01MAA4:Kapitola18

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 10:02, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01MAA4} \section{Vázané extrémy} \begin{define} Řekneme, že funkce $f$ má v~bodě $x_0\in M$ {\bf lokální extrém vzhledem k~varietě $M$}, práv...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4Nguyebin 24. 1. 201413:14
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201413:28 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníNguyebin 24. 1. 201413:28 preamble.tex
Kapitola15 editovatRegulární zobrazeníKrasejak 7. 9. 201521:32 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatImplicitní zobrazeníKubuondr 1. 5. 201708:09 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatVarietyKubuondr 4. 3. 201708:48 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVázané extrémyKrasejak 7. 9. 201522:58 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatDiferenciální formyKubuondr 12. 3. 201710:53 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatKřivkový integrál druhého druhuKubuondr 15. 3. 201721:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatKřivkový integrál prvního druhuNguyebin 24. 1. 201413:55 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatRiemannův integrál jako elementární integrálKubuondr 10. 8. 201810:01 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatStupňovité funkceKubuondr 10. 8. 201815:00 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatZákladní integrálKubuondr 1. 6. 201710:06 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatTřída Lambda plus a L plusKubuondr 2. 4. 201708:14 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatTřída Lambda a LKubuondr 11. 8. 201809:16 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatLimitní přechodyMazacja2 11. 4. 201620:11 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatMěřitelné funkceKubuondr 2. 6. 201708:24 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatMěřitelné množinyKubuondr 2. 6. 201708:01 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatIntegrál na měřitelné množiněAdmin 1. 8. 201010:04 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatVýpočet integráluKubuondr 8. 4. 201708:03 kapitola31.tex
Kapitola33 editovatParametrické integrályKubuondr 2. 6. 201712:38 kapitola33.tex
Kapitola34 editovatNewtonova formuleKrasejak 19. 9. 201500:48 kapitola34.tex
Kapitola39 editovatVnější algebraKubuondr 3. 5. 201720:13 kapitola39.tex
Kapitola35 editovatDivergenční větaKubuondr 3. 6. 201808:22 kapitola35.tex
Kapitola36 editovatKomplexní derivaceKubuondr 31. 5. 201708:27 kapitola36.tex
Kapitola37 editovatHolomorfní funkceKubuondr 31. 5. 201712:57 kapitola37.tex
Kapitola38 editovatLaurentovy řadyKubuondr 5. 6. 201710:01 kapitola38.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:01MAA4_lauren.pdf 01MAA4_lauren.pdf
Image:01MAA4_draha.pdf 01MAA4_draha.pdf
Image:01MAA4_gamma.pdf 01MAA4_gamma.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4}
\section{Vázané extrémy}
 
\begin{define}
Řekneme, že funkce $f$ má v~bodě $x_0\in M$
 {\bf lokální extrém vzhledem k~varietě $M$}, právě když
\[(\exists\H_{x_0})(\forall x\in\H_{x_0}\cap M)(f(x)\ge f(x_0))
\text{, resp. }
(\exists\H_{x_0})(\forall x\in\H_{x_0}\cap M)(f(x)\le f(x_0)).\]
\end{define}
 
\begin{theorem}[nutná podmínka pro existenci extrému vzhledem k~varietě]
Buď $M$ $r$-rozměrná varieta třídy $\c{1}$, $x_0\in M$, $f:\R^n\mapsto\R$ reálná funkce
diferencovatelná v~$x_0$. Nechť $f$ má v~$x_0$ lokální extrém vzhledem
k~varietě $M$. Potom existují čísla $\lambda_1,\dots,\lambda_m$
taková, že $x_0$ je stacionárním bodem funkce
\[\Lambda=f-\sum_{l=1}^m \lambda_l\Phi^l\]
při značení z~16. Čísla $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ se nazývají {\bf
Lagrangeovy multiplikátory}. $\Lambda$ je {\bf Lagrangeova funkce}.
