01MAA4:Kapitola19: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Doplnění drobností.) |
m (Drobná úprava.) |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01MAA4} | %\wikiskriptum{01MAA4} | ||
− | \section{Diferenciální formy} | + | \section{Diferenciální 1-formy} |
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | {\bf Diferenciální formou} stupně | + | \label{omega} |
− | $\omega:\R^n\mapsto (V^n)^\#$. | + | {\bf Diferenciální 1-formou} (diferenciální formou stupně $1$) rozumíme každé zobrazení |
− | \[\omega(x)=\sum_{i=1}^n\omega_i(x) | + | $\omega:\R^n\mapsto (V^n)^\#$. Takovému zobrazení (každému bodu z afinního prostoru přiřadí kovektor) říkáme {\bf kovektorové pole}. |
+ | \[\omega(x)=\sum_{i=1}^n\omega_i(x)\covec e^i\] | ||
\end{define} | \end{define} | ||
Řádka 20: | Řádka 21: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Je-li $f$ diferencovatelná | + | Každá funkce $f:\R^n\mapsto\R$ je diferenciální 0-forma. Je-li $f$ diferencovatelná na celém definičním oboru, pak $f'$ je diferenciální 1-forma a nazýváme ji {\bf vnější derivací} formy $f$ a značíme |
− | $\ | + | \[(\d f)(x)=f'(x)\in(V^n)^\#=V_n.\] |
− | \[(\d f)(x)=f'(x)\in(V^n)^\#.\] | + | |
\end{define} | \end{define} | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
+ | \label{dx} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item $\d$ je symbol Příkladem | + | \item $\d$ je symbol. Příkladem vnější derivace je totální diferenciál. |
\item Buď | \item Buď | ||
%\[a(x)=\sum_{i=1}^n a_i x^i,\quad a(x)=a^\#\vec x,\quad l'(x)=a^\#\] | %\[a(x)=\sum_{i=1}^n a_i x^i,\quad a(x)=a^\#\vec x,\quad l'(x)=a^\#\] | ||
− | \[\chi^i(x)=x^i= | + | \[\chi^i(x)=x^i=\covec e^i\vec x,\quad \d\chi^i(x)=\covec e^i\] |
− | \[\omega(x)=\sum_{i=1}^n\omega_i(x) | + | \[\omega(x)=\sum_{i=1}^n\omega_i(x)\covec e^i= |
\sum_{i=1}^n\omega_i(x)\d\chi^i(x)= | \sum_{i=1}^n\omega_i(x)\d\chi^i(x)= | ||
\left(\sum_{i=1}^n\boldsymbol\omega_i\d\chi^i\right)(x)\] | \left(\sum_{i=1}^n\boldsymbol\omega_i\d\chi^i\right)(x)\] | ||
− | \[\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^n | + | \[\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^n\omega_i\d\chi^i\] |
\item $xy\d x+y\d y$ je formálně blbost --- správně je | \item $xy\d x+y\d y$ je formálně blbost --- správně je | ||
− | $\omega_1(x,y)=xy$, $\omega_2(x,y)=y$ | + | $\omega_1(x,y)=xy$, $\omega_2(x,y)=y$: |
− | $\boldsymbol\omega= | + | $\boldsymbol\omega=\omega_1\d x+\omega_2\d y$ |
− | nebo $\omega(x,y)=xy | + | nebo $\omega(x,y)=xy \covec e^1+y \covec e^2$. |
\item | \item | ||
− | \[\d f(x)=\sum_{i=1}^n f_i(x) | + | \[\d f(x)=\sum_{i=1}^n f_i(x)\covec e^i\] |
\[\d f=\sum_{i=1}^n f_i\d x^i\] | \[\d f=\sum_{i=1}^n f_i\d x^i\] | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
Řádka 51: | Řádka 52: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Diferenciální forma $\boldsymbol\omega$ je {\bf třídy $\c{q}$}, právě | + | Diferenciální 1-forma $\boldsymbol\omega$ je {\bf třídy $\c{q}$}, právě |
− | když $ | + | když $\omega_i$ jsou třídy $\c{q}$ pro každé $i\in\n$. |
\end{define} | \end{define} | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
Buď $\boldsymbol\omega\in\c{1}$, $\boldsymbol\omega=\d f$, | Buď $\boldsymbol\omega\in\c{1}$, $\boldsymbol\omega=\d f$, | ||
