01MAA4:Kapitola19

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 10:02, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01MAA4} \section{Diferenciální formy} \begin{define} {\bf Diferenciální formou} (stupně jedna) rozumíme každé zobrazení $\omega:\R^n\mapsto (V^n)^...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Diferenciální formy}
 
\begin{define}
{\bf Diferenciální formou} (stupně jedna) rozumíme každé zobrazení
$\omega:\R^n\mapsto (V^n)^\#$.
\[\omega(x)=\sum_{i=1}^n\omega_i(x)e_i^\#\]
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Součet diferenciálních forem:
$(\boldsymbol\omega+\boldsymbol\zeta)(x)=\omega(x)+\zeta(x)$.
\item Násobení číslem:
$(t\boldsymbol\omega)(x)=t\omega(x)$.
\item Součin se skalární funkcí:
$(f\boldsymbol\omega)(x)=f(x)\omega(x)$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Je-li $f$ diferencovatelná funkce (na celém definičním oboru) 
$\R^n\mapsto\R$, pak
\[(\d f)(x)=f'(x)\in(V^n)^\#.\]
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $\d$ je cosi jako divergence, rotace aj. Příkladem diferenciální
formy je derivace.
\item Buď
%\[a(x)=\sum_{i=1}^n a_i x^i,\quad a(x)=a^\#\vec x,\quad l'(x)=a^\#\]
\[\chi^i(x)=x^i=e_i^\#\vec x,\quad \d\chi^i(x)=e_i^\#\]
\[\omega(x)=\sum_{i=1}^n\omega_i(x)e_i^\#=
\sum_{i=1}^n\omega_i(x)\d\chi^i(x)=
\left(\sum_{i=1}^n\boldsymbol\omega_i\d\chi^i\right)(x)\]
\[\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^n\boldsymbol\omega_i\d\chi^i\]
\item $xy\d x+y\d y$ je formálně blbost --- správně je
$\omega_1(x,y)=xy$, $\omega_2(x,y)=y$,
$\boldsymbol\omega=\boldsymbol\omega_1\d x+\boldsymbol\omega_2\d y$
nebo $\omega(x,y)=xy e_1^\#+y e_2^\#$.
\item
\[\d f(x)=\sum_{i=1}^n f_i(x)e_i^\#\]
\[\d f=\sum_{i=1}^n f_i\d x^i\]
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
Diferenciální forma $\boldsymbol\omega$ se nazývá {\bf exaktní},
existuje-li reálná funkce $f$ taková, že $\boldsymbol\omega=\d f$. Funkce $f$ je potom {\bf primitivní funkce}. 
\end{define}
 
\begin{define}
Diferenciální forma $\boldsymbol\omega$ je {\bf třídy $\c{q}$}, právě
když $\boldsymbol\omega_i$ jsou třídy $\c{q}$ pro každé $i\in\n$.
\end{define}
 
\begin{remark}
Buď $\boldsymbol\omega\in\c{1}$, $\boldsymbol\omega=\d f$,
$f\in\c{2}$, $\boldsymbol\omega_i=\frac{\pd f}{\pd x^i}$. Pak
\[\frac{\pd\omega_i}{\pd x^j}=\frac{\pd^2f}{\pd x^j\pd x^i}=
\frac{\pd^2f}{\pd x^i\pd x^j}=\frac{\pd\omega_j}{\pd x^i}.\]
Ve fyzice tomu odpovídá $\rot f=0$, tj. potenciální pole.
\end{remark}
 
\begin{define}
Diferenciální forma $\boldsymbol\omega\in\c{1}$ taková, že
\[\frac{\pd\omega_i}{\pd x^j}=\frac{\pd\omega_j}{\pd x^i}\quad
\forall i,j\in\n,\]
se nazývá {\bf uzavřená}.
\end{define}
 
\begin{remark}
Exaktní forma třídy $\c{1}$ je uzavřená. Není-li při vhodné třídě
forma uzavřená, není exaktní (neexistuje primitivní funkce).
\end{remark}
 
\begin{example}
\[\omega(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}\d x+\frac{x}{x^2+y^2}\d y\]
\[
\frac{\pd\omega_1}{\pd y}=-\frac{x^2+y^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2},\quad
\frac{\pd\omega_2}{\pd x}=\frac{x^2+y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2},
\]
takže $\omega$ je uzavřená.
\[
\phi(x,y)=
\begin{cases}
\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{pro $y \ge 0$}\\
-\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{pro $y < 0$}
\end{cases}
\]
\[
\frac{\pd\phi}{\pd x}=-\frac{\abs{y}}{x^2+y^2}\ \forall x,y,\quad
\frac{\pd\phi}{\pd y}=\frac{x\sgn y}{x^2+y^2},
\]
\[P_\pi=\{(x,0)|x\le 0\}\]
\[\omega(x,y)=\phi'(x,y)=d\phi(x,y)\]
Aby byla $\boldsymbol\omega$ exaktní, musí platit
$\boldsymbol\omega=\d f$ na $\R^2\sm\{(0,0)\}$; $\phi'(x,y)=f'(x,y)$
na oblasti $\R^2\sm P_\pi$. Liší se o~konstantu: $f=\phi+C$ a to je
spor kvůli skoku na $P_\pi$. $f$ musí být spojitá, ale $\phi$ není.
 
Jestliže je množina jednoduše souvislá (tj. množina bez děr), pak je
uzavřenost postačující podmínka. (omezená množina je jednoduše
souvislá, právě když ona i~její doplněk jsou souvislé)
\end{example}