\begin{proof}
Pro každý $\vec h\in T_M(x_0)$ existuje $\psi:\R\mapsto M$ takové, že
$\psi(0)=x_0$ a $\psi'(0)=\vec h$. Definujme $\phi:\R\mapsto\R$
vztahem $\phi=f\circ\psi$. BÚNO nechť $f$ má v $x_0$ maximum, tedy:
$$
(\exists\H_{x_0})(\forall x\in\H_{x_0}\cap M)(f(x)\le f(x_0)) \Leftrightarrow (\exists\H_{0})(\forall t\in\H_{0})(f(\psi(t))\le f(\psi(0)))
$$
tedy $\phi$ ma v $0$ maximum. Pak $\phi'(0)=0$, a platí
\[0=\phi'(0)=f'(x_0)\cdot\psi'(0)=f'(x_0)\vec h
=(\grad f(x_0),\vec h)=0.\]
Z~toho dále vyplývá, že $\grad f(x_0)\in N_M(x_0)$
a dále existence $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ takových, že
\[\grad f(x_0)=\sum_{l=1}^m\lambda_l\grad\Phi^l(x_0),\]
a tedy
\[\grad\left(f-\sum_{l=1}^m\lambda_l\Phi^l\right)=0\]
a z~Riezsovy věty pak vyplývá nulovost derivace $\Lambda$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Derivace vzhledem k~varietě: $f_M'(x_0)=f'(x_0)|_{T_M(x_0)}$,
tj. derivace zúžená na tečný prostor.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[postačující podmínka]
Buď $M$ varieta třídy $\c{2}$, nechť existuje $f''(x_0)$, $x_0\in M$,
existuje $\Lambda$ a $\Lambda'(x_0)=0$. Potom
\begin{enumerate}[(i)]
\item Má-li funkce $f|_M$ v~$x_0$ lokální minimum, potom
$\Lambda''(x_0)|_{T_M(x_0)}\ge 0$.
\item Je-li $\Lambda''(x_0)|_{T_M(x_0)}>0$, má $f|_M$ v~$x_0$ ostré
lokální minimum.
\item Má-li funkce $f|_M$ v~$x_0$ lokální maximum, potom
$\Lambda''(x_0)|_{T_M(x_0)}\le 0$.
\item Je-li $\Lambda''(x_0)|_{T_M(x_0)}<0$, má $f|_M$ v~$x_0$ ostré
lokální maximum.
\item Je-li $\Lambda''(x_0)|_{T_M(x_0)}$ indefinitní, nemá $f|_M$ v
$x_0$ lokální extrém.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item Buď $\vec h\in T_M(x_0)$. Potom existuje $\psi:\R\mapsto M$
takové, že $\psi(0)=x_0$, $\psi'(0)=\vec h$. Provedeme Taylorův rozvoj
$\Lambda$ v~$x_0$ do druhého řádu (to můžeme, protože $f''(x_0)$
existuje a $M\in\c{2}$)
\[\Lambda(x)=\Lambda(x_0)+\underbrace{\Lambda'(x_0)(x-x_0)}_{=0}+
\frac12\Lambda''(x_0)(x-x_0)^2+\omega(x)\norm{x-x_0}^2,\]
\[\Lambda(\psi(t))=\Lambda(x_0)+
\frac12\Lambda''(x_0)(\psi(t)-\psi(0))^2+
\omega(\psi(t))\norm{\psi(t)-\psi(0)}^2.\]
Protože $\psi(t)$ je z~variety, kde splývá $f$ s~$\Lambda$, vyjde
\[\frac{1}{t^2}\left(f(\psi(t))-f(\psi(0))-
\omega(\psi(t))\norm{\psi(t)-\psi(0)}^2\right)=
\frac12\Lambda''(\psi(0))\left(\frac{\psi(t)-\psi(0)}{t}\right)^2.\]
Limitním přechodem $t\to 0$ dostáváme
\[\frac{1}{t^2}\underbrace{f(\psi(t))-f(\psi(0))}_{\ge 0}=
\frac12\Lambda''(x_0){\vec h}^2.\]
\item Buď $\Lambda''(x_0)\vec h^2>0$, $x\in M\cap H$. Potom
\[f(x)=f(x_0)+\frac12\Lambda''(x_0)(x-x_0)^2+\omega(x)\norm{x-x_0}^2.\]
Problém je v~tom, že $x-x_0$ nemusí být obecně z~$T_M(x_0)$. Položme
$\vec h=x-x_0$, potom $\vec h$ lze vyjádřit jako $\vec
h=\vec{h_1}+\vec{h_2}$, kde $\vec{h_1}\in T_M(x_0)$, $\vec{h_2}\in
N_M(x_0)$. Potom z~pozitivní definitnosti $\Lambda''$ vyplývá
\[\Lambda''(x_0)\vec{h_1}^2\ge\alpha\norm{\vec{h_1}}^2\]
pro nějaké $\alpha>0$, neboť $\vec{h_1}\in T_M(x_0)$.