− | $f\in\c{2}$, $ | + | $f\in\c{2}$, $\omega_i=\frac{\pd f}{\pd x^i}$. Pak |
\[\frac{\pd\omega_i}{\pd x^j}=\frac{\pd^2f}{\pd x^j\pd x^i}= | \[\frac{\pd\omega_i}{\pd x^j}=\frac{\pd^2f}{\pd x^j\pd x^i}= | ||
\frac{\pd^2f}{\pd x^i\pd x^j}=\frac{\pd\omega_j}{\pd x^i}.\] | \frac{\pd^2f}{\pd x^i\pd x^j}=\frac{\pd\omega_j}{\pd x^i}.\] | ||
Řádka 93: | Řádka 94: | ||
\frac{\pd\phi}{\pd y}=\frac{x\sgn y}{x^2+y^2}, | \frac{\pd\phi}{\pd y}=\frac{x\sgn y}{x^2+y^2}, | ||
\] | \] | ||
− | \[P_\pi=\{(x,0)|x\le 0\}\] | + | \[P_\pi=\{(x,0)~|~x\le 0\}\] |
\[\omega(x,y)=\phi'(x,y)=d\phi(x,y)\] | \[\omega(x,y)=\phi'(x,y)=d\phi(x,y)\] | ||
Aby byla $\boldsymbol\omega$ exaktní, musí platit | Aby byla $\boldsymbol\omega$ exaktní, musí platit | ||
Řádka 101: | Řádka 102: | ||
Jestliže je množina jednoduše souvislá (tj. množina bez děr), pak je | Jestliže je množina jednoduše souvislá (tj. množina bez děr), pak je | ||
− | uzavřenost postačující podmínka. | + | uzavřenost postačující podmínka. |
− | + | ||
\end{example} | \end{example} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | \label{simplyconnected} | ||
+ | Připomeneme, že oblast je jednoduše | ||
+ | souvislá, právě když ona i~její doplněk jsou souvislé). | ||
+ | \end{remark} |
Verze z 5. 10. 2013, 00:14
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 21:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 08:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 08:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 10:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 21:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 10:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 15:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 10:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 08:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 09:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 20:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 08:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 08:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 10:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 08:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 12:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 00:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 20:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 08:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 08:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 12:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 10:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Diferenciální 1-formy} \begin{define} \label{omega} {\bf Diferenciální 1-formou} (diferenciální formou stupně $1$) rozumíme každé zobrazení $\omega:\R^n\mapsto (V^n)^\#$. Takovému zobrazení (každému bodu z afinního prostoru přiřadí kovektor) říkáme {\bf kovektorové pole}. \[\omega(x)=\sum_{i=1}^n\omega_i(x)\covec e^i\] \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Součet diferenciálních forem: $(\boldsymbol\omega+\boldsymbol\zeta)(x)=\omega(x)+\zeta(x)$. \item Násobení číslem: $(t\boldsymbol\omega)(x)=t\omega(x)$. \item Součin se skalární funkcí: $(f\boldsymbol\omega)(x)=f(x)\omega(x)$. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} Každá funkce $f:\R^n\mapsto\R$ je diferenciální 0-forma. Je-li $f$ diferencovatelná na celém definičním oboru, pak $f'$ je diferenciální 1-forma a nazýváme ji {\bf vnější derivací} formy $f$ a značíme \[(\d f)(x)=f'(x)\in(V^n)^\#=V_n.\] \end{define} \begin{remark} \label{dx} \begin{enumerate} \item $\d$ je symbol. Příkladem vnější derivace je totální diferenciál. \item Buď %\[a(x)=\sum_{i=1}^n a_i x^i,\quad a(x)=a^\#\vec x,\quad l'(x)=a^\#\] \[\chi^i(x)=x^i=\covec e^i\vec x,\quad \d\chi^i(x)=\covec e^i\] \[\omega(x)=\sum_{i=1}^n\omega_i(x)\covec e^i= \sum_{i=1}^n\omega_i(x)\d\chi^i(x)= \left(\sum_{i=1}^n\boldsymbol\omega_i\d\chi^i\right)(x)\] \[\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^n\omega_i\d\chi^i\] \item $xy\d x+y\d y$ je formálně blbost --- správně je $\omega_1(x,y)=xy$, $\omega_2(x,y)=y$: $\boldsymbol\omega=\omega_1\d x+\omega_2\d y$ nebo $\omega(x,y)=xy \covec e^1+y \covec e^2$. \item \[\d f(x)=\sum_{i=1}^n f_i(x)\covec e^i\] \[\d f=\sum_{i=1}^n f_i\d x^i\] \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} Diferenciální forma $\boldsymbol\omega$ se nazývá {\bf exaktní}, existuje-li reálná funkce $f$ taková, že $\boldsymbol\omega=\d f$. Funkce $f$ je potom {\bf primitivní funkce}. \end{define} \begin{define} Diferenciální 1-forma $\boldsymbol\omega$ je {\bf třídy $\c{q}$}, právě když $\omega_i$ jsou třídy $\c{q}$ pro každé $i\in\n$. \end{define} \begin{remark} Buď $\boldsymbol\omega\in\c{1}$, $\boldsymbol\omega=\d f$, $f\in\c{2}$, $\omega_i=\frac{\pd f}{\pd x^i}$. Pak \[\frac{\pd\omega_i}{\pd x^j}=\frac{\pd^2f}{\pd x^j\pd x^i}= \frac{\pd^2f}{\pd x^i\pd x^j}=\frac{\pd\omega_j}{\pd x^i}.\] Ve fyzice tomu odpovídá $\rot f=0$, tj. potenciální pole. \end{remark} \begin{define} Diferenciální forma $\boldsymbol\omega\in\c{1}$ taková, že \[\frac{\pd\omega_i}{\pd x^j}=\frac{\pd\omega_j}{\pd x^i}\quad \forall i,j\in\n,\] se nazývá {\bf uzavřená}. \end{define} \begin{remark} Exaktní forma třídy $\c{1}$ je uzavřená. Není-li při vhodné třídě forma uzavřená, není exaktní (neexistuje primitivní funkce). \end{remark} \begin{example} \[\omega(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}\d x+\frac{x}{x^2+y^2}\d y\] \[ \frac{\pd\omega_1}{\pd y}=-\frac{x^2+y^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2},\quad \frac{\pd\omega_2}{\pd x}=\frac{x^2+y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2}, \] takže $\omega$ je uzavřená. \[ \phi(x,y)= \begin{cases} \arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{pro $y \ge 0$}\\ -\arccos\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{pro $y < 0$} \end{cases} \] \[ \frac{\pd\phi}{\pd x}=-\frac{\abs{y}}{x^2+y^2}\ \forall x,y,\quad \frac{\pd\phi}{\pd y}=\frac{x\sgn y}{x^2+y^2}, \] \[P_\pi=\{(x,0)~|~x\le 0\}\] \[\omega(x,y)=\phi'(x,y)=d\phi(x,y)\] Aby byla $\boldsymbol\omega$ exaktní, musí platit $\boldsymbol\omega=\d f$ na $\R^2\sm\{(0,0)\}$; $\phi'(x,y)=f'(x,y)$ na oblasti $\R^2\sm P_\pi$. Liší se o~konstantu: $f=\phi+C$ a to je spor kvůli skoku na $P_\pi$. $f$ musí být spojitá, ale $\phi$ není. Jestliže je množina jednoduše souvislá (tj. množina bez děr), pak je uzavřenost postačující podmínka. \end{example} \begin{remark} \label{simplyconnected} Připomeneme, že oblast je jednoduše souvislá, právě když ona i~její doplněk jsou souvislé). \end{remark}