int_g\psi(t)\,\d t\]
%\[\psi(t)=\frac1{t^{\frac32}},\quad\vec F(\vec r)=\frac{\vec r}{\vec r^3},\quadV(\vec r)=-\frac1r+C\]
%\end{example}