\[
\begin{split}
f(x)-f(x_0)&=\frac12\Lambda''(x_0)\vec{h_1}^2+\Lambda''(x_0)\vec{h_1}\vec{h_2}+
\frac12\Lambda''(x_0)\vec{h_2}^2+\omega(x)\norm{\vec{h_1}+\vec{h_2}}^2\ge\\
&\ge\frac{\alpha}{2}\norm{\vec{h_1}}^2-\frac{\alpha}{8}\norm{\vec{h}}^2\ge
\frac{\alpha}{4}\norm{\vec{h}}^2-\frac{\alpha}{8}\norm{\vec{h}}^2=
\frac{\alpha}{8}\norm{\vec{h}}^2,
\end{split}
\]
neboť
\[
\lim_{\vec h\to\theta}\frac{\norm{\vec{h_2}}}{\norm{\vec{h}}}=0,\quad
\lim_{\vec h\to\theta}\frac{\norm{\vec{h_1}}}{\norm{\vec{h}}}=1
\]
a
\[
\lim_{\vec h\to\theta}\frac{1}{\norm{\vec{h}}^2}
\left(\Lambda''(x_0)\vec{h_1}\vec{h_2}+\frac12\Lambda''\vec{h_2}^2
+\omega(x)\norm{\vec{h}}^2\right)=0,
\]
takže lze zvolit takové $\alpha>0$, aby
\[
\frac{1}{\norm{\vec{h}}^2}
\left(\Lambda''(x_0)\vec{h_1}\vec{h_2}+\frac12\Lambda''\vec{h_2}^2
+\omega(x)\norm{\vec{h}}^2\right)\le\frac{\alpha}{8}.
\]
Konečně díky ortogonalitě $\vec{h_1}$ a $\vec{h_2}$
\[
\norm{\vec{h_1}}^2=\norm{\vec{h}}^2-\norm{\vec{h_2}}^2 \wedge \lim_{\vec h\to\theta}\frac{\norm{\vec{h_2}}}{\norm{\vec{h}}}=0 \implies
\norm{\vec{h_1}}^2\ge\frac{1}{2}\norm{\vec{h}}^2
\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Metodika hledání extrémů:
\begin{enumerate}
\item Nechť $f$, $\Phi^1,\dots,\Phi^m\in\c{2}$.
\item Ověříme, zda $M=\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\}=
\{x\in\R^n|\Phi(x)=0\wedge\h(\Phi'(x))=m\}$, tj. je varieta.
\item Sestavím funkční předpis
\[\Lambda = f-\sum_{l=1}^m \lambda_l\Phi^l,\]
kde $\lambda$ zatím neznám.
\item Položím $\Lambda'(x_0)=\Theta$, $\Lambda_j(x_0)=0$ pro $j\in\n$,
$\Phi^l(x_0)=0$ pro $l\in\hat m$. Dostanu $m+n$ rovnic pro $m+n$
neznámých.
\item Vyberu si jeden bod $x_0$, určím $\lambda_j$ a dosadím do
$\Lambda$.
\item $\Lambda''(x_0)\vec h^2=Q(\vec h)$.
\item Pokud je $Q(\vec h)$ PD nebo ND, pak je to minimum, případně maximum
\item Jinak musím nalézt tečný prostor ($T_M(x_0)=(\Phi'(x_0))^{-1}(\theta)$) a zúžím $Q(\vec h)$ na $T_M$.
\end{enumerate}
Tedy nalézám $q(\vec h)=Q(\vec h)|_{T_M(x_0)}$. $\Phi'(x_0)\vec h=0$
\[\sum_{i=1}^n\Phi_i^l(x_0)\vec h^i=0\text{ pro }l\in\hat m.\]
\item Prověřím definitnost $Q$.
Je nutno hlídat dimenze.
\end{remark}
 
\begin{remark}
Důkaz nerovnosti $f(x)\le g(x)$: $f(x)=a$ je varieta, např. uzavřená
dráha. Najdu extrém $g(x)$ na varietě $f(x)=a$, to provedu pro každé
$a$.
\end{remark}